一次函数的应用（提高）
【学习目标】
1. 能从实际问题的图象中获取所需信息；
2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式；
3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题；
4. 提高解决实际问题的能力．认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际问题的能力．
【要点梳理】
要点一、数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
要点二、正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
要点三、选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
【典型例题】
类型一、简单的实际问题
1、在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示.下列说法正确的有（ ）：
①起跑后1小时内，甲在乙的前面；
②第1小时两人都跑了10千米；
③甲比乙先到达终点；
④两人都跑了20千米.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个
【答案】C；
【解析】①②④正确.在起跑1小时以内，甲的图象始终在乙的图象的上方，故甲在乙的前面；第一小时，两人所跑的路程均为10千米；乙比甲先到达终点；乙的速度是10千米/时，2小时跑了20千米，甲也跑了同样的路程.
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课件中心精品资料 版权所有@课件中心 第 1 页 共 6 页 一次函数的应用例题精讲
函数的应用是灵活运用函数的知识去解决实际问题，题中的信息有的是利用表格提供，要善于从图文、表格中准确获取信息，用函数的知识分析和解决问题。复习中要提高分析、审题能力和建立数学模型的能力。
例1．为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：
A型 B型
价 格（万元／台） 12 10
处理污水量（吨／月） 240 200
年消耗费（万元／台） 1 1
经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元。
（1）求购买设备的资金y万元与购买A型x台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案；
（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案；
（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）
解：
（1） （1） 购买污水处理设备A型x台，则B型)10(x台，由题意知：
)10(1012xxy
即1002xy
∵1002xy≤105
∴x≤2.5
又∵x是非负整数
∴x可取0、1、2
∴有三种购买方案：①购A型0台，B型10台；②购A型1台，B型9台；③购A型2台，B型8台；
（2）由题意得)10(200240xx≥2040，解得x≥1
∴x为1或2
∵由1002xy得k=2>0，y随x的增大而增大，
为了节约资金，应选购A型1台，B型9台。
（3）10年企业自己处理污水的总资金为：102＋10×10＝202（万元）
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一次函数的应用
知识要点
1.一次函数
(1)一次函数的形式bkxy（k，b为常数，k0），
正比例函数的形式kxy（k为常数，k0）正比例函数是特殊的一次函数
(2)、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数bkxy的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kxy的图像是经过原点（0，0）的直线。
2.一次函数的性质和正比例函数的性质
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
／k／的决定直线的倾斜程度，／k／越大直线越陡，／k／越小直线越缓
b代表与y轴交点的纵坐标。
当b>0 直线交y轴正半轴 b<0直线交y轴负半轴
3.一次函数与y轴的交点坐标为（0，b）；一次函数与x轴的交点坐标，另y等于0，求出x的值.即（—kb，0）
4.一次函数与坐标轴围成的三角形面积：
21×／与x轴的交点横坐标／×／与y轴的交点纵坐标／
5.两个一次函数k1=k2,b1 ≠ b2两直线平行
k1≠k2,b1= b2两直线相交于y轴上的点（0，b）
k1×k2=-1.两直线垂直
6.直线y=2x向上平移三个单位得到y=2x+3，向下平移三个单位得到y=2x-3
7.在实际问题的图像常取在第一象限，读图时注意x轴y轴代表的信息，若图中有两条直线应标注各个直线的名称。
8.一次函数与一元一次方程的关系：
由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应x的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
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典 型 例 题
1．某移动公司开设了两种通信业务：“全球通”要缴月租费50元．另外每分钟通话费0.4元；“神州行”不缴月租费，但每分钟通话费0.6元．若一个月通话x（min），两种收费方式的费用分别为y1和y2元．
授课
类型 T 一次函数的应用 T一次函数的应用 T 巩固练习
教学内容
鞋子的“鞋码”和鞋长(cm)存在一种换算关系,下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值：
鞋 长 16 19 24 27
鞋 码 22 28 38 44
(1)分析上表，“鞋码”与鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数？
(2)设鞋长为x，“鞋码”为y，求y与x之间的函数关系式；
(3)如果你需要的鞋长为26cm,那么应该买多大码的鞋？(★★)
【解析】第一问是判断函数类型的题目，我们就目前我们学过的的函数只有正反比例函数和一次函数，可以用根据列表描点法画出图像来判断出是一次函数，再利用待定系数法求解一次函数，再令x=26可解的鞋码y
解：（1）分析上表，“鞋码”与鞋长之间的关系符合一次函数函数
（2）设一次函数的一般式为(0)yaxba,将16,22;19,28xyxy带入一般式可得，
22162819abab｛解的2{10ab则一次函数为210yx
（3）令26x，带入一次函数210yx，可得2261042y，所以需要的鞋长为26cm时，应该买42码的鞋
【评析】本题是以生活实际为背景的考题．题目提供了一个与现实生活密切联系的问题情境，以考查学生对有关知识的理解和应用所学知识解决问题的能力，同时为学生构思留下了空间．
利用一次函数解决实际问题时应注意什么问题？
1、学会从表格中提取信息；
2、利用待定系数法解一次函数；
3、综合考虑一次函数、一元一次方程、二元一次方程（组）之间的内在联系，灵活运用；
4、有时由“数”到“表格”，有时由“表格”到“数”，把“表格”与“形”有机结合起来
5、根据一次函数的性质并结合实际问题作出预测或得出结论
我来试一试！
为了保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明：假设课桌的高度为
