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15-16-1《数学分析(一)》下半期测试试卷参考答案

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１淮 海 工 学 院15 – 16 学年 第 1 学期 数学分析（一）下半期测试试卷参考答案1、验证拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[]1,e 上的正确性： （填正确或不正确），若正确，则ξ=解 因为()ln f x x =在区间[]1,e 上可导（且连续），所以拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[]1,e 上是正确的。

由中值公式得()(1)'()(1),f e ff e ξ-=-即11(1),e ξ=-故 1.e ξ=-2、函数ln y x x =的严格递增区间为解 令'ln 10y x =+≥得1.x e≥故函数ln y x x =的严格递增区间为1[,).e+∞ 3、曲线321y x x =-+在其拐点处的切线方程为解 因2'32,y x =-''6,y x =所以''(0)0,y =易判断(0,(0))(0,1)y =是曲线的拐点。

因'(0)2,y =-故所求切线方程为2 1.y x =-+4、已知2f x x C =+⎰,则()f x = 解 在2f x x C =+⎰两边求导得2.f x =,t =得21,x t =故22(),f t t =即22().f x x= 5、31dx x x +⎰= ()21l n l n 12x x C -++. 解 原式222(1)d (1)x x x x x +-=+⎰21d d 1x x x x x =-+⎰⎰2211d(1)d 21x x x x +=-+⎰⎰ ()21ln ln 12x x C =-++ ．二、基本题（共5个小题，每小题7分，共35分）1．0lim x →(1csc 1x x e --)．解 原式01sin limsin (1)x x x e xx e →--=-201sin lim x x e x x →--='0cos lim 2x L Hx e xx→-= '0sin lim2x L Hx e x →+=12=． 2、求曲线2(3)4(1)x y x -=-的所有渐近线。

解 因为211(3)lim lim ,4(1)x x x y x →→-==∞-所以直线1x =是曲线的垂直渐近线。

２又因为 2(3)1l i m l i m ,4(1)4x x y x k x x x →∞→∞-===- 2(3)595lim()lim lim .4(1)44(1)4x x x x x x b y kx x x →∞→∞→∞⎛⎫--+=-=-==- ⎪--⎝⎭所以直线1544y x =-是曲线的斜渐近线。

3、求函数4225y x x =-+在区间[]0,2上的最大值和最小值。

解 令3'444(1)(1)0y x x x x x =-=-+=得函数在(0,2)内有一个驻点1.x =因为(0)5, (1)4, (2y y y ===所以函数在[]0,2上的最大值(2)13,M y ==最小值(1) 4.m y ==4、求不定积分()3d 1xx x +⎰．解 原式3(1)1d (1)x x x +-=+⎰()23(1)d(1)1d(1)x x x x --=++-++⎰⎰()()121112x x C --=-++++ ． 5、求不定积分arctan d .x x x ⎰解 2222111arctan d arctan d()arctan d 2221x x x x x x x x x x==-+⎰⎰⎰ 22211(1)1arctan d 221x x x x x +-=-+⎰ 2111arctan arctan 222x x x x C =-++ 211(1)arctan .22x x x C =+-+ 三、证明题（8分）证明：当0x >时，()2ln 1.2x x x -<+证 令()2()ln 1,2x f x x x =+-+则()f x 在[0,)+∞上连续，在(0,)+∞内可导，且21'()10 (0),11x f x x x x x=-+=>>++所以()f x 在[0,)+∞上严格单调增。

于是当0x >时，有()(0)0,f x f >=即 ()2ln 1.2x x x -<+四、应用题（8分）如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于,,A B C 三点处, AB AC =,A 到线段BC 的距离40AO =,27ABO π∠=(参考数据: 2tan 7π=). 今计划建一个生活垃圾中转站P ,为方便运输, P 准备建在线段AO (不含端点)上. 设2(0,)7PBO απ∠=∈,试将P 到三个小区的距离之和y 表示为α的函数,并确定当α取何值时,可使y 最小?解tan ABO BO AO =∠=cos ,PC BP BO αα===tan ,PO BO αα==2()y BP AO PO ∴=+-40=+2(0,).7απ∈３易求得'y =,令'0y =,即1sin 2α=,得2(0,)7π内惟一驻点6πα=.因为该问题的最小值必存在，故当6πα=时，可使y 最小.五、计算题（8分）设()f x 的一个原函数为ln xx,求'(2)d xf x x ⎰. 解 依题意可得 2l n 1l n l n()()',().x x x f x f x x C x x x-===+⎰ d 故 ()111'(2)d d (2)(2)(2)d 222xf x x x f x xf x f x x ==-⎰⎰⎰11(2)(2)d(2)24xf x f x x =-⎰211ln(2)1ln(2)2(2)42x x x C x x -=⋅-⋅+ 12ln(2).8x C x-=+六、综合题（本题共2个小题，考生任选一题做，满分8分。

若两题全做，则按得分最高的计分）1. 讨论方程326930x x x -+-=的实根个数，并指出每个根所在的区间。

解 令()32693f x x x x =-+-，则()()()2'3129313f x x x x x =-+=--，令()'0f x =，得驻点1,3x x ==.列表讨论如下：可见该函数在1x =处取极大值11f =，在3x =处取得极小值3 3.f =- 因为lim (),x f x →-∞=-∞()110,f =>()330,f =-<lim (),x f x →+∞=+∞所以由零点定理（也叫方程根的存在性定理）和函数的单调性知，方程有三个实根，分别在区间(,1) (1,3) (3,)-∞+∞、、内。

2. 设1'(ln ),1f x x=+且(0)0,f =求().f x 解 令ln ,x t =则由1'(ln )1f x x =+得1'(),1tf t e =+这样 1(1)d(1)()d d ln(1),111x x x xx x x e e e f x x x x x e C e e e+-+===-=-+++++⎰⎰⎰ 由(0)0f =可得ln 2,C =故2()ln.1xf x x e =++ 七、证明题（本题共2个小题，考生任选一题做，满分8分。

若两题全做，则按得分最高的计分）1. 设)(x f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：至少存在一(,)a b ξ∈，使得()()()'().bf b af a f f b aξξξ-=+-证 令()(),x xf x ϕ=则由题设条件易知，()x ϕ在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，这样由拉格朗日中值定理得，至少存在一(,)a b ξ∈，使得４()()'(),b a b aϕϕϕξ-=-因为'()()'(),x f x xf x ϕ=+故上式即()()()'().bf b af a f f b aξξξ-=+-2. 设)(x f 在]2,1[上连续，在)2,1(内可导，且,0)2()1(==f f 证明：至少存在一)2,1(∈ξ，使得.0)(')(3=⋅+ξξξf f证 令3()(),x x f x ϕ=则由题设条件易知，()x ϕ在]2,1[上连续，在)2,1(内可导，且(1)(2)0,ϕϕ==这样由罗尔日中值定理得，至少存在一(1,2)ξ∈，使得'()0,ϕξ=因为23'()3()'(),x x f x x f x ϕ=+故上式即233()'()0,f f ξξξξ+⋅=又因1,ξ>所以.0)(')(3=⋅+ξξξf f。

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数学分析课后习题答案

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数学分析课后习题答案【篇一：数学分析试卷及答案6套】>一. (8分)用数列极限的??n定义证明?1.n二. (8分)设有复合函数f[g(x)], 满足: (1) limg(x)?b;x?a(2) ?x?u(a),有g(x)?u(b) (3) limf(u)?au?b00用???定义证明, limf[g(x)]?a.x?a三. (10分)证明数列{xn}:xn?cos1cos2cosn????收敛. 1?22?3n?(n?1)1在[a,1](0?a?1)一致连续,在(0,1]不一致连续. x四. (12分)证明函数f(x)?五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界.六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定a,b使limax?b)?0.x???32八. (14分)求函数f(x)?2x?9x?12x在[?15,]的最大值与最小值. 42九. (14分)设函数f(x)在[a,b]二阶可导, f?(a)?f?(b)?0.证明存在??(a,b),使f??(?)?4f(b)?f(a). 2(b?a)数学分析-1样题(二)一. (10分)设数列{an}满足: a1?, an?1?(n?n), 其中a是一给定的正常数, 证明{an}收敛,并求其极限.二. (10分)设limf(x)?b?0, 用???定义证明limx?x0x?x011?. f(x)b三. (10分)设an?0,且liman?l?1, 证明liman?0.n??n??an?1四. (10分)证明函数f(x)在开区间(a,b)一致连续?f(x)在(a,b)连续,且 x?a?limf(x),limf(x)存在有限. ?x?b五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.六. (12分)证明:若函数在连续,且f(a)?0,而函数[f(x)]2在a可导,则函数f(x)在a可导. 七. (12分)求函数f(x)?x???x???1在的最大值,其中0???1.八. (12分)设f在上是凸函数,且在(a,b)可微,则对任意x1,x2?(a,b), x1?x2,都有f?(x1)?f?(x2).?g(x),??????x?0?九. (12分)设f(x)??x 且g(0)?g?(0)?0, g??(0)?3, 求f?(0).??0???????,??????x?0数学分析-2样题(一)一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. 3.?xarctanx?dx2.?edx4.?x?ln0??xsinx1?cosx二.(10分)设f(x)是上的非负连续函数, 三. (10分)证明?baf(x)dx?0.证明f(x)?0 (x?[a,b]).?2?sinx?0. x四. (15分)证明函数级数?(1?x)xn?0?n在不一致收敛, 在[0,?](其中)一致收敛.五. (10分)将函数f(x)?????x,????????x?0展成傅立叶级数.???x,??????0?x???22xy??????x?y?0?六. (10分)设f(x,y)???22???????????0,???????????????????x?y?0证明: (1) fx?(0,0), fy?(0,0)存在;(2) fx?(x,y),fy?(x,y)在(0,0)不连续; (3) f(x,y)在(0,0)可微.七. (10分)用钢板制造容积为v的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板? 八. (15分)设0???1, 证明11. ????n?1n(n?1)数学分析-2样题(二)?一. (各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.???(a?0)2.?x?xx?x100?8717121514dx3.?arcsinx??dx4.?二. (各5分,共10分)求下列数列与函数极限: 1. limn?22n??k?1n?kn2. limxx?01?ex?xetdt2三.(10分)设函数在[a,b]连续,对任意[a,b]上的连续函数g(x), g(a)?g(b)?0,有?baf(x)g(x)dx?0.证明f(x)?0 (x?[a,b]).四. (15分)定义[0,1]上的函数列1?22nx,?????????????????????x??2n?11?fn(x)??2n??2n2x?????????????x?2nn?1? ????????????????????????????x?1?n?证明{fn(x)}在[0,1]不一致收敛. 五. (10分)求幂级数?(n?1)xn?0?n的和函数.六. (10分)用???定义证明(x,y)?(2,1)lim(4x2?3y)?19.七. (12分)求函数u?(2ax?x2)(2by?y2)??(ab?0)的极值. 八. (13分)设正项级数数学分析-3样题(一)一 (10分) 证明方程f(x?zy?1, y?zx?1)?0所确定的隐函数z?z(x, y)满足方程?an?1?n收敛,且an?an?1???(n?n?).证明limnan?0.n??x?z?z?y?z?xy. ?x?y二 (10分) 设n个正数x1, x2, ?, xn之和是a，求函数u?三 (14分) 设无穷积分.???af(x) dx收敛，函数f(x)在[a, ??)单调，证明1x四 (10分) 求函数f(y)?五 (14分) 计算?1ln(x2?y2) dx的导数(y?0).sinbx?sinaxdx (p?0, b?a).0x六 (10分) 求半径为a的球面的面积s.i????e?px七 (10分) 求六个平面a1b1c1 ?a1x?b1y?c1z??h1 ,??a2x?b2y?c2z??h2 , ?=a2b2c2?0 , ?ax?by?cz??h ,a3b3c3333?3所围的平行六面体v的体积i，其中ai, bi, ci, hi都是常数，且hi?0 (i?1, 2, 3). 八 (12分) 求xdy?ydx??cx2?y2，其中c是光滑的不通过原点的正向闭曲线.九 (10分) 求ds2222?，其中是球面被平面z?h (0?h?a)所截的顶部. x?y?z?a??z?数学分析-3样题(二)一 (10分) 求曲面x?u?v, y?u2?v2, z?u3?v3在点(0, 2)对应曲面上的点的切平面与法线方程.二 (10分) 求在两个曲面x2?xy?y2?z2?1与x2?y2?1交线上到原点最近的点. 三(14分) 设函数f(x)在[1, ??)单调减少，且limf(x)?0，证明无穷积分x??????1f(x) dx与级数?f(n)同时收敛或同时发散.n?1??100四 (12分) 证明?e?ax?e?bxbdx?ln(0?a?b). xa五 (12分) 设函数f(x)在[a, a]连续，证明? x?[a, a]，有1xlim ?[f(t?h)?f(t)] dt?f(x)?f(a).ah?0h六 (10分) 求椭圆区域r: (a1x?b1y?c1)2?(a2x?b2y?c2)2?1(a1b2?a2b1?0)的面积a.七 (10分) 设f(t)????vf(x2?y2?z2) dx dy dz，其中v: x2?y2?z2? t2 (t?0)，f是连续函数，求f(t).八 (10分) 应用曲线积分求(2x?siny)dx?(xcosy)dy的原函数. 九(12分) 计算外侧.??xyz dx dy，其中s是球面xs2?y2?z2?1在x?0, y?0部分并取球面【篇二：数学分析三试卷及答案】lass=txt>一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

数学分析1智慧树知到答案章节测试2023年韶关学院

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第一章测试1.设的定义域是[1,5]，则的定义域是（）；A:[0,3]B:[-1,3]C:[0, ]D:[ , ]答案:D2.设的定义域是R,则函数是（）；A:无法确定其奇偶性的函数B:由的奇偶性确定其奇偶性的函数C:奇函数D:偶函数答案:D3.设是以为周期的周期函数,则函数的周期是（）.A:B:不确定C:D:答案:A4.设的图形与的图形关于直线对称,则 [ ]A: ；B: ；C: ．D: ；答案:D5.在区间内，下列函数中为无界函数的是【】A: ；B: ；C: ．D: ；答案:C6.函数的定义域是（）。

A:B:C:D:答案:A7.当（）时,函数与表示同一函数。

A:B:C:D:答案:C8.设与均为内的无界函数,则（）。

A: 必为内无界函数B:其它选项都不正确C: 必为内的无界函数D: 必为内的无界函数答案:B9.考虑下列函数组中与相等的是（）A:B:C:D:答案:A10.最大值函数应等于（）。

A:B:C:D:答案:C第四章测试1.不能导出在连续的极限式是（）。

A:B: 存在C:D:答案:A2.设在处连续，则（）.A:B:1C:0D:答案:C3.设在上连续且，在上有定义且有间断点, 则下列函数哪个必有间断点? （）A:B:C:D:答案:D4.设则在处（）。

A:右不连续,而左连续B:连续C:左、右都不连续D:右连续,但左不连续答案:A5.使函数连续的区间【】A:仅是B:仅是C:仅是D:是答案:D6.要使在处连续, 应补充定义的值为（）.A:B:C:D:0答案:D7.下列诸函数在内一致连续的是（）。

A:B:C:D:答案:B8.已知在点都不连续. 甲、在点必不连续; 乙、在点必不连续。

问以下结论正确的是（）。

A:甲正确,乙不正确B:甲、乙都正确C:甲不正确,乙正确D:甲、乙都不正确答案:D9.设在上连续, , 是两个任意实数,且,则必能取到最大值和最小值的区间是【】A:B:C:D:答案:D10.函数的不连续点（）。

数学分析Ⅰ智慧树知到答案章节测试2023年宁夏大学

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第一章测试1.A:B:C:D:答案:D2.A:3.1416B:3.14159C:3.1415D:3.14160答案:D3.符号函数是（）.A:其它B:奇函数C:非奇非偶函数D:偶函数答案:B4.下列命题正确的有（）.（1）周期函数必有最小正周期（2）有界函数必有最大值和最小值（3）无界函数必无最大值和最小值（4）严格单调函数的图形与x轴有且只有一个交点A:2个B:1个C:3个D:0个答案:D5.下列数集上下确界都存在的是（）.A:B:C:D:答案:ABCD6.下列函数为有界函数的是（）.A:B:C:D:答案:BCD7.A:有界函数B:偶函数C:周期函数D:初等函数答案:AD8.下列命题正确的是（）.A:函数的确界不一定存在，即使存在也不一定唯一B:非空有界数集的确界一定存在且唯一C:无界函数上下确界都不存在D:有界函数必有无穷多个界答案:BD9.数集S不一定有上确界，如果有的话，可以有无穷多个.A:对B:错答案:B10.多项式函数不一定是初等函数.A:错B:对答案:A第二章测试1.A:B:C:D:答案:B2.A:B:C:D:答案:B3.A:a=2.b=-8B:a=2,b=8C:a=0,b=5D:a=0,b=-5答案:A4.下列哪一个数列具有收敛的子列：A:B:C:D:答案:D5.下列叙述错误的是（）A:单调数列必有极限B:有界数列必有极限C:单调减少且有下界的数列必有极限。

D:单调减少且有上界的数列必有极限答案:ABD6.A:B:C:D:答案:ABC7.A:对B:错答案:B8.A:对B:错答案:B9.A:错B:对答案:B10.A:错B:对答案:B第三章测试1.A:B:C:D:1答案:B2.A:B:1C:D:答案:C3.A:1B:0C:2D:答案:A4.A:B:2C:0D:答案:AB:2C:D:0答案:C6.A:B:0C:16D:答案:A7.A:B:C:D:答案:B8.A:0B:-1C:不存在D:1答案:C9.A:B:C:D:答案:D10.A:B:2C:1D:0答案:D第四章测试1.A:B:C:D:答案:B2.A:跳跃间断点B:第二类间断点C:可去间断点D:连续点答案:CB:C:D:答案:C4.A:B:C:D:答案:AB5.下列叙述中正确的是（）A:B:C:D:答案:BD6.A:B:C:D:答案:AB7.A:对B:错答案:B8.A:错B:对答案:A9.A:错B:对答案:B10.A:错B:对答案:A第五章测试1.A:B:C:D:答案:A2.A:B:D:答案:B3.A:B:C:D:；答案:A4.A:错B:对答案:B5.初等函数都存在任意阶导数.A:对B:错答案:B6.A:错B:对答案:A7.A:错B:对答案:A8.A:错B:对答案:A9.A:对B:错答案:B10.A:错B:对答案:A第六章测试1.拉格朗日中值定理的特殊情形是（）A:柯西中值定理B:罗尔中值定理C:泰勒定理D:导数极限定理答案:B2.A:B:C:答案:D 3.A:B:C:D:答案:B 4.A:B:C:D:答案:B 5.A:B:C:D:答案:D 6.A:B:C:D:答案:B 7.A:-1B:-1/2C:1/2D:1答案:B 8.A: 1/eB:-eC:eD:-1/e答案:C 9.A:-1/2B:-1/3C:1/2D:1/3答案:B 10.A:1B:-1/2C:-1D:1/2答案:D。

数学分析试题与答案解析

数学分析试题与答案解析

数学分析试题与答案解析2014 ---2015学年度第⼆学期《数学分析2》A 试卷⼀. 判断题（每⼩题3分，共21分）(正确者后⾯括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f xa+?（）.2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]=dx x g dx x f dx x g x f （）.3. 若()?+∞adx x f 绝对收敛，()?+∞adx x g 条件收敛，则()()?+∞-adx x g x f ][必然条件收敛（）. 4. 若()?+∞1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1n n f 收敛（）5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭⼀致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭⼀致收敛（）.6. 若数项级数∑∞=1n n a 条件收敛，则⼀定可以经过适当的重排使其发散于正⽆穷⼤（）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）. ⼆.单项选择题（每⼩题3分，共15分）1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?ax dx x f 在[]b a ,上（）A.不连续B. 连续2. 若()x g 在[]b a ,上可积，⽽()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（）A. ()x f 在[]b a ,上⼀定不可积；B. ()x f 在[]b a ,上⼀定可积,但是()()??≠bab adx x g dx x f ；C. ()x f 在[]b a ,上⼀定可积，并且()()??=bab adx x g dx x f ；D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定.3.级数()∑∞=--+12111n n n nA.发散B.绝对收敛C.条件收敛D. 不确定4.设∑n u 为任⼀项级数，则下列说法正确的是（） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑nu ⼀定收敛；B. 若1lim1<=+∞→ρnn n u u ，则级数∑n u ⼀定收敛；C. 若1,1<>?+n n u uN n N ，时有当，则级数∑n u ⼀定收敛；D. 若1,1>>?+n n u uN n N ，时有当，则级数∑n u ⼀定发散；a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑nnxa 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. ∑nnxa 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且⼀致收敛的；三.计算与求值（每⼩题5分，共10分）1. ()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim2. ()?dx xx 2cos sin ln四. 判断敛散性（每⼩题5分，共15分） 1.dx xx x ?∞+++-021132.∑∞=1!n nnn 3.()nnn nn21211五. 判别在数集D 上的⼀致收敛性（每⼩题5分，共10分）1.()()+∞∞-===,,2,1,sin D n nnxx f n2. (][)∞+?-∞-=∑,22,2D xn n六．已知⼀圆柱体的的半径为R ，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆⾯030 ⾓向斜上⽅切割，求从圆柱体上切下的这块⽴体的体积。