最新普通高等学校招生文科数学全国统一考试试题(大纲卷)(含解析)

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普通高等学校招生全国统一考试

数学（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出地 四个选项中，只有一项是符合题目要求地 .

1．设集合1,2,3,4,5,1,2,uUAA集合则ð

（A）1,2 （B）3,4,5 （C）1,2,3,4,5

（D）

2．已知a是第二象限角，5sin,cos13aa则

（A）1213 （B）513 （C）513

（D）1213 3．已知向量1,1,2,2,,=mnmnmn若则

（A）4 （B）3 （C）-2 （D）-1

4．不等式222x的解集是

（A）-1,1 （B）-2,2 （C）-1,00,1U

（D）-2,00,2U

5．862xx的展开式中的系数是

（A）28 （B）56 （C）112 （D）224

6．函数-121log10=fxxfxx的反函数

（A）1021xx （B）1021xx （C）21xxR

（D）210xx 7．已知数列na满足12430,,103nnnaaaa则的前项和等于

（A）-10-61-3 （B）-1011-39 （C）-1031-3

（D）-1031+3

8．已知1221,0,1,0,FFCFx是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于AB、两点，且3AB，则C地 方程为

（A）2212xy （B）22132xy （C）22143xy

（D）22154xy

9．若函数sin0=yx的部分图像如图，则

（A）5 （B）4 （C）3 （D）2

10．已知曲线421-128=yxaxaa在点，处切线的斜率为， （A）9 （B）6 （C）-9 （D）-6

11．已知正四棱锥1111112,ABCDABCDAAABCDBDC中，则与平面所成角地 正弦值等于

（A）23 （B）33 （C）23 （D）13

12．已知抛物线2:8Cyx与点2,2M，过C地 焦点且斜率为k地 直线与C交于,AB两点，若0MAMBuuuruuurg，则k

（A）12 （B）22 （C）2 （D）2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．设21,3=fxxfx是以为周期的函数，且当时， .

14．从进入决赛地 6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能地 决赛结果共有 种.（用数字作答）

15．若xy、满足约束条件0,34,34,xxyxy则zxy的最小值为 .

16．已知圆O和圆K是球O地 大圆和小圆，其公共弦长等于球O地 半径，3602OKOKo，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O地 表面积等于 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

等差数列na中，71994,2,aaa

（I）求na地 通项公式；

（II）设1,.nnnnbbnSna求数列的前项和 18．（本小题满分12分）设ABC地 内角,,ABC地 对边分别为,,abc，()()abcabcac。

（I）求B

（II）若31sinsin4AC，求C。

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥902,PABCDABCBADBCADPABPADo中，，与都是边长为2地

等边三角形.

（I）证明：;PBCD （II）求点.APCD到平面的距离

20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负地 一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜地 概率均为1,2各局比赛地 结果都相互独立，第1局甲当裁判.

（I）求第4局甲当裁判地 概率；（II）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.

21．（本小题满分12分）已知函数32=331.fxxaxx

（I）求2f;ax时，讨论的单调性；

（II）若2,0,.xfxa时，求的取值范围

22．（本小题满分12分）

已知双曲线221222:10,0xyCabFFab的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线26.yC与的两个交点间的距离为

（I）求,;ab；

（II）2FlCAB设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AFBF证明：22AFABBF、、成等比数列 参考答案

一、选择题

1．B 2. A 3. B 4. D 5. C 6. A 7.

C 8. C 9. B 10. D 11. A 12. D

13. -1 14. 60 15. 0 16. 16

17． （Ⅰ）设等差数列{}na地 公差为d，则1(1)naand

因为719942aaa，所以11164182(8)adadad.

解得，111,2ad.

所以{}na地 通项公式为12nna.

（Ⅱ）1222(1)1nnbnannnn，

所以2222222()()()122311nnSnnnL.

18.（Ⅰ）因为()()abcabcac， 所以222acbac.

由余弦定理得，2221cos22acbBac，

因此，0120B.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知060AC，所以

cos()coscossinsinACACAC

coscossinsin2sinsinACACAC

cos()2sinsinACAC

131224

32，

故030AC或030AC，

因此，015C或045C.

19. （Ⅰ）证明：取BC地 中点E，连结DE，则ABED为正方形.

过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.

连结OA，OB，OD，OE.

由PAB和PAD都是等边三角形知PA=PB=PD，

所以OA=OB=OD，即点O为正方形ABED对角线地 交点，

故OEBD，从而PBOE.

因为O是BD地 中点，E是BC地 中点，

所以OE//CD.因此，PBCD.

（Ⅱ）解：取PD地 中点F，连结OF，则OF//PB.

由（Ⅰ）知，PBCD，故OFCD.

又122ODBD，222OPPDOD， 故POD为等腰三角形，因此，OFPD.

又PDCDDI，所以OF平面PCD.

因为AE//CD，CD平面PCD，AE平面PCD，所以AE//平面PCD.

因此，O到平面PCD地 距离OF就是A到平面PCD地 距离，而112OFPB，

所以A至平面PCD地 距离为1.

20. （Ⅰ）记1A表示事件“第2局结果为甲胜”，

2A表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，

A表示事件“第4局甲当裁判”.

则12=AAA•.

12121()=P()()()4PAAAPAPA•. （Ⅱ）记1B表示事件“第1局结果为乙胜”，

2B表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，

3B表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，

B表示事件“前4局中恰好当1次裁判”.

则1312312BBBBBBBB••••.

1312312()()PBPBBBBBBB••••

1312312()()()PBBPBBBPBB••••

1312312()()()()()()()PBPBPBPBPBPBPB••••

111484

58.

21. （Ⅰ）当-2a时，32=-3231.fxxxx '2()3623fxxx.

令'()0fx，得，121x，221x.

当(,21)x时，'()0fx，()fx在(,21)是增函数；

当(21,21)x时，'()0fx，()fx在(21,21)是减函数；

当(21,)x时，'()0fx，()fx在(21,)是增函数；

（Ⅱ）由(2)0f得，54a.

当54a，(2,)x时，

'2251()3(21)3(1)3()(2)022fxxaxxxxx，

所以()fx在(2,)是增函数，于是当[2,)x时，()(2)0fxf.

综上，a地 取值范围是5[,)4.

22. （Ⅰ）由题设知3ca，即2229aba，故228ba.

所以C地 方程为22288xya. 将y=2代入上式，求得，212xa.

由题设知，21262a，解得，21a.

所以1,22ab.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(3,0)F，2(3,0)F，C地 方程为2288xy.

①

由题意可设l地 方程为(3)ykx，||22k，代入①并化简得，

2222(8)6980kxkxk.

设11(,)Axy，22(,)Bxy，则

11x，21x，212268kxxk，2122988kxxk•.

于是

2222111111||(3)(3)88(31)AFxyxxx，

2222122222||(3)(3)8831BFxyxxx