现代控制理论参数估计方法
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现代控制理论_第14章_最小二乘法辨识
i 1 n i 0 n n
y n 2 ai y n 2 i bi u n 2 i n 2
i 1 i 0
n
y n N ai y n N i bi u n N i n N
即
y k ai y k i bi u k i v k ai v k i
i 1 i 0 i 1
n
n
n
(14-3)
假设v k k 1,2,, n 是均值为零的独立分布的平稳随机序列，且与 序列u k k 1,2,, n 相互独立。设
ˆ 表示 y 的最优估值，则有 设ˆ 表示 的最优估值， y
ˆ ˆ y
(14-12)
式中
ˆ n 1 y a ˆ ˆ y n 2 ˆ ˆ y , b ˆ ˆ y n N
T 的展开式如下所示：
y n 1 y n y n y n 1 y 1 y 2 T u n 1 u n 2 u n 1 u n u 2 u 1 y n N 1 n 1 y n N 2 n 2 yN u n N u n N 1 n N uN
1
因为ˆ 有解与 T 正定等价，所以可以保证 T 正定来确定对输 入 u k 序列的要求。由式(14-9)可知
Y U
(14-20)
则
YT U YT U Y T Y U T T T U Y U U U
y n 2 ai y n 2 i bi u n 2 i n 2
i 1 i 0
n
y n N ai y n N i bi u n N i n N
即
y k ai y k i bi u k i v k ai v k i
i 1 i 0 i 1
n
n
n
(14-3)
假设v k k 1,2,, n 是均值为零的独立分布的平稳随机序列，且与 序列u k k 1,2,, n 相互独立。设
ˆ 表示 y 的最优估值，则有 设ˆ 表示 的最优估值， y
ˆ ˆ y
(14-12)
式中
ˆ n 1 y a ˆ ˆ y n 2 ˆ ˆ y , b ˆ ˆ y n N
T 的展开式如下所示：
y n 1 y n y n y n 1 y 1 y 2 T u n 1 u n 2 u n 1 u n u 2 u 1 y n N 1 n 1 y n N 2 n 2 yN u n N u n N 1 n N uN
1
因为ˆ 有解与 T 正定等价，所以可以保证 T 正定来确定对输 入 u k 序列的要求。由式(14-9)可知
Y U
(14-20)
则
YT U YT U Y T Y U T T T U Y U U U
参数估计的方法及应用
参数估计的方法及应用参数估计是统计学中的一个重要方法，用于根据已知数据估计总体的未知参数。
它是统计推断的基础，广泛应用于各个领域，包括医学、金融、市场调研等。
下面将介绍几种常见的参数估计方法及其应用。
1. 点估计点估计是参数估计中最简单的一种方法，通过计算样本数据的统计量来估计总体参数的值。
最常用的点估计方法是样本均值和样本方差，分别用来估计总体均值和总体方差。
例如，在市场调研中，可以通过抽样调查估计某一产品的平均满意度，从而评估市场反应。
2. 区间估计区间估计是参数估计中更常用的一种方法，它不仅给出了参数的一个点估计，还给出了一个区间估计，用于表达估计值的不确定性。
典型的区间估计方法有置信区间和预测区间。
2.1 置信区间置信区间是用于估计总体参数的一个区间范围，表示参数值落在该区间内的概率。
置信区间一般由样本统计量和抽样分布的分位数确定，常见的置信区间有均值的置信区间和比例的置信区间。
比如，一个医生想要估计一种药物对某种疾病的治疗效果，可以从患者中随机抽取一部分人群服用该药物，然后计算患者的治愈率。
利用样本中的治愈率和抽样分布的分位数，可以构建出一个置信区间，用于估计总体的治愈率。
2.2 预测区间预测区间是用于预测个体观测值的一个区间范围，表示个体观测值落在该区间内的概率。
和置信区间不同的是，预测区间不仅考虑参数的估计误差，还考虑了个体观测值的不确定性。
例如，在金融领域，投资者可以利用历史收益率估计某只股票的未来收益率，并通过构建预测区间来评估投资风险。
3. 极大似然估计极大似然估计是一种常用的参数估计方法，它基于样本数据的概率分布，通过寻找使得样本观测值出现的概率最大的参数值来估计总体参数。
例如，在医学研究中，研究人员可以根据已知的疾病发病率和病人的临床症状，利用极大似然估计方法来估计某一疾病的传染率。
4. 贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯统计原理的参数估计方法，它将参数看作是随机变量，并基于先验概率和样本数据来计算后验概率分布。
控制工程技术基础 第7章现代控制理论简介
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7.2控制系统的状态空间表达式
7.2.1状态、状态变量
状态：系统运动信息的集合。 状态变量：可以完全确定系统的运动状态且数目最小的一组变量。所 谓完全确定，是指只要给定t0时刻的这组变量的值和系统在t ≥t0时系 统的输入函数，则系统在t > t0的任意时刻的状态就可完全确定。所谓 数目最小是指：如果变量数目大于该值，则必有不独立的变量；小于 该值，又不足以描述系统的运动状态。 状态向量：n个状态变量x1 (t)，x2 (t)，…， xn (t)所构成的向量X(t)就 是系统的状态向量，记作X(t)=[x1 (t)，x2 (t)，…， xn (t)]T
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7.4最优控制
以上可见，邦特略京极小值原理实际上是把一个求性能指标J的 最小值问题，转化成一个求哈密顿函数H的最小值问题。 当系统的状态方程为
第7章现代控制理论简介
7.1概述 7.2控制系统的状态空间表达式 7.3状态反馈与输出反馈 7.4最优控制
7.1概述
现代控制理论的基本内容包括五个方面，简单说明如下。 1.最优控制 在图7-1所示系统中，有一组输入函数u (t)作用在受控系统上，其 相应状态变量是x (t)，通过量测系统可得到这些状态的某种组合y (t)， 此即系统输出。根据实际需要，可为受控系统指定一些目标（性能指 标）。 2.最优估计 图7-1所示系统中，输出量y (t)是通过量测系统由状态转换过来 的。但实际的量测系统常受到噪声v (t)的干扰，如图7-2所示。如果将 整个系统看成是一个信息传递系统，用输入噪声w( t)表示这个系统的 模型误差，也称动态噪声，则从y (t)中，克服w( t)和v (t)的影响估计 出状态x (t)来，称为最优状态估计问题。
7.2控制系统的状态空间表达式
7.2.1状态、状态变量
状态：系统运动信息的集合。 状态变量：可以完全确定系统的运动状态且数目最小的一组变量。所 谓完全确定，是指只要给定t0时刻的这组变量的值和系统在t ≥t0时系 统的输入函数，则系统在t > t0的任意时刻的状态就可完全确定。所谓 数目最小是指：如果变量数目大于该值，则必有不独立的变量；小于 该值，又不足以描述系统的运动状态。 状态向量：n个状态变量x1 (t)，x2 (t)，…， xn (t)所构成的向量X(t)就 是系统的状态向量，记作X(t)=[x1 (t)，x2 (t)，…， xn (t)]T
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7.4最优控制
以上可见，邦特略京极小值原理实际上是把一个求性能指标J的 最小值问题，转化成一个求哈密顿函数H的最小值问题。 当系统的状态方程为
第7章现代控制理论简介
7.1概述 7.2控制系统的状态空间表达式 7.3状态反馈与输出反馈 7.4最优控制
7.1概述
现代控制理论的基本内容包括五个方面，简单说明如下。 1.最优控制 在图7-1所示系统中，有一组输入函数u (t)作用在受控系统上，其 相应状态变量是x (t)，通过量测系统可得到这些状态的某种组合y (t)， 此即系统输出。根据实际需要，可为受控系统指定一些目标（性能指 标）。 2.最优估计 图7-1所示系统中，输出量y (t)是通过量测系统由状态转换过来 的。但实际的量测系统常受到噪声v (t)的干扰，如图7-2所示。如果将 整个系统看成是一个信息传递系统，用输入噪声w( t)表示这个系统的 模型误差，也称动态噪声，则从y (t)中，克服w( t)和v (t)的影响估计 出状态x (t)来，称为最优状态估计问题。
参数估计与辨识在自动控制中的应用
参数估计与辨识在自动控制中的应用一、引言在自动控制领域中，参数估计和辨识是非常重要的研究内容，也是控制系统设计和优化的基石之一。
参数估计和辨识的目的是根据系统已知的输入输出数据，估计或辨识出未知的系统参数，从而实现对系统的分析、建模和控制。
本文将在介绍参数估计和辨识的基本概念和方法的基础上，重点讨论它们在自动控制中的应用。
二、参数估计参数估计是指根据实验数据，估计一个或多个未知参数的值。
在自动控制中，常常需要对系统的参数进行估计，这些参数包括系统的结构参数和内部参数。
系统的结构参数一般是已知的，比如物理尺寸、系统阶次等；而系统的内部参数一般是未知的，比如惯性、阻尼等。
对于这些未知参数，我们需要通过实验数据来估计它们的值。
最常用的参数估计方法是最小二乘法。
最小二乘法的基本思想是通过拟合一个合适的数学模型，使模型预测的输出值与实验测量值的误差达到最小。
在自动控制中，最小二乘法常用于根据输入输出数据估计系统的传递函数或状态空间模型。
最小二乘法的实现可以采用线性回归分析、非线性最小二乘法等方法。
另一个常用的估计方法是极大似然估计。
极大似然估计的基本思想是利用已知的数据，计算未知参数的概率分布函数的最大值，从而估计参数的值。
在自动控制中，极大似然估计法常用于估计高斯白噪声的参数，比如噪声方差。
除了最小二乘法和极大似然估计，还有其他一些参数估计方法，比如扩展卡尔曼滤波、无迹卡尔曼滤波、粒子滤波等。
它们在不同的场景下有不同的优缺点。
参数估计的选择应当根据具体应用场景进行，以满足控制系统的性能要求。
三、辨识辨识是指根据实验数据，识别出一个或多个未知的系统模型。
与参数估计不同，辨识的目的是构建一个系统的数学模型，从而实现对系统的分析和控制。
常见的辨识方法包括传统的系统辨识方法和人工智能的数据驱动学习方法。
传统的系统辨识方法主要是基于数学模型的估计方法，包括频域辨识方法和时域辨识方法。
其中，最常用的方法是频域辨识方法，多采用奇异值分解、系统辨识法和模态分析法，已经取得了广泛的应用。
现代控制理论第13章线性系统的经典辨识方法
2
第一节 脉冲响应的确定方法――相关法
1
伪随机测试信号是六十年代发展起来的一种用于系统辨识的测试信号，这咱信号的抗干扰性能强；为获得同样的信号量，对系统正常运行的干扰程度比其他测试信号低。目前已有用来做这种试验的专用设备。如果系统设备有数字计算机在线工作，伪随机测试信号可用计算机产生。实践证明，这是一种很有效的方法，特别对过渡过程时间长的系统，优点更为突出。
1
(13-2)
2
设 ，则
或
(13-3)
根据维纳－霍夫方程可得 如果输入 是白噪声，则可很容易求脉冲响应函数 。这时 的自相关函数为
01
03
02
这说明，对于白噪声输入， 与 只差一个常数倍。这样，只要记录 与 之值，并计算它们的互相关函数 ，可立即求得脉冲响应函数 。用白噪声辨识系统的模型方块图如图13-2所示。
概率性质2：在序列中总的游程个数平均为 个，1的游程与-1的游程大约各占一半。即大约为个 （N为奇数，表示序列的个数）。
概率性质1：在序列中1出现的次数与-1出现的次数几乎相等。
概率性质3：对于离散二位式无穷随机序列 ，它的相关函数为
01
被辨识系统的数学模型，可以分成参数和非参数模型两类。
02
参数模型 是由传递函数、微分方程或差分方程表示的数学模型。如果这些模型的阶和系数都是已知的，则数学模型是确定的。采用理论推导的方法得到的数学模型一定是参数模型。建立系统模型的工作，就是在一定的模型结构条件下，确定它的各个参数。因此，系统辨识的任务就是选定一个与实际系统相接近的数学模型，选定模型的阶，然后根据输入和输出数据，用最好的估计方法确定模型中的参数。
3
1
(13-8)
3
2
0.线性系统理论的构成及特点(第一讲)
构或参数，从而改变被控制对象的运动状况论状态（即状态x（t））， 这是自适应控制问题。 以上我们阐述了控制问题的提法，并指出了解决控制问题的各种任 务。由此可知，为解决控制问题之所需，现代控制理论必须包括两大 方面：①关于被控制对象的研究，这就是系统理论问题；②关于最佳 控制规律的研究，这即是最佳控制、最佳估计等问题。
我们也看到了，计算机实现最佳控制的任务，可归结为对被控制对象 的提取信息和信变换这两个基本问题。提取信息包括：①提取被控制对 象运动状况（即状态x（t））的信息，状态估计问题；②提取被控制对 象的结构和参数的信息，这是结构辨识和参数估计问题。信息变换包 括：①通过计算机给出最佳控制规律，以改变被控制对象的运动状况 （即状态x（t））这是最佳控制问题；②通过改变被控制对象本身的结
态向量或控制向量上的约束条件来描述。 综上，控制问题的一般提法是：对于所研究的被控制对象，在各种
约束条件下，确定计算机的最佳控制算法，使所给的性能指标达到极小 （大）值。
这里，计算机输出的最佳控制信号u*（t），也可称为最佳控制规律或 最佳控制策略。
我们看到了，数学模型、性能指标、约束条件是一个最佳控制问题的 三个要素。
2．从量上说，控制系统越来越大型、复杂、综合化，从单个的局 部自动化发展成综合的全盘自动化。
以单回路反馈控制为基础、以伺服系统分析和设计为中心的经典控 制理论，无论在概念上，或者在分析设计方法上，都不能满足高质 量、大型复杂控制系统发展的需要。于是现代控制理论应运而生，在 60年代左右逐步形成，并迅速地发展着。
1．1958年苏联学者Понтрягин等提出的解决最佳控制问
题的极大值原理；
2．1960年美国学者 Kalman等提出的最佳线性最小方差递推滤波 （即 Kalman滤波）；
现代控制理论_第11章_参数估计方法
第十一章 参数估计方法
本章讨论参数估计准则和估计方法，根据对被估值统计特性的掌 握程度不同，可提出不同的估计准则。依据不同的准则，就有相应 的估计方法，即最小方差估计、线性最小方差估计、极大似然估计、 极大验后估计、最小二乘估计等，本章将对这些估计方法进步不同 程度的讨论。
第一节 最小方差估计与线性最小方差估计
(11-18)
由式(11-18)可得
E xˆ E mx Cov x,zVarz1 E z mz mx E x
所以估计是无偏的。
估计误差的方差阵为
J Varx-Cov x、zVarz1 Cov z、x
(11-19)
第二节 极大似然法估计与极大验后法估计
中的 z ，则得
p zi ,1,2, ,n
i 1,2, ，k
将所得的k 个函数相乘，得
k
L z1, z2 , ，zk；1,2, ,n p zi ,1,2, ,n
i1
(11-20)
称函数 L为似然函数。当 z1, z2, , zk 固定时，L 是1,2, ,n 的函数。极
A A
2E x b AzzT
2E x b xT 2E AzzT
2 AE zzT bE zT E xxT 0
(11-15)
将式(11-14)代入式(11-15)得
AE zzT E xE zT AE zE zT E xzT 0 A E zzT E z E zT E xzT E x E zT 0
一、最小方差估计
最小方差准则，要求误差的方差为最小，它是一种最古典的估计
方法，这呼估计方法需要知道被估随机变量x 的概率分布密度 p x 和数学期望E x。这种苛刻的先验条件，使此方法在工程上的应用
参数估计的三种方法
参数估计的三种方法参数估计是统计学中的一项重要任务，其目的是通过已知的样本数据来推断未知的总体参数。
常用的参数估计方法包括点估计、区间估计和最大似然估计。
点估计是一种常见的参数估计方法，其目标是通过样本数据估计出总体参数的一个“最佳”的值。
其中最简单的点估计方法是样本均值估计。
假设我们有一个总体，其均值为μ，我们从总体中随机抽取一个样本，并计算出样本的平均值x。
根据大数定律，当样本容量足够大时，样本均值会无偏地估计总体均值，即E(x) = μ。
因此，我们可以用样本的平均值作为总体均值的点估计。
另一个常用的点估计方法是极大似然估计。
极大似然估计的思想是寻找参数值，使得给定观测数据出现的概率最大。
具体来说，我们定义一个参数θ的似然函数L(θ|x)，其中θ是参数，x是观测数据。
极大似然估计即求解使得似然函数取得最大值的θ值。
举个例子，假设我们有一个二项分布的总体，其中参数p表示成功的概率，我们从总体中抽取一个样本，得到x个成功的观测值。
那么，样本观测出现的概率可以表示为二项分布的概率质量函数，即L(p|x) = C(nx, x) * p^x * (1-p)^(n-x)，其中C(nx, x)是组合数。
我们通过求解使得似然函数取得最大值的p值，来估计总体成功的概率。
与点估计相比，区间估计提供了一个更加全面的参数估计结果。
区间估计指的是通过样本数据推断总体参数的一个区间范围。
常用的区间估计方法包括置信区间和预测区间。
置信区间是指通过已知样本数据得到的一个参数估计区间，使得这个估计区间能以一个预先定义的置信水平包含总体参数的真值。
置信水平通常由置信系数（1-α）来表示，其中α为显著性水平。
置信区间的计算方法根据不同的总体分布和参数类型而异。
举个例子，当总体为正态分布且总体方差已知时，可以利用正态分布的性质计算得到一个置信区间。
预测区间是指通过对总体参数的一个估计，再结合对新样本观测的不确定性，得到一个对新样本值的一个区间估计。
参数估计方法
参数估计方法参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指根据样本数据推断总体参数的过程。
在实际应用中，我们往往需要利用已知数据来估计总体的各种参数，比如均值、方差、比例等。
参数估计方法有很多种，其中最常用的包括最大似然估计和贝叶斯估计。
本文将对这两种参数估计方法进行详细介绍，并分析它们的优缺点。
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是建立在似然函数的基础上的。
似然函数是关于总体参数的函数，它衡量了在给定参数下观察到样本数据的概率。
最大似然估计的思想是寻找一个参数值，使得观察到的样本数据出现的概率最大。
换句话说，就是要找到一个参数值，使得观察到的样本数据出现的可能性最大化。
最大似然估计的优点是计算简单，且在大样本情况下具有较好的渐近性质。
但是，最大似然估计也有一些局限性，比如对于小样本情况下可能会出现估计不准确的问题。
另一种常用的参数估计方法是贝叶斯估计。
贝叶斯估计是建立在贝叶斯定理的基础上的，它将参数看作是一个随机变量，而不是一个固定但未知的常数。
在贝叶斯估计中，我们需要先假设参数的先验分布，然后根据观察到的样本数据，利用贝叶斯定理来计算参数的后验分布。
贝叶斯估计的优点是能够充分利用先验信息，尤其在小样本情况下具有较好的稳定性。
但是，贝叶斯估计也存在一些问题，比如对于先验分布的选择比较敏感，且计算复杂度较高。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和数据特点来选择合适的参数估计方法。
对于大样本情况，最大似然估计可能是一个不错的选择，因为它具有较好的渐近性质。
而对于小样本情况，贝叶斯估计可能更适合，因为它能够充分利用先验信息，提高估计的稳定性。
当然，除了最大似然估计和贝叶斯估计之外，还有很多其他的参数估计方法，比如矩估计、区间估计等，每种方法都有其特点和适用范围。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它涉及到如何根据已知数据来推断总体的各种参数。
最大似然估计和贝叶斯估计是两种常用的参数估计方法，它们各有优缺点，适用于不同的情况。
(整理)参数估计方法.
第七章 参数估计第一节 基本概念1、概念网络图{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧单正态总体的区间估计区间估计一致性有效性无偏性估计量的评选标准极大似然估计矩估计点估计从样本推断总体2、重要公式和结论例7．1：设总体),(~b a U X ，求对a, b 的矩估计量。
例7．2：设n x x x ,,,,21 是总体的一个样本，试证（1）;2110351321x x x ++=∧μ （2）;12541313212x x x ++=∧μ（3）.12143313213x x x -+=∧μ都是总体均值u 的无偏估计，并比较有效性。
例7．3：设n x x x ,,,,21 是取自总体),(~2σμN X 的样本，试证∑=--=ni i x x n S 122)(11 是2σ的相合估计量。
第二节 重点考核点矩估计和极大似然估计；估计量的优劣；区间估计第三节 常见题型1、矩估计和极大似然估计例7．4：设0),,0(~>θθU X ，求θ的最大似然估计量及矩估计量。
例7．5：设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥=--.,0,1)(/)(其他μθθμx e x f x其中θ>0, θ,μ为未知参数，n X X X ,,,21 为取自X 的样本。
试求θ,μ的极大似然估计量。
2、估计量的优劣例7．6：设n 个随机变量n x x x ,,,21 独立同分布，,)(11,1,)(122121∑∑==--===n i i n i i x x n S x n x x D σ 则（A ）S 是σ的无偏估计量；（B ）S 是σ的最大似然估计量； （C ）S 是σ的相合估计量；（D ）x S 与2相互独立。
例7．7：设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=,,0,0),(6)(3其他θθθx x xx fn X X X ,,,21 是取自X 的简单随机样本。
（1） 求θ的矩估计量∧θ；（2） 求∧θ的方差D （∧θ）；（3） 讨论∧θ的无偏性和一致性（相合性）。
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一、最小方差估计
最小方差准则，要求误差的方差为最小，它是一种最古典的估计
方法，这呼估计方法需要知道被估随机变量x 的概率分布密度 p x 和数学期望E x。这种苛刻的先验条件，使此方法在工程上的应用
受到很大限制。这里只以一维随机变量的估计为例，介绍最小方差 估计方法。
设有一维随机变量x，它的概率密度 p x 和常数期望Ex mx，都
是已知的，求x 的估值xˆ 。评价估计优劣的准则是xˆ 与 x的误差的方
差为最小，即
J＝E
x
xˆ
2
x
xˆ
2
p
x
dx
min
将上式展开，得
J
E x
xˆ
2
E x2
2xˆE x
xˆ 2
(11-1)
求上式对 xˆ的偏导数，令偏导数等于零，得
则 x的最优估值为
J 2xˆ 2E x
xˆ
xˆ E x
二、状态估计
设系统的状态方程和观测方程分别为
x&t A tx t Btut Ft w t zt H txt vt
式中，x t 为状态变量，它是随时间而变的随机过程，u t 为控制 变量，wt 为系统噪声，vt为测量噪声， zt 为观测值。现要根据 观测值来估计状态变量 xt ，这就是状态估计问题。卡尔曼滤波是
式中h1 t、h2 t、L 、hn t为已知的时间函数，一般是 的t 幂函数、指
数函数或正余弦函数等等。x1、x2、L 、xn为 n个未知参数，它们不随时 间而变。
根据 m对观测值zi ,ti i 1,2,L ,m；m n来估计未知参数 x1、x2、L 、xn
。按照什么准则来估计这些参数呢？
这将是第十章讨论的主要问题。
一种最有效的状态估计方法，将在第十一章讨论这个问题。
人们希望估计出来的参数或状态愈接近真值愈好，因此提出了 最优估计问题。所谓最优估计，是指在某一确定的准则条件下， 从某种统计意义上来说，估计达到最优，显然，最优估计不是唯 一的，它随着准则不同而不同，因此在估计时，要恰当选择估计 准则。
在自动控制中，为了实现最优控制和自适应控制，遇到许多参 数估计或状态估计问题，促进了估计理论和估计方法的发展。另 外，由于电子计算机的迅猛发展和广泛使用，使得许多复杂的估 计问题的解决成为可能，这也促进了估计理论的发展。所以近二 十多年来最优估计理论及其应用得到迅速的发展。
求上式的数学期望值，可得
Covx，z
a
2 2
0
a
Cov x, z
2 x
xz x
2 x
z
xz
2 x
Байду номын сангаас
z
(11-9)
式中， x、 z分别为随机变量 x和z 的均方根差， 为 xz x与z 的相关系
数 xz a Cov x, z /xz 。于是的估值为
xˆ
az
b
mx
Cov x,
2 x
z
z
mz
一般，估计问题分两大类，即参数估计和状态估计。
一、参数估计
参数估计属于曲线拟合问题。例如做完某项试验之后，得到若干
个观测值 zi与相应时间 ti 的关系zi ,ti i 1,2,L ,m 。我们希望以一
条曲线来表示 z和 t 的关系，设
z t x1h1 t x2h2 t L xnhn t
b mx amz
(11-8)
将式(11-8)代入式(11-6)得
E x az mx amz z 0
把上式改写成
E x mx a z mz z mz mz 0
展开上式得
E x mx z mz mzEx mx aE z mz 2 amzE z mz 0
第十一章 参数估计方法
本章讨论参数估计准则和估计方法，根据对被估值统计特性的掌 握程度不同，可提出不同的估计准则。依据不同的准则，就有相应 的估计方法，即最小方差估计、线性最小方差估计、极大似然估计、 极大验后估计、最小二乘估计等，本章将对这些估计方法进步不同 程度的讨论。
第一节 最小方差估计与线性最小方差估计
(11-10)
估计误差为
x x xˆ
Ex
Ex
E mz
xz z x
Ez
mz
mx
mz
xz x
z
mz
mz
0
因此 Ex Ex。所以估计是无偏的。
下面讨论x 和 z 都是多维随机变量的估计问题。设 x为n 维，z 为q维， 已知 和 的x 一z、二阶矩，即
Ex、Ez、Var、Varz、Cov x, z和Cov z, x
的条件来确定系数a 和b 。
(11-5)
求式(11-5)对 a和 b的偏导数，令偏导数等于零，可求得 a和 b两个 系数。
J 2E
a
x az b z
0
(11-6)
J
a
2E
x az b
(11-7)
从式(11-7)可得
mx amz b 0
式中 mx和 mz 为z 和x 的数学期望，从此式可得
估计误差 xˆ的方差为
E
x
mx
2
x
mx
2
p xdx
2 x
所以数学期望 mx 是x 的最小方差估计。
(11-3)
这种方法可以推广到多维随机变量的估值，这里不再叙述。
二、线性最小方差估计
线性最小方差估计就是估计值为观测值的线性函数，估计误差 的方差为最小。在使用这种方法时，需要知道观测值和被估值的
第三篇 最优估计理论
概述
在科学和技术领域中，经常遇到“估计”问题。所谓“估计”， 就是对受到随机干扰和随机测量误差作用的物理系统，按照某 种性能指标为最优的原则，从具有随机误差的测量数据中提取， 信息估计出系统的某些参数状态变量。这就提出了参数和状态 估计问题。这些被估参数或被估状态可统称为被估量。
xp
x
dx
mx
因此x 的最小方差估值为 mx ，估计误差为
x x xˆ x mx
E x E x Rxˆ E x mx mx mx 0
即
Exˆ Ex
(11-2)
如果估值xˆ 的数学期望等于x 的数学期望，或者估计误差xˆ 的数学 期望为零，则最小方差估计是无偏的。因此x 的估计是无偏估计。
一、二阶矩，即数学期望 Ez 和 Ex 、方差Varz和Varx及协方差 Covx，z和 Covz，x 。
先讨论被估值x和观测值z 都是一维随机变量的情况。线性最小 方差估计是把x 的估值xˆ 表示成z 的线性函数，即
xˆ az b
(11-4)
式中a和b 为两个待定常数。根据估计误差的方差
J E x xˆ2 E x az b2 min
最小方差准则，要求误差的方差为最小，它是一种最古典的估计
方法，这呼估计方法需要知道被估随机变量x 的概率分布密度 p x 和数学期望E x。这种苛刻的先验条件，使此方法在工程上的应用
受到很大限制。这里只以一维随机变量的估计为例，介绍最小方差 估计方法。
设有一维随机变量x，它的概率密度 p x 和常数期望Ex mx，都
是已知的，求x 的估值xˆ 。评价估计优劣的准则是xˆ 与 x的误差的方
差为最小，即
J＝E
x
xˆ
2
x
xˆ
2
p
x
dx
min
将上式展开，得
J
E x
xˆ
2
E x2
2xˆE x
xˆ 2
(11-1)
求上式对 xˆ的偏导数，令偏导数等于零，得
则 x的最优估值为
J 2xˆ 2E x
xˆ
xˆ E x
二、状态估计
设系统的状态方程和观测方程分别为
x&t A tx t Btut Ft w t zt H txt vt
式中，x t 为状态变量，它是随时间而变的随机过程，u t 为控制 变量，wt 为系统噪声，vt为测量噪声， zt 为观测值。现要根据 观测值来估计状态变量 xt ，这就是状态估计问题。卡尔曼滤波是
式中h1 t、h2 t、L 、hn t为已知的时间函数，一般是 的t 幂函数、指
数函数或正余弦函数等等。x1、x2、L 、xn为 n个未知参数，它们不随时 间而变。
根据 m对观测值zi ,ti i 1,2,L ,m；m n来估计未知参数 x1、x2、L 、xn
。按照什么准则来估计这些参数呢？
这将是第十章讨论的主要问题。
一种最有效的状态估计方法，将在第十一章讨论这个问题。
人们希望估计出来的参数或状态愈接近真值愈好，因此提出了 最优估计问题。所谓最优估计，是指在某一确定的准则条件下， 从某种统计意义上来说，估计达到最优，显然，最优估计不是唯 一的，它随着准则不同而不同，因此在估计时，要恰当选择估计 准则。
在自动控制中，为了实现最优控制和自适应控制，遇到许多参 数估计或状态估计问题，促进了估计理论和估计方法的发展。另 外，由于电子计算机的迅猛发展和广泛使用，使得许多复杂的估 计问题的解决成为可能，这也促进了估计理论的发展。所以近二 十多年来最优估计理论及其应用得到迅速的发展。
求上式的数学期望值，可得
Covx，z
a
2 2
0
a
Cov x, z
2 x
xz x
2 x
z
xz
2 x
Байду номын сангаас
z
(11-9)
式中， x、 z分别为随机变量 x和z 的均方根差， 为 xz x与z 的相关系
数 xz a Cov x, z /xz 。于是的估值为
xˆ
az
b
mx
Cov x,
2 x
z
z
mz
一般，估计问题分两大类，即参数估计和状态估计。
一、参数估计
参数估计属于曲线拟合问题。例如做完某项试验之后，得到若干
个观测值 zi与相应时间 ti 的关系zi ,ti i 1,2,L ,m 。我们希望以一
条曲线来表示 z和 t 的关系，设
z t x1h1 t x2h2 t L xnhn t
b mx amz
(11-8)
将式(11-8)代入式(11-6)得
E x az mx amz z 0
把上式改写成
E x mx a z mz z mz mz 0
展开上式得
E x mx z mz mzEx mx aE z mz 2 amzE z mz 0
第十一章 参数估计方法
本章讨论参数估计准则和估计方法，根据对被估值统计特性的掌 握程度不同，可提出不同的估计准则。依据不同的准则，就有相应 的估计方法，即最小方差估计、线性最小方差估计、极大似然估计、 极大验后估计、最小二乘估计等，本章将对这些估计方法进步不同 程度的讨论。
第一节 最小方差估计与线性最小方差估计
(11-10)
估计误差为
x x xˆ
Ex
Ex
E mz
xz z x
Ez
mz
mx
mz
xz x
z
mz
mz
0
因此 Ex Ex。所以估计是无偏的。
下面讨论x 和 z 都是多维随机变量的估计问题。设 x为n 维，z 为q维， 已知 和 的x 一z、二阶矩，即
Ex、Ez、Var、Varz、Cov x, z和Cov z, x
的条件来确定系数a 和b 。
(11-5)
求式(11-5)对 a和 b的偏导数，令偏导数等于零，可求得 a和 b两个 系数。
J 2E
a
x az b z
0
(11-6)
J
a
2E
x az b
(11-7)
从式(11-7)可得
mx amz b 0
式中 mx和 mz 为z 和x 的数学期望，从此式可得
估计误差 xˆ的方差为
E
x
mx
2
x
mx
2
p xdx
2 x
所以数学期望 mx 是x 的最小方差估计。
(11-3)
这种方法可以推广到多维随机变量的估值，这里不再叙述。
二、线性最小方差估计
线性最小方差估计就是估计值为观测值的线性函数，估计误差 的方差为最小。在使用这种方法时，需要知道观测值和被估值的
第三篇 最优估计理论
概述
在科学和技术领域中，经常遇到“估计”问题。所谓“估计”， 就是对受到随机干扰和随机测量误差作用的物理系统，按照某 种性能指标为最优的原则，从具有随机误差的测量数据中提取， 信息估计出系统的某些参数状态变量。这就提出了参数和状态 估计问题。这些被估参数或被估状态可统称为被估量。
xp
x
dx
mx
因此x 的最小方差估值为 mx ，估计误差为
x x xˆ x mx
E x E x Rxˆ E x mx mx mx 0
即
Exˆ Ex
(11-2)
如果估值xˆ 的数学期望等于x 的数学期望，或者估计误差xˆ 的数学 期望为零，则最小方差估计是无偏的。因此x 的估计是无偏估计。
一、二阶矩，即数学期望 Ez 和 Ex 、方差Varz和Varx及协方差 Covx，z和 Covz，x 。
先讨论被估值x和观测值z 都是一维随机变量的情况。线性最小 方差估计是把x 的估值xˆ 表示成z 的线性函数，即
xˆ az b
(11-4)
式中a和b 为两个待定常数。根据估计误差的方差
J E x xˆ2 E x az b2 min