[2020理数]第十一章 第一节 排列与组合

第2节排列与组合最新考纲 1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.知识梳理1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！（n－m）！.(2)C m n＝A m nA m m＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！＝n！m！（n－m）！(n，m∈N*，且m≤n). 特别地C0n＝1性质(1)0！＝1；A n n＝n！.(2)C m n＝C n－mn；C m n＋1＝C m n＋C m－1n[微点提醒]1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立.()(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.()(5)k C k n＝n C k－1.()n－1解析(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)错；(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故(2)错；(3)若C x n＝C m n，则x＝m或n－m，故(3)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2.(选修2－3P18例3改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是()A.12B.24C.64D.81解析4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为A34＝24. 答案 B3.(选修2－3P26知识改编)计算C37＋C47＋C58＋C69的值为________(用数字作答).解析原式＝C48＋C58＋C69＝C59＋C69＝C610＝C410＝210.答案2104.(2019·福州调研)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.答案 D5.(一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答).解析法一可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有C12C24＝12种；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C22C14＝4种.根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有12＋4＝16种.法二从6人中任选3人，不同的选法有C36＝20种，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C34＝4种，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16种.答案166.(2018·浙江卷)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数(用数字作答).解析若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为C25C23A44；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为C25C13C13A33.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为C25C23A44＋C25C13C13A33＝720＋540＝1 260.答案 1 260考点一排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.解(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种).(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种).(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种).(4)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种).(5)法一(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种).法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种).(6)法一(特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A66种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A15种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A15种，其余人全排列，只有A55种不同排法，共有A66＋A15A15A55＝3 720.法二(间接法)7名学生全排列，只有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A55种方法，故共有A77－2A66＋A55＝3 720(种).规律方法排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【训练1】(2019·新余二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为() A.120 B.240 C.360 D.480解析第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步乘法计数原理有3×4×5×6＝360种方法.答案 C考点二组合问题【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种).∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100(种).∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种).∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)选取3种的总数为C335，选取3种假货有C315种，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种).∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.规律方法组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【训练2】(1)(一题多解)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A.14B.24C.28D.48(2)(2019·咸阳二模)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A.60种B.63种C.65种D.66种解析 (1)法一 4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为C 12·C 34＋C 22·C 24＝2×4＋1×6＝14. 法二 从4男2女中选4人共有C 46种选法，4名都是男生的选法有C 44种，故至少有1名女生的选派方案种数为C 46－C 44＝15－1＝14.(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C 45＋C 44＋C 25C 24＝66(种).答案 (1)A (2)D 考点三 分组、分配问题 多维探究角度1 整体均分问题【例3－1】 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.解析 先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种分派方法.答案 90角度2 部分均分问题【例3－2】 某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( ) A.80种B.90种C.120种D.150种解析 分两类：一类，第一步将5名老师按2，2，1分成3组，其分法有C 25C 23C 11A 22种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有C 25C 23C 11A 22·A 33＝90种分派方法；另一类，第一步将5名老师按3，1，1分成3组，其分法有C 35C 12C 11A 22种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有C 35C 12C 11A 22A 33＝60种分派方法.所以不同的分派方法的种数为90＋60＝150(种). 答案 D角度3不等分问题【例3－3】A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌上开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有()A.24种B.30种C.48种D.60种解析B，C二人必须坐相邻的两把椅子，有4种情况，B，C可以交换位置，有A22＝2种情况；其余三人坐剩余的三把椅子，有A33＝6种情况，故共有4×2×6＝48种情况.答案 C规律方法 1.对于整体均分问题，往往是先分组再排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n(n为均分的组数)，避免重复计数.2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题.【训练3】(1)(2017·全国Ⅱ卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).解析(1)先把4项工作分为2，1，1共3组，有C24C12C11A22＝6种分法，再将3组对应3个志愿者，有A33＝6种情况，由分步乘法计数原理，故安排方式有6×6＝36种.(2)分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C23C11A24＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A34＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种).答案(1)D(2)60[思维升华]1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.[易错防范]1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合.2.解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A.8B.24C.48D.120解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48种.答案 C2.不等式A x8<6×A x－28的解集为()A.{2，8}B.{2，6}C.{7，12}D.{8}解析8！（8－x）！<6×8！（10－x）！，∴x2－19x＋84<0，解得7<x<12.又x≤8，x－2≥0，∴7<x≤8，x∈N*，即x＝8.答案 D3.从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有()A.180种B.220种C.240种D.260种解析因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的4本中分一本，然后再选3本分给3个同学，故有A14·A35＝240种.答案 C4.(一题多解)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A.18B.24C.30D.36解析法一选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有C24C13＋C14C23＝30种.法二从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C37－C34－C33＝30.答案 C5.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A.9B.10C.18D.20解析由于lg a－lg b＝lg ab(a＞0，b＞0)，∴lg ab有多少个不同的值，只需看ab不同值的个数.从1，3，5，7，9中任取两个作为ab 有A25种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a－lg b的不同值的个数有A 25－2＝18.答案 C6.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为( )A.C 27A 55B.C 27A 22C.C 27A 25D.C 27A 35解析 首先从后排的7人中抽2人，有C 27种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A 25种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C 27A 25.答案 C7.(2019·武汉模拟)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有( ) A.34种B.48种C.96种D.144种解析 特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C 12种选法，乙、丙相邻，有4种情况，乙、丙可以交换位置，有A 22种情况，其余3人站剩余的3个位置，有A 33种情况，由分步乘法计数原理知共有4C 12A 22A 33＝96种.答案 C8.(2019·福州二模)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有( ) A.90种B.180种C.270种D.360种解析 根据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C 16＝6种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C 15＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有C 24C 22A 22×A 22＝6种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案. 答案 B 二、填空题9.已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，则m ＝________.解析 由组合数公式化简整理得m 2－23m ＋42＝0解得m ＝2或m ＝21(舍去). 答案 210.从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有________种(用数字作答).解析特殊位置优先考虑，既然甲、乙都不能参加生物竞赛，则从另外4个人中选择一人参加，有C14种方案；然后从剩下的5个人中选择3个人参加剩下3科，有A35种方案.故共有C14A35＝4×60＝240种方案.答案24011.在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有________种(用数字作答).解析将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有A22A22A23＝24种不同的展出方案.答案2412.(2019·开封模拟)某班主任准备请2019届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言顺序共有________种(用数字作答).解析若甲、乙同时参加，有C22C26C12A22A22＝120种，若甲、乙有一人参与，有C12C36A44＝960种，从而总共的发言顺序有1 080种.答案 1 080能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018·保定模拟)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为()A.8B.7C.6D.5解析根据题意，分2种情况：①乙和甲一起去A社区，此时将丙丁二人安排到B，C社区即可，有A22＝2种情况，②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙丁都去B社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况，则不同的安排方法种数有2＋1＋4＝7.答案 B14.(2019·广州一模)把8个相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则不同的放法种数为()A.35B.70C.165D.1 860解析根据题意，分4种情况讨论：①没有空盒，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选3个，插入隔板，将小球分成4组，顺次对应4个盒子，有C37＝35种放法；②有1个空盒，在4个盒中任选3个，放入小球，有C34＝4种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选2个，插入隔板，将小球分成3组，顺次对应3个盒子，有C27＝21种分组方法，则有4×21＝84种放法；③有2个空盒，在4个盒中任选2个，放入小球，有C24＝6种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选1个，插入隔板，将小球分成2组，顺次对应2个盒子，有C17＝7种分组方法，则有6×7＝42种方法；④有3个空盒，即将8个小球全部放进1个盒子，有4种放法.故一共有35＋84＋42＋4＝165种放法.答案 C15.(2018·江西八所重点中学模拟)摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________(用数字作答).解析从5人中任选3人有C35种，将3人位置全部进行调整，有C12·C11·C11种.故有N＝C35·C12·C11·C11＝20种调整方案.答案2016.设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素有________个(用数字作答).解析因为x i∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5，且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，所以x i中至少两个为0，至多四个为0.①x i(i＝1，2，3，4，5)中4个0，1个为－1或1，A有2C15＝10个元素；②x i中3个0，2个为－1或1，A有C25×2×2＝40个元素；③x i中2个0，3个为－1或1，A有C35×2×2×2＝80个元素；从而，集合A中共有10＋40＋80＝130个元素.答案130。

教案标题初中数学知识点排列与组合的基本概念与计算中学数学教案一、知识点介绍排列与组合是初中数学中的重要内容，也是高中数学的基础。

本节课将对排列与组合的基本概念与计算进行详细讲解。

二、排列与组合的基本概念1. 排列排列是指从一组元素中选取若干元素并按照一定的顺序进行排列的方法。

设有n个不同元素，从中选取m个进行排列，记作A(n, m)或P(n, m)。

排列的计算公式为：A(n, m) = n! / (n-m)!2. 组合组合是指从一组元素中选取若干元素，不考虑排列顺序的方法。

设有n个不同元素，从中选取m个进行组合，记作C(n, m)。

组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)三、排列与组合的计算实例1. 排列的计算实例小明有8本不同的图书，他要选择3本带到学校图书馆。

那么他有多少种不同的选择方式？解：根据排列的计算公式可知，有A(8, 3)种不同的选择方式。

计算过程如下：A(8, 3) = 8! / (8-3)!= 8! / 5!= 8 * 7 * 6= 3362. 组合的计算实例班上有12个学生，其中3个学生需要组成一支足球队。

那么可以组成多少个不同的足球队？解：根据组合的计算公式可知，有C(12, 3)个不同的足球队。

计算过程如下：C(12, 3) = 12! / (3!(12-3)!)= 12! / (3! * 9!)= 12 * 11 * 10 / (3 * 2 * 1)= 220四、排列与组合的应用排列与组合在实际生活中有着广泛的应用，例如：1. 抽奖活动中的中奖概率计算；2. 不同字母排列组成单词的计算；3. 不同颜色、大小、形状的物品排列组合方式的计算等。

五、总结排列与组合是初中数学中的重要内容，通过本节课的学习，我们了解了排列与组合的基本概念与计算方法，并应用于实际问题中。

在日常生活和进一步学习中，排列与组合的知识将会发挥重要作用。

希望同学们能够通过反复练习，掌握排列与组合的概念和计算方法，提高数学解题能力。

高中数学组合数学与排列数学知识点总结组合数学和排列数学都是高中数学中的重要内容，它们不仅在学科内部有深入的应用，还在许多实际问题中发挥着重要的作用。

本文将对高中数学中的组合数学与排列数学知识点进行总结和归纳。

一、组合数学知识点总结1.1 定义及性质组合数学是研究离散结构的一门学科，其中组合数是其中的一个重要概念。

组合数表示从n个不同元素中选取r个元素的所有可能情况的个数，记作C(n,r)或者(nCr)。

组合数有以下性质：- C(n,0) = 1，表示从n个元素中选取0个元素，只有一种情况，即空集。

- C(n,n) = 1，表示从n个元素中选取n个元素，只有一种情况，即全集。

- C(n,r) = C(n,n-r)，表示从n个元素中选取r个元素与选取剩下的n-r个元素是等价的。

1.2 组合的计算方法计算组合数可以使用以下方法：- 递推公式：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)，即组合数等于上一层的左上方和正上方的组合数之和。

- 公式法：C(n,r) = n! / [(n-r)! * r!]，即组合数等于n的阶乘除以剩下的n-r个元素的阶乘和r个元素的阶乘的乘积。

1.3 组合数的应用组合数在实际问题中的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：- 概率计算：组合数可以用于计算事件发生的概率。

- 集合的子集计数：组合数可以计算集合的子集个数。

- 礼物分配问题：组合数可以用于计算礼物分配的方式。

- 编码组合问题：组合数可以用于计算编码方式的组合数。

二、排列数学知识点总结2.1 定义及性质排列数学是研究有序排列的一门学科，其中排列数是其中的一个重要概念。

排列数表示从n个不同元素中选取r个元素按照一定的顺序排列的所有可能情况的个数，记作P(n,r)。

排列数有以下性质：- P(n,1) = n，表示从n个元素中选取1个元素进行排列，排列结果个数等于元素个数。

- P(n,n) = n!，表示从n个元素中选取n个元素进行排列，排列结果个数等于n的阶乘。

专题十计数原理【真题典例】10.1 排列、组合挖命题【考情探究】分析解读从近五年的考查情况来看,本节主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理以及排列、组合的应用,一般以选择题、填空题的形式单独考查或以古典概型为载体进行考查,有时也与概率问题相结合以解答题的形式呈现.主要考查学生的逻辑推理能力.破考点【考点集训】考点计数原理、排列、组合1.(2018四川德阳三校联考,7)从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为( )A.48B.72C.90D.96答案 D2.(2018广东中山一中第五次统测,7)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为( )A.85B.49C.56D.28答案 B3.一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从P点处进,Q点处出,沿图中线路游览A,B,C三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇点O外)的游览线路有( )A.6种B.8种C.12种D.48种答案 D炼技法【方法集训】方法1 求解排列问题的常用方法1.(2018安徽合肥调研性检测,9)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数,这样的四位数有( )A.250个B.249个C.48个D.24个答案 C2.(2017河南百校联考质检,7)甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排照毕业相,要求甲不站在两侧,而且乙和丙相邻、丁和戊相邻,则不同的站法种数为( )A.60B.96C.48D.72答案 C3.(2017江西八所重点中学联合模拟,13)摄像师要对已坐定一排照相的5位小朋友的座位顺序进行调整,要求其中恰有2人座位不调整,则不同的调整方案的种数为.(用数字作答)答案20方法2 分组、分配问题的求解策略1.(2018广东珠海模拟,7)将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有( )A.480种B.360种C.240种D.120种答案 C2.(2017河南豫南九校2月联考,10)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有( )A.72种B.36种C.24种D.18种答案 B过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组1.(2017课标Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种答案 D2.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9答案 B3.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有( )A.18个B.16个C.14个D.12个答案 C4.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案16B组自主命题·省(区、市)卷题组1.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168答案 B2.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )A.24对B.30对C.48对D.60对答案 C3.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案12604.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答) 答案660C组教师专用题组1.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个答案 B2.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24答案 D3.(2014四川,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )A.192种B.216种C.240种D.288种答案 B4.(2014广东,8,5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A.60B.90C.120D.130答案 D5.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案15606.(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C 不相邻,则不同的摆法有种.答案367.(2014浙江,14,4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种(用数字作答).答案60【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2019届广东肇庆第一次统测,11)将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A、B、C、D共4所学校,每所学校至少一人,且甲不去A学校,则不同的分配方法有( )A.72种B.108种C.180种D.360种答案 C2.(2018河北唐山二模,6)用两个1,一个2,一个0可组成不同四位数的个数是( )A.18B.16C.12D.9答案 D3.(2018河南商丘二模,8)高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有( )A.×种B.×54种C.×种D.×54种答案 D4.(2017江西新余二模,9)2017年3月25日,中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强小组赛中以1比0力克韩国国家队,赛后有六名队员打算排成一排照相,其中队长主动要求排在排头或排尾,甲、乙两人必须相邻,则满足要求的排法有( )A.34种B.48种C.96种D.144种答案 C5.(2018福建福州二模,8)福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有( ) A.90种 B.180种 C.270种 D.360种答案 B6.(2018河南豫北名校联考,9)2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有( )A.18种B.24种C.48种D.36种答案 B7.(2018山西长治二模,10)某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有( )A.22种B.24种C.25种D.36种答案 C二、填空题(每小题5分,共25分)8.(2019届河北衡水中学第一次摸底考试,15)由数字0,1组成的一串数字代码,其中恰好有7个1,3个0,则这样的不同数字代码共有个.答案1209.(2019届山东青岛高三9月期初调研检测,15)将4个大小相同、颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有种.答案1010.(2019届河南开封10月定位考试,15)从5名学生中选出4名学生分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,乙只能参加数学竞赛,则不同的参赛方案种数为.答案3611.(2018山西太原第三次模拟,14)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言,若甲、乙都被选中,且他们中间恰好间隔一人,那么不同的发言顺序共有种(用数字作答).答案12012.(2017广东佛山二模,14)有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务,每个社区1到2人,甲、乙两名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为.答案12。

专题十计数原理【真题典例】10.1排列、组合挖命题【考情探究】分析解读从近五年的考查情况来看,本节主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理以及排列、组合的应用,一般以选择题、填空题的形式单独考查或以古典概型为载体进行考查,有时也与概率问题相结合以解答题的形式呈现.主要考查学生的逻辑推理能力.破考点【考点集训】考点计数原理、排列、组合1.(2018四川德阳三校联考,7)从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为()A.48B.72C.90D.96答案D2.(2018广东中山一中第五次统测,7)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为()A.85B.49C.56D.28答案B3.一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从P点处进,Q点处出,沿图中线路游览A,B,C三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇点O外)的游览线路有()A.6种B.8种C.12种D.48种答案D炼技法【方法集训】方法1 求解排列问题的常用方法1.(2018安徽合肥调研性检测,9)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数,这样的四位数有()A.250个B.249个C.48个D.24个答案C2.(2017河南百校联考质检,7)甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排照毕业相,要求甲不站在两侧,而且乙和丙相邻、丁和戊相邻,则不同的站法种数为()A.60B.96C.48D.72答案C3.(2017江西八所重点中学联合模拟,13)摄像师要对已坐定一排照相的5位小朋友的座位顺序进行调整,要求其中恰有2人座位不调整,则不同的调整方案的种数为.(用数字作答)答案20方法2 分组、分配问题的求解策略1.(2018广东珠海模拟,7)将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有()A.480种B.360种C.240种D.120种答案C2.(2017河南豫南九校2月联考,10)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有()A.72种B.36种C.24种D.18种答案B过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组1.(2017课标Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种答案D2.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案B3.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个答案C4.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案16B组自主命题·省(区、市)卷题组1.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案B2.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对答案C3.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案12604.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案660C组教师专用题组1.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个答案B2.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24答案D3.(2014四川,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种答案B4.(2014广东,8,5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130答案D5.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案15606.(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C 不相邻,则不同的摆法有种.答案367.(2014浙江,14,4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种(用数字作答).答案60【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2019届广东肇庆第一次统测,11)将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A、B、C、D共4所学校,每所学校至少一人,且甲不去A学校,则不同的分配方法有()A.72种B.108种C.180种D.360种答案C2.(2018河北唐山二模,6)用两个1,一个2,一个0可组成不同四位数的个数是()A.18B.16C.12D.9答案D3.(2018河南商丘二模,8)高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有()A.×种B.×54种C.×种D.×54种答案D4.(2017江西新余二模,9)2017年3月25日,中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强小组赛中以1比0力克韩国国家队,赛后有六名队员打算排成一排照相,其中队长主动要求排在排头或排尾,甲、乙两人必须相邻,则满足要求的排法有()A.34种B.48种C.96种D.144种答案C5.(2018福建福州二模,8)福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有()A.90种B.180种C.270种D.360种答案B6.(2018河南豫北名校联考,9)2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A.18种B.24种C.48种D.36种答案B7.(2018山西长治二模,10)某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有()A.22种B.24种C.25种D.36种答案C二、填空题(每小题5分,共25分)8.(2019届河北衡水中学第一次摸底考试,15)由数字0,1组成的一串数字代码,其中恰好有7个1,3个0,则这样的不同数字代码共有个.答案1209.(2019届山东青岛高三9月期初调研检测,15)将4个大小相同、颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有种.答案1010.(2019届河南开封10月定位考试,15)从5名学生中选出4名学生分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,乙只能参加数学竞赛,则不同的参赛方案种数为.答案3611.(2018山西太原第三次模拟,14)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言,若甲、乙都被选中,且他们中间恰好间隔一人,那么不同的发言顺序共有种(用数字作答).答案12012.(2017广东佛山二模,14)有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务,每个社区1到2人,甲、乙两名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为.答案12。