第八章 多元函数微分学习题解
第八章 多元函数微分学习题解
第8章 多元函数微分学
§8.1 多元函数的基本概念
内容概要
区域 定义
邻域 nR空间中点0P的邻域为 00(){|||}UPPPP
平面上点000(,)Pxy的邻域为 22000(){(,)|()()}UPxyxxyy
点集 开集 所有点都是内点的点集
闭集 开集连同边界构成的点集
连通集 任意两点都可用一条完全在点集中的折线连接的点集
区域 连通的点集。开区域、闭区域；有界区域、无界区域
多元函数 定义 D为平面上非空点集，如果对D中任一点(,)xy，按某种法则f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f为D上的二元函数，记(,)zfxy，(,)xyD，D为定义域。
几何意义：(,)zfxy为空间曲面，D为曲面在xoy面上投影。
可定义三元及以上函数。
二重极限 0,0,当2200()()xxyy时，恒有|(,)|fxyA，则称00lim(,)xxyyfxyA。
注：其中00(,)(,)xyxy为任意方式。从而若(,)xy以不同方式趋于00(,)xy时，(,)fxy无限靠近不同的常数，则二重极限不存在。
多元函数连续 若0000lim(,)(,)xxyyfxyfxy，则函数(,)zfxy在00(,)xy连续。
初等函数在其定义区域内连续。
闭区域上连续函数必有最大、最下值；有界；满足介值定理。
课后习题全解
习题8-1
★1.设 222(,)xyfxyxy，求(1,)yfx。
解：222222(1,)1()yyxyxfyxxyx
★2. 已知函数(,,)wuvfuvwuw，试求(,,)fxyxyxy。
解： 2(,,)()()xyxfxyxyxyxyxy
★★3.设()zxyfxy，且当0y时，2zx，求()fx。
另解：由 方程两边同时求对 x 的偏导数,得 从而
同理 x 故 所以
z 例 12(02.7 设函数 有连续偏导数, 且 由方程
ze 所确定,求 du . 解 在 两边微分,得
故 由 u
得 从而 11
提问：设 x
，其中 f 具有连续偏导数， z 则 例 13 设
都由方程 所确定的有连续偏导数的函数， 求证 提示：由 F ( x , y ,
， 同理可得
练习：（1）设 ，求
（2）求方程 所确定的隐函数
的 a 2 b2 c2 偏导数. 说明：此例中方程确定两个不同的函数
2 b2 但在其偏导数存在的区域内，所得结果均与上式相同. 12
高等数学提高班辅导讲义（下）
1 专题七：多元函数微分学
【大纲要求】
1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.
2．了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.
3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.
4．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.
5．会用隐函数的求导法则.
6．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法.
7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程.
8．了解二元函数的二阶泰勒公式.
9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.
【知识要点】
1.多元函数及其极限与连续：
1.1 二元函数的定义：设D为一平面点集，若Dyx,，变量z按一定法则，总有确定值与之相对应,则称变量z是变量yx,的二元函数，记作yxfz,。
1.2 二元函数的极限：设函数yxfz,在点00,yx的某去心邻域内有定义，A为常数，如果,0,0当20200yyxx时，有Ayxf,，则称函数yxfz,当yx,趋于00,yx时极限为A，记作Ayxfyyxx,lim00,。
1.3 二元函数的连续性：设函数yxfz,在点00,yx的某邻域内有定义，且
00,,,lim00yxfyxfyyxx，则称函数yxfz,在点00,yx连续。
2. 多元函数的偏导数与全微分：
2.1 偏导数： 设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，极限xyxfyxxfx),(), (lim00000存在, 则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx对x的偏导数,记为;),(00yxxz;),(00yxxf),(00yxfx。 第八讲 多元函数微分学
第八章 多元函数微分学
§8.1 多元函数的基本概念
一、 填空题：
1． 设 f (x,y)=ln(x-22xy),其中x>y>0,则f (x+y, x-y)=_____________.
2． 函数z=222212xyxy的定义域_______________________________.
3． 函数z=arcsin(2x)+ 2224ln(1)xyxy的定义域____________________.
4． 函数f (x, y)= 221sin()xy的间断点___________________________.
5． (x, y)沿任何直线趋于00(,)xy时，f (x, y)的极限存在且相等是00(x,y)(,)xy时f(x, y)的极限存在的_________条件。（充分非必要，充要，必要非充分，既非充分又非必要）
二、 求下列函数的极限：
1．22(,)(1,0)ln()limyxyxexy 2．(,)(0,1)42lim3xyxyxy
3．2(,)(,)1lim(1)xxyxyaxy （a不为0） 4．22222(,)(0,0)1cos()lim()xyxyxyxye
5．22(,)(0,)limxyyxxy 0 6．(,)(0,)11lim()sincosxyxyxy 0
三、 证明下列极限不存在：
1．2(,)(0,)limxyxyx 0
2．(,)(0,)limxyxyxy 0
四、 函数f(x, y)= 24242420)00xyxyxyxy （ （） 在（0，0）点连续吗？
§8.2 偏导数
一、 选择题：
1．xf，yf在00(,)xy处均存在是f (x ,y)在该点连续的________条件。
