证明正弦定理

正弦定理的5种证明方法在⊿ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为，则这就是正弦定a b c 、、,sin sin sin a b c A B C==理．在这个定理的证明过程中蕴涵着丰富的几何意义．为了简单,仅以锐角三角形为例作简要说明．直角三角形的情形非常简单, 钝角三角形的情形与锐角三角形类似．证法一 三角形高法是⊿ABC 的边上的高；sin ,sin a B b A c 是⊿ABC 的边上的高；sin ,sin a C c A b 是⊿ABC 的边上的高．sin ,sin b C c B a 根据这个几何意义，定理证明如下：作锐角三角形ABC 的高CD ，则CD=．sin sin a B b A =所以，同理．sin sin a b A B =sin sin b c B C=因此.sin sin sin a b c A B C == 证法二 三角形外接圆法是⊿ABC 的外接圆直径． 根据这个几何意义，定理证明如下：,,sin sin sin a b c A B C作锐角三角形ABC 的外接圆直径CD ，连结DB ．根据同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是直角得，∠A=∠D, ∠DBC=90°,（为⊿ABC 的外接圆半2CD R =R 径）．所以，所以．sin sin 2CB a A D CD R ===2sin a R A=同理．2,sin b R B =2sin c R C=因此．2sin sin sin a b c R A B C ===证法三 三角形面积法是三角形ABC 的面积．1sin ,2ab C 1sin ,2bc A 1sin 2ac B 根据这个几何意义,定理证明如下：作锐角三角形ABC 的高CD ，则CD=．sin a B 所以三角形ABC 的面积．11sin 22S AB CD ac B == 同理 所以 1sin ,2S ab C =1sin ,2S bc A =1sin 2bc A =1sin 2ac B 1sin ,2ab C =同除以,再取倒数有．12abc sin sin sin a b c A B C ==证法四 向量的数量积法把变形为．sin ,sin a B b A cos(),cos()22a B b A ππ--则在锐角三角形ABC 中,作高CD,则分别是向量cos(),cos()22a CD B b CD A ππ-- 与向量的数量积．,CB CA CD 利用这个几何意义，定理证明如下：作锐角三角形ABC 的高CD ．因为=,所以0==(),AB CB CA - AB ∙CD CB CA - ∙CD 所以，所以,CB CD CA CD ∙=∙ cos()cos()22a CD Bb CD A ππ-=- 即sin sin .a Bb A =所以，同理．sin sin a b A B =sin sin b c B C=因此．sin sin sin a b c A B C ==证法五 如果想避开分类讨论,可以把三角形放在平面直角坐标系中,利用坐标法．　证明如下：　以C 为原点,以射线CA 为轴的正半轴建立平面直角坐标系,x ）且使点B 落在轴的上方,则AC 边上的高即为B 点的纵坐标.x 根据三角函数的定义, B 点的纵坐标．sin h a C =所以三角形ABC 的面积．11sin 22S bh ab C ==同理 ．1sin ,2S ac B =1sin 2S bc A =所以111sin sin sin ,222bc A ac B ab C == 同除以,再取倒数有．12abc sin sin sin a b c A B C==这种证法之所以避开分类讨论,是因为利用了一般三角函数的定义,前面的四种几何证法都需要分类讨论,因为它们的证明中仅仅利用了锐角三角函数的定义．这个方法是证明正弦定理最简单的方法,体现了坐标法的优越性.。

正弦定理的几种证明方法正弦定理是三角学中的重要定理，它可以用于求解任何三角形中的未知边和角，下面将介绍几种证明正弦定理的方法：证明方法一：三角形的面积法设三角形ABC的三边长度分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C。

根据三角形面积公式，可以得到：S(三角形ABC)=0.5*a*h1=0.5*b*h2=0.5*c*h3其中h1、h2、h3分别为三角形ABC对应边的高，可以通过正弦函数关系得到：h1 = b * sinCh2 = c * sinAh3 = a * sinB代入前面的面积公式，得到：S(三角形ABC) = 0.5 * a * b * sinC = 0.5 * b * c * sinA = 0.5 * c * a * sinB移项整理后得到正弦定理：a / sinA =b / sinB =c / sinC证明方法二：向量法在平面直角坐标系中，设三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。

根据向量的定义，可以得到：\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (x2 - x1, y2 - y1)\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (x3 - x1, y3 - y1)根据向量的数量积公式，可以得到：\vec{AB}， = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2} = a\vec{AC}， = \sqrt{(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2} = c又根据向量的叉积公式，可以得到：而叉积的模也可以通过坐标计算得到：综上，可以得到正弦定理的向量形式：证明方法三：海伦公式法根据海伦公式，三角形ABC的面积S可以通过三角形的周长p和三条边的长度a、b、c计算得到：S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}其中p=(a+b+c)/2、又根据三角形面积的定义，可以得到：S = 0.5 \cdot a \cdot b \cdot \sin\angle C将前面两个公式等式右边进行等式转换，得到：\sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} = 0.5\cdot a \cdot b \cdot \sin\angle C两边平方，整理得到：16p^2 \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c) = a^2 \cdot b^2 \cdot \sin^2\angle C整理后得到：16(p-a)(p-b)(p-c)p = a^2 b^2 \cdot \sin^2\angle C再根据赫罗定理，可以得到：p(p-a)(p-b)(p-c)=S^2将上面两个等式联立，整理得到：16S^2 = a^2 b^2 \cdot \sin^2\angle C再开更号，得到：2S = ab \cdot \sin\angle C即得正弦定理。

正弦定理的19种证明一、正弦定理正弦定理是一个数学定理，说明每一个三角形的内角与临边之间的关系，为了方便研究，其通常使用三大正弦的另外三个隐函数的缩写形式的等式形式表示，即：sin A/a = sin B/b = sin C/c二、正弦定理的19种证明1、积分技巧。

积分是比较常见的证明正弦定理的方法，它涉及解决三角形的三角函数内角A和B之间关系的非线性微分方程，以及三元正弦定理的性质，例如通过解决变量θ的积分，以获得正弦定理的证明。

2、几何图形对比。

通过对比几何形状来证明正弦定理，即A与C有同样的形状，C与B也有相同的形状。

显然，相应两个角度之间的正弦值不变，因此就有了正弦定理。

3、证明三角形三条边的关系。

正弦定理证明三角形三条边有特定的关系，具体来说，通过三条边之间的一个三角几何关系，基于一对对比几何象限将三条边映射到三个内角，然后进一步推出正弦定理。

4、斜率技巧。

斜率技巧也是证明正弦定理的常用手段。

可以把三个内角中的两个角的Wrangel公式（斜率相等为例）结合起来，然后将此结果用三角函数表示出来，并用它们三个内角之间的正弦值对比实现等式证明。

5、角平分线公式。

角平分线公式也是常用的证明正弦定理的方法，即证明一个给定的三角形的外角等于两个内角的和，并用此结论建立正弦和余弦的三角函数，由此将正弦定理证明出来。

6、椭圆公式。

椭圆公式也是证明正弦定理的手段之一。

它依赖于椭圆的对称性，将椭圆抽象为三角形的形式，从而推进正弦定理的证明。

7、按照等式技术。

这种证明方法最常见，首先用角平分线技术证明一个给定的三角形的外角等于两个内角的和，然后将结论进行三角函数表示，建立正弦和余弦的三角函数，最后用斜率技术将等式推进，从而证明正弦定理的真实性。

8、解三角形的相交技巧。

使用相交技巧作为证明正弦定理的方法，首先从三角形的基本定义出发，将三角形中所有的点都定义一次，三角形中角A、B、C所在直线两边各定义一次，最后证明三角形中角A、B、C所在直线相交，并用此结论来证明正弦定理。

正弦定理常见证明正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。

以下是正弦定理的几种常见证明方法：方法一：外接圆证明只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。

设AB长度为c。

若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，此时∠C'=∠C（同弧所对的圆周角相等）。

在Rt△ABC'中，有若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，BC的对边为a，此时∠C'=∠A，亦可推出。

故对任意三角形，定理得证。

方法二：向量证明若△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j⊥,则j与的夹角为90°-∠A,j 与的夹角为90°-∠C。

由向量的加法原则可得为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到∴|j| ||Cos90°+|j| || Cos(90°-C)=|j| ||Cos(90°-A) .∴asinC=csinA 即同理,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+∠C,j与的夹角为90°+∠B,可得。

方法三：三角函数证明做一个边长为a，b，c的三角形，对应角分别是A，B，C。

从角C向c边做垂线，得到一个长度为h的垂线和两个直角三角形。

显然有sinC=h/c和sinB=h/b，而a/c=sinB/sinC=b/b=b/sinB=2r（r为外接圆半径），从而证明了正弦定理。

以上是正弦定理的常见证明方法，不同的证明方法涉及不同的数学知识和技巧，建议根据个人情况进行选择和学习。

正弦定理的证明,罗增儒正弦定理是解决三角形任意边和其对应的两个角之间的关系的重要工具。

它可以用于计算三角形的边长，以及在解决实际问题中的应用。

本文将对正弦定理进行证明。

设三角形ABC的三边分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C。

引入一个圆O，使得O分别在边a、b、c上，且交BC于点P，AC于点Q，AB于点R。

即O为三角形ABC的外接圆的圆心。

连接AO、BO、CO，如下图所示：```R O/ //a / /// /// c //A///P----Q B\ / /\ / /C /```由于角AOQ、BOP、COR都是圆心角，因此它们的度数相等，即有：∠AOQ = ∠BOP = ∠COR = θ (1)由于BCOP是一个四边形，且角COR是BCOP的对角线的角，因此它们的和等于180°，即有：∠COR + ∠COP = 180° (2)结合式(1)，可以得到：∠COR + θ = 180° (3)同样地，可以得到：∠BOP + θ = 180° (4)注意到∠AOQ = 180° - ∠QOA，∠BOP = 180° - ∠BOC，∠COR = 180° - ∠COP，可以将式(1)、(3)、(4)改写为：180° - ∠QOA = θ180° - ∠BOC = θ180° - ∠COP = θ从而可以得到：∠QOA = 180° - θ∠BOC = 180° - θ∠COP = 180° - θ由于∠AOC是一个圆心角，且∠COP是弧BC所对的角，因此它们的度数相等，即有：∠AOC = ∠COP (5)同样地，可以得到：∠BOC = ∠BOQ (6)∠AOC = ∠AOP (7)由正弦函数的性质可知，对于任意角t，都有sin(180° - t) = sin(t)。

正弦定理及其证明过程正弦定理是解决三角形中边长与角度之间关系的最基本的定理之一。

它表明，三角形的一个边及它对应的角的正弦比例是一个常数。

正弦定理在解决三角形的实际问题中起着重要的作用，例如测量不直接能够测量的边长或角度，计算海图和测量距离等。

正弦定理可以用以下形式表示：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中a、b、c分别表示三角形的三边长，A、B、C分别表示三角形的三个角。

现在我们来证明正弦定理。

首先，我们将在一个平面上画一个任意三角形ABC，其中边长分别为a、b和c，角度分别为A、B和C。

然后，我们从顶点A开始，在边AB上取一个点D，并画一条垂直于边AB的线段DE。

同样，我们从顶点C开始，在边BC上取一个点F，并画一条垂直于边BC的线段FG。

现在，我们已经得到了两个直角三角形ADE和CFG。

由于AE和CG都是高度，所以它们的长度相等，且等于三角形ABC的高度h。

现在我们来计算ADE和CFG的面积。

根据三角形的面积公式，它们的面积分别为：Area(ADE) = 1/2 * AD * DE，Area(CFG)= 1/2 * CF * FG。

根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积等于ADE和CFG的面积之和。

因此，我们有：Area(ABC) = Area(ADE) + Area(CFG)= 1/2 * AD * DE + 1/2 * CF * FG同时，我们知道ADE和CFG是直角三角形，可以使用三角函数来表示它们的边和角度之间的关系。

根据正弦函数的定义，我们有：sinA = DE / AD，sinC = FG / CF根据上述关系，我们可以将DE和FG用sinA和sinC来表示，然后代入到Area(ABC)的计算公式中，得到：Area(ABC) = 1/2 * AD * (sinA * AD) + 1/2 * CF * (sinC * CF)= 1/2 * AD^2 * sinA + 1/2 * CF^2 * sinC接着，我们回到三角形ABC，根据三角形的面积公式，我们还可以用底边和高度来计算三角形的面积。

正弦定理的几种证明方法正弦定理是三角学中的一个基本定理，它描述了三角形中边长和对应角的正弦值之间的关系。

以下是几种证明正弦定理的方法：方法一：利用三角形的面积公式第一步，根据三角形的面积公式，三角形的面积$S$可以表示为$S =\frac{1}{2}ab\sin C$。

第二步，利用正弦定理，我们可以将三角形的面积表示为$S =\frac{1}{2}a^2\sin B\sin C$。

第三步，根据三角形的面积公式，三角形的面积也可以表示为$S =\frac{1}{2}c^2\sin A\sin B$。

第四步，比较第二步和第三步的结果，可以得到正弦定理的表达式：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。

方法二：利用余弦定理和三角函数的性质第一步，根据余弦定理，三角形的任意一边的平方等于其他两边平方和减去两倍的这两边与它们之间的角的余弦的乘积。

即$a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cos A$。

第二步，利用三角函数的性质，我们有$\cos A = \frac{b^2 + c^2 -a^2}{2bc}$。

第三步，将第二步的结果代入第一步的等式中，可以得到正弦定理的表达式：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。

方法三：利用三角形的外接圆半径第一步，根据三角形的外接圆半径的定义，三角形外接圆的半径等于三角形一边长度的一半与该边所对的角的正弦值的比值。

即$R = \frac{a}{2\sin A}$。

第二步，同理，我们可以得到$r = \frac{b}{2\sin B}$和$r = \frac{c}{2\sin C}$。

第三步，比较第一步和第二步的结果，可以得到正弦定理的表达式：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$。

正弦定理主要知识点总结一、正弦定理的表述在任意三角形ABC中，我们可以得到正弦定理的表述如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示三角形的角度。

二、正弦定理的证明正弦定理的证明可以使用三角形的面积公式来进行推导。

我们知道，三角形的面积可以用边长和对应的角度的正弦函数来表示：S = 1/2 * a * b * sinCS = 1/2 * b * c * sinAS = 1/2 * c * a * sinB由于三角形的面积是固定的，所以我们可以得到以下等式：a *b * sinC = b *c * sinA = c * a * sinB进而推导得到正弦定理的表述：a/sinA = b/sinB = c/sinC三、正弦定理的应用1. 求解三角形的边长正弦定理可以帮助我们求解三角形中的边长。

当我们已知三角形的一个角度和对边，以及另外两个角度之一时，我们就可以通过正弦定理来求解这个三角形的其它边长。

2. 求解三角形的角度正弦定理也可以帮助我们求解三角形中的角度。

当我们已知三角形的边长和对应的两个角度时，我们可以通过正弦定理来求解这个三角形的其它两个角度。

3. 解决实际问题正弦定理在解决实际问题中也有着广泛的应用。

比如在测量不便的情况下，可以利用正弦定理来计算物体的高度、距离等。

四、正弦定理的注意事项在使用正弦定理时，需要注意以下几点：1. 三角形的三个边长必须是正数，角度必须在0到180度之间。

2. 必须注意边长和角度之间的对应关系，确保使用正确的对应关系来求解未知量。

3. 在实际问题中，需要根据具体情况来选择使用正弦定理还是余弦定理。

五、正弦定理与余弦定理的比较正弦定理和余弦定理都是三角形中常用的定理，它们之间的区别在于求解的对象不同。

正弦定理适用于已知三角形的一个角和对边，以及另外两个角度之一的情况下求解三角形的其它边长或角度；而余弦定理适用于已知三角形的三个边长或两个边长和夹角的情况下求解三角形的其它边长或角度。

正弦定理和余弦定理笔记一、正弦定理。

（一）定理内容。

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，即(a)/(sin A)=(b)/(sinB)=(c)/(sin C) = 2R（R为三角形外接圆半径）。

（二）证明方法。

1. 外接圆法。

- 设ABC的外接圆半径为R。

- 连接圆心O与三角形的三个顶点A、B、C。

- 对于∠ A，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可知∠ A=(1)/(2)∠BOC。

- 由正弦定义，在BOC中，a = 2Rsin A，同理可得b = 2Rsin B，c = 2Rsin C，所以(a)/(sin A)=(b)/(sin B)=(c)/(sin C)=2R。

2. 向量法（略提）- 利用向量的数量积公式→AB·→AC=|→AB||→AC|cos A，通过一系列向量运算也可证明正弦定理，但相对外接圆法较复杂。

（三）应用。

1. 已知两角和一边，求其他边和角。

- 例如，已知A = 30^∘，B = 45^∘，a = 10。

- 根据三角形内角和C=180^∘-A - B = 105^∘。

- 由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，可得b=(asin B)/(sin A)。

- 先求出sin 45^∘=(√(2))/(2)，sin 30^∘=(1)/(2)，则b=(10×frac{√(2))/(2)}{(1)/(2)} = 10√(2)。

- 再根据(a)/(sin A)=(c)/(sin C)求出c的值，sin105^∘=sin(60^∘+45^∘)=sin60^∘cos45^∘+cos60^∘sin45^∘=(√(6)+√(2))/(4)，c=(asin C)/(sin A)=(10×frac{√(6)+√(2))/(4)}{(1)/(2)} = 5(√(6)+√(2))。

2. 已知两边和其中一边的对角，求其他边和角（可能有一解、两解或无解情况）- 例如，已知a = 10，b = 20，A = 30^∘。