圆的基本知识

圆的复习

第一部分 知识及方法

一、圆的基本概念

1、圆的基本元素

圆心：圆的中心。

半径：连接圆心和圆上任一点的线叫半径。

弦：连接圆上任意两点的线段叫弦。

直径：经过圆心的弦叫直径。

弧：圆上任意两点间的部分叫弧。弧分为半圆、优弧和劣弧。

圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

注意：直径是圆最长的弦；同圆或等圆的直径是半径的两倍。

2、

（1）圆是旋转对称图形，圆心是对称中心。

在一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

在一个圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等。

在一个圆中，相等的弦所对的劣弧相等，所对的圆心角相等。

（2）圆是轴对称图形，任一条过圆心的直线都是它的对称轴。

（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

提示：

1）圆周可以看作360°的弧，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

2）解决与弦有关的问题时，常常过圆心作弦的垂直线段作为辅助线。半径、弦的一半、弦心距构成一个直角三角形。利用勾股定理和三角函数可以解决与半径长、弦长、弦心距的长以及相关角度等有关计算的问题。

3）经过圆内一点，最长的弦是经过这点的直径，最短的弦是与过这点的直径垂直的弦。

4）圆内两条平行弦所夹的弧相等。

3、

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角。

（2）圆周角定理：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°圆周角所对得弦是直径。在一个圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半；相等的圆周角所对得弧也相等。圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。

（3）相关链接：利用“半圆或直径所对圆周角是直角”可以在圆中得到直角三角形，我们可以解决很多与直角三角形有关的问题。圆周角定理、三角形内角和定理及推论、同角的余（补）角相等、平行线的性质定理等，都是与角度有关的定理，把它们进行综合运用，可以实现角度的灵活转换，从而解决很多与角相关的问题。

第1页 共14页 圆

在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。圆有无数个点。

在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。圆可以表示为集合{M||MO|=r},圆的标准方程是(x - a) ² + (y - b) ² = r ²。其中，o是圆心，r 是半径。

圆形是一种圆锥曲线，由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。

圆是一种几何图形。根据定义，通常用圆规来画圆。 同圆内圆的直径、半径长度永远相同，圆有无数条半径和无数条直径。圆是轴对称、中心对称图形。对称轴是直径所在的直线。 同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。所以，世界上没有真正的圆，圆实际上只是概念性的图形。

圆的定义

第一定义

在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆（circle）。这个定点叫做圆的圆心。

圆形一周的长度，就是圆的周长。能够重合的两个圆叫等圆。

圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但永远无法等于0。

第二定义

平面内一动点到两定点的距离之比（或距离的平方之比），等于一个不为1的常数，则此动点的轨迹是圆。

证明：点坐标为(x1,y1)与(x2,y2)，动点为(x,y)，距离比为k，由两点距离公式。满足方程(x-x1)2 + (y-y1)2 = k2×[ (x-x2)2 + (y-y2)2] 当k不为1时，整理得到一个圆的方程。

几何法：假设定点为A，B，动点为P，满足|PA|/|PB| = k（k≠1），过P点作角APB的内、外角平分线，交AB与AB的延长线于C，D两点由角平分线性质，角CPD=90°。由角平分线定理：PA/PB = AC/BC = AD/BD =k，注意到唯一k确定了C和D的位置，C在线段AB内，D在AB延长线上，对于所有的P，P在以CD为直径的圆上。

圆的基本概念

一、知识梳理

1．在一个______内，线段OA绕它固定的一个端点O______，另一个端点A所形成的______叫做圆．这个固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．以O点为圆心的圆记作______，读作______．

2．战国时期的《墨经》中对圆的定义是________________．

3．由圆的定义可知：

(1)圆上的各点到圆心的距离都等于________；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在________．因此，圆是在一个平面内，所有到一个________的距离等于________的________组成的图形．

(2)要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是________，另一个是________，其中，________确定圆的位置，______确定圆的大小．

4．连结______________的__________叫做弦．经过________的________叫做直径．并且直径是同一圆中__________的弦．

5．圆上__________的部分叫做圆弧，简称________，以A，B为端点的弧记作________，读作________或________．

6．圆的________的两个端点把圆分成两条弧，每________都叫做半圆．

7．在一个圆中_____________叫做优弧；_____________叫做劣弧．

8．半径相等的两个圆叫做____________．

9．圆是______对称图形，它的对称轴是______________________；圆又是______对称图形，它的对称中心是____________________．

10．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．

11．平分________的直径________于弦，并且平分________________________________．

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圆有关概念

知识点：

1、 圆的确定及点与圆的位置关系；

2、 圆心角，弧，弦，弦心距的概念；

3、 圆心角，弧，弦，弦心距的相互关系；

圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：同圆或等圆中（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。

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4、 垂径定理

由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推二”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弧。已知其中两项，可推出其余两项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。

【典型例题】

例1. 已知，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且ABcmOCcm85，，则DC的长为（ ）

A. 3cm B. 2.5cm C. 2cm D. 1cm

例2. 在⊙O中，ABAC2，那么（ ）

A. ABAC B. ABAC2

C. ABAC2 D. ABAC2

例3. 已知⊙O的半径是10cm，AB是120°，那么弦AB的弦心距是（ ）

A. 5cm B. 53cm C. 103cm D. 523cm

例4. 等腰△ABC的顶角A＝120°，腰AB＝AC＝10，△ABC的外接圆半

径等于（ ）

A. 20 B. 15 C. 10 D. 5

例5. 点P为半径是5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P的所有弦中，长度为整数的弦一共有（ ）

A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条

A

B