1.2应用举例 课件
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高中数学《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》347PPT课件 一等奖名师
S pp ap bp cp d ,其中p a b c d .
2
思考：以上公式对任意的四边形是否都成立？
八、课后作业
南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积
术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，
余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，
求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三
角形的边长满足 a b 12, c 8.则此三角形面积的最大值=__8___5____.
六、师生小结
<1>海伦（Heron）:古希腊数学家主要著作有《量度论》，《体积求法》，《几何》
等，最著名的是已知三边长求三角形面积的海伦公式.
证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,
设 BD x ，那 么 DC a x .
由于AD是△ABD、△ACD的公共边.
h c2 x2 b2 a x2.
则x c2 b2 a2 . 2a
于是h
c2
c2
b2 2a
a2
2
.
又
SABC
1 2
ah
1 2
ac2c2源自b2 2a开平方得积．”若把以上这段文字写成公式, 即S
1 4
c 2 a 2
c2
a2 2
b2
2
在ABC 中，若 AB 13, BC 14, AC 15,D在AC上，且BD平分 ABC,
则 ABC 的面积=________; BD=____________.
[针对训练] 南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，
S
p p a p b p c
2
思考：以上公式对任意的四边形是否都成立？
八、课后作业
南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积
术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，
余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，
求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三
角形的边长满足 a b 12, c 8.则此三角形面积的最大值=__8___5____.
六、师生小结
<1>海伦（Heron）:古希腊数学家主要著作有《量度论》，《体积求法》，《几何》
等，最著名的是已知三边长求三角形面积的海伦公式.
证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,
设 BD x ，那 么 DC a x .
由于AD是△ABD、△ACD的公共边.
h c2 x2 b2 a x2.
则x c2 b2 a2 . 2a
于是h
c2
c2
b2 2a
a2
2
.
又
SABC
1 2
ah
1 2
ac2c2源自b2 2a开平方得积．”若把以上这段文字写成公式, 即S
1 4
c 2 a 2
c2
a2 2
b2
2
在ABC 中，若 AB 13, BC 14, AC 15,D在AC上，且BD平分 ABC,
则 ABC 的面积=________; BD=____________.
[针对训练] 南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，
S
p p a p b p c
人教A版必修5_第一章_解三角形__课件1.2_解三角形应用举例(1)
BC DC = sin ∠BDC sin ∠DBC
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理 第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 求得AB的长。
形成结论
在测量上， 在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线 如例1中的AC 基线, AC， 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 中的CD.基线的选取不唯一， CD.基线的选取不唯一 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长 基线越长， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。
测量问题： 测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 可求得AB的长。
计算出AC和 后 再在⊿ 计算出 和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 中 算出AB两点间的距离 算出 两点间的距离
A = A 2 + B 2 −2A ×B cosα B C C C C
例题2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 例题2:要测量河对岸两地A 之间的距离， 2:要测量河对岸两地 米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 四点在同一平面上， 两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理 第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 求得AB的长。
形成结论
在测量上， 在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线 如例1中的AC 基线, AC， 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 中的CD.基线的选取不唯一， CD.基线的选取不唯一 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长 基线越长， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。
测量问题： 测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 可求得AB的长。
计算出AC和 后 再在⊿ 计算出 和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 中 算出AB两点间的距离 算出 两点间的距离
A = A 2 + B 2 −2A ×B cosα B C C C C
例题2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 例题2:要测量河对岸两地A 之间的距离， 2:要测量河对岸两地 米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 四点在同一平面上， 两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°
高中数学《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》268PPT课件 一等奖名师
4
2
则用“三斜求 积”公式求得△ABC的面积为 _____.
课堂练习
练习1.在ABC中，AB 3, BC 13 AC 4,求ABC的面积
2. 在△ABC中，b 2, B ,C ,求ABC的面积.
64
c2 sin Asin B b2 sin Asin C a2 sin B sin C
I
正负开方术
数
书
九
II
章
三斜求积术
III
大衍总数术
I 德国数学史家康 托尔赞扬秦九韶 是“最幸运的天 才”
此前法国大数学家拉 格朗日也是这样称赞 牛顿的
有着“科学史之父”美 誉的美国科学史家萨顿 甚至认为，秦九韶是“ 他那个民族，他那个时 代，并且确实也是所有 时代最伟大的数学家之 一”
2005年，牛津大 学出版了《数学史 —从美索不达米亚 到现代》，该书重 点提及12位数学 家，提及了秦九韶 是唯一的中国人
(a
b
c)(a
b
c)(b 4c 2
a
c)(b
a
c)
h (a b c)(a b c)(b a c)(b a c) 4c 2
ha
t DB
h (a b c)(a b c)(b a c)(b a c) 2c
[求出面积S ] (a b c)(a b c)(b a c)(b aC c)
2010年，BBC 广播公司制作4 集纪录片《数学 的故事》，第2 节17分钟讲述中 国，秦九韶是唯 一提及的中国人
古代其他 数学成就
利用祖暅原理求球体积
牟合方盖
古代其他 数学成就
牟合方盖
割圆术
问题提出 能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？
公式转化
新课标2017春高中数学第1章解三角形1.2应用举例第2课时高度角度问题课件新人教A版必修5
『规律总结』
航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解
决这类问题一定要搞清所给的角，画出符合题意的图形，将所给距离和角度标
在图中，然后分析可解的三角形及其与待求角问题的关系，确定解题步骤．
〔跟踪练习 3〕 导学号 54742139 我缉私巡逻艇在一小岛 A 南偏西 50° 的方向，距小岛 A 12 n mile 的 B 处，发 现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向岛北偏西 10° 西方向行驶， 测得其速度为每 小时 10 n mile，问我巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后 截获该走私船？(参考数据：sin38° ≈0.62)
3．在点 A 处观察一物体的视角为 50° ，请画出示意图. 导学号 54742132
[解析] 如图所示．
4．(2016· 浙江诸暨第一中学期中)为了测量河对岸的塔 AB 的高度，先在河岸 上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，此时测得塔顶 A 的仰角为 60° .再由点 C 沿北偏东 15° 方向走了 20m 到达点 D，测得∠BDC＝45° ，则塔 AB 的高度为 导学号 54742133 ( A ) A．20 6m C．20 2m B．20 3m D．20m
10m 导学号 54742131 30° ，斜坡 AB 的长度是________. 坡角 α 等于________
3 [解析] 由题意知，坡比 i＝tanα＝ . 3 ∵0° <α<90° ，∴坡角 α＝30° . 又∵坡高 BC＝5m， BC 5 ∴斜坡长 AB＝ ＝ ＝10m. sinα sin30°
命题方向3 ⇨测量角度问题
如图所示，当甲船位于 A 处时，获悉在其正东方向相距 20n mile 的 B 处有一艘渔船遇险等待营救． 甲船立即前往救援， 同时把消息告知在甲船的南偏 西 30° ， 相距 10n mile 的 C 处的乙船， 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前 往 B 处救援(角度精确到 1° )？ 导学号 54742138
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用
3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3
1.2应用举例(四) 公开课一等奖课件
讲授新课
1 根据以前学过的三角形面积公式 S ah, 2
可以推导出下面的三角形面积公式：
讲授新课
1 根据以前学过的三角形面积公式 S ah, 2
可以推导出下面的三角形面积公式：
1 S ab sin C 2
讲授新课
1 根据以前学过的三角形面积公式 S ah, 2
可以推导出下面的三角形面积公式：
1.2应用举例(四)
主讲老师：陈震
课题导入
在△ABC中，边BC、CA、AB上的 高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何 用已知边和角表示？
课题导入
在△ABC中，边BC、CA、AB上的 高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何 用已知边和角表示？ ha＝bsinC＝csinB hb=csinA＝asinC hc=asinB＝bsinA
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
湖南省长沙市一中卫星远程学校
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
1.2应用举例(必修五 数学 优秀课件)
113.15 n mile
由正弦定理得
BC AC BC sin ABC sin BAC sin BAC sin ABC AC
54sin137 0.3255 BAC 19 113.15
例7. 在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确 到0.1cm2） (1)已知 a＝14.8cm, c＝23.5cm, B＝148.5o; (2)已知B＝62.7o, C＝65.8o, b＝3.16cm; (3)已知三边的长分别为a＝41.4cm, b＝27.3cm, c＝38.7cm.
A
75° 51° C 55m
AB AC sin C 55sin 75 65.7(m ) sin B sin 54
答：A,B两点间的距离为65.7米。
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量两点间的距离的方法。
AB
A
AC 2 BC 2 2 AC BC cos
例1:设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离测量者在A 的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm， ∠BAC＝51°， ∠ACB＝75°，求A、B两点间的距离（精确到 B 0.1m）
54°
解： B 180 (A C ) 54
AB AC ∴由正弦定理 得 sin C sin Bຫໍສະໝຸດ DC8° 25°
B
15°
5km
A
ACB 25 15 10 解：在△ABC中， 5sin15 BC AB 根据正弦定理 7.4524( km ). 得 BC sin15 sin10 sin10 DC tan CBD 在Rt△BCD中， DC BC tan CBD BC
由正弦定理得
BC AC BC sin ABC sin BAC sin BAC sin ABC AC
54sin137 0.3255 BAC 19 113.15
例7. 在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确 到0.1cm2） (1)已知 a＝14.8cm, c＝23.5cm, B＝148.5o; (2)已知B＝62.7o, C＝65.8o, b＝3.16cm; (3)已知三边的长分别为a＝41.4cm, b＝27.3cm, c＝38.7cm.
A
75° 51° C 55m
AB AC sin C 55sin 75 65.7(m ) sin B sin 54
答：A,B两点间的距离为65.7米。
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量两点间的距离的方法。
AB
A
AC 2 BC 2 2 AC BC cos
例1:设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离测量者在A 的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm， ∠BAC＝51°， ∠ACB＝75°，求A、B两点间的距离（精确到 B 0.1m）
54°
解： B 180 (A C ) 54
AB AC ∴由正弦定理 得 sin C sin Bຫໍສະໝຸດ DC8° 25°
B
15°
5km
A
ACB 25 15 10 解：在△ABC中， 5sin15 BC AB 根据正弦定理 7.4524( km ). 得 BC sin15 sin10 sin10 DC tan CBD 在Rt△BCD中， DC BC tan CBD BC
1.2解直角三角形应用举例3课件人教新课标B版
1
1
1
=3+4 ( 6 + 2)2 +2× 3 × 2 ( 6 + 2)×4 ( 6 − 2)=5+2 3.
∴AB= 5 + 2 3≈2.91(km).
∴炮兵阵地与目标的距离约为 2.91 km.
答案:2.91 km
课前篇
自主预习
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“ ”,错误的打
探究四
当堂检测
解:依题意画图,某人在C处,AB为塔高,他沿CD前进,CD=40 m,
此时∠DBF=45°,
在△BCD 中,CD=40 m,∠BCD=30°,∠DBC=135°,
由正弦定理得, sin∠ =
40sin30°
,
sin∠
∴BD= sin135° =20 2(m).
在△BCD 中,作 BE⊥DC 于点 E.
探究四
当堂检测
测量距离问题
【例1】 如图,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距 3
km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,
∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.
思路分析:要求出A,B之间的距离,可在△ABC(或△ADB)中找关
(1)在直角三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,则有,
①锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.
②三边之间的关系:a2+b2=c2 .
③边角之间的关系:(锐角三角函数的定义)
sin A=cos B= ,cos A=sin B= ,tan A=.
1
1
=3+4 ( 6 + 2)2 +2× 3 × 2 ( 6 + 2)×4 ( 6 − 2)=5+2 3.
∴AB= 5 + 2 3≈2.91(km).
∴炮兵阵地与目标的距离约为 2.91 km.
答案:2.91 km
课前篇
自主预习
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“ ”,错误的打
探究四
当堂检测
解:依题意画图,某人在C处,AB为塔高,他沿CD前进,CD=40 m,
此时∠DBF=45°,
在△BCD 中,CD=40 m,∠BCD=30°,∠DBC=135°,
由正弦定理得, sin∠ =
40sin30°
,
sin∠
∴BD= sin135° =20 2(m).
在△BCD 中,作 BE⊥DC 于点 E.
探究四
当堂检测
测量距离问题
【例1】 如图,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距 3
km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,
∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.
思路分析:要求出A,B之间的距离,可在△ABC(或△ADB)中找关
(1)在直角三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,则有,
①锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.
②三边之间的关系:a2+b2=c2 .
③边角之间的关系:(锐角三角函数的定义)
sin A=cos B= ,cos A=sin B= ,tan A=.
_高中数学第一章解三角形2应用举例4课件新人教版必修
命题方向2 正、余弦定理在生产、生活中不易到达点测距 中的应用
要测量河对岸两地 A、B 之间的距离，在岸边选取相距 100 3 m 的 C、D 两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°， ∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D 在同一平面内)，求 A、 B 两地的距离．
[分析] 此题是测量计算河对岸两点间的距离，给出的角度较 多，涉及几个三角形，重点应注意依次解哪几个三角形才较为 简便．
跟踪练习
如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B、C分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个 声波，8 s后监测点A、20 s后监测点C相继收到这一信号．在当 时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
[解析] (1)依题意，PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝ 1.5×20＝30(km)．
∴PB＝(x－12)km，PC＝(18＋x)km. 在△PAB 中，AB＝20 km， cos∠PAB＝PA2＋2PAAB·A2－B PB2＝x2＋2022－x·20x－122＝3x＋5x32. 同理，cos∠PAC＝723－x x. 由于 cos∠PAB＝cos∠PAC， 即3x＋5x32＝723－x x，解得 x＝1372(km)．
∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB
＝－45×
22＋
22×35＝－
2 10 .
(2)由(1)知 cosC＝－102，∴sinC＝7102， 由正弦定理，得sAinBC＝sBinCA， ∴AB＝10×27102＝14.
2 ∴BD＝7.
在△BCD 中，由余弦定理，得
高二数学人教A必修5课件：1.2 应用举例(三)
解 根据余弦定理的推论，得 c ＋a －b 38.7 ＋41.4 －27.3 cos B＝ 2ca ＝ ≈0.769 7， 2×38.7×41.4
2 2 2 2 2 2
sin B＝ 1－cos B≈ 1－0.769 7 ≈0.638 4.
2 2
1 1 应用 S＝ casin B，得 S≈ ×38.7×41.4×0.638 4 2 2
≈511.4 (cm2).
反思与感悟
在不同已知条件下求三角形的面积的问题，
思考1 在认真审题的基础上，你能讲述解题思路吗？ 答 首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角 ∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出
AC边和AB边的夹角∠CAB.
思考2 写出例题的解题过程. 解 在△ABC中，∠ABC＝180° －75° ＋32° ＝137° ， 根据余弦定理，
所以∠BCD＝30°.
6 则 BD＝BC＝ 6(海里)，即 10t＝ 6，得 t＝ 10 (小时).
6 即缉私船沿北偏东 60° 方向能最快追上走私船，最少用 10 小时.
探究点二
思考1
三角形的面积公式的拓展
△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha，hb
，hc，那么它们如何用已知边和角表示？
§
Contents Page
内容 索引
01
明目标 知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.能够运用正、余弦定理解决测量角度的实际问题.
2. 能够运用正、余弦定理进一步解决一些有关三角 形的计算问题. 3.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.
填要点·记疑点
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A
C B
解应用题的基本思路
实际问题 实际问题的解
抽象概括 示意图
还原说明
数学模型 推演 理算 数学模型的解
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已知⊿ABC中，三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 ⊿ABC的面积为S,且2S=(a+b)²－c²,求tanC的值。
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AC
a sin( )
sin180 (
)
a sin( ) sin(
)
BC
a sin
sin180 (
)
a sin sin(
)
计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 算出AB两C BC cos
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距离
高度
角度
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例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
AB ＝ AC sin C sin B
6020
已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m， 夹角∠CAB＝66°20′，求BC．
解：由余弦定理，得
最大角度
BC 2 AB2 AC 2 2 AB AC cos A 1.952 1.402 2 1.951.40 cos 6620 3.571
BC 1.89(m)
答：顶杆BC约长1.89m。
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量两点间的距离的方法。
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
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解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并 且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得
形？
在△ABC中已知什么，要求什么？
最大角度
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A
C B
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的 距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长 （精确到0.01m）．
练习1、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
解：在ASB中，SBA＝115，
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解：根据正弦定理，得
AB AC sin ACB sin ABC
AB AC sin ACB 55sin ACB sin ABC sin ABC
55sin 75
55sin 75 65.7(m)
sin(180 51 75) sin 54
答：A,B两点间的距离为65.7米。
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S 45，由正弦定理得
SB AB sin 20 16.1sin 20 7.787(n mile)
sin 45
sin 45
设点S到直线AB的距离为h, 则
h SB sin 65 7.06(n mile)
h 6.5n mile 此船可以继续沿正北方向航行 答：此船可以继续沿k正 s5u精北 品课件方向航行
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的 距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长 （精确到0.01m）．
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（1）什么是最大仰角？
（2）例题中涉及一个怎样的三角