2020年高考数学(理)金榜冲刺卷(五)(解析版)

2020年高考金榜冲刺卷（五）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}|0B x x =≥，且A B A =I ，则集合A 可能是（ ） A ．{}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R2．在等差数列{}n a 中，已知51012a a +=，则793a a +=（ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．303．设复数z a bi =+(,)a b ∈R ，定义z b ai =+.若12z ii i=+-，则z =（ ） A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155i -- 4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(2)P m -，到焦点的距离为4，则m 的值为（ ）A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－25．设x ，y 满足约束条件2003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22(1)z x y =++的最大值为（ ）A ．5B ．41C ．25D ．16．为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115,x =23416,18,20x x x ===，56722,24,25,x x x ===则图中空白框应填入（ ）A ．67Si S >=, B ．6,7Si S ≥=C ．67i S S >=,D ．6,7i S S ≥= 7．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（ ）A ．40B ．43C ．46D ．478．函数ln x y x=的图象大致是（ ）A B C D9．某校早上6：30开始跑操，假设该校学生小张与小王在早上6：00~6：30之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张与小王至少相差5分钟到校的概率为（ ）A ．2536 B ．1136C ．2530D ．53010．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖牖P ADE -的体积为l ，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（ ）A ．20πB ．19πC ．18πD ．17π11．已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()7g x f x x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为1S ，2S ，则21S S =（ ）A ．4B ．8C ．23D ．43二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()2sin 222y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的值为 .14．圆C ：2266100x y x y +--+=上的点到直线0x y +=的最短距离为_____________.15．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u v u u u v ，13CE AB AC μ=+u u uv u u u v u u u v ，则λμ+= .16．在数列{}n a 中，11a =，0n a ≠，曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线经过点()1,0n a +，下列四个结论：①223a =；②313a =；③416527i i a ==∑；④数列{}n a 是等比数列；其中所有正确结论的编号是 . 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．（1）证明://BE 平面PAD ；（2）平面BDE 将四棱锥P ABCD -分成多面体PE ABD -和多面体E BCD -两部分，求上述两个多面体的体积比:PE ABD E BCD V V --．18．（12分）如图，在ABC ∆中，01203AB BC ABC AB >∠==，，，ABC ∠的角平分线与AC 交于点D ，1BD =.（1）求sin A ； （2）求BCD ∆的面积．19．（12分）某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量()1,2,,10i y i =L 的数据，得到散点图如图所示：（1）利用散点图判断，y a bx =+和dy c x =⋅（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（2）对数据作出如下处理：令ln i u x =，ln i y υ=，得到相关统计量的值如下表：根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（3）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为27z y xe=-（其中 2.71828e=L），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n nu u uυυυL ，其回归直线ˆˆˆuυαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆn ni i i ii in ni ii iu u u nuu u u nuυυυυβ====---==--∑∑∑∑，ˆˆˆuαυβ=-．20．（12分）已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点为2(1,0)F，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆222x y b+=上，且M在第一象限，过M作圆222x y b+=的切线交椭圆于,两点，求证：△的周长是定值．21．（12分）已知函数()()2lnf x x x ax a R=-∈在定义域内有两个不同的极值点.（1）求实数a的取值范围；（2）记两个极值点为12,x x，且12x x<，求证：121x x⋅>.(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【极坐标与参数方程】（10分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。

2020年高考金榜冲刺卷（四）数学（理）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知11zi i i =+-，则复数z 在复平面上所对应的点位于（ ） A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第一象限 D ．第二象限2．已知集合{}1,2,3A =，集合{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合B 中元素的个数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 3．已知命题p ：a b >，则22a b >；命题q ：x R ∀∈，210x x ++>，则下列判断正确的是（ ） A ．p ⌝是假命题 B ．q 是假命题 C ．p q ∨是假命题 D ．()p q ⌝∧是真命题4．下列函数中，其图象与函数lg y x =的图象关于点()1,0对称的是（ ）A ．()lg 1y x =-B ．()lg 2y x =-C ．()0.1log 1y x =-D ．()0.1log 2y x =-5．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且()21n n n a a a n N *++⋅=∈，则2019a 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．146．函数()cos()(0,0,||)f x A x A ωφωφπ=+>><的部分图象如图所示，现将此图象向左平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2=-g x xB ．7()2cos 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．()2sin 2g x x = D ．5()2cos 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 7．执行如图的程序框图，已知输出的[]0,4s ∈。

2020年高考数学金榜冲刺卷（五）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{}1,0,2,3A =-，{}11B x x =-≤，则A B =I （ ） A ．{}0,2B ．{}2,3C ．{}1,0,2-D ．{}0,1,22．已知复数12()z ai a R =+∈，212z i =-，若12z z 为纯虚数，则1z =（ ） ABC ．2D3．直线3413x y +=被圆222150x y x +--=截的弦长为（ ）A ．4B ．2C．D4．己知定义域为R 的函数()f x 是偶函数，且对任意1x ，()20,x ∈+∞，()()12120f x f x x x -<-，设32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()37b f log =，()30.8c f =-，则( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<5．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则在齐王的马获胜的条件下，齐王的上等马获胜的概率为（）A．23B．12C．13D．16．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是12π，則它的表面积是（）A．18π+16B．20π+16C．22π+16D．24π+167．如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当点P沿A→B→C→M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f（x）的图象大致是下面图中的（）A．B．C．D．【答案】A8．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 是奇函数B ．函数()g x 图象关于直线4πx =-对称 C ．其当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[–1]2， D ．函数()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ，n n S na =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．若函数()f x 与()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=，则在区间(0,)+∞上（ ）A ．()f x 与()g x 都是递增函数B ．()f x 与()g x 都是递减函数C ．()f x 是递增函数，()g x 是递减函数D ．()f x 是递减函数，()g x 是递增函数二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．双曲线2222123y x -=的渐近线方程为______，两顶点间的距离等于______.12．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且23113,,42a a a 成等差数列，则234245()()log a a log a a +-+=__________．13．已知抛物线22(0)x py p =->的焦点坐标为(0,3)F -，则直线y x =被抛物线截得的弦的中点坐标为_________.14．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下： ①如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；②如果一次性购物超过200元但不超过500元，则按标价．．给予9折优惠； ③如果一次性购物超过500元，则500元按第②条给予优惠，剩余部分给予7折优惠．甲单独购买A 商品实际付款100元，乙单独购买B 商品实际付款．．．．450元，若丙一次性购买A ，B 两件商品，则应付款 元．15．定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的(,)a m n =r，(,)b p q =r ，令 a b mq np *=-rr ，给出以下四个命题：①若a →与b →共线，则0a b *=r r ；②a b b a *=*r r r r ；③对任意的R λ∈，有()()a b a b λλ*=*r r r r ；④()()2222a ba ba b *+⋅=⋅rr r r r r （注：这里a b →→⋅指a →与b →的数量积）其中所有真命题的序号是____________三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题14分）在ABC ∆中，已知3AC =，cos B =，3A π=.（1）求AB 的长；（2）求cos 6C π⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 17．（本小题14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，AB DC P ，AB BC ⊥，PAB ∆和PBC ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为AC 的中点，E 为PB 的中点.（1）证明：OE P平面PCD.（2）在线段DP上是否存在一点Q，使直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为3？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由.18．（本小题14分）深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为，求的分布列和数学期望．19．已知椭圆C ：22221x y a b += （0a b >> ）的左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴端点与焦点构成四边形的面积为. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点(10)-， 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，当14OA OB k k ⋅=时，试求直线l 的方程.20．（本小题14分）已知函数()()2xf x x e =-，()()21g x a x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）讨论()y f x =和()y g x =的图象交点个数.21．（本小题14分）已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥L L 具有性质P ；对任意的i ，()1j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A.（1）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（2）证明：11a =，1211112nn na a a a a a a ---+++=+++L L .2020年高考数学金榜冲刺卷（五）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{}1,0,2,3A =-，{}11B x x =-≤，则A B =I （ ） A ．{}0,2 B ．{}2,3C ．{}1,0,2-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】{}{}[]11|1110,2B x x x x =-≤=-≤-≤=，所以{}0,2A B =I .故选：A.2．已知复数12()z ai a R =+∈，212z i =-，若12z z 为纯虚数，则1z =（ ） ABC ．2D【答案】D【解析】因为复数12()z ai a R =+∈，212z i =-，则122(2)(12)22(4)12(12)(12)5z ai ai i a a i z i i i +++-++===--+ 因为12z z 为纯虚数，所以2201a a -=∴=此时112z i z =+∴==故选D3．直线3413x y +=被圆222150x y x +--=截的弦长为（ ）A ．4B ．2C ．D【答案】C【解析】圆222150x y x +--=的标准方程为：()22116x y -+=，圆心到直线3413x y +=的距离为：1025d ==，所以被圆222150x y x +--=截的弦长为l === 故选：C4．己知定义域为R 的函数()f x 是偶函数，且对任意1x ，()20,x ∈+∞，()()12120f x f x x x -<-，设32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()37b f log =，()30.8c f =-，则( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】C【解析】由题意:Q 对任意1x ,()20,x ∈+∞,()()12120f x f x x x -<-()f x ∴在()0,∞+上为减函数；Q 函数()f x 是偶函数()f x ∴关于y 轴对称；()()330.80.8c f f =-=,(3233333322a f f log f log f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭33370.82log log >>>Q ,b a c ∴<< 故选:C.5．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则在齐王的马获胜的条件下，齐王的上等马获胜的概率为（ ）A ．23B ．12C ．13D ．1【答案】B 【解析】设齐王的三匹马分别记为123,,a a a ,田忌的三匹马分别记为123,,b b b ， 齐王与田忌赛马，其情况有：()()()()()()()()()111213212223313233,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b a b a b a b a b 共9种，其中齐王的马获胜的情形有6种，齐王的上等马获胜的情形有3中则齐王获胜的概率为：3162p ==.本题选择B 选项.6．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是12π，則它的表面积是（ ）A ．18π+16B ．20π+16C ．22π+16D ．24π+16 【答案】A【解析】几何体为34个圆柱，底面半径为r ，高为2r ，所以体积为34πr 2⋅2r =12π,r =2, 因此表面积是34×2πr ×2r +34×2×πr 2+2×2r ⋅r =18π+16. 选A . 7．如图，点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动，M 是CD 的中点，则当点P 沿A →B →C →M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 之间的函数y ＝f （x ）的图象大致是下面图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】根据题意得()1,0123,1244515,2422x x xf x x x x ⎧<<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪-≤<⎪⎩，分段函数图像分段如下：故选：A8．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 是奇函数B ．函数()g x 图象关于直线4πx =-对称 C ．其当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[–1]2， D ．函数()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】C【解析】因为函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到()2sin 2()2cos 266x g x x ππ⎛⎫++= ⎪⎝⎭=，所以函数()g x 是偶函数；函数()g x 图象关于点(,0)4π-对称；当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[12]-，；函数()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，不是增函数， 故选C9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ，n n S na =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当“{}n a 为常数列”时，数列1n a a =，前n 项和1n n S na na ==.当“*n ∀∈N ，n n S na =”时，当1n =时，11111a S a a ==⨯=，当2n ≥时，由n n S na =得()111n n S n a --=-，两式相减得()11n n n a na n a -=--，化简得()()111n n n a n a --=-，由于11n -≥，所以1n n a a -=（2n ≥），所以数列{}n a 为常数列.综上所述，“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ，n n S na =”的充分必要条件 故选：C10．若函数()f x 与()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=，则在区间(0,)+∞上（ ）A ．()f x 与()g x 都是递增函数B ．()f x 与()g x 都是递减函数C ．()f x 是递增函数，()g x 是递减函数D ．()f x 是递减函数，()g x 是递增函数【答案】A【解析】根据题意，f （x ）+g （x ）＝2x ，则f （-x ）+g （-x ）＝2x -又由y ＝f （x ）与y ＝g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，则-f （x ）+g （x ）＝2x -可得：f （x ）=()2222,22x x x xg x ---+=易知f （x ）=222x x--为增函数，又任取120,x x >> 则()()()12121212122122222x x x x x x g x g x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，因为120,x x >>则121222,221x x x x>>，故()()12g x g x >，即()g x 是递增函数 故选：A ．二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．双曲线2222123y x -=的渐近线方程为______，两顶点间的距离等于______.【答案】230x y ±= 4【解析】Q 双曲线2222123y x -=,∴ 2,3a b ==根据渐近线方程为ay x b=±∴ 渐近线方程为23y x =±,即230x y ±=根据有两顶点间的距离为2a∴两顶点间的距离等于4故答案为:230x y ±=,4.12．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且23113,,42a a a 成等差数列，则234245()()log a a log a a +-+=__________． 【答案】2-【解析】等比数列{}n a 的各项都是正数，且23113,,42a a a 成等差数列， 则32134a a a =+，由等比数列通项公式可知111234a a q q a =+，所以2340q q --=，解得4q =或1q =-（舍），所以由对数式运算性质可得234245()()log a a log a a +-+34245a a log a a +=+23113412121q a a q q q lo q g log a a +==+ 2124log ==-， 故答案为：2-.13．已知抛物线22(0)x py p =->的焦点坐标为(0,3)F -，则直线y x =被抛物线截得的弦的中点坐标为_________. 【答案】(6,6)--【解析】由抛物线的焦点坐标可得6p =，故抛物线方程为212x y =-，所以联立方程212y xx y=⎧⎨=-⎩，变形可得2120x x += ， 解得0x =或12x =-，所以两个交点坐标分别为00x y =⎧⎨=⎩和1212x y =-⎧⎨=-⎩，故由中点坐标公式可知弦的中点坐标为(6,6)--.故答案为: (6,6)--14．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下： ①如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；②如果一次性购物超过200元但不超过500元，则按标价．．给予9折优惠； ③如果一次性购物超过500元，则500元按第②条给予优惠，剩余部分给予7折优惠．甲单独购买A 商品实际付款100元，乙单独购买B 商品实际付款．．．．450元，若丙一次性购买A ，B 两件商品，则应付款 元． 【答案】520【解析】设商品价格为x ，实际付款为y ；则⎪⎩⎪⎨⎧>-+⨯≤<≤<=500),500(7.09.0500500200,9.02000,x x x x x x y ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<≤<=500,7.010*******,9.02000,x x x x x x ； 1001802009.0>=⨯Θ，A ∴商品的价格为100；4505009.0=⨯Θ，B ∴商品的价格为500；令600500100=+=x 时，5206007.0100=⨯+=y ，即若丙一次性购买A ，B 两件商品，则应付款520元.15．定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的(,)a m n =r，(,)b p q =r ，令 a b mq np *=-rr ，给出以下四个命题：①若a →与b →共线，则0a b *=r r ；②a b b a *=*r r r r ；③对任意的R λ∈，有()()a b a b λλ*=*r r r r ；④()()2222a ba ba b *+⋅=⋅rr r r r r （注：这里a b →→⋅指a →与b →的数量积）其中所有真命题的序号是____________【答案】①③④【解析】因为若a r与b r共线，则mq np =，故①正确；因为*a b mq np =-r r ，*b a pn qm =-r r，故②错误；因为()()**a b mq np a b λλλλ=-=r rr r ，故③正确；因为*a b mq np =-r r ，a b mp nq ⋅=+rr ，则()()2222*a ba ba b +⋅=⋅r r r r r r 化简为：()()()()222222mq np mp nq m n pq -++=++，等式左右两边相等，故④正综上，正确的序号为：①③④；三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题14分）在ABC ∆中，已知3AC =，cos B =，3A π=.（1）求AB 的长；（2）求cos 6C π⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【答案】（1）2AB =（2）cos 614C π⎛⎫-=⎪⎝⎭【解析】（1）在ABC ∆中，因为cos 14B =，所以02B π<<，所以sin 14B ==， 又因为A B C π++=，所以()()sin sin sin sin sin cos cos sin 333C A B A B B B B ππππ⎛⎫=-+=+=+=+=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 由正弦定理，sin sin AB AC C B =，所以sin 2sin ACAB C B=•=. （2）因为A B C π++=，所以()()cos cos cos cos 3C A B A B B ππ⎛⎫=-+=-+=-+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭sin sincos cos337B B ππ=-=，所以cos cos cos sin sin 66614C C C πππ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭. 17．（本小题14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，AB DC P ，AB BC ⊥，PAB ∆和PBC ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为AC 的中点，E 为PB 的中点.（1）证明：OE P 平面PCD .（2）在线段DP 上是否存在一点Q ，使直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3？若存在，求出点Q 的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）当13DQ DP =时，直线BQ 与平面PCD . 【解析】（1）证明：设F 为DC 的中点，连接AF ，PF ，则CF AB =.∵AB BC ⊥，AB BC =，AB DC P ， ∴四边形ABCF 为正方形.∵O 为AC 的中点，∴O 为BF ，AC 的交点， ∴O 为BF 的中点，即OE 为三角形BPF 的中位线 ∴OE PF P .∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ， ∴OE P 平面PDC .（2）∵PA PC 2==，O 为AC 的中点，∴PO AC ⊥.∵AC =，∴1AO AC 2==∴PO ==1BO AC 2==. 在ΔPBO 中，222PO BO PB 4+==，∴PO BO ⊥. 又∵AC BO O ⋂=，∴PO ⊥平面ABCD .又因为AB BC ⊥，所以过O 分别作AB ，BC 的平行线，分别以它们作为x,y 轴， 以OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()B 1,1,0-，()C 1,1,0，()D 3,1,0-，(P .假设线段DP 上存在一点Q ，使直线BQ 与平面PCD设()DQ λDP 0λ1=≤≤u u u v u u u v ，则BQ BD DQ BD λDP =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，即()()()BQ 4,2,03λ,λ3λ4,2λ=-+-=--u u u v . 设平面PCD 的一个法向量为()n x,y,z =v ，则n CD 0n CP 0⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，即400x x y -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩. 取z 1=，得平面PCD的一个法向量为()n =v.设直线BQ 与平面PCD 所成角为θ，令sin θ3=，3=，化简并整理得23λ7λ20-+=，解得λ2=（舍去），或1λ3=. 所以，当1DQ DP 3=时，直线BQ 与平面PCD . 18．（本小题14分）深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为：1人、3人、6人（2）37（3）分布列见解析，Eξ=45【解析】（1）因为30至50岁的人中有意向参与摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数占总体的比例分别为：50500=110、150500=310、300500=610．2分所以，抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为：110×10=1人、310×10=3人、610×10=6人; 4分（2）由题意可知，在上述10人中有竞价申请意向的人数为人，所以，4人中恰有2人竞价申请意向的概率为C 62⋅C 42C 104=37; 6分（3），的可能取值为． 7分因为用样本估计总体，任取一人，其摇号电动小汽车意向的概率为， 8分所以，随机变量服从二项分布，即～． 9分，，，，．即的分布列为：11分的数学期望为：Eξ=np =4×15=45． 12分考点：分层抽样、排列组合、古典概型、二项分布，考生读取图表、数据处理的能力．19．已知椭圆C ：22221x y a b += （0a b >> ）的左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴端点与焦点构成四边形的面积为. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点(10)-， 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，当14OA OB k k ⋅=时，试求直线l 的方程.【答案】（1）2214x y +=（2）210x y ++= 或210x y -+= .【解析】（1）依题意，bc =又2c e a == ，∴2c a = ，∴222214b a c a =-= ，∴12b a = ，∴2a = ，1b =故椭圆的标准方程为2214x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，1A ⎛- ⎝⎭，1B ⎛- ⎝⎭， ，14OA OB k k ⋅≠ ； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为()1y k x =+ ，联立方程组()22141x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消y 得：()2222148440k x k x k +++-= 设()12A x y ， ，()22B x y ， ，则2122814k x x k +=-+ ，21224414k x x k-=+()21212121OA OBk x x x x k k x x +++⋅=2222222844114144414k k k k k k k ⎛⎫--++ ⎪++⎝⎭=-+ ()222228441444k k k k k -+-++=-22344k k -=- ∴2231444k k -=- ，即214k = ，∴12k =± ∴直线方程为()112y x =±+ ，即210x y ++= 或210x y -+= .20．（本小题14分）已知函数()()2xf x x e =-，()()21g x a x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）讨论()y f x =和()y g x =的图象交点个数.【答案】（1）20x y -+=（2）当0a ≤时，()F x 只有一个零点；当0a >时，()F x 有两个零点. 【解析】（1）()()()'21xxxf x e x e x e =-+-=-，且()'01f =，()02f =，所以切线方程为：2y x =+，即20x y -+=.（2）令()()()F x g x f x =-，()()()'12xF x x e a =-+，①当0a =，则()()2xF x x e =-，()F x 只有一个零点；②当0a <，由()'0F x =得1x =或()ln 2x a =-.若2ea ≥-，则()ln 21a -≤ 故当()1,x ∈+∞时，()'0F x >，因此()F x 在()1,+∞上单调递增.当x →+∞时，()0f x >，又当1x ≤时，()0F x <，所以()F x 只有一个零点.若2ea <-，则()ln 21a ->，故当()()1,ln 2x a ∈-时，()F'0x <； 当()()ln 2,x a ∈-+∞时，()'0F x >.因此()F x 在()()1,ln 2a -单调递减，在()()ln 2,a -+∞单调递增.当x →+∞时，()0F x >，又当1x ≤时，()0F x <，所以()F x 只有一个零点. ③当0a >，则当(),1x ∈-∞时，()F'0x <；当()1,x ∈+∞时，()'0F x >， 所以()F x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 又()1F e =-，()2F a =，取b 满足0b <且ln2a b <， 则()()()22321022a F b b a b a b b ⎛⎫>-+-=->⎪⎝⎭， 故()F x 存在两个零点.综上：当0a ≤时，()F x 只有一个零点；当0a >时，()F x 有两个零点.21．（本小题14分）已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥L L 具有性质P ；对任意的i ，()1j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A.（1）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（2）证明：11a =，1211112nn na a a a a a a ---+++=+++L L . 【答案】(1) 数集{1,3,4}不具有性质P ,数集{1,2,3,6}具有性质P .(2)见解析.【解析】（1）由于34⨯与43均不属于数集{1,3,4}， 所以数集{1,3,4}不具有性质P .由于12⨯，13⨯，16⨯，23⨯，62，63，11，22，33，66，都属于数集{1,2,3,6}， 所以数集{1,2,3,6}具有性质P .（2）因为{}12,,n A a a a =⋅L 具有性质P ，所以n n a a 与nna a 中至少有一个属于A ， 由于121n a a a ≤<<<L ，所以n n n a a a >，故n n a a A ∉。

2020年高考大冲刺卷理 科 数 学（五）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}ln 0P x x =>，{}12Q x x =-<<，则P Q =I （ ） A ．()1,2- B ．()0,1C ．()0,2D ．()1,2答案：D解：{}{}ln 01P x x x x =>=>Q ，{}12Q x x =-<<，{}()121,2P Q x x ∴=<<=I ，故选D ．2．已知复数z 满足i 1i z =-，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -C ．1i -+D ．1i +答案：C解：把i 1i z =-两边同乘以i -，则有()()1i i 1i z =-⋅-=--，1i z ∴=-+， 故选C ．3．已知向量a ，b 满足||1=a ，||3=b ，且a 与b 的夹角为6π，则()(2)+⋅-=a b a b （ ） A ．12B ．32-C ．12-D ．32答案：A解：2231()(2)223132+⋅-=-+⋅=-+⨯⨯=a b a b a b a b ，故选A ． 4．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个单位 B ．向右平移5π12个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位 答案：B解：因为πsin26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且πcos2sin 2sin 224πy x x x ⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以由 4π6πx x ϕ++=-，知ππ5π6412ϕ=--=-， 即只需将cos2y x =的图像向右平移5π12个单位，故选B ． 5．命题“任意0x >，11x x+≥”的否定是（ ） A ．存在00x ≤，0011x x +≥ B ．存在00x >，0011x x +< C ．任意0x >，11x x+< D ．任意0x ≤，11x x+≥ 答案：B解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“任意0x >，11x x+≥”的否定是：存在00x >，0011x x +<，故选B ．6．“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法．在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明．其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π．当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据．这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的．为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分．根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（ ）（精确到0.01）（参考数据此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号sin150.2588≈o ）A ．3.05 B．3.10C ．3.11D ．3.14答案：C解：设圆的半径为r ，以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形，且顶角为3601524︒=︒， 所以正二十四边形的面积为2124sin1512sin152r r r ⋅⋅⋅⋅︒=︒， 所以2212sin15ππ12sin15 3.11r r ︒=⇒=︒≈，故选C ．7．已知三棱锥A BCD -的顶点均在球O 的球面上，且3AB AC AD ===，π2BCD ∠=， 若H 是点A 在平面BCD 内的正投影，且2CH =，则球O 的表面积为（ ）A ．43πB ．23πC ．9πD ．4π答案：C解：因为3AB AC AD ===，CH ⊥平面BCD ，HB Q 、HC 、HD ⊂平面BCD ，AH HB ∴⊥，AH HC ⊥，AH HD ⊥，AHB AHC AHD ∴≅≅Rt Rt Rt △△△，HB HC HD ∴==，即H 是BCD △的外心，即H 是斜边BD 的中点，则球心O 在AH 上， 由勾股定理，可得222AB BH AH -=，得1AH =，设球O 的半径为R ，则()2212R R =-+，所以32R =． 所以球O 的表面积为24π9πR =，故选C ．8．函数()()ln x xf x e e x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D解：根据题意，函数的定义域{}|0x x ≠，因为()()ln x xf x e e x -=+，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除B 项，当1x >时，()0f x >，当01x <<时，()0f x <，排除A ，C 选项， 当0x →时，()f x →-∞，所以D 项是正确的，故选D ．9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A B ，，左焦点为F P ，为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M （异于P F ，），与y 轴交于点M ，直线MB 与y 轴交于点H ．若3HN OH =-u u u r u u u r（O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5答案：B解：不妨设P 在第二象限，如图所示：设||FM m =，(0, )(0)H h h >，由3HN OH =-u u u r u u u r，可得(0,2)N h -，由AFM AON △∽△，得2m c a h a -=（1） 由BOH BFM △∽△，得h a m c a=+（2）由（1），（2）两式相乘得12c ac a-=+，即3c a=，所以离心率3cea==，故选B．10．（北京师范大学附中2018届高三下学期第二次模拟）习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入8m=，则输出的S=（）A．44 B．68 C．100 D．140答案：C解：第1次运行，211,0,0002nn a S-====+=，不符合n m≥，继续运行；第2次运行，22,2,0222nn a S====+=，不符合n m≥，继续运行；第3次运行，213,4,4262nn a S-====+=，不符合n m≥，继续运行；第4次运行，24,8,86142nn a S====+=，不符合n m≥，继续运行；第5次运行，215,12,1412262nn a S-====+=，不符合n m≥，继续运行；第6次运行，26,18,2618442nn a S====+=，不符合n m≥，继续运行；第7次运行，217,24,2444682nn a S-====+=，不符合n m≥，继续运行；第8次运行，28,32,68321002nn a S====+=，符合n m≥，推出运行，输出100S=，故选C．11．等腰直角OAB△内接于抛物线，其中O为抛物线()2:20C y px p=>的顶点，OA OB⊥，OAB△的面积为16，F为C的焦点，M为C上的动点，则OMMF的最大值为（）A．33B．63C．33D．263答案：C解：设等腰直角三角形OAB的顶点()11,A x y，()22,B x y，则2112y px=，2222y px=，由OA OB=，得22221122x y x y+=+，221212220x x px px∴-=-=，即()()1212++20x x x x p-=，1x>Q，2x>，20p>，12x x∴=，即A，B关于x轴对称，∴直线OA的方程为tan45y x x=︒=，与抛物线联立，解得xy=⎧⎨=⎩或22x py p=⎧⎨=⎩，故4AB p=，212442OABS p p p∴=⨯⨯=△，AOBQ△的面积为16，2P∴=，焦点()1,0F，设(),M m n，则24n m=，0m>，设M到准线1x=-的距离等于d，则()2241OM MO m mMF d m+==+令1m t+=，1t>，则211423333OMMF t⎛⎫=--+≤⎪⎝⎭（当且仅当3t=时，等号成立）．故OMMF23，故选C．12．已知()()e e cos 2x xf x x x -+=+∈R ，[]1,4x ∀∈，()()ln 222f mx x f --≤- ()2ln f x mx +-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．12112,22n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．112,1e 2n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1212,122n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．11ln 2,e 2+⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B解：函数()e e cos 2x xf x x -+=+的定义域为R ，()()()()e e e e cos cos 22x x x xf x x x f x x --++-=+-=+=∈R Q ，()e e cos 2xxf x x -+∴=+为R 上的偶函数，又()e e sin 2x xf x x --'=-，()e e 1cos 2e e cos 1cos 022xxx x f x x x x --+''=-≥⋅⋅=-≥，()e e sin 2x xf x x --'∴=-在R 上单调递增，又()00f '=，∴当0x ≥时，()0f x '≥，()e e cos 2x xf x x -+∴=+在区间[)0,+∞单调递增．不等式()()()ln 2222ln f mx x f f x mx --≤-+-，由偶函数性质可得()()2ln 222f mx x f --≤，即()()ln 22f mx x f --≤， 由函数的单调性可得ln 22mx x --≤，2ln 22mx x ∴-≤--≤，[]1,4x ∴∀∈，141nx nxm x x+≤≤恒成立， 令()11nxg x x =，则()121ln x g x x-'=， 当[]1,x e ∈时，()10g x '>，()1g x 在[]1,x e ∈上单调递增； 当(],4x e ∈时，()10g x '<，()2g x 在(],4x e ∈上单调递减，()()()1111最大值极大值g x g x g e e∴===，令()24ln x g x x +=，()()22214ln 3ln x xg x x x -++'==-， []1,4x ∈Q ，ln 30x ∴+>，故()223ln 0xg x x+'=-<， ()g x ∴在区间[]1,4单调递减， ()()()222414124142最小值极小值n n g x g x g +∴====+，11212n m e ∴≤≤+，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．()62221x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为________． 答案：132解：因为62()x x-的展开式的通项公式为6216C (2)r r r r T x -+=-，令624r -=，得1r =；令622r -=，得2r =，所以()62221x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为2211662C (2)(1)C (2)132-+--=， 故答案为132．14．若实数,x y 满足210,220x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为________．答案：1-。

2020年高考金榜冲刺卷（五）数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．42．设复数z a bi =+(,)a b ∈R ，定义z b ai =+.若12z ii i=+-，则z =（ ） A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155i -- 3．若倾斜角为θ的直线l 与直线320x y --=平行，则sin2θ＝（ ）A ．35B ．35-C ．45-D ．454．已知()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当)1,0(∈x 时，14)(-=xx f ， 则=)321(log 4f （ ）A ．1B ．-1C ．21D ．12-5．汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A 、B 、C 、D 、E （在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（ ）A ．20B ．15C ．10D ．5 6．已知1()sin cos (,)4f x x x x R ωωω=->∈，若()f x 的任意一条对称轴与x 轴的交点横坐标都不属于区间(2,3)ππ，则ω的取值范围是（ ） A ．3111119[,][,]812812⋃ B ．1553(,][,]41284U C ．37711[,][,]812812U D ．13917(,][,]44812⋃ 7．已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()7g x f x x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)8．已知圆22:4O x y +=，直线l 与圆O 交于,P Q 两点，(2,2)A ，若22||||40AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为（ ）A ．B ．4C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．一组数据121x +，221x +，321x +，…，21n x +的平均值为7，方差为4，记132x +，232x +，332x +，…，32n x +的平均值为a ，方差为b ，则（ ）A ．7a =B ．11a =C ．12b =D ．9b =10．下列结论正确的是（ ） A ．若22a b >，则11a b< B ．若0x >，则44x x+≥ C ．若0a b >>，则lg lg a b > D ．若0ab >，1a b +=，则114a b+≥ 11．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当2AF FB =u u u v u u u v时，92AB =D ．AB 的最小值为412．已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln (),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增；D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 . 14．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u v u u u v，13CE AB AC μ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+= .15．已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3，将ABC ∆绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________;此时该旋转体外接球的表面积为___________.（本题第一空3分，第二空2分）16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为1S ，2S ，则21S S = . 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}{},n n a b 满足：1112,,2n n n n a a n b a n b ++=+-==. （1）证明数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（12分）已知函数2()sin cos 2f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若A为锐角且()2f A =，4b c +=，求a 的取值范围.19．（12分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --的余弦值为3，求PF 的长度. 20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为2(1,0)F ，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于,两点，求证：△的周长是定值．21．（12分）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产()515x x ≤≤万件的该种产品所需要的总成本()32231630910x C x x x =-++（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在[)25.26,25.30，[)25.30,25.34，[)25.34,25.38，[)25.38,25.42，[)25.42,25.46，[)25.46,25.50，[]25.50,25.54（单位：mm ）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.产品的品质情况和相应的价格m （元/件）与年产量x 之间的函数关系如下表所示.以频率作为概率解决如下问题： （1）求实数a 的值；（2）当产量x 确定时，设不同品质的产品价格为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列； （3）估计当年产量x 为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.22．（12分）已知函数()2ln 3f x x x ax =+-的图像在点()()1,1f 处的切线方程为1y =.（1）确定实数a 的值，并求函数()y f x =的单调区间；（2）若*n N ∈，求证：())2111ln 112ln 13ln 1ln 12623n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L2020年高考金榜冲刺卷（五）数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】A【解析】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.2．设复数z a bi =+(,)a b ∈R ，定义z b ai =+.若12z ii i=+-，则z =（ ） A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155i -- 【答案】B【解析】解：因为12z i i i=+-，所以()()()(1)2(1)(1)(2)31222555i i i i i i i z i i i i +++-++====-+--+， 则1355z i =-.故选：B. 3．若倾斜角为θ的直线l 与直线320x y --=平行，则sin2θ＝（ ）A ．35B ．35-C ．45-D ．45【答案】A【解析】因为tan 3k θ==，所以θ为锐角，cos 10θ==，sin 10θ=，所以3sin22sin cos 5θθθ==．故选：A 4．已知()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当)1,0(∈x 时，14)(-=xx f ， 则=)321(log 4f （ ） A ．1 B ．-1 C ．21D ．12-【答案】B【解析】)(x f 是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以1)14()21()25()25()4log 321log ()321(log 21224-=--=-=-=-==f f f f f ，故选B. 5．汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A 、B 、C 、D 、E （在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（ ）A ．20B ．15C ．10D ．5 【答案】C【解析】此题相当于在正五边形ABCDE 中，对五个字母排序，要求五边形的任意相邻两个字母不能排在相邻位置，考虑A 放第一个位置，第二步只能C 或D ，依次ACEBD 或ADBEC 两种；同理分别让B 、C 、D 、E 放第一个位置，分别各有两种，一共十种不同的顺序.故选：C. 6．已知1()sin cos (,)4f x x x x R ωωω=->∈，若()f x 的任意一条对称轴与x 轴的交点横坐标都不属于区间(2,3)ππ，则ω的取值范围是（ ） A ．3111119[,][,]812812⋃ B ．1553(,][,]41284U C ．37711[,][,]812812U D ．13917(,][,]44812⋃ 【答案】C【解析】因为())4f x x πω=-，所以由())4f x x πω=-=42x k ππωπ-=+，其对称轴方程13()()4x k k Z ππω=+∈，由题设13()2()4k k Z πππω+≤∈且13()3()4k k Z πππω+≥∈，即13()2()4k k Z ω+≤∈且13()3()4k k Z ω+≥∈，也即3()28k k Z ω≥+∈且1()34k k Z ω≤+∈，解之得37711[,][,]812812ω∈U ，故选C.7．已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()7g x f x x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)【答案】C【解析】根据题意，对任意的(0,)x ∈+∞，都有[]2()log 3f f x x -=，又由()f x 是定义在()0+∞，上的单调函数，则2()log f x x -为定值，设2()log t f x x =-，则()2log f x x t =+，又由()3f t =，△()2log 3f t t t =+=，所以2t =，所以()2log 2f x x =+，所以()2log 5g x x x =+-，因为()()()()()1020304050g g g g g <<<>>，，，，，所以零点所在的区间为（3，4）.8．已知圆22:4O x y +=，直线l 与圆O 交于,P Q 两点，(2,2)A ，若22||||40AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为（ ）A ．B ．4C ．D ． 【答案】D【解析】设(,)M x y 为PQ 的中点，在APM △中，222||||||2||||cos AP AM MP AM MP AMP =+-∠，△在AQM V 中，222||||||2||||cos AQ AM MQ AM MQ AMQ =+-∠，△,cos cos 0AMP AMQ AMP AMQ π∠+∠=∴∠+∠=Q△+△得2222222||||2||||||2||2||AP AQ AM MP MQ AM MQ +=+=++，即()222402||2||||AM OQ OM =+-，2220||4||AM OM =+-，22||||16AM OM -=.()2222(2)(2)16x y x y -+--+=，得20x y ++=.所以min ||OM ==max ||PQ =.故答案为：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．一组数据121x +，221x +，321x +，…，21n x +的平均值为7，方差为4，记132x +，232x +，332x +，…，32n x +的平均值为a ，方差为b ，则（ ）A ．7a =B ．11a =C ．12b =D ．9b =【答案】BD【解析】设()123,,n X x x x x =⋅⋅⋅，数据121x +，221x +，321x +，…，21n x +的平均值为7，方差为4，即()()217,214E X D X +=+=，由离散型随机变量均值公式可得()()21217,E X E X +=+=所以()3E X =,因而132x +，232x +，332x +，…，32n x +的平均值为()()323233211a E X E X =+=+=⨯+=；由离散型随机变量的方差公式可得()()2144,D X D X +==所以()1D X =,因而132x +，232x +，332x +，…，32n x +的方差为()()3299b D X D X =+==，故选：BD.10．下列结论正确的是（ ） A ．若22a b >，则11a b< B ．若0x >，则44x x+≥ C ．若0a b >>，则lg lg a b > D ．若0ab >，1a b +=，则114a b+≥ 【答案】BCD【解析】对于A ，若22a b >，则a b >，当2a =，1b =-时，11a b<不成立，故A 错；对于B ，由0x >，则44x x +≥=，当且仅当2x =取等号，故B 正确； 对于C ，由lg y x =为单调递增函数，由0a b >>，则lg lg a b >，故C 正确；对于D ，由0ab >，1a b +=，则()111124b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，故D 正确；故选：BCD.11．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当2AF FB =u u u v u u u v时，92AB = D ．AB 的最小值为4【答案】ACD【解析】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离： 对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误. 对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a =++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =u u u r u u u r 可得122y y =-，142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD.12．已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln (),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.【答案】BCD【解析】因为1112,2lnn n n n n n n a a b b a b n +++=+=++，所以1131ln n n n n n a b a b n+++-=--， 当1n =时, 2211ln 2a b a b -=--,所以2211-<-a b a b ，所以A 错误；11313()lnn n n n n a b a b n++++=++，11ln(1)3(ln )n n n n a b n a b n +++-+=--， 所以{ln }n n a b n +-是等比数列，()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，所以B 正确；11112ln ()3n n n n n a a b a n a b -+=+=+++，故1111ln ()30n n n a a n a b -+-=++>，C 正确；因为131lnn n n n n b b a b n++=+++，所以1111ln(1)2ln ()3n n n b b n n a b -+-=+-++， 根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D 正确.故选：BCD . 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 .【答案】70【解析】设8⎛⎫的展开式中含22x y 的项为第1r +项，则由通项知()8118822221881rr r rr r r r r r T C xy x y C x y -----+--++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令822r r -+-=，解得4r =，△8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为()448170C -=．14．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u v u u u v ，13CE AB AC μ=+u u uv u u u v u u u v ，则λμ+= .【答案】13-【解析】()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA λμμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为E 是AD 的中点， 所以1132λ+=，1132μ--=，解得15,26λμ==- ，13λμ+=-.故答案为13-. 15．已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3，将ABC ∆绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________;此时该旋转体外接球的表面积为___________.（本题第一空3分，第二空2分）【答案】43π 25π 【解析】设直角三角形的两边分别为,a b ,则3a b +=,以长度为b 的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积为()2211333V a b a a ππ==-()03a <<,则()21633V a a π'=-,令0V '=,解得0a =或2a =,所以当02a <<时,0V '>；当23a <<时,0V '<,所以当2a =时,体积最大,最大值为43π,此时圆锥的底面半径为2,高为1,设外接球的半径为R ,则()22212R R =-+,所以外接球的半径为52,其表面积为25π. 故答案为:43π；25π. 16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为1S ，2S ，则21S S = . 【答案】4 【解析】由2ce a==，得2,c a b ==，故线段MN所在直线的方程为)y x a =+，又点P 在线段MN 上，可设()P m +，其中[m a ∈-，0]，由于1(,0)F c -，2(,0)F c ，即1(2,0)F a -，2(2,0)F a ，得12(2,),(2,)PF a m PF a m =--=-u u u r u u u u r，所以222212313464()44PF PF m ma a m a a ⋅=+-=+-u u u r u u u u r ．由于[m a ∈-，0]，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最小值，此时Py =， 当0m =时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最大值，此时P y =，则214S S ==，故答案为4． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}{},n n a b 满足：1112,,2n n n n a a n b a n b ++=+-==. （1）证明数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】（1）证明：因为n n b a n -=，所以n n b a n =+．因为121n n a a n +=+-，所以()()112n n a n a n +++=+，所以12n n b b +=．又12b =，所以{}n b 是首项为12b =，公比为2的等比数列，所以1222n nn b -=⨯=．（2）由（1）可得2nn n a b n n =-=-，所以()1232222nn S =++++L ()123n -++++L ()()2121122n n n -+=+-21222n n n++=--． 18．（12分）已知函数2()sin cos 2f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若A为锐角且()2f A =，4b c +=，求a 的取值范围.【解析】（1）函数变形1cos 21())sin 2sin(2)223x f x x x π-=+=-，即()sin(2)3f x x π=-，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得51212k x k ππππ-+≤≤+，所以单调增区间()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； （2）()sin(2)3f A A π=-=，0,2A π<<22333A πππ-<-<所以233A ππ-= ，解得3A π=，又4b c +=，在△ABC 中，22222()()344b c a b c bc b c bc +=+-=+-≥=，等边三角形时等号成立，所以2a ≥，又因为是三角形所以,4b c a a +><，所以[)2,4a ∈．19．（12分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --，求PF 的长度. 【解析】（1）证明：△90BAF ∠=︒，△AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF I 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ，△AF ⊥平面ABCD .（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D，()0,0,1F ，△()0,2,1FD u u u v =-，()1,2,0AC =u u u v，()1,0,0AB =u u u r ，由题知，AB ⊥平面ADF ，△()1,0,0AB =u u u r为平面ADF 的一个法向量， 设()01FP FD λλ=≤<u u u v u u u v ，则()0,2,1P λλ-，△()0,2,1AP λλ=-u u u v， 设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则0m AP m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ，△()21020y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，令1y =，可得22,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，△cos ,3m AB m AB m AB⋅===u u u vu u u v u u u v ，得13λ=或1λ=-（舍去），△PF =20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为2(1,0)F ，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于,两点，求证：△的周长是定值．【解析】（1）由已知得，椭圆的左右焦点分别是12(1,0),(1,0),1F F c -=,(3,0)H Q 在椭圆上，122426a HF HF ∴=+=+=,3,a b ∴==椭圆的方程是22198x y +=；（2）方法1：设()1122,,(,)P x y Q x y ，则2211198x y +=，2PF ===，△103x <<，△1233x PF =-，在圆中，M 是切点，△113PM x====，△211113333PF PM x x+=-+=，同理23QF QM+=，△22336F P F Q PQ++=+=，因此△2PF Q的周长是定值6．方法2：设PQ的方程为(0,0),y kx m k m=+<>1122(,),(,),P x y Q x y由22{,198y kx mx y=++=得222(89)189720k x kmx m+++-=,则212122218972,8989km mx x x xk k--+==++,12PQ x∴=-===PQ∵与圆228x y+=相切,=即m=∴2689kmPQk=-+,△2PF===，△103x<<，△1233xPF=-，同理2221(9)333xQF x=-=-，△12222226666663898989x x km km kmF P F Q PQk k k+++=--=+-=+++，因此△2PF Q的周长是定值6．21．（12分）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产()515x x≤≤万件的该种产品所需要的总成本()32231630910xC x x x=-++（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在[)25.26,25.30，[)25.30,25.34，[)25.34,25.38，[)25.38,25.42，[)25.42,25.46，[)25.46,25.50，[]25.50,25.54（单位：mm）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.产品的品质情况和相应的价格m （元/件）与年产量x 之间的函数关系如下表所示.以频率作为概率解决如下问题： （1）求实数a 的值；（2）当产量x 确定时，设不同品质的产品价格为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列； （3）估计当年产量x 为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.【解析】（1）由题意得()0.04234 2.5 4.531a ⨯++++++=，解得6a =； （2）当产品品质为优时频率为()10.0446 2.50.5p =⨯++=，此时价格为34x -+； 当产品品质为中时频率为()20.04230.2p =⨯+=，此时价格为3255x -+；当产品品质为差时频率为()30.04 4.530.3p =⨯+=，此时价格为3205x -+； 以频率作为概率，可得随机变量ξ的分布列为：（3）设公司年利润为()f x ，则()()323323340.5250.2200.3163055910x f x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⨯+-+⨯+-+⨯--++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭整理得()323123092x f x x x =-++-，()()()21131231233f x x x x x '=-++=-+-，显然当[]5,12x ∈时，()0f x '≥，[]12,15x ∈时，()0f x '≤， △当年产量12x =时，()f x 取得最大值.()12138f =.估计当年产量12x =时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.22．（12分）已知函数()2ln 3f x x x ax =+-的图像在点()()1,1f 处的切线方程为1y =.（1）确定实数a 的值，并求函数()y f x =的单调区间；（2）若*n N ∈，求证：())2111ln 112ln 13ln 1ln 12623n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .【解析】（1）由已知得函数()f x 的定义域为()0,∞+，()1'32f x ax x=+-， △函数()f x 的图像在点()()1,1f 处的切线方程为1y =，则()'1320f x a =+-=，△2a =.由()()()4111'340x x f x x x x+-=+-=-=，得1x =，或14x =-（舍去）， △当()0,1x ∈时，()'0f x >，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减. 故函数()f x 的单调增区间为()0,1，单调增区间为()1,+∞.（2）由（1）知()f x 有最大值()11f =，因此()1f x ≤，△()1,x ∈+∞时，()2ln 321f x x x x =+-<恒成立，即()()2ln 231211x x x x x <-+--=， △ln 211x x x <--，令11x n =+，则1ln 1211n nn⎛⎫+ ⎪⎝⎭<+，即12ln 11n n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭. △()111ln 112ln 13ln 1ln 123n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 22221111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1112123n n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭.而11111231n +++⋅⋅⋅+<++L1<+++L)()2122121321n n =+++⋅⋅⋅+----)121221=+++⋅⋅⋅+=.因此，)21112122623n n n ⎛⎫+++++<+=- ⎪⎝⎭L . 即对任意的*n N ∈，())2111ln 112ln 13ln 1ln 12623n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ..。

2020年高考金榜冲刺卷（一）数学（理）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（）A ．i 1-+B ．1i-C ．1i+D ．i1--2．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ⋂等于（）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}23．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A ．13B ．12C ．23D ．344．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11443,24a b a b ==-==，则22a b=（）A ．-1B ．1C ．-4D ．45．如图所示的程序框图，该算法的功能是．如图所示的程序框图，该算法的功能是( ) ( )A ．计算012(12)(22)(32)++++++L (12)nn +++的值的值 B ．计算123(12)(22)(32)++++++L (2)nn ++的值的值 C ．计算(123+++L )n +012(222++++L 12)n -+的值的值D ．计算[123+++L (1)]n +-012(222++++L 2)n+的值的值6．已知ABC V 是边长为()20a a >的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ））A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -7．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则，则( ) ( )A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为48．已知奇函数()f x ，且()()g x xf x =在[0,)+∞上是增函数上是增函数..若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为大小关系为( ) ( ) A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，直线1AC ⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状不可能是正五边形；④截面面积最大值为33．则正确的是（）．则正确的是（）A ．①②．①②B B ．①③．①③C C ．①②④．①②④D D D．①③④．①③④．①③④1010．．已知数列{}n a 的通项公式21021na n n =-+-，前n 项和为n S ，若>n m ，则n m S S -的最大值是（ ））A ．5B ．10C ．15D ．201111．椭圆．椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点A 在椭圆上，且160AOF ∠=︒，'A 与A 关于原点O 对称，且22·'0F A F A =u u u u v u u u u v，则椭圆离心率为（，则椭圆离心率为（）） A ．31-B ．32C ．312- D ．423-1212．不等式．不等式3ln 1xx e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（的取值范围（ ）） A ．(,1]e -∞- B ．2(,2]e -∞-C ．(,2]-∞-D ．(,3]-∞-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．1313．若双曲线．若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为22，则实数k 的值为的值为__________. __________.1414．若函数．若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是．的取值范围是．1515．据气象部门预报，在距离某码头南偏东．据气象部门预报，在距离某码头南偏东4545°方向°方向600km 的A 处的热带风暴中心正以20km /h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，则从现在起经过小时该码头将受到热带风暴影响暴影响. .1616．在三棱锥．在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的余弦值为13-，当三棱锥A BCD -的体积的最大值为64时，其外接球的表面积为时，其外接球的表面积为____________. ____________. 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1717．．（12分）已知ABC∆内接于单位圆，且()()1tan 1tan 2A B ++=，（1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值．面积的最大值．1818．．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，22AC =，2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =．（1）证明PC ⊥平面BED ；（2）设二面角A PB C --为90︒，求PD 与平面PBC 所成角的大小所成角的大小. .1919．．（12分）已知抛物线22y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k ，2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点．的中点．（1）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；的方程；（2）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．恒过定点，并求出定点坐标．2020．．（12分）有人收集了10年中某城市的居民年收入年中某城市的居民年收入((即此城市所有居民在一年内的收入的总和即此城市所有居民在一年内的收入的总和))与某种商品的销售额的有关数据：品的销售额的有关数据： 第n 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10年收入亿元(x ) 32.031.033.036.037.038.039.043.045.010x 商品销售额万元（y ） 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.010y且已知101380.0i i x ==∑（1）求第10年的年收入10x ；（2）若该城市该城市居民收入与该种商品的销售额之间满足线性回归方程363ˆˆ254y x a =+，①求第10年的销售额10y ；②如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.010.01））附：（1）在线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆˆˆ,ni i i ni i x y nx y ba y bx x nx==-==--∑∑. （2）1022110254.0i i x x =-=∑，91125875.0i i i x y ==∑，91340.0i i y ==∑.2121．．（12分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数的导函数. .（1）求()f x 的单调区间；的单调区间；（2）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…； （3）设nx 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明证明::20022sin cos n n n x x ex πππ-+-<-.(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 2222．．【极坐标与参数方程】（10分）分）A 为椭圆1C ：221424x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点上任意一点. . （1）写出1C 参数方程和2C 普通方程；普通方程； （2）求AB 最大值和最小值最大值和最小值. . 2323．．【选修4-54-5：不等式选讲】：不等式选讲】（10分）分）已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈. （1）解不等式()()f x g x a <+；（2）任意x ∈R ，2()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围的取值范围. .参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． C 2． D.3． C.4． B.5． C ．6． B.7． B.8． C ．9． D.1010．． B.1111．． A.1212．． D ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 1313．． 8. 1414．． [2,)+∞ 1515．． 15 1616．． 6π提示：如图，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠,点A 在截面圆1O 上运动，点D 在截面圆2O 上运动，由图知，当AB AC =，BD CD =时，三棱锥A BCD -的体积最大，此时ABC ∆与BDC ∆是等边三角形, 设BC a =，则32AM DM a ==，234BCD S a ∆=.6sin()3h AM AMD a π=-∠=,31263124A BCD DBC V S h a -∆=⋅== 解得3a =，所以32DM =,21DO =，212O M =，设2AMD θ∠=则21cos 22cos 13θθ=-=-,解得tan 2θ=,∴222tan 2OO O M θ==,球O 的半径222262R DO OO =+=,所求外接球的表面积为246S R ππ==.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1717．．（1）(()()())112tanA tanB ++=Q ,1tanA tanB tanA tanB ∴+=-⋅，()11tanA tanB tanC tan A B tanAtanB +∴=-+=-=--，()3C 0,4C ππ∈∴=Q .（2）ABC ∆的外接圆为单位圆，∴其半径1R=，由正弦定理可得22c RsinC ==，由余弦定理可得2222c a b abcosC =+-，代入数据可得2222a b ab =++()2222ab ab ab ≥+=+，当且仅当a=b时，“=”成立,222ab ∴≤+，ABC V ∴的面积1122122222S absinC -=≤⋅=+，ABC∆面积的最大值为212-.1818．．（1）以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，设()2,,0Db ，则()2200C ，，，()002P ，，，422,0,33E ⎛⎫⎪⎝⎭，()20B b -，，，∴()2202PC =-u u u r，，，22 ,,33BE b ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r，22 33DE b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r，，，∴44 033PC BE ⋅=-=u u u r u u u r ，0PC DE ⋅=u u u r u u u r ，∴PC BE ⊥，PC DE ⊥，BE DE E ⋂=，∴PC ⊥平面BED .（2）() 002AP =u u u r ，，，()2,,0AB b =-u u u r ，设平面PAB 的法向量为() ,,x y z m =u r ，则2020m AP z m AB x by ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取()20b m =u r ，，，设平面PBC 的法向量为() ,,p n q r =r，则222032023n PC p r n BE p bq r ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ， 取21,,2b n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭r ，∵平面PAB ⊥平面PBC ，∴ 20m n b b =-=⋅u r r ，故2b =， ∴() 1,1,2n =-r ，()222DP =--u u u r，，，∴1cos ,2n DP DP n n DP ⋅==⋅r u u u ru u u r r r u u u r ， 设PD 与平面PBC 所成角为θ，02⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πθ，则1sin 2θ=，∴30θ=︒， ∴PD 与平面PBC 所成角的大小为30°.1919．．（1）设()11,A x y ，()22,B x y，则2112y x =①，2222y x =②．①－②，得 ()()()1212122y y y y x x -+=- ．又因为()1,1P 是线段AB 的中点，所以122y y +=,所以，21121212=1y y k x x y y -==-+． 又直线AB 过()1,1P ，所以直线AB 的方程为y x =.（2）依题设(),M M M x y ，直线AB 的方程为()111y k x -=-，即111y k x k =+-，亦即12y k x k=+，代入抛物线方程并化简得 ()2221122220k x k k x k +-+=．所以，12121222112222k k k k x x k k --+=-=,于是，12211M k k x k -=，12121221111M M k k y k x k k k k k -=⋅+=⋅+=． 同理，12221N k k x k -=，21N y k =．易知120k k ≠，所以直线MN 的斜率21211M N M N y y k k k x x k k -==--． 故直线MN的方程为211221211111k k k k y x k k k k⎛⎫--=-⎪-⎝⎭，即212111k k y x k k=+-．此时直线过定点()0,1．故直线MN 恒过定点()0,1．2020．．（1）依题意101380.0i i x ==∑，则10323133363738394345380x +++++++++=，解得1046x =. （2）①由居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程$y =363254x a +知363254b =，即101102211036325410i i i i i x y x y b x x==-==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=， 解之得：1051y =. ②易得38x =，39.1y =，代入$363254y x a =+得：36339.138254a =⨯+，解得15.21a ≈-，所以$36315.21254y x =-，当40x =时，3634015.2141.96254y =⨯-≈故若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是41.96万元. 2121．．(1)由已知，有()()'e cos sin xf x x x =-.当()52,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 单调递减; 当()32,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 单调递增. 所以，()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭， ()f x 的单调递减区间为()52,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭.(2)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫-=⎝+⎪⎭.依题意及(1)有：()()cos sin xg x e x x =-，从而'()2sin xg x e x =-.当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0g x <，故'()'()'()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ'⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()h x在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭….所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭….(3)依题意，()()10nnu xf x =-=，即e cos 1nx n x =.记2n n y x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 且()e cos ny n n f y y ==()()22ecos 2e n x n n n x n n N πππ---∈=.由()()20e1n nf y f y π-==…及(Ⅰ)得0n y y ….由(2)知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭….又由(Ⅱ)知()()02n n n f y g y y π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…，故： ()()()2e 2n n n n n f y y g y g y ππ---=-…()()022200000sin cos sin cos n n n y e e e g y e y y x x πππ---=<--…. 所以200e22sin cos n n n x x x πππ-+--<.(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 2222．．（1）由题意可得1C 的参数方程为：2cos ,26sin ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），又∵210cos 240ρρθ-+=，且222x y ρ=+，cos x ρθ=， ∴2C 的普通方程为2210240x y x +-+=，即()2251x y -+=.（2）由（1）得，设()2cos ,26sin A αα，圆2C 的圆心()5,0M ，则()()22||2cos 526sin AM αα=-+220cos 20cos 49αα=--+2120cos 542α⎛⎫=-++⎪⎝⎭，∵[]cos 1,1α∈-，∴当1cos 2α=-时，max ||36AM =； 当cos 1α=时，min ||3AM =.当1cos 2α=-时，max max ||||1361AB AM =+=+；当cos 1α=时，min min ||||12AB AM =-=. 2323．．【选修4-54-5：不等式选讲】：不等式选讲】（10分）分）（1）不等式()()f xg x a <+即24x x -<+，两边平方得2244816x x x x -+<++，解得1x >-，所以原不等式的解集为()1,-+∞.（2）不等式()()2f x g x a +>可化为224a a x x -<-++， 又()()24246x x x x -++≥--+=，所以26a a -<，解得23a -<<， 所以a 的取值范围为()2,3-.。

2020年高考数学冲刺逆袭必备卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．若集合{|12}A x x =-<≤，则A =R ð（ ） A ．{|1x x <-或2}x > B ．{|1x x ≤-或2}x > C ．{|1x x <-或2}x ≥ D ．{|1x x ≤-或2}x ≥【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的定义，即可求得A 的补集. 【详解】∵{|12}A x x =-<≤，∴A =R ð{|1x x ≤-或2}x >， 故选：B 【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，属于基础题. 2．设3i12iz -=+，则z =A ．2 BCD ．1【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ． 【详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ．本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．3．“方程221 71x ym m+=--表示的曲线为椭圆”是“17m<<”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据方程表示椭圆的条件列不等式组，解不等式组求得m的取值范围，由此判断充分、必要条件. 【详解】由于方程22171x ym m+=--表示的曲线为椭圆，所以701071mmm m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得17m<<且4m≠.所以“方程22171x ym m+=--表示的曲线为椭圆”是“17m<<”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本小题主要考查方程表示椭圆的条件，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.4．若函数()f x的导函数()f x'的图象如右图所示，则函数()y xf x'=的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据导函数()f x'的零点和函数值的符号，判断出()y xf x'=的图象.由于()f x '的图象可知2x =-是()f x '的零点，所以()y xf x '=的零点为0和2-.当2x <-时，()'0f x >，所以()'0xf x <；当20x -<<时，()'0f x <，所以()'0xf x >；当0x >时，()'0f x <，所以()'0xf x <.由此可知正确的()y xf x '=的图象为D.故选：D 【点睛】本小题主要考查主要考查导函数图象的运用，属于基础题. 5．若sin 12πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A ．12 B ．12-C．2D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件和二倍角公式，先计算出cos 26πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值，再将所要求的2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据诱导公式进行化简，得到答案. 【详解】因为sin 122πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以2cos 2126πα⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭⎝⎭12=- 2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题.6．已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切，则双曲线C 的离心率为（ ） AB ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】先得到双曲线C 的渐近线，然后根据渐近线与圆相切，利用点到直线的距离等于半径，得到a 和c 的关系，求出离心率，得到答案. 【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线为b y x a =±因为两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切，所以点(,0)a 到直线b y x a =的距离等于半径2b即2ab b d c ===，又因为222c a b =+ 整理得到2c a =， 故双曲线C 的离心率为2ce a==. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线，根据直线与圆相切求参数关系，求双曲线的离心率，属于简单题. 7．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（）A ．[2,3]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[2,7]【答案】C 【解析】 【分析】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果. 【详解】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+//EF Q 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F ⋂=∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE Ì平面EFG //GE ∴平面11BDD B又平面ABCD I 平面11BDD B BD =，GE Ì平面ABCD //GE BD ∴E Q 为AB 中点 G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点即F 在线段GH 上min 1AF AG ∴==，max AF AH ==min EF ∴==max EF ==则线段EF 长度的取值范围为：本题正确选项：C 【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.8．若直线2x y m =-+与曲线y =m 的取值范围是（ ）A ．B ．11)C ．(11)+D ．1) 【答案】A 【解析】试题分析：由题意知，曲线y =的图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成，故直线2x y m =-+与曲线y =恰有三个公共点的临界直线有：当直线2xy m =-+过点()2,0时，即01m =-+，故1m =；当直线2xy m =-+与椭圆的上部分相切，即'12y ==-，即x y ==时，此时m =，故实数m 的取值范围是，选项A 为正确答案．考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、数形结合的思想．【易错点晴】本题主要考查的是直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题；要求满足条件：直线2x y m =-+与曲线y =恰有三个公共点，实数m 的取值范围，可以转化为直线2x y m =-+的图象与曲线y =m 的取值范围，作出两个函数的图象，通过图象观察临界直线，从而求出m 的取值范围；本题曲线y =的图象是易错点，画图时要分类讨论，知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成．二、多选题9．甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如图所示，则关于这三家企业下列说法正确的是（ ）A ．成本最大的企业是丙企业B ．费用支出最高的企业是丙企业C ．支付工资最少的企业是乙企业D ．材料成本最高的企业是丙企业【答案】AB D【解析】由题意甲企业产品的成本为10000，其中材料成本1000060%6000⨯=、支付工资1000035%3500⨯=、费用支出500；乙企业产品的成本为12000，其中材料成本1200053%6360⨯=、支付工资1200030%3600⨯=、费用支出2040；丙企业产品的成本为15000，其中材料成本1500060%9000⨯=、支付工资1500025%3750⨯=、费用支出1500015%2250⨯=.所以成本最大的企业是丙企业，费用支出最高的企业是丙企业，支付工资最少的企业是甲企业，材料成本最高的企业是丙企业，A 、B 、D 选项正确，C 选项错误. 故选：AB D. 【点睛】本题主要考查扇形统计图的识图及应用，属基础题.10．关于函数()1f x cosx +=，,23x pp 骣琪Î琪桫的图象与直线y t =（t 为常数）的交点情况，下列说法正确的是（ ）A ．当0t <或2t ≥时，有0个交点B ．当0t =或322t ≤<时，有1个交点 C ．当302t <≤时，有2个交点 D ．当02t <<时，有2个交点【答案】AB 【解析】 【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况,进一步确定结果． 【详解】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A ：当0t <或2t ≥时,有0个交点,故正确．②对于选项B ：当0t =或322t ≤<时,有1个交点,故正确． ③对于选项C ：当32t =时,只有一个交点,故错误． ④对于选项D ：当322t ≤<,只有一个交点,故错误． 故选：AB【点睛】函数的图象的应用,利用函数的图象求参数的取值范围,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ） A ．若59S S =，则必有140S = B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >，则必有78S S > D ．若67S S >，则必有56S S >【答案】AB C 【解析】 【分析】直接根据等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n dS na -=+逐一判断． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n dS na -=+， 若59S S =，则11510936a d a d +=+， ∴12130a d +=，∴1132da =-，∵10a >，∴0d <， ∴1140a a +=，∴()1141407a a S +==，A 对；∴() 112nn n dS na-=+()11322n n dnd-=-+()27492d n⎡⎤--⎣⎦=，由二次函数的性质知7S是n S 中最大的项，B对；若67S S>，则7160a a d=+<，∴16a d<-，∵10a>，∴0d<，∴615a a d=+6d d<-+0d=->，8770a a d a=+<<，∴5656S S S a<=+，7878S S S a>=+，C对，D错；故选：AB C．【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，属于中档题．12．如图，在四边形ABC D中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且3BC EC=u u u r u u u r，F为AE的中点，则（）A．12BC AB AD=-+u u u r u u u r u u u rB．1133AF AB AD=+u u u r u u u r u u u rC．2133BF AB AD=-+u u u r u u u r u u u rD．1263CF AB AD=-u u u r u u u r u u u r【答案】AB C【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题．【详解】解：∵AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法则得BC BA AD DC =++u u u v u u u v u u u v u u u v 12AB AD AB =-++u u u v u u u v u u u v 12AB AD =-+u u uv u u u v ，A 对；∵3BC EC =u u u r u u u r ，∴23BE BC =u u u r u u u r 1233AB AD =-+u u uv u u u v ，∴AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r 1233AB AB AD ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭u u uv u u u v u u u v 2233AB AD =+u u u v u u u v ，又F 为AE 的中点，∴12AF AE =u u u v u u u v 1133AB AD =+u u u v u u u v，B 对；∴BF BA AF =+u u u v u u u v u u u v 1133AB AB AD =-++u u u v u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u uv u u u v ，C 对；∴CF CB BF =+u u u v u u u v u u u v BF BC =-u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u u v u u u v 12AB AD ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v 1263AB AD =--u u uv u u u v ，D 错；故选：AB C ． 【点睛】本题主要考查向量加法的三角形法则、数乘运算，考查平面向量基本定理，属于基础题．第II 卷（非选择题)三、填空题13．曲线C ：2()ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________． 【答案】320x y --= 【解析】分析：根据切线方程的求解步骤即可，先求导，求出切线斜率，再根据直线方程写法求出即可. 详解：由题可得：1'()2f x x x=+(),1f =1，'(1)3,f ∴=∴切线方程为：y -1=3（x -1） 即320x y --=，故答案为：320x y --=点睛：考查导数的几何意义切线方程的求法，属于基础题. 14．已知向量a r、b r满足|a r|＝2，且b r 与b a rr-的夹角等于6π，则|b r |的最大值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】在OAB V 中，令,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，可得6π∠=OBA ，可得点B 在半径为R 的圆上，22sin R A=，可得R ，进而可得||b u u r的最大值． 【详解】∵向量a r 、b r 满足|a r |＝2，且b r 与b a -r r 的夹角等于6π，如图在OAB V 中，令OA a =uu u r r ，OB b =uuu r r ，可得6π∠=OBA可得点B 在半径为R 的圆上，2R 2sinA==4，R ＝2． 则|b r|的最大值为2R ＝4【点睛】本题考查了向量的夹角、模的运算，属于中档题．15．设a 为()sin 3cos x x x R ∈的最大值，则二项式6a x x ⎛ ⎝展开式中含2x 项的系数是_____. 【答案】192-【解析】由题意设a 为()sin 3cos x x x R ∈的最大值，则二项式6a x x ⎛ ⎝展开式中含2x 项的系数是.因为a 为()sin 3cos x x x R ∈的最大值 所以2a =代入到二项式6a x x ⎛⎝中，得62x x ⎛⎝，其第1r +项为(616rrr r T C-+⎛= ⎝()63612rr rr C x --=-⋅⋅⋅含2x 项，则1r =其系数是()151612192C -⋅⋅=-【点睛】本题考查三角函数化简，二项式展开式中指定项的系数.16．已知a b ，为正实数，直线y x a =-与曲线1ln()y x b y x b '⎛⎫=+=⎪+⎝⎭相切于点()00x y ，，则11a b+的最小值是______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用切点和斜率列方程组，化简求得,a b 的关系式，进而利用基本不等式求得11a b+的最小值. 【详解】依题意令11y x b '==+，解得01x b =-，所以()00001ln ln10y x a b a y x b =-=--⎧⎨=+==⎩，所以10b a --=，所以1a b +=，所以()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭224b a a b =++≥+=，当且仅当12a b ==时等号成立，所以11a b+的最小值为4. 故答案为：4【点睛】本小题主要考查导数与切线有关的计算问题，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题.四、解答题17．若向量,0)(cos ,sin )(0)m x n x x ωωωω==->r r，在函数()()f x m m n t =⋅++r r r 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为,4π且当[0,],()3x f x π∈时的最大值为1．（I ）求函数()f x 的解析式； （II ）求函数()f x 的单调递增区间．【解析】（I ）由题意得()()f x m m n t =⋅++r r r2m m n =+⋅r r r23sin cos 33cos 2sin 22223)32x x x t x x t x tωωωωωπω=+⋅+=-++=-++ ∵对称中心到对称轴的最小距离为4π ()f x ∴的最小正周期为T π=2,12ππωω∴=∴=. 3()),32[0,],2[,]3333f x x t x x πππππ∴=-++∈-∈-当时2,()333x x f x πππ∴-==即时取得最大值3t +max ()1,31,21()).32f x t t f x x π=∴+=∴=-∴=--Q （II ）222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈.55222,2612125()[,]()1212k x k k x k f x k k k Z ππππππππππππ-≤≤+-≤≤+∴-+∈函数的单调递增区为18．定义：对于任意*n N ∈，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列. （1）若()2*8n a n n n =-+∈N，证明：数列{}na 是T 数列；（2）设数列{}n b 的通项为502n b n =- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围； （3）设数列()*1,12n pc n p n=-∈<<N ，若数列{}n c 是T 数列，求p 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭；（3）615p <≤. 【解析】 【分析】（1）根据题中的新定义代入即可证出.（2）设1n n b b +≥， 1n n b b -≥，2n ≥，代入通项3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解不等式组，使()max n M b ≥即可求解.（3）首先根据12p <<可求1n =时，11c p =-，当2n ≥时，1n pc n=-，根据题中新定义求出13220c c c +-≤成立，可得615p <≤，再验证2120n n n c c c +++-<恒成立即可求解. 【详解】（1）Q ()22841616n a n n n =-+=--+≤，且()()()()22221282822116120n n n a a a n n n n n n +++-=-+-+++++-+=-<， 则满足212n n n a a a +++≤，则数列{}n a 是T 数列. 综上所述，结论是：数列{}n a 是T 数列. （2）设1n n b b +≥， 1n n b b -≥，2n ≥则()()11335050122335050122n n n n n n n n +-⎧⎛⎫⎛⎫-≥+-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-≥-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 得3322log 1001log 100n ≤≤+，n N *∈Q ，12n ∴=，则数列{}n b 的最大值为126002b =- ⎪⎝⎭， 则1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭（3）Q 12p <<112n pc ∴=-<， 当1n =时，11c p =- 当2n ≥时，1n p c n=-， 由132521122033p p c c c p p +-=-+--+=-+≤，得615p <≤， 当2n ≥时，()()2122211202112n n n p p p pc c c n n n n n n ++-+-=-+--+=<++++恒成立， 则要使数列{}n c 是T 数列，则p 的取值范围为615p <≤. 【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AA AC CB ==，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若1A A 与平面ABC 所成的线面角为60︒，求二面角11C AB C --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）34. 【解析】（1）因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A I 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠=︒，所以BC ⊥平面11ACC A ，因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC A C ⊥. 因为11B C BC ∥，所以111AC B C ⊥. 因为11ACC A 是平行四边形，且1AA AC =， 所以四边形11ACC A 是菱形，则11A C AC ⊥. 因为1111AC B C C =I ，所以1A C ⊥平面11AB C .又1AC ⊂平面11A B C ，所以平面11AB C ⊥平面11A B C . （2）如图，取AC 的中点M ，连接1A M ， 因为四边形11ACC A 是菱形，160A AC ∠=︒， 所以1△ACA 是正三角形，所以1A M AC ⊥，且132A M AC =. 令122AA AC CB ===，则13A M =.以C 为坐标原点，以CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过点C 且平行于1A M 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()11,0,3C -，()0,1,0B，()11,0,3A ，()2,0,0CA =u u u r，()()111111,0,30,1,0CB CC C B CC CB =+=+=-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r ()1,1,3=-，()11,0,3CA =u u u r.设平面1ACB 的法向量为(),,x y z =n ，则100CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，所以2030x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，得0x =，令1z =，则3y =-，所以()0,3,1=-n .由（1）知1A C ⊥平面11AB C ，所以()11,0,3CA =u u u r是平面11AB C 的一个法向量，所以111cos ,CA CA CA ⋅<>=⋅u u u ru u u r u u u r n n n 3341331==+⨯+. 所以二面角11C AB C --的余弦值为34. 20．某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从A 农场购进一批优质棉花，厂方技术人员从A 农场存储的优质棉花中随机抽取了100朵棉花，分别测量了其纤维长度（单位：cm ）的均值，收集到100个样本数据，并制成如下频数分布表：（1）求这100个样本数据的平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）将收集到的数据绘制成直方图可以认为这批棉花的纤维长度()2~,X N μσ，其中22,x s ≈≈μσ.①利用正态分布，求()2P X >-μσ；②纺织厂将A 农场送来的这批优质棉进行二次检验，从中随机抽取20朵测量其纤维均值()1,2,,20y i =L 的数据如下：若20个样本中纤维均值2Y >-μσ的频率不低于①中()2P X >-μσ，即可判断该批优质棉花合格，否则认为农场运送是掺杂了次品，判断该批棉花不合格.按照此依据判断A 农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花，并说明理由. 附：若()2~,Z N μσ，则()0.6827,P Z -<<+=μσμσ()220.9543.P Z -<<+=μσμσ12.28 3.504≈.【答案】（1）平均数为31，方差为12.28；（2）①0.97715；②该批优质棉花合格，理由见解析.【解析】（1）1(4249261628100x =⨯⨯+⨯+⨯2430183214341036+⨯+⨯+⨯+⨯538)31+⨯=， 22221(4795163241100s =⨯⨯+⨯+⨯+⨯22218114310557)12.28+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）棉花的纤维长度()2~,X N μσ，其中31,12.28 3.504=≈≈μσ，①利用正态分布，则()()12110.95432P X >-=-⨯-μσ0.97715=. ②因为2312 3.50423.992-=-⨯≈μσ， 故()()223.9921P Y P Y >-=>=μσ>0.97715， 故满足条件，所以认为该批优质棉花合格.21．如图，已知抛物线2:8C y x =的焦点是F ，准线是l .（Ⅰ）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）已知点()8,8P ，若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点A 、B （均与P 不重合），直线PA 、PB 分别交l 于点M 、N 求证：MF NF ⊥.【答案】（Ⅰ）()2,0F ，准线l 的方程为2x =-；（Ⅱ）见解析.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据抛物线C 的标准方程可得出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）设直线AB 的方程为2x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，求出点M 、N 的坐标，计算出0MF NF ⋅=u u u r u u u r，即可证明出MF NF ⊥. 【详解】（I ）抛物线C 的焦点为()2,0F ，准线l 的方程为：2x =-；（Ⅱ）设直线AB 的方程为：()2x my m R =+∈，令()11,A x y ，()22,B x y ， 联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程228x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得28160y my --=， 由根与系数的关系得：1216y y =-.直线PB 方程为：228888y x y x --=--，()2222288888888y y xy x y y -+=-+=+-， 当2x =-时，228168y y y -=+，228162,8y N y ⎛⎫-∴- ⎪+⎝⎭，同理得：118162,8y M y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.228164,8y FN y ⎛⎫-∴=- ⎪+⎝⎭u u u r ，118164,8y FM y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭u u u u r ,()()()()()()21212121211688816816816816168888y y y y y y FN FM y y y y +++----∴⋅=+⨯=++++u u u r u u u u r ()()()()()()122121801680161608888y y y y y y +-+===++++，FN FM ∴⊥u u u r u u u u r，MF NF ∴⊥.【点睛】本题考查利用抛物线方程求焦点坐标和准线方程，同时也考查了直线与抛物线的综合问题，涉及到两直线垂直的证明，一般转化为两向量数量积为零来处理，考查计算能力，属于中等题. 22．已知1()ln mf x x m x x-=+-，m ∈R . （1）讨论()f x 的单调区间；（2）当202e m <≤时，证明：2()1x e x xf x m >-+-.【答案】（1）()f x 在(1,1)m -上单调递减；在(0,1)和(1,)m -+∞上单调递增.（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，再进行求导得2(1)[(1)]()x x m f x x---'=，对m 分成1m £，12m <<，2m =三种情况讨论，求得单调区间；（2）要证由2()1xe x xf x m >-+-，等价于证明ln x e mx x >，再对x 分01x <≤，1x >两种情况讨论；证明当1x >时，不等式成立，可先利用放缩法将参数m 消去，转化成证明不等式2ln 2xe e x x >成立，再利用构造函数22()ln x e g x x x -=-，利用导数证明其最小值大于0即可。