2010~2011学年度第一学期泰州市高三数学第一次模拟考试试卷

江苏省泰兴市2010届高三开学初调研测试数学试题一、填空题（每小题5分，共70分） 1、已知全集U =R ，集合{}22A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则AB = ▲ ．2、已知向量a )1,2(-=，b ),6(x =，且a ∥b ，则x 的值是 ▲ ．3、()cos 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭π的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ． 4、如图，给出幂函数ny x =在第一象限内的图像，n 取12,2±±四个值，则相应于曲线1234,,,C C C C 的n 依次为▲5、若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a = ▲ ．6、设数列{}n a 为公比1q >的等比数列，若45,a a 是方程24830x x -+=的两根，则67a a +=___▲ __.7．函数93)(23--+=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取到极值，则=a ▲ ． 8．若平面向量a =（1，2）与b 的夹角是180°，且||35b =，则b = ▲ ．9．数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n 项和为Sn,则数列{n S n}的11项和为__▲ ___.10．已知函数2log (0)()3(0)xx x f x x >⎧=⎨⎩≤则)]41([f f 的值是 ▲ ． 11.函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ▲ ．12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36,963==S S ，则=++987a a a ▲ ．13．若函数()21f x ax x =++在区间[)2,-+∞上为单调增函数，则实数a 的取值范围是▲ ．14．已知数列{}n a 满足：1a m ＝（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时.若6a ＝1，则m 所有可能的取值为 ▲ ．二、解答题（本大题6小题,共90分）15.（本小题14分）记函数132)(++-=x x x f 的定义域为A ，()()lg[(1)(2)],1g x x a a x a =---< 的定义域为B ．若A B ⊆，求实数a 的取值范围． 16、（本小题15分） 在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =．（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．17．（本小题15分） 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S．18．（本小题15分）已知向量()1,3,2sin ,2cos ,23sin ,23cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c x x b x x a（1）当b a ⊥时，求x 的值的集合； （2）求ca -的最大值．19. （本小题15分）生产某种产品x 吨时，所需费用是210151000xx ++元，当出售这种产品x 吨时，每吨价格是b xa +（b a ,是常数）元，如果生产出来的这种产品能全部出售，那么当产量是150吨时，利润最大，并且这时每吨的价格是40元，求b a ,的值．20. （本小题16分）已知函数321(),3f x x ax bx =++且(1)0f '-=（I ）试用含a 的代数式表示b ；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点．.............密.....................封.....................线.....................以.....................内.....................请.....................不.....................要.....................答.....................题.....................学校 班级 姓名 考试号江苏省泰兴市2010届高三开学初调研测试 数学答题纸 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将正确答案填在题中的横线上）1． 2．3． 4．5． 6．7． 8．9． 10．11． 12．13． 14．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）16．（本小题满分15分）17．（本小题满分15分）江苏省泰兴市2010届高三开学初调研测试 数学参考答案一、填空题（每小题5分，共70分）1.已知全集U =R ，集合{}22A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B =[)0,2． 2.已知向量354sin()23x =+-π)1,2(-=，b ),6(x =，且a ∥b ，则x 的值是 -3 ． 3.()cos 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭π的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= 10 ． 4.如图，给出幂函数ny x =在第一象限内的图像，n 取12,2±±四个值，则相应于曲线1234,,,C C C C 的n 依次为112,,,222--．5.若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a = 1 ．6.设数列{}n a 为公比1q >的等比数列，若45,a a 是方程24830x x -+=的两根，则67a a +=___18 __.7．函数93)(23--+=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取到极值，则=a 4 ． 8．若平面向量a =（1，2）与b 的夹角是180°，且||35b =，则b = （-3，-6） ．9．数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n 项和为Sn,则数列{n S n}的前11项和为__-66.10．已知函数2log (0)()3(0)xx x f x x >⎧=⎨⎩≤则)]41([f f 的值是 91 ． 11.函数1()cos cos 2()2f x x xx =-∈R 的最大值等于3412．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36,963==S S ，则=++987a a a 4513．若函数()21f x ax x =++在区间[)2,-+∞上为单调增函数，则实数a 的取值范围是104a ≤≤．14．已知数列{}n a 满足：1a m ＝（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时.若6a ＝1，则m 所有可能的取值为 4 , 5 , 32 ．二、解答题15.（本小题14分）记函数132)(++-=x x x f 的定义域为A ，()()lg[(1)(2)],1g x x a a x a =---< 的定义域为B ．若A B ⊆，求实数a 的取值范围．解：1{-<=x x A 或1}x ≥-------------------------------------------------------------5分}12{+<<=a x a x B要使A B ⊆，则11a +-≤或21a ≥-------------------------------------------10分则2a -≤或112a <≤------------------------------------------------------------14分16.（本小题15分） 在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =．（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．解：（Ⅰ）由5cos 13A =-，得12sin 13A =，由3cos 5B =，得4sin 5B =．所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=．--------------------8分（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===．所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=．----------15分 17．（本小题15分） 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，-----------------------------------------5分 112n n n b q --==．----------------------------------------------------------------------------------------10分（Ⅱ）1212n n n a n b --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++， ①3252321223222n n n n n S ----=+++++， ②②－①得：22122221222222n n n n S ---=+++++-，221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-．----------------------------------------------------------------------------------------15分18．（本小题15分）已知向量()1,3,2sin ,2cos ,23sin ,23cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c x x b x x a（1）当b a ⊥时，求x 的值的集合； （2）求ca -的最大值.解：（1）a b ⊥，0a b ∴⋅=，即02sin 23sin 2cos 23cos =⋅-⋅xx x x即02cos )223cos(==+x xx所以2,2x k k =+∈Z ππ，即,24k x k =+∈Zππ所以，x 的集合为{|,}24k x x k =+∈Z ππ------------------------------------------------8分（2）2222a c a a c c-=-⋅+)23sin 23cos 3(2423sin 23cos 22x x x x --++=)23sin 2123cos 23(45x x --=)323sin(45π-+=x2max9a c∴-=，即max3a c-=-----------------------------------------------------------15分19. （本小题15分）生产某种产品x 吨时，所需费用是210151000xx ++元，当出售这种产品x 吨时，每吨价格是b xa +（b a ,是常数）元，如果生产出来的这种产品能全部出售，那么当产量是150吨时，利润最大，并且这时每吨的价格是40元，求b a ,的值． 解：设出售x 吨时，利润是y 元，则)1051000()(2x x x b x a y ++-+= =1000)5(10102--+-x a x b b ---------------------------------------------------4分依题意可知，当150=x 时，y 有最大值，则40150=+b a ①----------------------------------8分当0<b 或10>b 时，b b 1010-＜0 ，故 15010)5(5=--b a b ②解①②得30,45-==b a ． --------------------------------------------------------------15分 20. （本小题16分）已知函数321(),3f x x ax bx =++且(1)0f '-=（I ）试用含a 的代数式表示b ；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点；解法一:()Ⅰ()22f x x ax b '=++依题意,得()1120f a b '-=-+=,--------------------------------------------------2分故21b a =-.------------------------------------------------------------------------------------4分()Ⅱ由()Ⅰ得()()321213f x x ax a x =++-,故()()()2221121f x x ax a x x a '=++-=++-,令()0f x '=,则1x =-或12x a =-,--------------------------------------------------6分当>1a 时, 12<1a --, 当x 变化时,()f x '与()f x 的变化如下表:由此得,函数()f x 的单调增区间为(-∞,12a -)和(1-, +∞),单调减区间为(12a -,1-).当1a =时, 121a -=-.此时()0f x '≥恒成立,且仅在1x =-处()0f x '=,故函数()f x 的单调增区间为R .当<1a 时, 12>1a --,同理可得函数()f x 的单调增区间为()1-∞，-和()12a -+∞，,单调减区间为()112a --，.--------------------------------------------------9分综上:当>1a 时,函数()f x 的单调增区间为(-∞,12a -)和(1-, +∞),单调减区间为(12a -,1-);当1a =时,函数()f x 的单调增区间为R ; 当<1a 时,函数()f x 的单调增区间为()1-∞，-和()12a -+∞，,单调减区间为()112a --，.-------------------------------10分(Ⅲ)当1a =-时,得()32133f x x x x=--由()223=0f x x x '=--,得11x =-,23x =.由(Ⅱ)得()f x 单调区间为()1-∞-，和()3+∞，,单调减区间为()13-，,所以函数()f x 在11x =-,23x =处取得极值;故513M -,⎛⎫⎪⎝⎭，()39N ,-.------------------------------------------------------------12分所以直线MN 的方程为8y 13x =--，由321y 338y 13x x x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得32330x x x --+=-------------------------------14分令()3233F x x x x =--+.易得()03>0F =，()23<0F =-.而()F x 的图像在()0,2内是一条连续不断的曲线，故()F x 在()0,2内存在零点0x ，这表明线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------16分解法二:(I)同解法一 (II)同解法一(Ⅲ) 当1a =-时,得()32133f x x x x =--,由()223=0f x x x '=--,得11x =-,23x =.由(Ⅱ)得()f x 单调区间为()1-∞-，和()3+∞，,单调减区间为()13-，,所以函数()f x 在11x =-,23x =处取得极值;故513M -,⎛⎫⎪⎝⎭，()39N ,-.------------------------------------------------------------12分所以直线MN 的方程为8y 13x =--，由321y 338y 13x x x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得32330x x x --+=-------------------------------14分解得:11x =-,21x =,33x =.∴11153x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩, 221113x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩, 3339x y =⎧⎨=-⎩. 所以线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点1113-（，）.--------------16分。

江苏省泰州市数学高三上学期文数第一次高考适应性考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分） (2018高二上·山西月考) 设集合，则（）A .B .C .D .2. （1分）设i为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A . -4-3iB . -4+3iC . 4+3iD . 4-3i3. （1分）以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（1）命题“若am2<bm2”，则“a<b”的逆命题是真命题（2）“a>b”是“a2>b2”的充要条件；（3）“x=3”是“x2-2x-3=0”的必要不充分条件；（4）“”是“”的必要不充分条件.A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个4. （1分） (2018高一下·河南月考) 已知 ,则（）A .B .C .D .5. （1分）已知圆，直线l:x+y=1，则圆C内任意一点到直线的距离小于的概率为（）A .B .C .D .6. （1分）已知函数y=2sin的图象经过点（0，1），则该函数的一条对称轴方程为（）A . x=-B . x=-C . x=D . x=7. （1分）圆上的点到直线的距离最大值是（）A . 2C .D .8. （1分） (2016高一上·烟台期中) 函数f（x）=2 的大致图象为（）A .B .C .D .9. （1分）在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（）A .B .C .10. （1分）直角三角形的三条边长构成等差数列，则其最小内角的正弦值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2017高一上·汪清月考) 若指数函数是R上的减函数，则的取值范围是________．12. （1分） (2015高二上·黄石期末) 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，按系统抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，如果在第一组抽得的编号是0015，则在第21组抽得的编号是________．13. （1分）(2017·上海模拟) 设变量x、y满足约束条件：，则z=x2+y2的最大值是________．14. （1分）函数y= 的值域是________．三、解答题 (共7题；共14分)15. （2分）(2018·鞍山模拟) 已知数列是等差数列，其前项和为， .（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和 .16. （2分）(2020·海南模拟) 某公司组织开展“学习强国”的学习活动，活动第一周甲、乙两个部门员工的学习情况统计如下：学习活跃的员工人数学习不活跃的员工人数甲1812乙328（1）从甲、乙两个部门所有员工中随机抽取1人，求该员工学习活跃的概率；（2）根据表中数据判断能否有的把握认为员工学习是否活跃与部门有关；（3）活动第二周，公司为检查学习情况，从乙部门随机抽取2人，发现这两人学习都不活跃，能否认为乙部门第二周学习的活跃率比第一周降低了？参考公式：，其中 .参考数据：，， .17. （2分）(2017·诸城模拟) 如图，在几何体ABCDQP中，AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，CD=AD=AQ=PQ= AB．（1）证明：平面APD⊥平面BDP；（2）求二面角A﹣BP﹣C的正弦值．18. （2分） (2017高二上·定州期末) 已知的圆心为的圆心为N,一动圆与圆M内切，与圆N外切.（1）求动圆圆心P的轨方迹方程；（2）设A,B分别为曲线P与x轴的左右两个交点，过点的直线与曲线P交于C,D两点，若，求直线的方程.19. （2分） (2017高三上·威海期末) 已知函数f（x）=x2+alnx﹣x（a≠0），g（x）=x2 ．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的a∈（1，+∞），总存在x1 ，x2∈[1，a]，使得f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，求实数m的取值范围．20. （2分）已知圆锥曲线（为参数）和定点， F1 、 F2 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线 AF2 的直角坐标方程；（2）经过点 F1 且与直线AF2 垂直的直线 l 交此圆锥曲线于M,N 两点，求||MF1|-|NF1|| 的值．21. （2分）已知函数f（x）=x2+2x，g（x）+f（﹣x）=0．（1）求函数g（x）的解析式；（2）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；（3）若h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在[﹣l，1]上单调递增，求实数λ的范围．参考答案一、单选题 (共10题；共10分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共7题；共14分)15-1、15-2、16-1、16-2、16-3、17-1、17-2、18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、。

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}21A x x =≤，集合{}2,1,0,1,2B =--，则AB = ▲ ．【答案】}{1,0,1- 【解析】试题分析：{}[]21=-11A x x =≤，，{}2,1,0,1,2B =--，则A B =}{1,0,1-考点：集合运算2.如图，在复平面内，点A 对应的复数为1z ，若21i z z =（i 为虚数单位），则2z = ▲ ．【答案】2i -- 【解析】试题分析：()-12A ，，112z i =-+，2211i,z (12)2z z i i i i z ===-+=-- 考点：复数运算3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2212x y -=的实轴长为 ▲ ．【答案】【解析】试题分析：由双曲线方程得，a =2a =考点：双曲线性质4.某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么n = ▲ ．（第2题）【答案】200 【解析】试题分析：男学生占全校总人数80012008006002=++，那么1001,2002n n ==考点：分层抽样5.执行如图所示的伪代码，当输入,a b 的值分别为1,3时，最后输出的a 的值为 ▲ ．【答案】5 【解析】试题分析：第一次循环，134,413,112a b i =+==-==+=，第二次循环，415a =+= 考点：伪代码6.甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为15，甲乙下成和棋的概率为25，则乙不输棋的概率为▲ ． 【答案】45【解析】试题分析：“乙不输棋”的对立事件为“甲获胜”，P （乙不输棋）=1-P （甲获胜）=45考点：概率7.已知直线(0)y kx k =>与圆22:(2)1C x y -+=相交于,A B 两点，若AB =，则k = ▲ ． 【答案】12【解析】试题分析：圆心()2,0C ，半径为1，圆心到直线距离d =，而AB =，得221+=⎝⎭，解得12k =考点：直线与圆位置关系8.若命题“存在20,4R x ax x a ∈++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】(2,)+∞ 【解析】试题分析：由题意得 20,1640a a >=-<V ，解得2a > 考点：命题真假9.如图，长方体1111ABCD A BC D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12V V 的值为 ▲ ．【答案】12【解析】试题分析：设长方体长宽高分别为,,a b c ，1122111111,,322123262Vabc abc V ab c V bc a V =⨯⨯==⨯⨯==考点：棱锥体积10.已知公差为2的等差数列{}n a 及公比为2的等比数列{}n b 满足11220,0a b a b +>+<，则33a b +的取值范围是 ▲ ． 【答案】(,2)-∞- 【解析】1AA试题分析：1122111111210,220,02,2,24a b a b a b a b b b b b +>+=++<<+<--<-=<-，33222222220242a b a b a b b +=++=+++<+-=-，则33a b +的取值范围是(,2)-∞-考点：等差数列与等比数列综合11.设()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()2ln4xxf x =+，记(5)n a f n =-，则数列 {}n a 的前8项和为 ▲ ．【答案】16- 【解析】 试题分析：123456784(4)(3)(2)(1)(0)(1)(2)(3)(4)4(4)2ln164a a a a a a a a f f f f f f f f f f +++++++=-+-+-+-++++=-=-=--=-考点：奇函数性质12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 分别为x 轴，y 轴上一点，且2AB =，若点P ，则AP BP OP ++的取值范围是 ▲ ．【答案】[7,11]考点：直线与圆位置关系13.若正实数,x y 满足2(21)(52)(2)xy y y -=+-，则12x y+的最大值为 ▲ ．【答案】12- 【解析】试题分析：令1,(0)2x t t y+=>，则222(22)(52)(2),(45)(88)80yt y y t y t y -=+--+-+=，因此222(88)32(45)0247001t t t t t ∆=---≥⇒+-≤⇒<≤-1t =-时，2440045t y x t -==>=>-，，因此12x y +的最大值为12- 考点：判别式法求最值14.已知函数π()sin()cos cos()262x x f x A x θ=+--（其中A 为常数，(π,0)θ∈-），若实数123,,x x x 满足：①123x x x <<，②31x x -<2π，③123()()()f x f x f x ==，则θ的值为▲ ． 【答案】23π-考点：三角函数图像与性质二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.在ABC ∆中，角,A B 的对边分别为,a b ，向量(cos ,sin ),(cos ,sin )A B B A ==m n ． （1）若cos cos a A b B =，求证：//m n ；（2）若⊥m n ,a b >，求tan 2A B-的值． 【答案】（1）详见解析（2）tan 12A B -= 【解析】试题分析：（1）因为//sin cos sin cos A A B B ⇔=m n ，所以由正弦定理得cos cos sin cos sin cos a A b B A A B B =⇒=，得证（2）由cos cos sin sin 0cos()0A B A B A B ⊥⇔+=⇔-=m n ，又a b >得2A B π-=，从而tantan 124A B π-== 试题解析：证明：（1）因为cos cos a A b B =，所以sin cos sin cos A A B B =，所以//m n . ……………7分 （2）因为⊥m n ，所以cos cos sin sin 0A B A B +=，即cos()0A B -=， 因为a b >，所以A B >，又,(0,)A B π∈，所以(0,)A B π-∈，则2A B π-=，…12分所以tan tan 124A B π-==.……………14分考点：正弦定理，向量平行与垂直16.如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=︒，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：直线//DF 平面PAC ； （2）求证：PF ⊥AD ．【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行，一般从平面几何中进行寻找，如三角形中位线性质，本题点D ，F 分别为BC ，AB 的中点，故//DF AC 再应用线面平行判定定理即可（2）线线垂直证明，一般利用线面垂直的判定及性质定理，经多次转化进行论证：先从平面几何中找垂直，∵PA PB =，F 为AB 的中点，∴PF AB ⊥，再利用线面垂直判定定理进行转化，由已知条件AC AB ⊥及AC AP ⊥，转化到AC ⊥平面PAB ，再转化到AC PF ⊥，因此得到PF ⊥平面ABC ，即AD PF ⊥．试题解析：证明（1）∵点D ，F 分别为BC ，AB 的中点， ∴//DF AC ，又∵DF ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴直线//DF 平面PAC ． ……………6分 （２）∵90PAC BAC ∠=∠=︒， ∴AC AB ⊥，AC AP ⊥， 又∵ABAP A =，,AB AP 在平面PAB 内，∴AC ⊥平面PAB ， ……………8分 ∵PF ⊂平面PAB ，∴AC PF ⊥，∵PA PB =，F 为AB 的中点，∴PF AB ⊥， ∵AC PF ⊥，PF AB ⊥，ACAB A =，,AC AB 在平面ABC 内，∴PF ⊥平面ABC ， ……………12分 ∵AD ⊂平面ABC ，∴AD PF ⊥． ……………14分考点：线面平行判定定理，线面垂直的判定及性质定理17.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以v 5的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ． （1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； （2）求时间T 最短时cos θ的值．【答案】（1）11()56sin 6T vv v θθθ=++，[,]44θ∈π3π（2）2cos 3θ=【解析】试题分析：（1）小球从A 到F 所需时间为T 分两段计算：56AE EF v v，；而AE θ=，EF 必过圆心O ，所以11sin EF θ=+，从而11()5656sin 6AE EF T v v v v vθθθ=+=++，又由矩形限制得定义域[,]44θ∈π3π （2）利用导数求函数最值：先求导数22221cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)()56sin 30sin 30sin T v v v v θθθθθθθθθ-+-'=-==-，再求导函数零点02cos 3θ=， 列表分析得结论当2cos 3θ=时，时间T 最短． 试题解析：解：（1）过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，1sin sin OG OF θθ==，11sin EF θ=+，AE θ=， 所以11()5656sin 6AE EF T v v v v vθθθ=+=++，[,]44θ∈π3π．……7分（写错定义域扣1分） （2）11()56sin 6T vv vθθθ=++，22221cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)()56sin 30sin 30sin T v v v v θθθθθθθθθ-+-'=-==-，…………9分 记02cos 3θ=，0[,]44θ∈π3π，故当cos 3θ=时，时间T 最短． …………14分 考点：函数实际问题，利用导数求函数最值18.已知数列{},{}n n a b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和． （1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积． 【答案】（1）12n b =（2）1n a n =+（3）详见解析 【解析】试题分析：（1）先根据等比数列通项公式得1211()2()333n n n a -=-=--，再根据等比数列前n 项和公式得21[(1()]1133[(1()]1231()3n n n S --==----，代入2(2)n n nS a b =+得11()213222()23nn n n n S b a --===+--+（2）由题意得22n n S na n =+，因此利用n S 与n a 关系得112(1)2n n S n a ++=++，112(1)2n n n a n a na ++=+-+即1(1)2n n na n a +=-+，12(2)1(1)n n a a n n n n n +-=-≥--，利用累加法得21242[1]3111111n n n a a a n a n n n n n --=--⇒=-⇒=+----（3）因为1n n c n +=，所以由111n k t n k t +++=⋅确定k,t ，解不定方程，首先先分离(1)n k t k n+=-，再根据整数性质，可取1k n =+，则(2)t n n =+.试题解析：解：（1）因为1211()2()333n n n a -=-=--， 21[(1()]1133[(1()]1231()3n n n S --==----， …………2分所以11()2131222()23nn n n n S b a --===+--+． …………4分 （2）若n b n =，则22n n S na n =+，∴112(1)2n n S n a ++=++， 两式相减得112(1)2n n n a n a na ++=+-+，即1(1)2n n na n a +=-+， 当2n ≥时，1(1)(2)2n n n a n a --=-+，两式相减得11(1)(1)2(1)n n n n a n a n a -+-+-=-，即112n n n a a a -++=， …………8分 又由1122S a =+，22224S a =+得12a =，23a =， 所以数列{}n a 是首项为2，公差为321-=的等差数列， 故数列{}n a 的通项公式是1n a n =+． …………10分（3）由（2）得1n n c n+=， 对于给定的*n N ∈，若存在*,,,k t n k t N ≠∈，使得n k t c c c =⋅，只需111n k t n k t +++=⋅， 即1111(1)(1)n k t +=+⋅+，即1111n k t kt =++，则(1)n k t k n+=-， …………12分取1k n =+，则(2)t n n =+，∴对数列{}n c 中的任意一项1n n c n +=，都存在121n n c n ++=+和2222212n n n n c n n+++=+使得212n n n n c c c ++=⋅． …………16分考点：等比数列通项公式及前n 项和公式，累加法求和，不定方程正整数解19.如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=， A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ． （1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由； （3）求证：直线AC 必过点Q ．【答案】（1）1214k k =-（2）52λ=（3）详见解析试题解析：解：（1）设00(,)B x y ，则00(,)C x y --，220014x y +=所以2200012220000111422424x y y y k k x x x x -=⋅===--+--． …………4分 （2）联立122(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222111(1)44(1)0k x k x k +-+-=， 解得211122112(1)4,(2)11P P Pk k x y k x k k --==-=++，联立122(14y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得2222111(14)164(41)0k x k x k +-+-=，解得211122112(41)4,(1414B B Bk k x y k x k k --===++， …………8分所以121241B BC B y kk x k -==-，121122112141562(1)641515P PQ P k y k k k k k x k -+-===--+++，所以52PQ BC k k =，故存在常数52λ=，使得52PQ BC k k =． …………10分 （3）当直线PQ 与x 轴垂直时，68(,)55Q --，则28156225AQ k k -===--，所以直线AC 必过点Q ．当直线PQ 与x 轴不垂直时，直线PQ 方程为：12156()415k y x k -=+-， 联立1212256()4154k y x k x y -⎧=+⎪-⎨⎪+=⎩，解得21122112(161)16,161161Q Q k k x y k k --==++， 所以1212211211616112(161)42161AQk k k k k k k +==-=---+，故直线AC 必过点Q ． …………16 分 （不考虑直线PQ 与x 轴垂直情形扣1分） 考点：直线与圆位置关系，直线与椭圆位置关系 20.已知函数()4212f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，()()()g x f x f x '=-． (1)若0a >，求证：（ⅰ）()f x 在()f x '的单调减区间上也单调递减； （ⅱ）()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点；(2)若1a >，记()g x 的两个零点为12,x x ，求证：1244x x a <+<+． 【答案】（1）（i ）详见解析（ii ）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）（i ）先确定导函数的单调减区间：因为3()4f x ax x '=-，所以()f x '的递减区间为，再确定x ∈时，32()4(41)0f x ax x x ax '=-=-<，（ii ）()432321140410(0)22g x ax ax x x ax ax x x =--+=⇔--+=>，变量分离得3214(2,0)22x x x x a x -=≠>-，利用导数研究函数3214()2x x x x ϕ-=-得当(0,2)x ∈时，1()x ϕ单调递增，1()x ϕ值域为(0,)+∞；当(2,)x ∈+∞时，1()x ϕ单调递增，且1(4)0ϕ=，1()x ϕ值域为(,)-∞+∞；因此1(0)2y a a=>与1()x ϕ有两个交点，所以1()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点．（2）由零点存在定理确定12,x x 取值范围：111111(0)0()()22x a ϕϕϕ=<=<，112119(4)0()()22x a ϕϕϕ=<=<，所以1102x <<，2942x <<，121945422x x a <+<+=<+．试题解析：证：（1）（i ）因为()()42102f x ax x x =->，所以3()4f x ax x '=-，由32(4)1210ax x ax '-=-<得()f x '的递减区间为， …………2 分 当x ∈时，32()4(41)0f x ax x x ax '=-=-<， 所以()f x 在()f x '的递减区间上也递减． …………4 分（ii ）解1：()()()42343211(4)422g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=---=--+， 因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得3214102ax ax x --+=，令321()412x ax ax x ϕ=--+，则21()382x ax ax ϕ'=--，因为0a >，且1(0)02ϕ'=-<，所以()x ϕ'必有两个异号的零点，记正零点为0x ，则0(0,)x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，若()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点，则0()0x ϕ<， …………7 分 由20001()3802x ax ax ϕ'=--=得2001382ax ax =+，所以0003217()939x ax x ϕ=--+，又因为对称轴为4,3x =所以81()(0)032ϕϕ==-<， 所以08733x >>，所以0003217()()0933x ax x ϕ=---<， 又3222111()41(8)(1)1222x ax ax x ax x x ax ϕ=--+=-+-+，中的较大数为M ，则()0M ϕ>， 故0a >()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分解2：()()()42343211(4)422g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=---=--+， 因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得3214102ax ax x --+=，令321()412x ax ax x ϕ=--+，若()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点，则()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点， 当2x =时， 由()0x ϕ=得0a =，此时1()12x x ϕ=-+在(0,)+∞上只有一个零点，不合题意；当2x ≠时，由321()4102x ax ax x ϕ=--+=得321422x x a x -=-， …………7 分 令322148()2422x x x x x x x ϕ-==-----， 则22122572[()]2(58)24()0(2)(2)x x x x x x x x ϕ-+-+'==>--， 当(0,2)x ∈时，()x ϕ单调递增，且由2824,2y x x y x =--=--值域知 ()x ϕ值域为(0,)+∞；当(2,)x ∈+∞时，1()x ϕ单调递增，且1(4)0ϕ=，由2824,2y x x y x =--=--值域知()x ϕ值域为(,)-∞+∞； 因为0a >，所以102a >，而12y a =与1()x ϕ有两个交点，所以1()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分 （2）解1：由（2）知，对于321()412x ax ax x ϕ=--+在(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，不妨设12x x <，又因为(0)10ϕ=>，11()(67)028a ϕ=-<，所以1102x <<，……12 分又因为(4)10ϕ=-<，91()(65710)028a ϕ=->，所以2942x <<， 所以121945422x x a <+<+=<+． …………16 分 解2：由（2）知321422x x a x -=-， 因为[0,2)x ∈时，1()x ϕ单调递增，17()212ϕ=，111111(0)0()()22x a ϕϕϕ=<=<， 所以1102x <<， …………12 分当(2,)x ∈+∞时，1()x ϕ单调递增，1981()220ϕ=，112119(4)0()()22x a ϕϕϕ=<=<， 所以2942x <<， 所以121945422x x a <+<+=<+．…………16 分考点：利用导数研究函数单调性，零点存在定理附加题21.A （几何证明选讲，本题满分10分）如图,圆O 是ABC ∆的外接圆,点D 是劣弧BC 的中点,连结AD 并延长,与以C 为切点的切线交于点P ,求证:PC BDPA AC=.【答案】详见解析 【解析】试题分析：由弦切角定理得PCD PAC ∠=∠,因此PCD ∆～PAC ∆，从而PC CDPA AC=，又等弧对等弦，所以CD BD =,即PC BDPA AC=.试题解析：证明：连结CD ，因为CP 为圆O 的切线，所以PCD PAC ∠=∠,又P ∠是公共角，所以PCD ∆～PAC ∆， ……………5分 所以PC CDPA AC= , 因为点D 是劣弧BC 的中点,所以CD BD =,即PC BDPA AC=. ……………10分 考点：三角形相似，弦切角定理21.B （矩阵与变换，本题满分10分）已知矩阵1252M x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2-,求2M . 【答案】264514M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由矩阵特征多项式得2(1)(5)0x x λλ---+=一个解为2-，因此3x =，再根据矩阵运算得264514M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦试题解析：解：2λ=-代入212(1)(5)052x x xλλλλ+-=---+=--，得3x =矩阵12532M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦……………5分 ∴264514M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦……………10分 考点：特征多项式21.C （坐标系与参数方程，本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中,已知直线11:()72x t C t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与椭圆2cos :(0)3sin x a C a y θθθ=⎧>⎨=⎩为参数,的一条准线的交点位于y 轴上,求实数a 的值.【答案】a =【解析】试题分析：利用加减消元得直线1C 普通方程：29x y +=，利用平方关系22cos sin 1θθ+=消参数得椭圆2C 普通方程2221(03)9y x a a +=<<，得准线：y =，因此9=，即a =试题解析：解：直线1C ：29x y +=，椭圆2C :2221(03)9y x a a+=<<， …………………………5分准线：y =9=得，a =…………………………10分考点：参数方程化普通方程21.D （不等式选讲，本题满分10分）已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c++≥. 【答案】详见解析 【解析】试题分析：由均值不等式得246111a b c ++≥，23a b c ≥++24611127a b c ++≥ 试题解析：证明：因为正实数,,a b c 满足231a b c ++=，所以1≥23127ab c ≤， …………………………5分所以23127ab c ≥因此，24611127a b c ++≥ ……………………10分 考点：均值不等式22.如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，AA 1 = 4．（1）设λ=，异面直线AC 1与CD，求λ的值； （2）若点D 是AB 的中点，求二面角D —CB 1—B 的余弦值．【答案】（1）15λ=或13λ=-（2【解析】试题分析：（1）利用空间向量研究线线角，先建立恰当的空间直角坐标系，设出各点坐标，表示出向量AC1及向量CD 坐标，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据线线角与向量夹角之间关系确定等量关系，求出λ的值（2）先根据方程组求出平面1CDB 的一个法向量及平面1CBB 的一个法向量，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系，求二面角的余弦值。

2010年江苏省泰州中学高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 命题“∃实数x ，使x 2+1<0”的否定可以写成________．2.巳知全集，i 是虚数单位，集合M =Z （整数集）和N ={i,i 2，1i ，(1+i)2i }的关系韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有________． 3. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6:S 3=3，则S 9:S 6=________．4. 长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．5. 设a ，b ∈R ，且b(a +b +1)<0，b(a +b −1)<0，则a 的取值范围是________．6. 已知等差数列{a n }中，有a 11+a 12+⋯+a 2010=a 1+a 2+⋯+a 3030成立．类似地，在等比数列{b n }中，有________成立．7. 过四面体一个顶点的三条棱的中点可以确定一个平面，这样的平面有4个，用这样的四个平面截去4个小棱锥后，剩下的几何体的表面积与原四面体的表面积之比是________．8. △ABC 为锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sinA −cosB, cosA −sinC)，则y =sinθ|sinθ|+|cosθ|cosθ+tanθ|tanθ|的值为________． 9. 以F 1(−1, 0)、F 2(1, 0)为焦点且与直线x −y +3=0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是________．10. 设p:x >2或x ≤−5；q:x+5x−2<0，则非q 是p 的________条件（填序号）．①充分不必要；②必要不充分；③充分必要；④既不充分也不必要．11. △ABC 内接于以O 为圆心的圆，且3OA →+4OB →−5OC →=0．则∠C =________．12. 对于函数f(x)=13|x 3|−a 2x 2+(3−a)|x|+b 有六个不同的单调区间，则a 的取值范围为________．13. 已知f 1(x)=e x sinx ，f n (x)=f ′n−1(x)，n ≥2，则∑fi 2009i=1(0)=________． 14. 函数y =f(x)(x ∈R, x >0)满足(1)f(2x)=2f(x)；(2)当2≤x ≤4时，f(x)=1−|x −3|．则集合S ={x|f(x)=f(36)}中的最小元素是________．二、解答题：（本大题共7小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB|=2，设∠AOB =θ,θ∈(π2,3π4)．（1）用θ表示点B 的坐标及|OA|；（2）若tanθ=−43，求OA →⋅OB →的值． 16. 如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知AB =AA 1，M 为CC 1的中点．（1）求证：BM ⊥AB 1；（2）试在棱AC 上确定一点N ，使得AB 1 // 平面BMN ．17. 在等差数列{a n }中，设S n 为它的前n 项和，若S 15>0，S 16<0，且点A(3, a 3)与B(5, a 5)都在斜率为−2的直线l 上．（1）求a 1的取值范围；（2）指出S 1a 1，S 2a 2，…，S15a 15中哪个值最大，并说明理由． 18. 已知：圆C 过定点A(0, p)，圆心C 在抛物线x 2=2py 上运动，若MN 为圆C 在X 轴上截和的弦，设|AM|=l 1，|AN|=l 2，∠MAN =α．（1）当点C 运动时，|MN|是否变化？写出并证明你的结论；（2）求l 1l 2+l2l 1的最大值，并求取得这个最大值时α的值和此时圆C 的方程． 19. 某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x 个月的利润f(x)={1(1≤x ≤20,x ∈N ∗)110x(21≤x ≤60,x ∈N ∗)（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x 个月的当月利润率g(x)=第x 个月的利润第x 个月前的资金总和，例如：g(3)=f(3)81+f(1)+f(2)． （1）求g(10)；（2）求第x 个月的当月利润率g(x)；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．20. 已知f(x)=x|x −a|−2．（1）若x ∈[0, 1]时，f(x)<0很成立，求a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式f(x)<0．21. 如图，在某城市中，M ，N 两地之间有整齐的方格形道路网，A 1、A 2、A 3、A 4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M 、N 处的甲、乙两人分别要到N ，M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，同时以每10分钟一格的速度分别向N ，M 处行走，直到到达N ，M 为止．（1）求甲经过A 2的概率；（2）求甲、乙两人相遇经A 2点的概率；（3）求甲、乙两人相遇的概率．三、附加题22. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB̂=AD ̂，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点．求证：AB 2=BE ⋅CD ．23. 设数列{a n }，{b n }满足a n+1=3a n +2b n ，b n+1=2b n ，且满足[a n+4b n+4]=M [a n b n]，试求二阶矩阵M ．24. （坐标系与参数方程选做题）已知椭圆C 的极坐标方程为ρ2=123cos 2θ+4sin 2θ，点F 1、F 2为其左，右焦点，直线l 的参数方程为{x =2+√22t y =√22t (t 为参数，t ∈R)． （1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）求点F 1、F 2到直线l 的距离之和．25. 过直线y =−1上的动点A(a, −1)作抛物线y =x 2的两切线AP ，AQ ，P ，Q 为切点．（1）若切线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1⋅k 2为定值．（2）求证：直线PQ 过定点．2010年江苏省泰州中学高考数学模拟试卷答案1. ∀x ∈R ，x 2+1≥02. 23. 734. 1−π45. |a|>16. √b 11b 12…b 2010=√b 1b 2…b 30307. 1:28. −1 9. x 25+y 24=110. ②11. 135∘12. (2, 3)13. 1−450214. 415. （1）解：由三角函数的定义，得点B 的坐标为(2cosθ, 2sinθ)．在△AOB 中，|OB|=2，∠BAO =π4，∠B =π−π4−θ=3π4−θ， 由正弦定理，得|OB|sin π4=|OA|sin∠B ， 即√22=|OA|sin(3π4−θ)，所以|OA|=2√2sin(3π4−θ)．（2）解：由（1）得OA →⋅OB →=|OA →|⋅|OB →|⋅cosθ=4√2sin(3π4−θ)⋅cosθ， 因为tanθ=−43，θ∈(π2,3π4)， 所以sinθ=45，cosθ=−35，又sin(3π4−θ)=sin3π4⋅cosθ−cos 3π4⋅sinθ =√22⋅(−35)−(−√22)⋅45=√210， 所以OA →⋅OB →=4√2⋅√210⋅(−35)=−1225． 16. 解：（1）证明：取A 1B 1的中点F ，连接A 1B ，AB 1交于点E ，连接EF ，C 1F ．因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以C 1F ⊥A 1B 1．又ABC −A 1B 1C 1是正三棱柱，所以B 1B ⊥面A 1B 1C 1，所以B 1B ⊥C 1F ． 所以有C 1F ⊥面BB 1A 1A ．⇒ME ⊥面BB 1A 1A ⇒ME ⊥AB 1，又在面AA 1B 1B 中AB 1⊥A 1B ，所以AB 1⊥平面BEM ， 所以BM ⊥AB 1；（2）N 为AC 的三等分点，CN:NA =1:2．连接B 1C ，B 1C ∩BM =E 1，∵ △CE 1M ∽△B 1E 1B ， ∴ CE 1E 1B 1=CM BB 1=12， ∴ CNNA =CE 1E 1B 1=12，∴ AB 1 // NE 1 又∵ E 1N ⊂面BMN ，AB 1⊄面BMN∴ AB 1 // 平面BMN17. 解：（1）由已知可得a 5−a 35−3=−2，则公差d =−2， ∴ {S 15=15a 1+15×142×d =15(a 1−14)>0S 16=16a 1+16×152×d =16(a 1−15)<0⇒<14<a 1<15； （2）最大的值是S8a 8 ∵ S 15=15a 8>0，S 16=8(a 8+a 9)<0∴ a 8>0，a 9<0即S 8最大又当1≤i ≤8时，S i a i >0；当9≤i ≤15时，Si a i <0，数列{a n }递减 所以，S 1a 1≤S 2a 2≤≤S 8a 8≥S 9a 9≥≥S 15a 15⇒S 8a 8最大．18. 解：（1）：由题意得：⊙C 的方程(x −x 0)2+(y −y 0)2=x 02+(y 0−p)2．把y =0和x 02=2py 0代入整理得x 2−2x 0x +x 02+x p 2=0．解之得方程的两根分为x 1=x 0−p ，x 2=x 0+p ．∴ |MN|=|x 1−x 2|=2P ．∴ 点C 运动时，|MN|不会变化，|MN|=2P （定值）（2）设∠MAN =θ∵ S △AMN =12l 1⋅l 2⋅sinθ=12|OA||MN|=p 2，∴ l 1l 2=2p 2sinθ∵ l 12+l 22−2l 1l 2cosθ=4P 2，∴ l 12+l 22=4P 2+4P 2sinθcosθ=4P 2(1+ctgθ)． ∴ l 2l 1+l 1l 2=l 12+l 22l 1l 2=4P 2(1+ctgθ)sinθ2P 2=2√2sin(θ+π4)．∵ 只有当C在O点处时，θ为直径上圆周角，其他时候都是劣弧上的圆周角．∴ 0<θ≤π2，故当θ=π4时，原式有最大值2√2．∵ ∠MAN=π4，∴ ∠MCN=2∠MAN=π2∴ y0=P，x0=±√2P，r=√2P．所求圆的方程为(x−√2p)2+(y−p)2=2p2或((x+√2p)2+(y−p)2=2p2．19. 解：（1）由题意得：f(1)=f(2)=f(3)=...=f(9)=f(10)=1g(x)=f(10)81+f(1)+⋯+f(9)=181+1+⋯+1=190．（2）当1≤x≤20时，f(1)=f(2)=f(x−1)=f(x)=1∴ g(x)=f(x)81+f(1)+⋯+f(x−1)=181+1+⋯+1=181+(x−1)=1x+80．当21≤x≤60时，g(x)=f(x)81+f(1)+⋯+f(20)+f(21)+⋯+f(x−1)=110x81+1+⋯+1+f(21)+⋯f(x−1)=110x81+20+2110+⋯+x−110=110x101+12(2110+x−110)(x−21)=110x101+(x−21)(x+20)20=2xx2−x+1600∴ 当第x个月的当月利润率g(x)={1x+80(1≤x≤20,x∈N∗) 2xx2−x+1600(21≤x≤60,x∈N∗)；（3）当1≤x≤20时，g(x)=1x+80是减函数，此时g(x)的最大值为g(1)=181当21≤x≤60时，g(x)=2xx2−x+1600=2x+1600x−1≤2√1600−1=279当且仅当x=1600x时，即x=40时，g(x)max=279，又∵ 279>181，∴ 当x =40时，g(x)max =279所以，该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为279． 20. 解：（1）x|x −a|−2<0．即x|x −a|<2．∵ x =0，a ∈R∴ |x −a|<2x ，0<x ≤1， 即x −2x <a <x +1x ， ∵ x −2x 和x +2x ，当x ∈(0,1]时分别单调递增和递减， ∴ −1<a <3．（2）原不等式化为{x ≥a x 2−ax −2<0(1) 或{x <a x 2−ax +2>0(2) 解（1）得：a ≤x <a+√a 2+82；解（2）得：−2√2<a <2√2时，x <a ；a =2√2时，x <a 且x ≠a/2；a =−2√2时，x <a ；a >2√2时，x <a−√a 2−82或a+√a 2−82<x <a ；a <−2√2时，x <a ．综合可知：当a <2√2时，x <a+√a 2+82；a =2√2时，x <2√2，且x ≠√2；a >2√2时，x <a−√a 2−82或a+√a 2−82<x <a+√a 2+82．21. 解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件满足条件的事件是甲经过A 2到达N ，可分为两步：第一步：甲从M 经过A 2的方法数：C 31种；第二步：甲从A 2到N 的方法数：C 31种；∴ 甲经过A 2的方法数为(C 31)2；∴ 甲经过A 2的概率P =(C 31)2C 63=920． （2）由（1）知：甲经过A 2的方法数为：(C 31)2；乙经过A 2的方法数也为：(C 31)2；∴ 甲、乙两人相遇经A 2点的方法数为：(C 31)4=81；∴ 甲、乙两人相遇经A 2点的概率P =(C 31)4C 63C 63=81400．（3）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A 1、A 2、A 3、A 4处相遇，他们在A i (i =1, 2, 3, 4)相遇的走法有(C 3i−1)4种方法；∴ (C 30)4+(C 31)4+(C 32)4+(C 33)4=164∴ 甲、乙两人相遇的概率P =164400=41100．22. 证明：连接AC ，∵ EA 切⊙O 于A ，∴ ∠EAB =∠ACB ．∵ AB̂=AD ̂， ∴ ∠ACD =∠ACB ，AB =AD ．于是∠EAB =∠ACD ．又四边形ABCD 内接于⊙O ，∴ ∠ABE =∠D ．∴ △ABE ∽△CDA ． 于是AB CD =BEDA ，即AB ⋅DA =BE ⋅CD ．∴ AB 2=BE ⋅CD ．23. 解：由题设得[a n+1b n+1]=[3202][a n b n ]，设A =[3202]，则M =A 4． A 2=[3202][3202]=[91004] M =A 4=(A 2)2=[91004][91004]=[81130016]． 24. 解：（1） 直线l 普通方程为 y =x −2； …曲线C 的普通方程为x 24+y 23=1． …（2）∵ F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)，∴ 点F 1到直线l 的距离d 1=√2=3√22，… 点F 2到直线l 的距离d 2=√2=√22，… ∴ d 1+d 2=2√2．…25. 解：（1）设过A 作抛物线y =x 2的切线的斜率为k ，则切线的方程为y +1=k(x −a)，与方程y =x 2联立，消去y ，得x 2−kx +ak +1=0．因为直线与抛物线相切，所以△=k 2−4(ak +1)=0，即k 2−4ak −4=0．由题意知，此方程两根为k 1，k 2，∴ k 1k 2=−4（定值）．（2）设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，由y =x 2，得y′=2x ．=2x1，所以在P点处的切线斜率为：y′|x=x1因此，切线方程为：y−y1=2x1(x−x1)．由y1=x12，化简可得，2x1x−y−y1=0．同理，得在点Q处的切线方程为2x2x−y−y2=0．因为两切线的交点为A(a, −1)，故2x1a−y1+1=0，2x2a−y2+1=0．∴ P，Q两点在直线2ax−y+1=0上，即直线PQ的方程为：2ax−y+1=0．当x=0时，y=1，所以直线PQ经过定点(0, 1)．。

泰州市2010～2011学年度第一学期期末联考高三数学试题参考答案一、填空题1. 2；2. 2,210x R x x ∀∈-+>；3. 12；4. {}1,1,2-；5.20；6. 2π；7. 1；8. 2log 3；9. ②③④；10.215；11.12.；13. 5,016⎛⎫- ⎪⎝⎭；14.sin θ.二、解答题15. ⑴∵在ABC ∆中，AB AC =，E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥.…………………………（1分）又∵平面ABC ⊥平面BCD ，AE ⊂平面ABC ， 平面ABC 平面BCD BC =，∴AE ⊥平面BCD .…………………………………（5分）⑵∵BD CD =，E 为BC 的中点，∴BC DE ⊥.…………………………（6分）由⑴AE BC ⊥，又AE DE E =，AE ，DE ⊂平面AED ，∴BC ⊥平面AED .…………（9分） 又AD ⊂平面AED ，∴BC AD ⊥，即AD BC ⊥. …………………………（10分）⑶取AB 、AC 的中点M 、N ，所有的点G 构成的集合T 即为ABC ∆的中位线MN .………………………………………………………………………………（14分）16. ⑴∵cos()a b αβ⋅=-，∴2cos 3θ=. ……………………………………（3分）∴22sinsin()1cos cos 2πθθθθ-+=-- ……………………………………（5分）19=-. …………………………………………………………………………（7分）⑵∵(1cos ,sin )b c ββ+=+，a ∥()b c +，∴cos sin (1cos )sin 0αββα-+=.………………………………………………（9分）又∵2k πα≠，k βπ≠()k Z ∈，∴sin tan 1cos βαβ=+………………………（12分）22sincos22tan 22cos 2ββββ==. ……………………………………………………（14分）17. ⑴由已知第7天的销售价格49p =，销售量41q =. ∴第7天的销售收入749412009W =⨯= (元) . ……………………………………………………（3分） ⑵设第x 天的销售收入为x W ，则(44)(48)1620097(56)(32)820x x x x W x x x x +-≤≤⎧⎪==⎨⎪-+≤≤⎩.…（6分） 当16x ≤≤时，2(44)(48)(44)(48)()21162x x x W x x ++-=+-≤=.（当且仅当2x =时取等号）∴当2x =时取最大值22116W =.………………………………（9分）当820x ≤≤时，2(56)(32)(56)(32)()19362x x x W x x -++=-+≤=.（当且仅当12x =时取等号）∴当12x =时取最大值121936W =. …………………………（12分）由于2712W W W >>，∴第2天该农户的销售收入最大. …………………………（13分） 答：⑴第7天的销售收入2009元；⑵第2天该农户的销售收入最大. …………（14分） 18. ⑴由题意可得点P 的轨迹1C 是以,A B 为焦点的椭圆. ……………………（2分）且半焦距长c m =，长半轴长3a m =，则2C 的方程为2222198x y m m+=.………（5分） ⑵若点(,)x y 在曲线1C 上，则2222198x y m m +=.设03x x =0y =，则03x x =，0y =. …………………………………………………………………………（7分）代入2222198x y m m +=，得22200x y m +=，所以点(3x 一定在某一圆2C 上. ………………………………（10分）⑶由题意(3,0)C m . ………………………………………………………………（11分）设11(,)M x y ，则22211x y m +=.┈┈┈①因为点N 恰好是线段CM 的中点，所以113(,)22x m y N +. 代入2C 的方程得222113()()22x m ym ++=.┈┈┈② 联立①②，解得1x m =-，10y =.…………………………………………………（15分） 故直线l 有且只有一条，方程为0y =. ……………………………………………（16分） （若只写出直线方程，不说明理由，给1分）19. ⑴由题意1(3,0)A 、1(0,4)B 、2(5,0)A 、2(0,7)B . ∴11404033A B k -==--，22707055A B k -==--. …………………………………（2分）1122A B A B k k ≠，∴11A B 与22A B 不平行. ……………………………………（4分）⑵{}n a 、{}n b 为等差数列，设它们的公差分别为1d 和2d ，则111211112(1),(1),n n n n a a n d b b n d a a nd b b nd +=+-=+-=+=+，，由题意11111()2n n n n n OA B OA B n n n n S S S a b a b ++∆∆++=-=-.……………………………（6分）∴[]111211121()()((1))((1))2n S a nd b nd a n d b n d =++-+-+-121211121(2)2d d n a d b d d d =++-，…………………………………………（8分） ∴1121211121(2)2n S d d n a d b d d d +=+++，∴112n n S S d d +-=是与n 无关的常数，∴数列{}n S 是等差数列. ……………………………………………………………（10分） ⑶(,0)n n A a 、(0,)n n B b ，∴n k =002n n n n n b b an ba a -+=-=--.又数列{}n k 前8项依次递减， ∴1n n k k +-=11(1)222n n n a n b an b an a b+++++-+-+=0<对17()n n Z ≤≤∈成立，即0an a b -+<对17()n n Z ≤≤∈成立.………………（12分）又数列{}n b 是递增数列，∴0a >，只要7n =时，即760a a b a b -+=+<即可.又112b a b =+≥-，联立不等式60120,a b a b a a b Z+<⎧⎪+≥-⎪⎨>⎪⎪∈⎩，作出可行域（如右图所示），易得1a =或2.…………（14分）当1a =时，136b -≤<-，即13,12,11,10,9,8,7b =-------，有7解；当2a =时，1412b -≤<-，即14,13b =--，有2解.∴数列{}n b 共有9个. …（16分） 另解：也可直接由12,06-≥+<+b a b a 得5120<<a .又Z a ∈，则1a =或2.下同 20. ⑴当2a x <时，249()4f x a x =为增函数. …………………………………（1分） 当2a x ≥时，()f x '=23x 423a x -.令()f x '0>，得x a x a ><-或.…………（3分）∴()f x 的增区间为(,)a -∞-，(,)22a a-和(,)a +∞.……………………………（4分）⑵由右图可知，①当12a <<时，12a a <<，()f x 在区间[]1,a 上递减，在[],2a 上递增，最小值为3()4f a a =；………（6分）②当01a <≤时，()f x 在区间[]1,2为增函数，最小值为4(1)13f a =+；……………………………（8分）③当2a =时，()f x 在区间[]1,2为增函数，最小值为3()4f a a =； ……………………………（9分） 综上，()f x 最小值431301()412a a g a a a ⎧+<≤=⎨<≤⎩. ……………………………（10分） ⑶由()[]2()(2)()(2)()f x f t x f t f x f t x f t -+≥+-，可得[][]()()()(2)0f t f x f t f t x ---≥， ………………………………（12分）即()()()(2)f t f x f t f t x ≤⎧⎨≤-⎩或()()()(2)f t f x f t f t x ≥⎧⎨≥-⎩成立，所以t 为极小值点，或t 为极大值点.又,222aa x t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()f x 没有极大值，所以t 为极小值点，即t a =……………（16分）（若只给出t a =，不说明理由，得1分）。

第8题泰州市2011届高三第一次模拟考试数学试题（考试时间：120分钟 总分：160分）命题人：朱占奎（省靖江中学） 吴明德（泰兴市一高） 王晓宇（省口岸中学） 审题人：吴卫东（省泰兴中学） 石志群（泰州市教研室）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填入答题卡填空题 的相应答题线上。

）1.双曲线1322=-y x 的离心率是 。

2.命题“012,2≤+-∈∃x x R x ”的否定是 。

3.设i 是虚数单位，若ai iz ++=11是实数，则实数=a 。

4.已知集合{}a A ,1-=，{}b B a ,2=，若{}1=B A ，则=B A 。

5.某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为10人，则样本容量为 。

6.设()()R x x x x f ∈--=322，则在区间[]ππ,-上随机取一个数x ，使()0<x f 的概率为 。

7.设函数()x x x f ln 2+=，若曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程为b ax y +=，则=+b a 。

8.右图是一个算法的流程图，则输出a 的值是 。

9.设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则下列4组条件中 所有能推得b a ⊥的条件是 。

（填序号） ①,α⊂a b ∥β，βα⊥；②βαβα⊥⊥⊥,,b a ； ③,α⊂a β⊥b ，α∥β；④α⊥a ，b ∥β，α∥β。

10.数列{}n a 为正项等比数列，若12=a ，且116-+=+n n n a a a ()2,≥∈n N n ，则此数列的前4项和=4S 。

11.过直线x y l 2:=上一点P 作圆()()218:22=-+-y x C 的线21,l l ，若21,l l 关于直线l 对称，则点P 到圆心C 的距离为 。

江苏泰兴市重点中学2011届高三第一次检测试卷数学试题（文科）一、填空题1．函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=63sin 2πx x f 的最小正周期=T 2．已知等差数列{}n a 中，若22113=+a a ，则=7a3．已知集合{}{}N x x Q x x x P ∈=<--=/,032/2，则=⋂Q P4．已知向量a 与b 的夹角为120o，3,a a b =+=则b =_______．5．函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=x x x f 2sin sin 3π在R x ∈上的最小值等于6．函数()x x x f sin 2-=在()π,0上的单调增区间为7．ABC ∆三边长为c b a ,,，对应角为C B A ∠∠∠,,，已知()222b a c CB CA --=⋅，则=∠C ____8．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()(R)f x x ax a =+∈，(2)6f =，则a =_________9．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则公比q =__________．10．已知()()xx x f 21ln -+=的零点在区间()()N k k k ∈+1,上，则k 的值为11．已知－7，1a ，2a ，－1四个实数成等差数列，－4，1b ，2b ，3b ，－1五个实数成等比数列，则212b a a -=__________．12．若函数2()log (3)(01)a f x x ax a a =-+>≠且，满足对任意的1x 、2x ，时，0)()(21>-x f x f ，则实数a 的取值范围为________________13．已知等差数列{}n a ，满足9,352==a a ，若数列{}n b 满足n b n a b b ==+11,3，则{}n b 的通项公式=n b14．设函数1()f x x x=-，对任意的[)1,x ∈+∞,()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是____________． 二、解答题15．（14分）已知()()π,0,sin ,31,cos ,1∈⎪⎭⎫ ⎝⎛==x x x （1）若b a //，求xx xx cos sin cos sin -+的值；（2）若⊥，求x x cos sin -的值。

江苏泰兴市重点中学2011届高三第一次检测试卷数学试题（文科）一、填空题1．函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=63sin 2πx x f 的最小正周期=T 2．已知等差数列{}n a 中，若22113=+a a ，则=7a3．已知集合{}{}N x x Q x x x P ∈=<--=/,032/2，则=⋂Q P 4．已知向量a 与b 的夹角为120o ，3,13,a a b =+=则b =_______．5．函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x f 2sin sin 3π在R x ∈上的最小值等于 6．函数()x x x f sin 2-=在()π,0上的单调增区间为7．ABC ∆三边长为c b a ,,，对应角为C B A ∠∠∠,,，已知()222b a c CB CA --=⋅，则=∠C ____8．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()(R)f x x ax a =+∈，(2)6f =，则a = _________ 9．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则公比q =__________．10．已知()()xx x f 21ln -+=的零点在区间()()N k k k ∈+1,上，则k 的值为 11．已知－7，1a ，2a ，－1四个实数成等差数列，－4，1b ，2b ，3b ，－1五个实数成等比数列，则212b a a -=__________．12．若函数2()log (3)(01)a f x x ax a a =-+>≠且，满足对任意的1x 、2x ，0)()(21>-x f x f ，则实数a 的取值范围为________________13．已知等差数列{}n a ，满足9,352==a a ，若数列{}n b 满足n b n a b b ==+11,3，则{}n b 的通项公式=n b14．设函数1()f x x x=-，对任意的[)1,x ∈+∞,()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是____________．二、解答题15．（14分）已知()()π,0,sin ,31,cos ,1∈⎪⎭⎫ ⎝⎛==x x b x a（1）若b a //，求xx x x cos sin cos sin -+的值； （2）若b a ⊥，求x x cos sin -的值。

泰州市高三数学试卷泰州市2011届高三第一次模拟考试数学2011．01(满分160分考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入相应的答题线上．1.双曲线x 2－y 23＝1的离心率是________．2.命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≤0”的否定是________．3.设i 是虚数单位，若z ＝11＋i ＋a i 是实数，则实数a ＝________.4.已知集合A ＝{－1，a }，B ＝{2a ，b }，若A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝________.5.某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为10人，则样本容量为________．6.设f (x )＝x 2－2x －3(x ∈R )，设在区间[－π，π]上随机取一个数x ，使f (x )＜0的概率为________．7.设函数f (x )＝x 2＋ln x ，若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝ax ＋b ，则a ＋b ＝________.8.右图是一个算法的流程图，则输出a 的值是________．9.设a 、b 是两条直线，α、β是两个平面，则下列4组条件中所有能推得a ⊥b 的条件是.(填序号)①a ⊂α，b ∥β，α⊥β；②a ⊥α，b ⊥β，α⊥β；③a ⊂α，b ⊥β，α∥β；④a ⊥α，b ∥β，α∥β.10.数列{a n }为正项等比数列，若a 2＝1，且a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N ，n ≥2)，则此数列的前4项和S 4＝________.11.过直线l ：y ＝2x 上一点P 作圆C ：(x －8)2＋(y －1)2＝2的切线l 1、l 2，若l 1、l 2关于直线l 对称，则点P 到圆心C 的距离为________．12.已知正实数x 、y 、z 满足2＋1y ＋yz ________．13.已知函数f (x )＝|2x －3|，若2a 1，且f )T ＝3a 2＋b 的取值范围为________．14.已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A ＝θ，若cos B sin C AB →＋cos C sin B AC →＝2mAO →，则m ＝________.(用θ表示)二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)已知四面体ABCD 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，平面ABC ⊥平面BCD ，E 、F 分别为棱BC 和AD 的中点．(1)求证：AE⊥平面BCD；(2)求证：AD⊥BC；(3)若△ABC内的点G满足FG∥平面BCD，设点G构成集合T，试描述点集T的位置．(不必说明理由)16.(本小题满分14分)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(1,0)．(1)若a·b＝23，记α－β＝θ，求sin2θ－sin(2)若α≠kπ2，β≠kπ(k∈Z)，且a∥(b＋c)，求证：tanα＝tan β2 .某地区的农产品A第x天(1≤x≤20)的销售价格为p＝50－|x－6|(元/百斤)．一农户在第x 天(1≤x≤20)农产品A的销售量为q＝40＋|x－8|(百斤)．(1)求该农户在第7天销售农产品A的收入；(2)问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？如图，在直角坐标系中，A，B，C三点在x轴上，原点O和点B分别是线段AB和AC 的中点，已知AO＝m(m为常数)，平面上点P满足PA＋PB＝6m.(1)求点P的轨迹C1的方程；(2)若点(x，y)在曲线C1C2上；(3)过点C作直线l，与圆C2相交于N恰好是线段CM的中点，试求直线l的方程．已知在直角坐标系中，A n(a n,0)，B n(0，b n)(n∈N*)，其中数列{a n}，{b n}都是递增数列．(1)若a n＝2n＋1,b n＝3n＋1，判断直线A1B1与A2B2是否平行；(2)若数列{a n}，{b n}都是正项等差数列，设四边形A n B n B n＋1A n＋1的面积为S n(n∈N*)，求证：{S n}也是等差数列；(3)若a n＝2n，b n＝an＋b(a、b∈Z)，b1≥－12，记直线A n B n的斜率为k n，数列{k n}前8项依次递减，求满足条件的数列{b n}的个数．已知常数a ＞0，函数f (x )＋3a 4x ，|x |≥a 2，2x ，|x |＜a 2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若0＜a ≤2，求f (x )在区间[1,2])(3)是否存在常数t ，使对于任意x 2t f (x )f (2t －x )＋f 2(t )≥[f (x )＋f (2t －x )]f (t )恒成立？若存在，求出t 泰州市高三数学附加题试卷第页(共2页)泰州市2011届高三第一次模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4­1几何证明选讲如图，⊙O 的直径AB ＝25，C 是⊙O 外一点，AC 交⊙O 于点E ，BC 交⊙O 于点D ，已知AC ＝AB ，BC ＝4，求△ADE 的周长．B.选修4­2矩阵与变换已知矩阵A ＝1a b 4的逆矩阵A －1＝23m 16n ，向量α＝－3－1.(1)求矩阵A ；(2)求A 2α的值．C.选修4­4已知直线l ＝2＋4t ，＝3t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程ρ2－8ρcos θ＋12＝0，试求直线l 被圆C 所截的弦长．D.选修4­5不等式选讲已知x 、y 是正实数，求证：x ＋y ＋1x ＋1y ≥332.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.甲、乙等六名志愿者被随机地分到A 、B 、C 、D 、E 五个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；(2)设随机变量ξ为这六名志愿者中参加C 岗位服务的人数，求ξ的分布列及期望E (ξ)．23.如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，侧棱长为t ，点D 1关于点D 的对称点为D 2，点C 1关于点C 的对称点为C 2，点E 、F 分别在线段AD 和BC 上，且DE ＝BF ＝λ(0＜λ＜1)．(1)若λ＝12，t ＝1，求直线D 2F 与直线B 1C 所成的角θ；(2)是否存在实数λ和t ，使得平面EFD 2⊥平面A 1B 1CD ？若存在，求出λ和t ；若不存在，说明理由．(3)若t ＝1，12＜λ＜1，设直线C 2F 与平面EFD 2所成角为α，求证：sin α＜63.泰州市高三数学参考答案第页(共3页)泰州市2011届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1.2 2.∀x ∈R ，x 2－2x ＋1＞0 3.12 4.{－1,1,2} 5.20 6.2π7.18.log 239.②③④10.15211.3512.213.－516，14.sin θ15.(1)证明：∵在△ABC 中，AB ＝AC ，E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC .(1分)又平面ABC ⊥平面BCD ，AE ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，∴AE ⊥平面BCD .(5分)(2)证明：∵BD ＝CD ，E 为BC 的中点，∴BC ⊥DE .(6分)由(1)知AE ⊥BC ，又AE ∩DE ＝E ，AE 、DE ⊂平面AED ，∴BC ⊥平面AED .(9分)又AD ⊂平面AED ，∴BC ⊥AD ，即AD ⊥BC .(10分)(3)解：取AB 、AC 的中点M 、N ，所有的点G 构成的集合T ，即为△ABC 的中位线MN .(14分)16.(1)解：∵a ·b ＝cos(α－β)，∴cos θ＝23.(3分)∴sin 2θ－sin(π2θ)＝1－cos 2θ－cos θ＝－19.(7分)(2)证明：∵b ＋c ＝(1＋cos β，sin β)，a ∥(b ＋c )，∴cos αsin β－(1＋cos β)sin α＝0.(9分)又α≠k π2，β≠k π(k ∈Z )，∴tan α＝sin β1＋cos β(12分)＝2sin β2cos β22cos 2β2＝tan β2.(14分)17.解：(1)由已知第7天的销售价格p ＝49，销售量q ＝41.∴第7天的销售收入W 7＝49×41＝2009(元)．(3分)(2)设第x 天的销售收入为W x ，则W x＋x )(48－x )(1≤x ≤6)，(x ＝7)，－x )(32＋x )(8≤x ≤20).(6分)当1≤x ≤6时，W x ＝(44＋x )(48－x )≤(44＋x )＋(48－x )22＝2116.(当且仅当x ＝2时取等号)∴当x ＝2时取最大值W 2＝2116.(9分)当8≤x ≤20时，W x ＝(56－x )(32＋x )≤(56－x )＋(32＋x )22＝1936.(当且仅当x ＝12时取等号)∴当x ＝12时取最大值W 12＝1936.(12分)由于W 2＞W 7＞W 12，∴第2天该农户的销售收入最大．(13分)答：(1)第7天的销售收入为2009元；(2)第2天该农户的销售收入最大．(14分)18.(1)解：由题意可得点P 的轨迹C 1是以A 、B 为焦点的椭圆．(2分)且半焦距长c ＝m ，长半轴长a ＝3m ，则C 1的方程为x 29m 2＋y 28m 2＝1.(5分)(2)证明：若点(x ，y )在曲线C 1上，则x 29m 2＋y 28m 2＝1.设x 3＝x 0，y 22＝y 0，则x ＝3x 0，y ＝22y 0.(7分)代入x 29m 2＋y 28m 2＝1，得x 20＋y 20＝m 2C 2：x 2＋y 2＝m 2上．(10分)(3)解：由题意C (3m,0)．(11分)设M (x 1，y 1)，则x 21＋y 21＝m 2.①因为点N 恰好是线段CM 的中点，所以代入C 2的方程得＝m 2.②联立①②，解得x 1y 1分)故直线l 有且只有一条，方程为y ＝0.(16分)(若只写出直线方程，不说明理由，给1分)19.(1)解：由题意A 1(3,0)、B 1(0,4)、A 2(5,0)、B 2(0,7)．∴kA 1B 1＝4－00－3＝－43，kA 2B 2＝7－00－5＝－75.(2分)∵kA 1B 1≠kA 2B 2，∴A 1B 1与A 2B 2不平行．(4分)(2)证明：∵{a n }、{b n }为等差数列，设它们的公差分别为d 1和d 2，则a n ＝a 1＋(n －1)d 1，b n ＝b 1＋(n －1)d 2，a n ＋1＝a 1＋nd 1，b n ＝b 1＋nd 2，由题意S n ＝S △OA n ＋1B n ＋1－S △OA n B n ＝12(a n ＋1b n ＋1－a n b n )．(6分)∴S n ＝12{(a 1＋nd 1)(b 1＋nd 2)－[a 1＋(n －1)d 1][b 1＋(n －1)d 2]}＝12(2d 1d 2n ＋a 1d 2＋b 1d 1－d 1d 2)，(8分)∴S n ＋1＝12(2d 1d 2n ＋a 1d 2＋b 1d 1＋d 1d 2)，∴S n ＋1－S n ＝d 1d 2是与n 无关的常数，∴数列{S n }是等差数列．(10分)(3)解：∵A n (a n,0)、B n (0，b n )，∴k n ＝b n －00－a n＝－b n a n ＝－an ＋b 2n .又数列{k n }前8项依次递减，∴k n ＋1－k n ＝－a (n ＋1)＋b 2n ＋1＋an ＋b 2n ＝an －a ＋b 2n ＋1＜0对1≤n ≤7(n ∈Z )成立，即an －a ＋b ＜0对1≤n ≤7(n ∈Z )成立．(12分)又数列{b n }是递增数列，∴a ＞0，只要n ＝7时，即7a －a ＋b ＝6a ＋b ＜0即可．又b 1＝a ＋b ≥－126a ＋b ＜0，a ＋b ≥－12，a ＞0，a 、b ∈Z ，作出可行域(如右图所示)，易得a＝1或2.(14分)当a ＝1时，－13≤b ＜－6，即b ＝－13，－12，－11，－10，－9，－8，－7，有7解；当a ＝2时，－14≤b ＜－12，即b ＝－14，－13，有2解．∴数列{b n }共有9个．(16分)另解：也可直接由6a ＋b ＜0，a ＋b ≥－12得0＜a ＜125.又a ∈Z ，则a ＝1或2.下同20.解：(1)当|x |＜a 2时，f (x )＝494a 2x 为增函数．(1分)当|x |≥a 2时，f ′(x )＝3x 2－3a 4x 2.令f ′(x )＞0，得x ＞a 或x ＜－a .(3分)∴f (x )的增区间为(－∞，－a )，－a 2，a 2(a ，＋∞)．(4分)(2)由右图可知，①当1＜a ＜2时，a 2＜1＜a ，f (x )在区间[1，a ]上递减，在[a,2]上递增，最小值为f (a )＝4a 3；(6分)②当0＜a ≤1时，f (x )在区间[1,2]上为增函数，最小值为f (1)＝1＋3a 4；(8分)③当a ＝2时，f (x )在区间[1,2]上为增函数，最小值为f (a )＝4a 3.(9分)综上，f (x )最小值g (a )1＋3a 4(0＜a ≤1)，4a 3(1＜a ≤2).(10分)(3)由f (x )f (2t －x )＋f 2(t )(x )＋f (2t －x )]f (t )，可得[f (t )－f (x )][f (t )－f (2t －x )]≥0，(12分)t )≤f (x )t (2t －t )≥f (x )t )≥f (2t －x )成立，所以t 为极小值点或t 为极大值点．又x 2t f (x )没有极大值，所以t 为极小值点，即t ＝a .(16分)(t ＝1分)泰州市高三数学附加题参考答案第页(共2页)泰州市2011届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21.A.解：∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC .又AC ＝AB ，∴AD 是△ABC 的中线．又BC ＝4，∴BD ＝DC ＝2，∴AD ＝AB 2－BD 2＝4.(2分)由CE ·CA ＝CD ·CB ，得CE ＝455.(5分)∴AE ＝25－455＝655.(6分)由∠DEC ＝∠B ＝∠C ，∴DE ＝DC ＝2.(9分)故△ADE 的周长为6＋655.(10分)B.解：(1)矩阵A ＝12－14.(3分)(2)矩阵A 2＝－110－514，所以A 2α＝－71.另解：矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝|λ－1－21λ－4|＝λ2－5λ＋6，令f (λ)＝0，得λ1＝2，λ2＝3.(6分)当λ1＝2时，得α1＝]；当λ2＝3时，得α2＝]．(8分)又α＝－2α1＋α2，∴A 2α＝A 2(－2α1＋α2)＝－2A 2α1＋A 2α2＝－2(λ21α1)＋λ22α2＝－2321＋3211＝－71.(10分)C.＝2＋4t ，＝3t ，ρ2－8ρcos θ＋12＝0分别化为普通方程和直角坐标方程：3x －4y －6＝02＋y 2－8x ＋12＝0，(4分)则圆心C (4,0)，半径r ＝2，∴C 到l 的距离d ＝6，(8分)∴弦长2r 2－d 2＝＝165.(10分)另解：将方程ρ2－8ρcos θ＋12＝0化为直角坐标方程：x 2＋y 2－8x ＋12＝0，(2分)＝2＋4t ，＝3t ，代入上式得25t 2－16t ＝0，则t 1＝0、t 2＝1625，(8分)∴弦长5|t 2－t 1|＝165.(10分)D.证明：∵x 、y 是正实数，∴1x ＋1y ≥2xy.(4分)∴x ＋y ＋2xy ≥3·3x ·y ·2xy ＝332.(10分)22.解：(1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件S A ，那么P (S A )＝A 44C 26A 55＝175，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是175.(4分)(2)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ＝2”是指有两人同时参加C 岗位服务，则P (ξ＝2)＝C 26A 44C 26A 55＝15.所以P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝2)＝45.(8分)故ξ的分布列是ξ12P4515E (ξ)＝65.(10分)23.解：在建立如图所示的坐标系中，A 1(1,0,0)，B 1(1,1,0)，C 1(0,1,0)，D 1(0,0,0)，A (1,0，t )，B (1,1，t )，C (0,1，t )，D (0,0，t )，E (λ，0，t )，F (1－λ，1，t )，C 2(0,1,2t )，D 2(0,0,2t )，D 2F →＝(1－λ，1，－t )，B 1C →＝(－1,0，t )．(1)D 2F →1，－B 1C →＝(－1,0,1)，cos θ＝|－12－1|14＋1＋1·1＋1＝22，∴所成角θ＝45°.(3分)(2)不存在.D 2E →＝(λ，0，－t )，设平面EFD 2的法向量为n 1＝(1，p ，q )，－λ＋p －qt ＝0，－qt ＝0，∴＝2λ－1，＝λt .即n 1，2λ－1易求平面A 1B 1CD 的法向量为n 2，0∴n 1·n 2＝1＋λt 2.∵λ＞0，∴1＋λt2≠0，∴两平面不可能垂直．(6分)(3)证明：∵C 2F →＝(1－λ，0，－1)，n 1＝(1,2λ－1，λ)，∴sin α＝|C 2F →·n 1||C 2F →||n 1|＝|1－2λ|(1－λ)2＋1·1＋(2λ－1)2＋λ2.令2λ－1＝s ，则s ∈(0,1)，sin α当s ∈(0,1)＋5s －s ＋5s ＋24(5－1)，∴sin α＜132(5－1)＜132＝63.(10分)。