江苏省苏北四市2020届高三上学期期末考试 数学 Word版含答案

江苏省苏北四市2020届高三上学期期末考试 数学 Word版含答案

江苏省苏北四市2020届高三上学期期末考试数学试卷

参考公式：

1.样本数据$x_1,x_2.x_n$的方差$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2$，其中$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$；

2.圆锥的体积$V=Sh$，其中$S$是圆锥的底面圆面积，$h$是圆锥的高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1.已知集合$A=\{x|0

2.已知复数$z$满足$z^2=-4$，且$z$的虚部小于$0$，则$z=2i$．

3.若一组数据$7,x,6,8,8$的平均数为$7$，则该组数据的方差是$2$．

4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为$15$． 5.函数$f(x)=\log_2(x-2)$的定义域为$(2,+\infty)$．

6.某学校高三年级有$A,B$两个自教室，甲、乙、丙$3$名学生各自随机选择其中一个教室自，则甲、乙两人不在同一教室上自的概率为$\frac{1}{2}$．

7.若关于$x$的不等式$x^2-mx+3<0$的解集是$(1,3)$，则实数$m$的值为$4$．

8.在平面直角坐标系$xOy$中，双曲线$-y=1$的右准线与渐近线的交点在抛物线$y^2=\frac{3}{2}px$上，则实数$p$的值为$-\frac{4}{3}$．

9.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，$a_2+a_9=8$，$S_5=-5$，则$S_{15}=35$．

10.已知函数$y=3\sin 2x$的图象与函数$y=\cos 2x$的图象相邻的三个交点分别是$A,B,C$，则$\triangle ABC$的面积为$\frac{3}{2}$．

11.在平面直角坐标系$xOy$中，已知圆$M:x^2+y^2-4x-8y+12=0$，圆$N$与圆$M$外切于点$(0,m)$，且过点$(0,-2)$，则圆$N$的标准方程为$(x-2)^2+(y+1)^2=1$．

12.已知函数$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数，其图象关于直线$x=1$对称，当$x\in(0,1]$时，$f(x)=-ae^x$（其中$e$是自然对数的底数）．若$f(2020-\ln 2)=8$，则实数$a$的值为$-\frac{8}{e^{2020-\ln 2}}$．

13.在三角形ABC中，D和E是BC上的两个三等分点，且满足AB·AD＝2AC·AE。求cos∠ADE的最小值。

14.设函数f(x)＝|x3－ax－b|，其中a，b∈R，x∈[－1，1]。若f(x)≤XXX成立，则当M取得最小值时，a＋b的值为多少？

15.在三棱锥PABC中，AP＝AB，点M，N分别为棱PB，PC的中点，平面PAB⊥平面PBC。证明：(1) BC∥平面AMN；(2)平面AMN⊥平面PBC。

16.在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝1/4.(1)若a＝5，c＝25，求b的值；(2)若B＝π/4，求tan 2C的值。

17.在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5.用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为O1，半径为r。现要以截面为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥OO1，记圆锥OO1的体积为V。(1)将V表示成r的函数；(2)求V的最大值。

18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右顶点为A，过点A作直线l与圆O：x2+y2=b2相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q。设直线l的斜率为k。(1)用k表示椭圆C的离心率；(2)若OP→·OQ→=1，求椭圆C的离心率。

19.已知函数f(x)＝(a－1/2)ln x(a∈R)。(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y－1＝0，求a的值；(2)若f(x)的导函数f′(x)存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围；(3)当a＝2时，是否存在整数λ，使得关于x的不等式f(x)≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由。

20.已知数列{an}的首项a1＝3，对任意的n∈N*，都有an+1＝kan－1(k≠0)，数列{an－1}是公比不为1的等比数列。(1)求实数k的值；(2)设bn=an－an－1，求证：数列{bn}是等差数列，并求出其公差。 数列{b_n}的前n项和为S_n，其中n为偶数。求所有正整数m的值，使得2m^nS_{2m-1}恰好为数列{b_n}中的一项。

A。(选修42：矩阵与变换)

已知矩阵M＝$\begin{pmatrix}2 & 3 \\ 0 &

1\end{pmatrix}$的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵$M^{-1}$。

B。(选修44：坐标系与参数方程)

在平面直角坐标系$xOy$中，以坐标原点$O$为极点，$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线$l$的极坐标方程为$\rho(\cos\theta+\sin\theta)=12$，曲线$C$的参数方程为$x=2\cos\theta$，$y=2\sin\theta$，其中$\theta$为参数。在曲线$C$上求点$M$，使点$M$到$l$的距离最小，并求出最小值。

C。(选修45：不等式选讲)

已知正数$x$，$y$，$z$满足$x+y+z=1$，求$\dfrac{111}{x+2y^2+2z^2+2xz}$的最小值。

22.如图，在三棱柱$ABCA_1B_1C_1$中，侧面$A A_1

B_1 B$为正方形，侧面$B B_1 C_1 C$为菱形，$\angle B B_1

C_1=60^\circ$，平面$A A_1 B_1 B$垂直于平面$B B_1 C_1 C$。

1)求直线$AC_1$与平面$A A_1 B_1 B$所成角的正弦值；

2)求二面角$\angle BAC_1$的余弦值。

23.已知$n$为给定的正整数，设$(1+x)^n=a+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，其中$x\in\mathbb{R}$。

1)若$n=4$，求$a$，$a_1$的值；

2)若$x=\dfrac{1}{n}$，求$\sum\limits_{k=1}^n(n-k)a_kx^{k-1}$的值。

1)由于MN是AMN平面的子集，BC不在AMN平面上，所以BC与AMN平面平行。

2)在三角形PAB中，由于AP=AB，点M为PB边的中点，所以AM垂直于PB。

3)由于平面PAB垂直于平面PBC，且PAB与PB有交点，AM在PAB平面内，所以AM垂直于PBC平面。

4)由于AM在AMN平面内，且AM垂直于PB，所以AM垂直于AMN平面。 5)在三角形ABC中，根据余弦定理得到b^2+20-2*5*b*cosA=25，即b^2-4b-5=0，解得b=5.

6)由cos A=5/13及0

C=cos(π-(A+B))=-cos(A+B)=-cosA*sinB+sinA*cosB=-5/13*12/13+5/13*5/13=3/5，得到tan C=3/4.由此可得tan 2C=-3/4.

7)在三角形SAO中，SO^2=SA^2-OA^2=25-9=16，所以SO=4.由相似三角形SOO'与SNO可得OO'=1/4r，O'O=4-r，所以圆锥体积V(r)=πr^2(4-r)，最大值为16π/9.

8)直线l的方程为y=k(x-a)，过(2,3)，所以k=2/2=1.由于直线l与圆x+y=b相切，所以|ak-b|=b^2/(2*2)=b^2/4，代入得到a=5/2-b^2/4.椭圆离心率e=sqrt(1-b^2/a^2)。

解答：

设椭圆C的焦距为2c，则右准线方程为x=c，而左准线方程为x=-c。又因为椭圆C的中心为原点，所以其方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1.设点Q在右准线上，则其坐标为Q(c。k(c-a))，其中k为一常数。由椭圆的性质可知，点P在椭圆上，所以其坐标为P(x,y)且满足椭圆方程，又因为P在右准线上，所以其x坐标为c。联立方程解得P(2c。2k(c-a))。因此，椭圆C的离心率为a/c。

设函数y=f(x)，则f′(x)=2lnx+(a-1)/x。因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-1=0，所以f′(1)=a-1=-1，解得a=0.又因为f′(x)=ax-1+lnx存在两个不相等的零点，所以设g(x)=ax-1+lnx，则g′(x)=a/x+1/x=（a+1）/x。由此可得：

①当a≥-1时，g′(x)>0，所以g(x)单调递增，至多有一个零点。

②当a0，g(x)单调递增；当x∈(-1/a，+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)在(-1/a，+∞)上存在两个零点。又因为g(1)=a-1<0，所以g(x)在(0，1/a)上存在一个零点。综上所述，g(x)存在两个不相等的零点，当- e^2

因为y'=2-te^2) 单调递减，因此当t=111时，y<2ln(e^2)-e^2-1=3-e^2<0，所以g((-)2)=ln((-)2)+(-)1<0，所以g(x)在(-。+∞)上存在一个零点。综上可知，实数a的取值范围是(-e^2.0)。

当a=2时，f(x)=(2-x)ln x，f'(x)=2ln x+(2-x)=2-x+2ln x。设g(x)=2x-1+ln x，则g'(x)=2+1/x>0，所以g(x)单调递增，且g(0)=ln 00，所以存在x∈(0,1)使得g(x)=0.因为当x∈(0,1)时，g(x)0，即f'(x)>0，所以f(x)单调递增，所以x=x时，f(x)取得极小值，也是最小值，此时f(x)=(2-x)ln x=(2-x)(1-2x)=-(4x^2-x)+4.因为x∈(0,1)，所以f(x)∈(-1,0)。因为f(x)≥λ，且λ为整数，所以λ≤-1，即λ的最大值为-1.

解：(1)由an+1=kan-1，a1=3可知，a2=3k-1，a3=3k^2-k-1.因为{an-1}为等比数列，所以(a2-1)^2=(a1-1)(a3-1)，即(3k-2)^2=2×(3k^2-k-2)，即3k^2-10k+8=0，解得k=2或k=4/3.

当k=4/3时，an+1-3=(an-3)，所以an=3，则an-1=2，所以数列{an-1}的公比为1，不符合题意；当k=2时，an+1-1=2(an-1)，所以数列{an-1}的公比q=2，所以实数k的值为2.

2)由(1)知an-1=2n，所以bn={4-n (n为奇数)。n/2 (n为偶数)}，则S2m=(4-1)+4+(4-3)+4^2+…+[4-(2m-1)]+4m=(4-1)+(4-3)+…+[4-(2m-1)]+4+4^2+…+4m=4m(1-m/4)+(4/3)^m-4/3.则