垂径定理

垂径定律

1. 定义

垂径定理（Vertical Theorem）的通俗表达是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。用数学语言表示，如果在一个圆中，直径DC垂直于弦AB于点E，则弦AB被点E平分（即AE=EB），且弦AB所对的两段弧AD和BD（包括优弧和劣弧）也被平分

2. 性质

垂径定理包含多个重要的性质和推论，这些性质和推论在解决与圆相关的几何问题时非常有用。

1)基本性质：

平分弦：垂直于弦的直径将弦平分为两段相等的部分。

平分弧：该直径还平分弦所对的两条弧，无论是优弧还是劣弧。 推论一：

平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。这个推论是垂径定理的逆命题之一，它表明如果一条直径平分了一条非直径的弦，那么这条直径必然垂直于这条弦，并且平分弦所对的两段弧

推论二：

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。这个推论进一步强化了垂径定理与圆的中心性质之间的联系，指出弦的垂直平分线不仅平分弦，还经过圆心，并平分弦所对的弧。

推论三：

平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。这个推论是垂径定理的另一种逆命题形式，它说明如果一条直径平分了弦所对的一条弧，那么这条直径也垂直平分这条弦，并平分弦所对的另一条弧。

推论四：

在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。这个推论虽然不直接由垂径定理推导出来，但它与垂径定理共同构成了圆内线段和弧之间关系的重要框架。平行弦的性质与垂径定理相结合，为解决复杂的圆内几何问题提供了有力工具。

3.数学证明

垂径定理的证明通常依赖于圆的基本性质，如半径相等、等腰三角形的性质等。以下是一个简化的证明过程：

设⊙O为给定的圆，DC为⊙O的直径，AB为⊙O内的一条弦，且DC⊥AB于点E。连接OA和OB。由于OA和OB都是⊙O的半径，所以OA=OB。△OAB是一个等腰三角形，因为两边相等（OA=OB）。由于AB⊥DC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线重合。因此，AE=EB，∠AOE=∠BOE。由于∠AOC和∠BOC都是圆心角，且它们对应的弧AC和BC分别等于弧AD和弧BD（因为OA=OB，∠AOC=∠BOC），所以弧AC=弧BC。同理，弧AD=弧BD（包括优弧和劣弧）。

- 1 - 垂径定理的判定

垂径定理是以三角形的垂径来判定三角形的关系的一种定理，主要涉及三角形的内角和外角的知识点，这也是判定三角形的一种简单形式，并且可用于解决实际问题，所以在数学中使用广泛。

一、垂径定理的定义

垂径定理的核心是三角形的垂径，即以三角形的边长和角度为基础构建的一种关系，其定义如下：在任意一个三角形中，当给定A角的夹角，则其余两个角按照以下关系判定：A角的余边（另外两条边）分别对应B角和C角，并且其关系如下：A角的余边平方之和等于B角的余边乘以C角的余边的总和。

二、垂径定理的应用

垂径定理可以用来解决一些常见的实际问题，比如可以用来计算三角形内角和外角之间的关系，例如：有一个三角形，其中A角的夹角为60°，B角的夹角为90°，那么根据垂径定理，C角的夹角就可以用下面的公式来计算：C角的夹角 = 180° - B角的夹角 - A角的夹角 = 180° - 90° - 60° = 30°，从而可以计算出三角形所有角度的值。

垂径定理也可以用来计算三角形的边长，例如：若A角的夹角为60°，B角的夹角为90°，且A角的余边为2，那么根据垂径定理，可以求得B角的余边 =(2 + 2) - 2 = 4，即B角的余边为4，从而可以得出三角形的边长。

三、垂径定理的表达 - 2 - 垂径定理可以表达为数学式：

a + b = c

其中a为A角的余边，b为B角的余边，c为C角的余边，从根本上讲，就是三角形三条边长之和的平方等于第三条边长的平方加上夹角的余边的平方，因此从数学上可以看到，垂径定理是一种判定三角形关系的有效手段。

四、垂径定理的结论

综上所述，垂径定理可以用来判断三角形的关系，是判定三角形的一种简单形式，而且可用于解决实际问题，所以在数学中使用广泛，因此其实质就是三角形内角和外角之间的关系，以及三角形三边之和的平方等于第三边长的平方加上夹角的余边的平方，这也是垂径定理最主要的表达方式。

课题：垂径定理

知识点：

掌握垂径定理及推论，并会应用，学会作辅助线解决问题。

重点： 垂径定理及推论的应用，

易错点：

文字叙述多，易分不清条件和结论，所以学会用几何语言；在应用过程中不知道构建直角三角形。

预习提纲

1、用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么？

结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。

2、如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？

相等的线段：______________

相等的弧： _____=______；_____=______。

垂径定理：文字叙述是：垂直于弦的直径_______，并且__________________。

符号语言：∵CD是⊙O_____，AB是⊙O______，且CD__AB于E.

∴____=_____，_____=______，_____=______。

3、如上图，在⊙O中，AB是弦，CD是直径，

（1）如果AE=BE那么CD____AB,AC=____

BD=____

(2)如果AC=BC 那么CD____AB，AE______BE，BD=____

（3）如果AD=BD那么CD____AB，AE_____BE，AC=______

垂径定理的推论_______________________________________

______________________________________________-（推而广之：有其二得其三）

练习（1）在⊙O中，弦AB=6cm, 半径r=5cm, 求圆心O到弦AB的距离

OEDCBA

(2)已知⊙O中，直径AB与弦BC相交于B点，

BC=CD=DEED(5题图）(1---4题图）OOABCDCAB圆的对称性 （垂径定理）学案

学习目标：

1.探索并了解圆的对称性以及垂径定理。

2.通过对垂径定理以及推论的探索，加强推理能力。

3.会利用垂径定理及其推论，解决圆中的有关计算问题 。

学习重点，难点：

垂径定理及其推论的探索及应用。

学习过程：

一、 上节知识回顾：

1、弦AB等于圆的半径，则弦AB所对的圆心角为＿＿。

k图2图1OBOAEDCBCA

2、 如图1，AB是直径，∠BOC=40°，则∠AOE=＿＿。

3、 如图2，在⊙O中 ，弧AB=弧AC,∠B=70°，则∠C=＿＿，∠A=＿＿。

二、学习（自学）过程：

1.圆既是＿＿＿＿＿图形，又是＿＿＿＿图形，它有＿＿条对称轴，它的对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

2.垂径定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

3.垂径定理推论1：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

垂径定理推论2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

三、典型例题学习：

1. ∵ CD是直径 ，CD⊥AB

∴＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。

2．∵ CD是直径，AB是非直径的弦，AE=BE

∴ ＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。

3. ∵ CD是直径，弧AD=弧BD

∴ ＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿＿.

垂径定理及其推论可概括为：

对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个性质中任何两个性质，那么就具备其余三个性质，这五个性质分别为：（1）经过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧。

4、 如图，已知⊙O中直径CD垂直于弦AB,垂足为E,若CD=10，AB=8，则DE的长为＿＿。

5、 如图，已知⊙O的直径为12㎝，弦AB垂直平分半径OC,那么弦AB的长为＿＿＿。