(完整版)解排列组合应用题的解法技巧

排列组合问题的求解技巧在数学中，排列组合是一个重要的概念，广泛应用于各个领域。

无论是在数学竞赛中还是实际生活中，我们都会遇到各种各样的排列组合问题。

本文将介绍一些求解排列组合问题的技巧，帮助读者更好地应对这类问题。

一、排列问题的求解技巧排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的方式。

在解决排列问题时，我们需要考虑以下几个方面的技巧：1. 确定元素的个数：首先要明确待排列的元素个数，这有助于我们确定问题的规模和难度。

2. 确定元素的范围：排列问题通常涉及到一组元素，我们需要明确这组元素的范围，以便进行后续的计算。

3. 考虑重复元素：有时候，待排列的元素中可能存在重复的元素。

在计算排列的个数时，我们需要考虑这些重复元素，避免重复计算。

4. 使用排列公式：排列问题可以通过排列公式来求解。

当元素个数确定，且不存在重复元素时，排列的个数可以通过公式P(n, m) = n! / (n-m)!来计算，其中n表示元素的总个数，m表示待排列的元素个数。

5. 考虑特殊情况：有时候，我们需要考虑一些特殊情况，比如某些元素必须排在一起或者不能排在一起等。

在解决这类问题时，我们需要根据具体情况进行分析，采取相应的策略。

二、组合问题的求解技巧组合是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑元素的顺序。

在解决组合问题时，我们需要考虑以下几个方面的技巧：1. 确定元素的个数：同样，我们需要明确待组合的元素个数，这有助于我们确定问题的规模和难度。

2. 确定元素的范围：组合问题通常涉及到一组元素，我们需要明确这组元素的范围，以便进行后续的计算。

3. 考虑重复元素：与排列问题类似，组合问题中也可能存在重复的元素。

在计算组合的个数时，我们需要考虑这些重复元素，避免重复计算。

4. 使用组合公式：组合问题可以通过组合公式来求解。

当元素个数确定，且不存在重复元素时，组合的个数可以通过公式C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)来计算，其中n表示元素的总个数，m表示待组合的元素个数。

解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ） A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数 是（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种 答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A = 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A = 共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 解析：将{}1,2,3,100I = 分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A = ；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B = ，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D = ，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂. 例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

解排列组合应用题的26种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。

要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。

实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1、相邻排列——捆绑法：n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有种方法．由乘法原理得符合条件的排列，共种．例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有种排法；女生内部的排法有种，男生内部的排法有种．故合题意的排法有种．2.相离排列——插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻，有多少种排法？先把个元素排成一排，然后把k个元素插入个空隙中，共有排法种．例3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？解：先把科学家作排列，共有种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有种排法，故符合条件的站法共有种站法．例4.七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.3、定序问题---倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法.将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？n个不同元素排列成一排，共有种排法；k个不同元素排列成一排共有种不同排法．于是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的分之一．故符合条件的排列共种．例5.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.例6. A，B，C，D，E五个元素排成一列，要求A在B 的前面且D在E的前面，有多少种不同的排法？解：5个不同元素排列一列，共有种排法． A，B两个元素的排列数为；D，E两个元素的排列数为．因此，符合条件的排列法为种．4、标号排位问题---分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.5、留空排列——借元法例8、一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有种坐法。

排列组合解题的高效技巧与策略排列组合是数学中的一个重要概念，它在解决问题时可以帮助我们快速、高效地找出正确的答案。

本文将介绍一些排列组合解题的高效技巧与策略，帮助读者更好地应对相关问题。

1. 理解排列和组合的概念在开始讨论解题技巧之前，我们首先需要理解排列和组合的概念。

排列是指从一组元素中选取一部分元素按照一定的顺序进行排列，而组合是指从一组元素中选取一部分元素，不考虑顺序的情况下进行组合。

2. 利用公式计算排列组合数排列和组合问题的解答往往涉及到计算排列数和组合数。

针对不同的问题，我们可以利用相应的公式来计算。

例如，计算从n个元素中选取r个元素的排列数可以使用下面的公式：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。

3. 利用乘法原理和加法原理乘法原理和加法原理是解决排列组合问题的基本原理。

乘法原理指出，如果一个任务可以分为k个相互独立的子任务，每个子任务有n1、n2、...、nk种选择，则总的选择方式数为n1 * n2 * ... * nk。

而加法原理指出，如果一个任务可以通过两个步骤完成，第一步有n种选择，第二步有m种选择，则总的选择方式数为n + m。

4. 利用递推关系简化计算在解决排列组合问题时，有时可以利用递推关系简化计算过程，减少计算量。

例如，C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)就是一个常见的递推关系。

通过利用递推关系，我们可以将原始问题转化为更小规模的子问题，从而简化计算过程。

5. 利用二项式定理求解复杂问题二项式定理是数学中的一个重要定理，它展示了如何将一个二次多项式展开成一个多项式的和。

利用二项式定理，我们可以求解复杂的排列组合问题。

例如，在计算(x + y)^n的展开式中，我们可以得到展开式中各个项的系数，进而能够解决一些特殊问题。

6. 善于应用化简的方法在解决排列组合问题时，有时候问题的描述较为复杂，难以直接进行计算。

解决排列组合问题的常用方法(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--解决排列组合问题的常用方法1.特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑例1：六人站成一排，求甲不在排头，乙不在排尾的排列数（）.520 C答案：A分析：法1:先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。

第一类：乙在排头，有A种站法。

第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，这时候有4种选择即C，还剩5个位置，甲不能再排头所以只有4种选择C，剩下的全排列，即有CCA种站法。

2.反面考虑法法2: 全排列减掉甲在排头的、乙在排尾的、再加上他们多减的部分（正好甲在排头，乙在排尾） A-A*2+A =504例2：某单位邀请10名教师中的6位参加一个会议，其中甲乙两位不能同时参加，则邀请的不同方法有多少种（）.98 C答案：D解析：法1:①甲参加，乙不参加，有C=56种②乙参加，甲不参加，有C=56种③甲，乙都不参加，有C=28种则邀请的不同方法有56+56+28=140种法2:从反面考虑，甲乙都参加，有C=70种C -C=1403.捆绑法例3：A 、B 、C 、D 、E 五人排成一排，其中A 、B 两人必须站在一起，共有（）种排法。

.72 C D24答案：C解析:将A 、B 捆绑一起，与C 、D 、E 一起排，共有2444=A 种排法，A 、B 又有222=A 种排法，共有48224=⨯种排法。

例4：从单词“equation ”选5个不同的字母排成一排，且含有qu （其中qu 相连且顺序不变），共有（）种排法。

.480 C D840答案：B解析：①从剩下的6个字母里选3个，有C(6，3)=20，②再将这3个字母和qu 全排列A=24所以共有20×24=480种排法4.错位排列错位排列问题：有n 封信和n 个信封，每封信都不装在自己的信封里， 比如： 2封信就有1种装法；3封信的具体装法 1→2,2→3,3→1和1→3,2→1,3→2就有2种装法； 随着信封数目的增多，这种问题也随之复杂多了。

解排列组合应用题的解法•技巧引言：1、本资料对排列、组合应用题归纳为8种解法、13种技巧2、解排列组合问题的“16字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。

弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径（1）以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则（3）先不考虑附加条件，计算岀排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接（剔除）解法注：数量不大时可以逐一排出结果。

3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得岀的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得岀的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列,无序组合.（一）排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。

下面通过一些例题来说明几种常见的解法。

一.运用两个基本原理二.特殊元素（位置）优先三.捆绑法四.插入法五.排除法六.机会均等法七.转化法八.隔板法一.运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。

例1: n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有C0种结果；1个人通过，有c n种结果，……；n个人通过，有C；种结果。

所以一共有C： C n C：2n种可能的结果。

解法2 :用分步记数的原理。

第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。

所以一共有2n种可能的结果。

（完整版）解排列组合应用题的解法技巧（可编辑修改word版）n n nn 解排列组合应用题的解法·技巧引言：1、本资料对排列、组合应用题归纳为 8 种解法、13 种技巧2、解排列组合问题的“16 字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。

弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径(1) 以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2) 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则.(3) 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法注：数量不大时可以逐一排出结果。

3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．（一）排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。

下面通过一些例题来说明几种常见的解法。

一. 运用两个基本原理二. 特殊元素（位置）优先三. 捆绑法四. 插入法五. 排除法六. 机会均等法七. 转化法八. 隔板法一. 运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。

例 1：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法 1：用分类记数的原理，没有人通过，有 C 0 种结果；1 个人通过，有 C 1 种结 n n果，……；n 个人通过，有C n 种结果。

所以一共有C 0 + C 1 + +C n = 2n 种可能的结果。

排列组合知识点总结 +典型例题及答案解析一．根根源理1．加法原理：做一件事有n 类方法，那么完成这件事的方法数等于各样方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，那么完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或地址赞同重复使用，求方法数常常用根根源理求解。

二．排列：从n 个不相同元素中，任取m〔 m≤ n 〕个元素，依照必然的序次排成一列，叫做从 n个不相同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A n m .1. 公式： 1. A n m n n 1 n 2 ⋯⋯ n m 1n!n m !2.规定： 0!1(1) n!n ( n 1)!,( n 1) n! (n 1)!(2)n n! [( n 1) 1] n! (n 1) n! n! (n 1)!n! ；(3)n n 1 1n1111(n1)!(n1)!( n1)!(n 1)!n!( n 1)!三．组合：从 n 个不相同元素中任取m〔m≤n〕个元素并组成一组，叫做从n 个不相同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作Cn 。

1. 公式：C n m A n m n n 1 ⋯⋯ n m1n!定： C n01A m m m!m! n m !2.组合数性质： C n m C n n m，C n m C n m 1 C n m1， C n0 C n1⋯⋯ C n n2n①；②；③；④注： C r r C r r1C r r2L C n r1C n r C r r11C r r1C r r2 L C n r1C n r C r r21C r r2L C n r1 C n r C n r11假设C n m1C n m2 m1 =m 2或 m1+m 2n四．办理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事〔审题〕②有序还是无序③分步还是分类。

2．解排列、组合题的根本策略〔1〕两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从整体考虑，再把不吻合条件的全部状况去掉。

排列组合解题技巧12法首先,谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:1〕使用"分类计数原理"还是"分步计数原理"要根据我们完成某件事时采取的方式而定,可以分类来完成这件事时用"分类计数原理",需要分步来完成这件事时就用"分步计数原理"；那么,怎样确定是分类,还是分步骤？"分类"表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件,而"分步"必须把各步骤均完成才能完成所给事件,所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰,相互独立,彼此间交集为空集,并集为全集,不论哪类办法都能将事情单独完成,分步计数原理强调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,步与步之间互不影响,即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法.2〕排列与组合定义相近,它们的区别在于是否与顺序有关.3〕复杂的排列问题常常通过试验、画 "树图 "、"框图"等手段使问题直观化,从而寻求解题途径,由于结果的正确性难于检验,因此常常需要用不同的方法求解来获得检验.4〕按元素的性质进行分类,按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法,要注意"至少、至多"等限制词的意义.5〕处理排列、组合综合问题,一般思想是先选元素〔组合〕,后排列,按元素的性质进行"分类"和按事件的过程"分步",始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法,通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能,保证每步独立,达到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏.6〕在解决排列组合综合问题时,必须深刻理解排列组合的概念,能熟练地对问题进行分类,牢记排列数与组合数公式与组合数性质,容易产生的错误是重复和遗漏计数.总之,解决排列组合问题的基本规律,即：分类相加,分步相乘,排组分清,加乘明确；有序排列,无序组合；正难则反,间接排除等.其次,我们在抓住问题的本质特征和规律,灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时,还要注意讲究一些解题策略和方法技巧,使一些看似复杂的问题迎刃而解.下面介绍几种常用的解题方法和策略.一．特殊元素〔位置〕的"优先安排法"：对于特殊元素〔位置〕的排列组合问题,一般先考虑特殊,再考虑其他.例1、用0,2,3,4,5,五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有〔〕.A． 24个 B.30个 C.40个 D.60个[分析]由于该三位数为偶数,故末尾数字必为偶数,又因为0不能排首位,故0就是其中的"特殊"元素,应该优先安排,按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1〕0排末尾时,有A42个,2〕0不排在末尾时,则有C21 A31A31个,由分数计数原理,共有偶数A42 + C21 A31A31=30个,选B.二．总体淘汰法：对于含否定的问题,还可以从总体中把不合要求的除去.如例1中,也可用此法解答:五个数字组成三位数的全排列有A53个,排好后发现0不能排首位,而且数字3,5也不能排末位,这两种排法要排除,故有A53--3A42+ C21A3 1=30个偶数.三．合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题,按元素的性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏. 四．相邻问题用捆绑法：在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先整体考虑,将相邻的元素"捆绑"起来,看作一"大"元素与其余元素排列,然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．例2、有8本不同的书；其中数学书3本,外语书2本,其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上,让数学书排在一起,外语书也恰好排在一起的排法共有< >种．<结果用数值表示>解：把3本数学书"捆绑"在一起看成一本大书,2本外语书也"捆绑"在一起看成一本大书,与其它3本书一起看作5个元素,共有A55种排法；又3本数学书有A 33种排法,2本外语书有A22种排法；根据分步计数原理共有排法A55 A33 A22= 1440<种>.注：运用捆绑法解决排列组合问题时,一定要注意"捆绑"起来的大元素内部的顺序问题．五．不相邻问题用"插空法"：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其它元素将它们隔开．解决此类问题可以先将其它元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置,故称插空法．例3、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数,要求1与2相邻, 2与4相邻,5与6相邻,而7与8不相邻.这样的八位数共有< >个．<用数字作答>解：由于要求1与2相邻,2与4相邻,可将1、2、4这三个数字捆绑在一起形成一个大元素,这个大元素的内部中间只能排2,两边排1和4,因此大元素内部共有A22种排法,再把5与6也捆绑成一个大元素,其内部也有A22种排法,与数字3共计三个元素,先将这三个元素排好,共有A33种排法,再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个,把要求不相邻的数字7和8插入即可,共有A42种插法,所以符合条件的八位数共有A22 A22 A33 A42＝288<种>．注：运用"插空法"解决不相邻问题时,要注意欲插入的位置是否包含两端位置．六．顺序固定用"除法"：对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数.例4、6个人排队,甲、乙、丙三人按"甲---乙---丙"顺序排的排队方法有多少种？分析：不考虑附加条件,排队方法有A66种,而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件.故符合条件的排法有A66 ÷A33 =120种.<或A63种>例5、4个男生和3个女生,高矮不相等,现在将他们排成一行,要求从左到右女生从矮到高排列,有多少种排法.解：先在7个位置中任取4个给男生,有A74 种排法,余下的3个位置给女生,只有一种排法,故有A74 种排法.<也可以是A77 ÷A33种>七．分排问题用"直排法"：把几个元素排成若干排的问题,可采用统一排成一排的排法来处理.例6、7个人坐两排座位,第一排3个人,第二排坐4个人,则不同的坐法有多少种？分析：7个人可以在前两排随意就坐,再无其它条件,故两排可看作一排来处理,不同的坐法共有A77种.八．逐个试验法：题中附加条件增多,直接解决困难时,用试验逐步寻找规律. 例7.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的方格中,每方格填1个,方格标号与所填数字均不相同的填法种数有〔〕A．6 B.9 C.11 D.23解：第一方格内可填2或3或4,如第一填2,则第二方格可填1或3或4,若第二方格内填1,则后两方格只有一种方法；若第二方格填3或4,后两方格也只有一种填法.一共有9种填法,故选B九、构造模型 "隔板法"：对于较复杂的排列问题,可通过设计另一情景,构造一个隔板模型来解决问题.例8、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？分析：建立隔板模型：将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板,把球分成4堆,每一种分法所得4堆球的各堆球的数目,对应为a、b、c、d的一组正整解,故原方程的正整数解的组数共有C113 .又如方程a+b+c+d=12非负整数解的个数,可用此法解.十.排除法：对于含"至多"或"至少"的排列组合问题,若直接解答多需进行复杂讨论,可以考虑"总体去杂",即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉,从而计算出符合条件的排列组合数的方法．例9、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有< >种．A．140种 B．80种 C．70种 D．35种解：在被取出的3台中,不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意,因此符合题意的抽取方法有C93-C43-C53=70<种>,故选C．注：这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题．十一．逐步探索法：对于情况复杂,不易发现其规律的问题需要认真分析,探索出其规律例10、从1到100的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于100,则不同的取法种数有多少种.解：两个数相加中以较小的数为被加数,1+100>100,1为被加数时有1种,2为被加数有2种,…,49为被加数的有49种,50为被加数的有50种,但51为被加数有49种,52为被加数有48种,…,99为被捕加数的只有1种,故不同的取法有〔1+2 +3+…+50〕+〔49+48+…+1〕=2500种十二．一一对应法：例11.在100名选手之间进行单循环淘汰赛〔即一场失败要退出比赛〕最后产生一名冠军,要比赛几场？解：要产生一名冠军,要淘汰冠军以外的所有选手,即要淘汰99名选手,要淘汰一名就要进行一场,故比赛99场.。

排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

教学目标1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2. 掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1. 分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第 1 类办法中有m 1 种不同的方法，在第 2 类办法中有m 2 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第 1 步有m 1 种不同的方法，做第 2 步有m 2 种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完 成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3. 确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这N = m 1 ⨯ m 2 ⨯ ⨯ m nN = m 1 + m 2 + + m n344 4 3 4AC 5 2 2 5 6 5 6要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两两个位置.先排末位共有C 1 然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有 A 3由分步计数原理得C 1C 1A 3 = 28844 3练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。