关于矩阵的特征值与特征向量的探讨

( 6 ) 若 λi 是实对称矩阵 A的 ri 重特征值 , 则 A对
应特征值 λi 恰有 ri 个线性无关的特征向量 , 或 r ( A λi E ) = n - ri 。
( 7 ) 矩阵运算的特征值与特征向量 , 见下表
矩阵 特征值 特征向量
A kA A m F (A ) =
教 学 与 科 研
一 、特征值与特征向量的定义及其性质
关于矩阵的特征值与特征向量的探讨
汤正华
(山东行政学院 , 山东 济南 250014 )
摘 要 : 分四部分探讨有关矩阵的特征值与特征向量的问题 , 分别是矩阵的特征值与特征向 量的定义 、性质 ; 特征值与特征向量的求法 , 接着讨论反问题 , 即已知矩阵的特征值与特征向量 , 反求矩阵的方法 。最后讨论了特征值的分布区域估计 , 涉及到了著名的盖尔圆定理 。
n) ; ( 2 ) 对于 i = 1, 2, …, k, 分别求特征方程 ( A -
2. 已知实对称矩阵的全部特征值和部分线性无
关的特征向量 , 反求矩阵的方法 因为所给矩阵是实对称方阵 , 先根据实对称矩 阵属于不同特征值的特征向量正交的性质求出其余 的特征向量 , 找出个线性无关的特征向量 , 就可以用 上述的各法求 。 四、 特征值的分布区域估计 利用矩阵的范数可以给出矩阵 A 的特征值 λ的 上界估计 , 即
满足
xi B xj = xi G Gxj = yi yj =
H H H H
0 ( i ≠ j) 1 ( i = j)
即 x1 , x2 , …, xn 是按 B 标准正交的广义特征向量系 。 直接求解广义特征值问题的步骤如下 。 ( 1 ) 计算特征多项式 det ( A - λB ) 的零点 , 即 广义特征值 , 并记为 λ1 ,λ2 , …,λk ( i ≠ j时 λi ≠λj ) 相应的重数依次为 r1 , r2 , …, rk ( r1 + r2 + … + rk =
随着计算机的迅速发展 , 现代社会的进步和科 技的突飞猛进 , 数学作为一门基础的工具学科已经 向一切领域渗透 , 数学的作用越来越为世人所重 视。 高等数学是一门大学的公共基础课 , 而目前高 职教育下的高等数学教学却面临一系列的困难问 题 。主要表现在教学内容多 , 教学课时压缩 , 没有 统一的 、已形成成熟科学体系的教材 , 适合于高职 数学课程的教学模式仍在探讨中 ; 高职生源素质总 体不高 , 学习积极性不强等 。高职高专教育的培养 目标是高级应用技术技能型人才 , 其核心是培养学 生的实践能力和创新精神 。这决定了高职高专在数 学教学上并不要求高深的理论 , 注重的是实践和应
( a1 , a2 , …an ) , 求 出 逆 矩 阵 P , 有 P A P
-1 -1 -1
-1
的并集 ∪ Gi 之中 , 并且当 ∪ Gi 中有 k个盖尔圆构成
i =1 i =1
一个与其它盖尔圆不相交的连通区域时 , 其中恰有
A 的 k个特征值 。 这里 R = Σ | aij | , 称为盖尔圆 Gi 的
( i = 1,
设 A 为 n阶 H erm ite矩阵 , B 为 n阶 H erm ite正定 矩阵 , 广义特征值问题
A x =λ B x ( x ≠ 0)
2, …, n ) , 作 T = [ n1 , n2 , …, nn ], 则 T 为正交阵 , 于
是有 T
-1
= T , 因而不需求逆矩阵 T , 只需求 T 的
其中 k1 , k2 , …kr 是不全为零的数 .
— 46 —
2. 已知方阵 A 的特征值和特征向量 , 求与相关
Pd iag (λ 1 ,λ 2 , …,λ n ) P 。
-1
的方阵的特征值与特征向量 已知方阵 A 的特征值和特征向量 , 求与相关矩 阵的特征值和特征向量可利用上面的表直接计算 。
T
-1
等价于下面的常义特征值问题 : -1 ( 1 ) ( B A ) x = λx ( x ≠ 0 ) ;
( 2 ) ( G AG ) y = λy ( B = G G, y = Gx ≠
-H -1 H
转置 T , 即可按下式求出 A: A = Td iag (λ1 ,λ2 , …, λn ) TT 。 方法三 :用待定元素法 。 设 n 阶方阵 A = | aij | n × n 的全部特征值为 λ 1, λ2 , …,λn , 相应的 n 个线性无关的特征向量为 a1 ,
(山东省经济管理干部学院 , 山东 济南 250014 )
摘 要 : 为了提高高职学生对数学知识的应用能力 , 需要改进现有的教学方式 。在实际教学 中渗透数学建模思想 , 不仅能激发学生学习数学的兴趣 , 还可以提高其解决实际问题的能力 。将数 学建模思想渗透到教学过程和考核过程两个方面 , 对培养学生应用数学的意识是十分必要的 。 关键词 : 数学建模 ; 高职 ; 数学教学
关键词 : 特征值 ; 特征向量 ; 广义特征值 ; 区域估计 中图分类号 : D151. 21
文献标识码 : B 文章编号 : 1008 - 3154 ( 2008 ) S0 - 0046 - 03
在理论研究和实际应用中 , 常常要求我们把一 个矩阵化成与之相似的对角矩阵或其他较简单的矩 阵 , 这一问题的解决与矩阵的特征值和特征向量是 密切相关的 。
xi = G yi ( i = 1, 2, …, n )
-1
由此可得到以 A 的第 1行 , 第 2行 , …, 第 n行的 元素 ai1 , ai2 , …, ain ( i = 1, 2, …, n ) 为未知数的 n个 非齐次线性方程组 , 解每个方程组求出 A 中的元素
aij , 即得 A = | aij | 。
( n 个线性无关的特征向量 ) , 反求矩阵 A 的方法
盖尔圆定理是用复平面上的圆域来覆盖 A 的特 征值 , 它表明 , A = ( aij ) n × n 的所有特征值都落在复 平面上的 n 个盖尔圆
Gi = { z‖z - aii Φ R i } ( i = 1, 2, …, n )
n n
方法一 :用对角化法求可逆阵 P, 使 P A P = B , 则 A = PB P 。 设 A 的全部特征值为 λ1 ,λ2 , …,λn , n 个线性无 关的特征向量为 a1 , a2 , …, an , 则 A可对角化 , 作 P =
k1 ai1 + k2 ai2 + … + kr air ,
λn , 则 λ1 +λ2 + … +λn = a11 + a22 + … + ann ,λ1λ2 … λn
=| A | ( 5 ) 实对称矩阵 A 的特征值都是实数 , 属于不
同特征值的特征向量正交 。
收稿日期 : 2008 - 06 - 04
1. 求数字方阵的特征值与特征向量
成立 , 则称 λ为 A 的特征值 , x 是 A 的对应特征 值 λ的特征向量 。
2. 性质
( 1) 若 λ 1 是 A的 r i 重特征值 , A 对应特征值 λ i
由方阵的特征值和特征向量的定义知 : a ≠ 0是 A 的属于 λ的特征向量 ∴A a =λa ∴ a 是齐次线性方程组 (λE - A ) x = 0 的非零解 ∴λ是 特征方程 fA (λ) | λE - A | = 0 的根 。 将上述过程逆 叙得到求数字方阵 A 的特征值和特征向量的步骤如 下:
j =1 j≠ i n
=
d iag (λ = 1 ,λ 2 , …,λ n ) 从而待求的方阵 A 为 A
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半径 。 使用盖尔圆定理估计矩阵 A 的特征值时 , 往往 希望每个盖尔圆种只包含矩阵 A 的一个特征值 . 通 常采用以下两种方法 。 第一 , 对 A 使用盖尔圆定理 , 因为 A 与 A 有相 同的特征值 。 第二 , 选取正数 d1 , d2 , …, dn , 并构造对角矩阵 。
1. 定义
∑a iA i i =0 ∑aλ i i i =0
m
m
A-1
A3 | A |
Ar
B = P - 1A P
设 A 是 n 阶方阵 , 如果存在数 λ和 n 维非零向 量 , 使得
A x = λx
λ
x
λ λm F (λ) = k
x x x
1 λ
x
λ
x
λ
λ
P - 1x
二 、 特征值与特征向量的求法
a2 , …, an , 则有 A a1 = λ 1 a1 , A a2 = λ 2 a2 , …, A an = λ n an
T
0)
-H -1 在等价形式 ( 2 ) 中 , 令 S = G AG , 则 S的特征值都
是实数 , 且有标准正交的特征向量系 y1 , y2 , …, yn 。 因此广义特征值都是实数 , 广义特征向量
( 3 ) 如果 λ 1 ,λ 2 , …,λ n 是矩阵 A 的互不相同的
特征值 , 其对应的特征向量分别是 x1 , x2 , …, xn , 则
x1 , x2 , …, xn 线性无关 。 ( 4 ) 设 A = | aij | nxn 的 n 个特征值为 λ1 ,λ 2 , …,
根 λ1 ,λ2 , …,λn , 它们就是 A 的全部特征值 。 ( 3 ) 对每一个特征值 λi ( 1 Φ i Φ n ) , 求出齐次 线性方程组 (λi E - A ) x = 0 的一个基础解系 , 这个 基础解系 ai1 , ai2 , …, air 便是 A 的属于 λi ( 1 Φ i Φ n ) 的线性无关的特征向量 , 则 A 的属于 λi 的全部特征 向量是这个解系的非零线性组合 :
参考文献