最值问题(小学奥数)

10、余数问题

【求余数】

（1990年江苏宜兴市第五届小学生数学竞赛试题）

一组，就可得到331组，尚余4个6。

而6666÷7=952……2。所以，原式的余数是2。

例2 9437569与8057127的乘积被9除，余数是__。

（《现代小学数学》邀请赛试题）

讲析：一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。

9437569各位数字之和除以9余7；8057127各位数字之和除以9余3。

7×3=21，21÷9=2……3。

所以，9437569与8057127的乘积被9除，余数是3。

例3 在1、2、3、4、……、1993、1994这1994个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么这样的数最多能选出_______个。

（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

讲析：可将1、2、3、……、1994这1994个数，分别除以26。然后，按所得的余数分类。

要使两个数的和是26的倍数，则必须使这两个数分别除以26以后，所得的余数之和等于26。

但本题要求的是任意两个数的和都是26的倍数，故26的倍数符合要求。这样的数有1994÷26=76（个）……余18（个）。但被26除余13的数，每两个数的和也能被26整除，而余数为13的数共有77个。

所以，最多能选出77个。 【同余问题】

例1 一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（余数不为0）。这个整数是_____。

（全国第一届“华杯赛”初赛试题）

讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两个数的差。因此，问题可转化为求（300—262）和（262—205）的最大公约数。

不难求出它们的最大公约数为19，即这个整数是19。

例2 小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少？（1989年上海市小学数学竞赛试题）

1

学生姓名 年级 4 授课时间 教师姓名 课时

简单的最值问题

一、专题简析：

在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。

解答最大最小问题通常要用下面的方法：

1，枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；

2，着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。

二、精讲精练

例题1 把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？

分析 为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心处D中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数1。而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填11——16。然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值了。

（2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16）÷3=72 2 练习一

1，将5、6、7、8、9、10六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？

2，把2——9分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。

3，将1——9这九个自然数分别填进九个小三角形中，使每4个小三角形组成的三角形内的4个数的和都等于20。

3 例题2 有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？

分析 3堆西瓜的总重量是42.5千克，要使最重的一堆尽可能轻些，另两堆就得尽可能重些。

第1页共10页【培优奥数专题】五年级下册数学-最值问题（解析版）一、知识点1、定理一：如果两个正整数的和一定，它们的差越小，乘积越大特别：当两个数相等时，他们的乘积最大口诀：“和同近积大”举例：6＝1＋5，1×5＝5：6＝2＋4，2×4＝8；6＝3＋3，3×3＝9（乘积最大）2、定理二：两个正整数的乘积一定，它们的差越小，和也越小特别：当两个数相等时，他们的和最小口诀：“积同近和小”举例：6＝1×6，1＋6＝7；6＝2×3，2＋3＝5（和最小）二、学习目标1.我能够理解定理一与定理二，熟记“和同近积大”与“积同近和小”的口诀。2.我能够运用定理一与定理二解决简单的实际问题。

第2页共10页三、课前练习1.分别将8、10、15拆分成两个正整数的和，并求出每种拆分方法的乘积。【解答】详解略，强调：8＝4＋4，4×4＝16最大；10＝5＋5，5×5＝25最大；15＝7＋8，7×8＝56最大。总结规律：如果两个正整数的和一定，那么这两个数的差越，乘积越。【解答】小，大或大，小2.分别将18、30、105拆分成两个正整数的乘积，并求出每种拆分方法的和。【解答】详解略，强调：18＝3×6，3＋6＝9最小；30＝5×6，5＋6＝11最小；105＝7×15，7＋15＝22最小；总结规律：如果两个正整数的乘积一定，那么这两个数的差越，和越。【解答】小，小或大，大四、典型例题思路点拨从小热身里面我们可以发现两个数的和相等，当它们越接近时（也就是它们的差越小时），两个数乘积越大，简单记成“和同近积大”。

第3页共10页例题1（1）如果两个正整数的和是17，那么这两个正整数的乘积的最大值是。【解答】和同近积大17÷2＝8……1，17＝8＋9，8×9＝72最大，故最大值为72。（2）用10米长的篱笆围成一个长方形鸡舍，若鸡舍借助一个墙角（两面墙的夹角为90度，如下图所示），则当长为米、宽为米时鸡舍的面积最大，最大面积是平方米。【解答】靠墙的情况根据题意可知，长十宽＝10。鸡舍面积要最大，则长×宽的积最大，根据“和同近积大”可得：10÷2＝5（米），5×5＝25（平方米）故当长为5米，宽为5米时，鸡舍的最大面积是25平方米。（3）用54米长的木桩围成一个长方形羊圈，如果羊圈的长和宽都是整数米，则当长为米、宽为米时羊圈的面积最大，最大面积是。【解答】没有靠墙的情况根据题意可知，54是长方形的周长，不是长加宽的和。长＋宽＝54÷2＝27（m），27÷2＝13……1，27＝13＋14，13×14＝182（平方米）故当长为14米，宽为13米时，羊圈的最大面积是182平方米。

第十五章 最值问题

知识要点

1.如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，它们的乘积越大。当两个数相等时，它们的乘积最大。

2.两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。

3.把一个数拆分成若干个自然数之和，如果要使这若干个自然数的乘积最大，那么这些自然数应全是2或3，且2的个数不超过2个。

典例巧解

例1 两个自然数的和是13，要使两个整数的乘积最大，这两个整数是多少？

点拨 将两个自然数的和为13的所有情况都列出来，有以下7种情况：

13＝0＋13， 0×13＝0； 13＝1＋12， 1×12＝12；

13＝2＋11， 11×2＝22； 13＝3＋10， 3×10＝30；

13＝4＋9， 4×9＝36； 13＝5＋8， 5×8＝40；

13＝6＋7， 6×7＝42。

由此可见，两个整数的和一定时，两个整数的差越小，它们的乘积越大。

解 13÷2＝6„„1， 6×(6＋1)＝42。

答：这两个整数分别为6和7。

例2 比较下面两个乘积的大小。

A＝57128463×87596512 B＝57128470×87596505

点拨 要比较A与B的大小，用计算的方法求积会很麻烦。仔细观察两组对应因数的大小，我们不难发现，两个因数的和是一定的，只要比较每组两个因数差的大小就可以了，差大的积反而小，差小的积反而大。

解 A组两个因数的差：87596512－57128463＝30468049，

B组两个因数的差：87596505－57128470＝30468035。

因为30468049＞30468035，所以B＞A。

例3 两个自然数的积是50，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？