(4)泛圈图的一个必要条件

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n维_格子笼_图的Hamilton问题

使得对序列中的任意相邻两个元素 Ci ( Ri , Gi , B i ) 与 Cj ( Rj , Gj , B j ) ,有
| Ri - Rj | + | Gi - Gj | + | B i - B j | = 1. 这样的问题可以归结为 :对于一个这样的图 G, 其顶点集为向量 ( x , y , z) 的集合 , 其中 x , y , z 分别是 0
(0 ,1 ,0 , r4 ,0 , …,0)
(1 ,1 ,0 , r4 ,0 , …,0) , (2 ,1 ,0 , r4 , 0 , …,0) , …, ( r1 ,1 ,0 , r4 ,0 , …,0)
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……
……
(0 , r2 , r3 ,0 , …,0) (0 , r2 - 1 , r3 ,0 , …,0) ……
(1 , r2 , r3 , 0 , …,0) , (2 , r2 , r3 ,0 , …,0) , …, ( r1 , r2 , r3 , 0 , …,0) (1 , r2 - 1 , r3 ,0 , …, 0) , (2 , r2 - 1 , r3 ,0 , …,0) , …, ( r1 , r2 - 1 , r3 ,0 , …,0) ……
否存在 Hamilto n 圈 ,是一个有趣的问题. 下面我们来具体讨论.
2 主要结果及证明
定理 2. 1 n 维“格子笼”图 G 存在 Hamilto n 圈的充要条件是 ri ( i = 1 , 2 , …, n , n ≥2) 中至少有一
[ 收稿日期 ] 2007210208 [ 基金项目 ] 广西壮族自治区教育厅科研项目 (200807MS032)

教科版六年级科学上册第一单元《微小世界》测试卷及答案

…○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________教科版六年级科学上册第一单元《微小世界》测试卷（满分：100分时间：40分钟）题号一二三四总分分数一、单选题（共10题；每小题2分，共20分） 1.第一个发现细胞的科学家是（）。

A. 罗伯特·虎克B. 列文·虎克C. 牛顿 2.不属于池塘中的微小生物是（）。

A. 草履虫B. 硅藻C. 虾 3.酱和腐乳都是利用（）生产的。

A. 细菌B. 病毒C. 霉菌 4.用显微镜观察时（）。

A.两只眼都要睁开B.睁左眼闭右眼C.睁右眼闭左眼 5.下列透镜具有放大功能的是( )。

A. B. C.6.自制洋葱表皮细胞标本实验中，盖在标本上的薄薄的小玻璃叫（）。

A. 压片夹B. 盖玻片C.载玻片 7.科学家通过观察，发现了什么都是由细胞组成的？（）。

A. 只有植物体 B. 只有动物体 C.所有生物体 8.（）被誉为19世纪自然科学的三大发现之一。

A. 细胞学说B. 放大镜的发现C. 微生物的发现 9.下列图象中，通常最可能是在放大镜下观察到的是( )。

A.石英晶体B.大肠杆菌C.蝶的口器10.下列说法错误的是（）。

A. 不同生物、不同部分的细胞是不同的 B. 同一物体上的细胞结构是完全相同的 C. 细胞是所有生物体的基本单位二、判断题（共10题；每小题2分，共20分，正确的划“√”，错误的划“×”）11.小水滴就是一个凸透镜。

（） 12.所有的生物都是由细胞构成的。

地质学复习资料

地质学复习资料地质学期末复习资料⼀共三⼤类题⽬，分别是简答题，名词解释，以及填空题⼀、简答题⾃然地理学I课程说明1、简述《⾃然地理I》的主要学习内容。

1）岩⽯圈的物质组成；2）地质作⽤类型、相互作⽤关系、作⽤过程；3）地质作⽤引起的岩⽯圈内部、表层的形变与改造；4）岩⽯圈的地壳表层演化历史。

《地质学简介》作业题1、简述地质学的研究对象及其资料来源。

2、简述基础地质学的学科体系构成。

3、简述地质学研究对象的特点。

地球的结构1、请描述磁倾⾓的地表变化规律。

2、请简述地球重⼒的变化规律。

地壳概述1、简述地壳的结构以及⼤陆地壳与海洋地壳的区别。

2、简述确定地质年代的基本⽅法。

矿物的概念1、简述矿物的化学组成类型。

岩浆岩、岩浆的概念1、简述岩浆的类型（依据岩浆中SiO2含量）。

喷出作⽤1、简述⽕⼭活动给⼈类活动带来的影响。

2、简述⽕⼭喷发物的物态构成。

3、简述近代⽕⼭分布规律及世界⽕⼭分布。

侵⼊作⽤1、简述岩浆体与围岩间的接触关系。

1、简述什么是矿物共⽣组合及研究矿物共⽣组合的意义。

岩浆的演化2、简述鲍温反应原理及其实践教义。

沉积岩概述1、简述外⼒地质作⽤因素及其所起的作⽤。

2、简述沉积岩的物质来源。

沉积岩的形成与块体坡移1、简述风化作⽤的类型，及其相互关系。

2、简述影响风化作⽤的主要因素。

3、简述风化作⽤的产物4、简述沉积岩的形成过程沉积岩的特征1、简述沉积岩的基本特征富含氧化物、氢氧化物、含⽔矿物、次⽣矿物、有机质和化⽯；具碎屑结构、泥质结构、化学结构、⽣物结构等；具有层理、层⾯构造，如：波痕、⾬痕、⼲裂等等；具有锯齿状缝合线或结核等。

变质岩1、简述化学流体在变质作⽤中的主要作⽤。

（1）可以作为化学反应的媒介；（2）也直接参与化学反应；（3）降低岩⽯的熔点；（4）化学活动性流体的参与，⼤⼤加快变质作⽤的进⾏。

2、简述变质作⽤的主要⽅式。

（1）重结晶作⽤——岩⽯在固态条件下发⽣重结晶使⼩晶体变为⼤晶体，但成分不变。

图论概念定理知识点梳理

图论基本知识点梳理第一部分(基本概念)1.G连通的充分必要条件是(G) = 1 o或若|V(G) |=2k，且对—v V(G)，有d(v) _ k，则G是连通图。

4•图G为二分图当且仅当G中无奇圈。

5•在仅两个奇次顶点的图中，此二奇次顶点连通。

6•设G为简单图，若、；(G) _ 2，则G中有圈。

7.设G为简单图，若「.(G) 一3，则G中有偶圈。

具体地，(1)单星妖怪中有偶圈。

⑵在k -正则图G中，若k _3，则G中有偶圈。

8•简单图G与其补图G c不能都不连通。

29•在."■：的三角剖分中，正常三角形为奇数个。

10•以下等价(1) G是树(无圈连通图)° (2) G中任两顶点间恰有一条轨。

⑶G 无圈，=■…1。

(4) G是连通图，；-、•-1 ° (5) G是连通图，且对G的任意边e, G -e不连通。

(树每边皆割边)(6) G无圈，且对任一不在E(G)的边e, G e恰含一个圈。

11. 若G连通，则；(G) (G)-1。

G的生成树是G最小的连通生成子图。

12. G是连通图的充分必要条件是G有生成树。

13. > - 2的树T至少有两个叶。

14. 完全图K n的生成树个数・(K n)二n n°。

15. 图G可平面嵌入的充分必要条件是G可以球面嵌入。

(染地球上各国等价于染地图上各国)16. (Euler公式) G是连通平面图，贝X - ；「- 2.17. 证明：若G是、-3的连通平面图，则；乞3 -6。

18. 证明：平面图G的最小顶点次数5。

19 -3平面图G是极大平面图的充要条件是G的平面嵌入的每个面皆三角形。

' -3平面图G是极大平面图的充要条件是；=3二-6。

20 G是平面图当且仅当G中不含与K5和K3,3同胚的子图。

21 M是图G的最大匹配当且仅当G中无M的可增广轨。

22婚配定理：设G是具有二分类(X,Y)的偶图，存在把X中顶点皆许配的匹配的充要条件是-s X,|N(S)|」S|,其中N(S)是S中每个顶点的邻点组成的所谓S的邻集推论：k -正则二分图有完美匹配，k .0。

四川省雅安市七年级生物上册第一单元部编版基础知识过关卷

四川省雅安市七年级生物上册第一单元部编版基础知识过关卷学校：_______ 班级：__________姓名：_______ 考号：__________（满分：100分时间：60分钟）总分栏题号一二三四五六七总分得分评卷人得分一、选择题：本大题共30小题，每小题2分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列不属于一个生态系统的是（）A．一个湖泊B．生物圈C．森林中的所有生物D．一块草地2.诗词是中华民族传统文化的瑰宝，诗词里蕴含着不少生物学现象。

下列诗句中不包含生命现象的是：（）A．黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙B．几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥C．竹外桃花三两枝，春江水暖鸭先知D．孤山寺北贾亭西，水面初平云脚低3.下列生物中，其活动跨越生态系统种类最多的是（）A．人类B．鸟类C．兽类D．鱼类4.同一品种的荔枝果实成熟期不同，海南的比福建早．造成这一差异的主要因素是（）A．光B．温度C．水D．空气5.生物科学的研究对象主要是生物，下列选项不属于生物的是（）A．蘑菇B．大熊猫C．机器人D．向日葵6.秋天的校园，法桐叶渐枯黄并纷纷飘落，而雪松叶却依然青翠欲滴。

这表明（）A．松树与法国梧桐树进行着互相斗争B．法国梧桐树不适应寒冷的环境C．松树能够适应寒冷的环境D．松树与法国梧桐树以各自的方式适应寒冷的环境7.坡峰岭位于房山区境内，环境优美，是游人喜爱的休闲度假场所，下列选项中属于生态系统的是（）A．坡峰岭的鸟类B．坡峰岭的枫树C．坡峰岭森林公园D．坡峰岭山上的土壤8.沙漠里的一种鼠类白天躲在洞里且将洞口封住，夜间才出来活动。

下列说法能正确解释这种现象的是（）A．鼠类生活可以影响环境B．鼠类躲避光刺激C．动物的生活不需要光D．生物对环境的适应9.下列生物之间的关系中，不属于共生关系的是（）A．蜜蜂和花朵之间的关系B．许多海葵物种与寄居蟹生活在一起C．豆科植株与根瘤菌之间的关系D．人体与生活在人体体表的能引起足癣的真菌的关系10.下列生态系统中，最小的是（）A．湿地生态系统B．海洋生态系统C．森林生态系统D．农田生态系统11.袁隆平院士培育出的优质高产水稻为世界粮食问题做出了巨大的贡献。

生态系统的信息传递-高二生物同步高效教学课件(人教版2019选择性必修2)

②涉及的信息载体为化学物质，如性外激素，可判断为化学信息。
③涉及特殊行为，“肢体语言”可判断为行为信息
。
(2)从文字表述的着重点判断
①孔雀开屏，如果是通过羽毛的颜色等传递给对方，则属于物理信息。 ②孔雀开屏，如果是通过行为传递给对方，则属于行为信息。
P72、拓展应用
场附近的鸟类严重危害飞行安全，因此有必要进行人工驱鸟。请将以下
√ 25A)( )
(4) 两只雄孔雀为吸引异性争相开屏，说明行为信息能够影响种间关系。
× (2019·江苏卷，6D)( )
提示说明生物种群的繁衍离不开信息的传递。 (5) 黑光灯传递给趋光性昆虫的信息属于化学信息。 (2018· 全国卷 Ⅲ ，
判断：
× 1.参与物质循环的对象是含有碳的糖类、脂肪、蛋白质等有机物。（）
2.物质循环的范围是生物圈，而不是具体的某一生态系统。（）
√ 3.沼渣等作为肥料还田，使物质能够循环利用。（） × √ 4.在碳循环中生产者只起固定CO2的作用。（） × 5.物质循环和能量流动是两个独立的过程。（） × × 6.只有在光照条件下，生态系统的物质循环和能量流动才是同时进行的（）
利用行为信息的有 ⑧
。
思考·讨论生态系统中信息传递的重要性
资料1 海豚回声定位
资料2
蝙蝠靠回声定位进行捕食
讨论1：
莴苣种子必须接受某种波长的光信息才能萌发生长
根据资料1和2，分析信息传递与生命活动的正常进行有什么关系？
① 生命活动的正常进行，离不开信息的作用。（个体水平）
资料3
昆虫信息素

泛圈图方面的著名bondy定理的简单证明

泛圈图方面的著名bondy定理的简
单证明
Bondy定理：在一个无向图G中，当且仅当每条边的度数和大于或等于2|E|时，G是一个可以泛圈的图。

证明：
1. 设G是一个有n个顶点的无向图，边集
E={e1,e2,...,en}，每条边ei的度数之和大于等于2|E|。

2. 首先设G是一个可以泛圈的图，它必须有偶数条边，即|E|=2k，而每条边ei的度数都是2，所以
2|E|=4k，此时每条边ei的度数之和也是4k，所以它满足2|E|的条件。

3. 接下来，如果G的每条边ei的度数之和大于等于2|E|，则由上面的式子可知2|E|=4k，而每条边ei的度数和也>4k，所以有4k<=d(ei)<=4k，即每条边ei的度数都是2，因此G是一个可以泛圈的图。

综上所述，得证Bondy定理。

生物(16+5)-2025年1月“八省联考”考前猜想卷

2025年1月“八省联考”考前猜想卷生物（考试时间：75分钟试卷满分：100分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本部分共16题，每题3分，共48分。

在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1．高密度脂蛋白（HDL）为血清蛋白之一，是由载脂蛋白、磷脂和胆固醇酯等组成，可将血液中多余的胆固醇转运到肝脏处进行分解排泄。

动脉造影检测证明，高密度脂蛋白含量与动脉管腔狭窄程度呈显著的负相关。

下列有关叙述错误的是（）A．载脂蛋白是一种能与脂质结合的含有氢键的蛋白质B．磷脂分子具有亲水性的“尾部”和疏水性的“头部”C．HDL是由多种化合物组成，其含有C、H、O、N、P元素D．高水平的HDL可降低高胆固醇引起的心脑血管疾病的风险2．在偏碱性的土壤中Fe3+通常以不溶于水的Fe（OH）3形式存在，溶解度低，难以被植物吸收。

在长期的进化过程中，某植物形成了如图所示的铁吸收机制。

据图分析，下列说法正确的是（）A．ATPase具有运输功能但不具有催化作用B．H+的外排有利于铁化合物的溶解和吸收C．Fe2+的吸收为无氧呼吸，则降低土壤中氧气含量，植物对铁的吸收增强D．缺铁胁迫下，图中膜蛋白合成量会下降3．蔬菜或水果收获后一段时间内细胞仍进行细胞呼吸。

某研究小组探究了温度、O2浓度对储存苹果的影响，实验结果如图所示。

下列相关叙述正确的是（）A．该实验的自变量是温度，因变量是CO2相对生成量B．温度影响细胞呼吸的每个阶段，O2浓度会影响有氧呼吸的第三阶段C．3℃时苹果细胞只能进行无氧呼吸，其他实验温度下可以进行有氧呼吸和无氧呼吸D．根据实验结果可知，低温和无氧环境最适合储藏苹果4．演艺圈的女明星，有些为了保持年轻貌美，不惜重金到医疗机构非法注射人体胎盘素（可能携带梅毒等病原体）。

2021年全国统一高考生物试卷(新课标)(含解析版)

2021 年全国统一高考生物试卷（新课标）一、选择题：每小题6 分，共36 分1．（6 分）同一物种的两类细胞各产生一种分泌蛋白，组成这两种蛋白质的各种氨基酸含量相同，但排列顺序不同。

其原因是参与这两种蛋白质合成的（）A.tRNA 种类不同B.mRNA 碱基序列不同C．核糖体成分不同D．同一密码子所决定的氨基酸不同2．（6 分）下列关于细胞癌变的叙述，错误的是（）A．癌细胞在适宜条件时可无限增殖B．癌变前后，细胞的形态和结构有明显差别C．病毒癌基因可整合到宿主基因组诱发癌变D．原癌基因的主要功能是阻止细胞发生异常增殖3．（6 分）哺乳动物因长时间未饮水导致机体脱水时，会发生的生理现象是（）A．血浆渗透压降低B．抗利尿激素分泌增加C．下丘脑渗透压感受器受到的刺激减弱D．肾小管和集合管对水的重吸收作用减弱4．（6 分）当人看见酸梅时唾液分泌会大量增加．对此现象的分析，错误的是（）A．这一反射过程需要大脑皮层的参与B．这是一种反射活动，其效应器是唾液腺C．酸梅色泽直接刺激神经中枢引起唾液分泌D．这一过程中有“电﹣化学﹣电”信号的转化5．（6 分）取生长状态一致的燕麦胚芽鞘，分为a、b、c、d 四组，将a、b 两组胚芽鞘尖端下方的一段切除，再从c、d 两组胚芽鞘中的相应位置分别切取等长的一段，并按图中所示分别接入a、b 两组胚芽鞘被切除的位置，得到a′、b′两组胚芽鞘．然后用单侧光照射，发现a′组胚芽鞘向光弯曲生长，b′组胚芽鞘无弯曲生长，其原因是（）A．c 组尖端能合成生长素，d 组尖端不能B．a′组尖端能合成生长素，b′组尖端不能C．c 组尖端的生长素能向胚芽鞘基部运输，d 组尖端的生长素不能D．a′组尖端的生长素能向胚芽鞘基部运输，b′组尖端的生长素不能6．（6 分）某岛屿上生活着一种动物，其种群数量多年维持相对稳定．该动物个体从出生到性成熟需要6 个月．图为某年该动物种群在不同月份的年龄结构（每月最后一天统计种群各年龄组的个体数）．关于该种群的叙述，错误的是（）A．该种群10 月份的出生率不可能为零B．天敌的迁入可影响该种群的年龄结构C．该种群的年龄结构随着季节更替而变化D．大量诱杀雄性个体会影响该种群的密度二、非选择题7．（11 分）将玉米种植置于25℃、黑暗、水分适宜的条件下萌发，每天定时取相同数量的萌发种子，一半直接烘干称重，另一半切取胚乳烘干称重，计算每粒的平均干重，结果如图所示．若只考虑种子萌发所需的营养物质来源于胚乳，据图回答下列问题．（1）萌发过程中胚乳组织中的淀粉被水解成，再通过作用为种子萌发提供能量．（2）萌发过程中在小时之间种子的呼吸速率最大，在该时间段内每粒种子呼吸消耗的平均干重为mg．（3）萌发过程中胚乳的部分营养物质转化成幼苗的组成物质，其最大转化速率为mg•粒•d﹣1．（4）若保持实验条件不变，120 小时候，萌发种子的干重变化趋势是，原因是．8．肺牵张反射是调节呼吸的反射之一，图（a）为肺牵张反射示意图。

部编版三年级语文下册第一单元检测卷(含答案)

部编版三年级语文下册第一单元检测卷(含答案)部编版三年级语文下册第一单元检测卷基础百花园(38分)一、给下面加点的字选择正确的读音，打“√”。

(3分)蒌蒿(gāohāo)旷亮无比(kuàngguǎng)翩翩起舞(biānpiān)．．．圆晕(yūnyùn)几支木杆(gāngǎn)．．二、读拼音，写词语。

(4分)挨挨挤挤(āiái)．三、照样子，写字组词。

(9分)例：讠：详(详细)扌：____()纟：____()贝：____()谈(谈话)讽(讽刺)____()____()____()____()____()____()4、写出下面加点字的不同含义。

(6分)1．小溪泛尽却山行。

()．这件事我会尽力完成。

()．2．白荷花在这些大圆盘之间冒出来。

()．早上，小明冒着大雨上学去。

()．3．独角仙从头到脚，约有两寸。

()．我和同桌小华约好周六一起去书店。

()．5、用“——”标出下面句子顶用得不恰当的词语，并在后面的括号里写出正确的。

(4分)1．水面的小圆晕一圈一圈地飘荡开去。

()2．他们走在回家的路上，唱起了一首轻巧的歌曲。

()3．泥人张那灵敏的双手使人羡慕。

()4．圆点是有规定的，不能瞎点。

()六、按要求完成句子练习。

(12分)1．小燕子带了它的()尾巴，在阳光满地时，斜飞于()的天空。

(填词扩句)2．多么有趣的一幅图画呀！(照样子，补句子)多么________________的________________呀！3．荷叶挨挨挤挤的，像一个个碧绿的大圆盘。

(用加点的词写比喻句)__________________________________________________ __4．蜻蜓飞过来，告诉我清晨飞翔的康乐。

小鱼在脚下游过，告诉我昨夜做的美梦。

(施展想象，续写一句)__________________________________________________ __主题锻炼营(20分)7、按讲义内容填空。

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One Necessary Conditions for (4)-pancyclic GraphsZHANG Yaojing 1,2(1.School of Mathematics and Statistics,Minnan Normal University,Zhangzhou,Fujian 363000,China;2.Institute of Meteorological Big Data-Digital Fujian,Zhangzhou,Fujian 363000,China )Abstract :A graph G which are simple undirected finite connected graphs of order n is said to be (k )-pancyclic if G contains exactly k cycles of length r for all r satisfying 3r n .In this paper,we mainly discusses the structure and orderof generating subgraphs with 2pairs of interwined chords in (4)-pancyclic graphs containing only 2pairs of interwined chords.Key words:(4)-pancyclic graphs;intertwined chords;cycle (4)-泛圈图的一个必要条件张耀静1,2渊1.闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000;2.数字福建气象大数据研究所,福建漳州363000冤摘要:(k )-泛圈图是指对每一个r (3r n ),阶为n 的图G 恰好有k 个长为r 的圈.本文主要探讨只含有2对缠绕弦的(4)-泛圈图中包含2对缠绕弦的生成子图结构以及其阶.关键词:(4)-泛圈图;缠绕弦;圈中图分类号:G255.1文献标志码:A 文章编号:2095-7122(2019)01-0010-11本文介绍的图都是有限的简单连通图.所谓唯一泛圈图(简称UPG )是指对于每一个t ,3t n ,阶为n 的图G 恰好有一个长为t 的圈的图.1973年,Entinger [1]提出了确定唯一泛圈图的问题.Shi [2]给出边数为n+m (m 3)的所有唯一泛圈图只有七个及当m =4时不存在唯一泛圈图这两个结果并猜想当m 4时不存在边数为(m+n )的唯一泛圈图.Markstr üo m [3]通过使用计算机证实当阶小于或等于59时Shi [2]的猜想是正确的.Shi 等[4]给出了r -唯一泛圈图的定义.所谓(k )-泛圈图是指对每一个r (3r n ),阶为n 的图恰好有k 个长为r 的圈.对于每一个t ,r t n ,阶为n 的图G 恰好有k 个长为t 的圈,则称G 为r -(k )-泛圈图.Zamfirescu [5]介绍了6个阶较小的(2)-泛圈图并证明了这些图的一些性质以及构造出了一类r -(2)-泛圈图,刘等[6]中给出了(3)-泛圈图的一些必要条件,刘[7]中给出了一类r -(k )泛圈图的构造.本文约定,图G 都是n 阶简单哈密顿图,其中G n =v 1v 2…v i v i +1…v j v j +1…v n v 1是n 阶哈密顿圈.称在E (G )-E (C n )内部区域添加的边为弦.(4)-泛圈图可以通过在C n 内部中添加弦得到.如果一对弦在C n 的内如v a v c 与v b v d 的交错的形式,则称该对弦为交错弦.称v i v j 与v i +1v j +1(1i ,j n )为一对缠绕弦(如图收稿日期:2018-10-15基金项目:福建省自然科学基金(2015J01018)作者简介:张耀静(1995-),女,广东省阳春市人,硕士研究生在读.1主要结果定理1若G 是只含有两对缠绕弦的(4)-泛圈图,那么F 1(1),F 1(2),F 2(1),F 2(2),F 3(1),F 3(2),F 3(3),F 4(1),F 4(2)中必有一个是G 的生成子图,且它们的阶至少分别为13、11、13、11、11、11、8、11、8.证明设G 是满足定理条件的图,则G 中恰好含有4个哈密顿圈,考虑在哈密顿圈C n 中内部添加两对缠绕弦:1,c 2和c 3,c 4,其中c 1=v i v j ,c 2=v i +1v j +1,c 3=v l v m ,c 4=v l +1v m +1,(1i ,j ,l ,m n ,l ≠m ,i ≠j ),用h =v (c 1c 2)v (c 3c 4)表示两对缠绕弦拥有的公共顶点数,用x i (i =1,2…)表示对应弧除端点外内部顶点数.若h =4则c 1,c 2和c 3,c 4重合,这与题设矛盾,故h 的可能取值为0、1、2、3.对于(4)-泛圈图,它的总圈数4(n-2).下面根据h 的不同值分四种情形来进行讨论.1)h =0,如图2.1所示).经过v i v j 与v i +1,v j +1和C n 的某些边能形成一个与C n 不同的哈密顿圈.把顶点集分成两部分V =V1V 2,其中V 1=v 1,v 2,…,v i -1,v j +2,v j +3,…,v n ,V 2=v i +1,…,v j ,V 3i ,v j +1(如图1所示).若v ∈V 1,u ∈V 2,则称uv 与缠绕弦相交.图1泛圈图的缠绕弦与交错弦Fig.1The intertwined and staggered chord of pancyclicgraph图2两对缠绕弦不相交的泛圈图Fig.2A pancyclic graph in which two pairs of intertwined chords do not张耀静:(4)-泛圈图的一个必要条件第1期11闽南师范大学学报穴自然科学版雪2019年a)由表1得F 1(1)中总圈数恰好有29个,但29不是4的倍数,所以若要F 1(1)是(4)-泛圈图G 的生成子图,那么G 是由F 1(1)添加弦得到,又G 中有且仅有两对缠绕弦,所以在F 1(1)中添加的弦不能构成缠绕弦.现考虑在F 1(1)中添加一条弦e 1得到G 1的圈数3种情况.①e 1不与任何一对缠绕弦相交,则e 1将G 1分成2个圈,并且与其余的弦分别构成1个圈,此时e 1在G 1中构成6个圈;又e 1与两对缠绕弦分别构成1个圈,共有2个;e 1与不是缠绕弦的两条弦可以构成1个圈,共4个;经过3条弦且经过e 1产生1个圈,共2个.从而在F 1(1)中添加一条这样的弦增加14个圈.②e 1与其中的一对缠绕弦相交,则有两种情况:(i)e 1跳过这对缠绕弦的一个顶点,1=uv i +1v j v i +1,则e 1将G 1分成2个圈;e 1与其余的弦分别构成1个圈,共5个圈;又e 1与两对缠绕弦分别构成1个圈,共有2个;e 1与不是缠绕弦的两条弦可以构成1个圈,共有4个;经过3条弦且经过e 1产生一个圈,共有2个,从而在F 1(1)中添加一条这样的弦增加15个圈.(ii)e 1跳过这对缠绕弦的两个顶点,则e 1将G 1分成两个圈,并且与其余的弦分别构成1个圈,此时e 1在G 1中至少构成6个圈;又e 1与两对缠绕弦分别构成一个圈,共有2个;e 1与不是缠绕弦的两条弦可以构成一个圈,至少有6个;e 1与其余三条弦至少构成2个圈,因此在F 1(1)中添加一条这样的弦至少增加19个圈.③e 1与两对缠绕弦相交,有4种情况:(i)e 1跳过这两对缠绕弦的一个顶点,如e 1=v i v l ,则e 1将G 1分成2个圈,与其余的弦分别构成一个圈,在G 1中构成5个圈;又e 1与两对缠绕弦分别构成一个圈,共有2个;e 1与不是缠绕弦的两条弦可以构成一个圈,共5个;经过4条弦可以产生一个圈,共2个,此时在F 1(1)中添加增加16个圈.(ii)e 1跳过缠绕弦的两个顶点,如e 1=v i v l +1,则e 1将G 1分成2个圈,与其余的弦分别构成一个圈,在G 1中构成6个圈;又e 1与两对缠绕弦分别构成一个圈,共有2个;e 1与不是缠绕弦的两条弦可以构成一个圈,共5个;经过5条弦可以产生1个圈,因此在F 1(1)中添加一条这样的弦增加16个圈.(iii)e 1跳过两队缠绕弦的3个顶点,则e 1将G 1分成2个圈,与其余的弦分别构成一个圈,共5个圈;又e 1与两对缠绕弦分别构成一个圈,共有3个;e 1与不是缠绕弦的两条弦可以构成一个圈,共6个;经过5条弦可以产生一个圈,因此在F 1(1)中添加一条这样的弦增加19个圈;(iv)e 1跳过缠绕弦的4个顶点,则e 1将G 1分成2个圈,与其余的弦分别构成一个圈,共7个圈;又e 1与两对缠绕弦分别构成一个圈,共3个;e 1与不是缠绕弦的两条弦可以构成一个圈,共6个;经过5条弦可以产生一个圈,因此在F 1(1)中添加一条这样的弦增加19个圈.故在F 1(1)添加一条弦至少产生14个圈.因为(4)-泛圈图的总圈数为4(n -2),若G 1是(4)泛圈图,那么G 1中至少有44个圈,从而F 1(1)是(4)-泛圈图生成子图,其阶为V (F 1(1))13.表1计算了F 1(1)与F 1(2)的总圈数,其中C (i ),i =0,1,2,3,4表示恰好经过i 条弦的圈数.C (0)F 1(1)1F 1(2)1C (1)88C (2)128C (3)84C (4)029122表1F 1(1)与F 1(2)经过不同弦产生的圈数Tab.1The number of cycle of F 1(1)and F 1(2)through different chord12闽南师范大学学报穴自然科学版雪2019年b)由表1得F 1(2)中恰好有22个圈,但22不是4的倍数,故需在F 1(2)中添加弦得到G ,考虑在F 1(2)中添加一条弦e 2得到G 2的圈数情况.①e 2不与任何一对缠绕弦相交,则在增加17个圈.②e 2与其中一对缠绕弦相交,则有两种情况:(i)e 2跳过该缠绕弦的一个顶点,则F 1(2)至少增加15个圈;(ii)e 2跳过该缠绕弦的所有顶点,此时F 1(2)增加8个圈.③e 2与两对缠绕弦相交,则有4种情况:(i)e 2跳过两对缠绕弦中的一个顶点,则F 1(2)增加15个圈;(ii)e 2跳过两对缠绕弦中的2个顶点,则F 1(2)增加17个圈;(iii)e 2跳过该缠绕弦的中的3个顶点,此时F 1(2)增加24个圈;(iv)e 2跳过4个顶点,则F 1(2)增加32个圈.故在F 1(2)中添加一条弦至少新产生8个圈,此时G 2至少有30个圈,但30不是4的倍数,故若要G 2是一个(4)-泛圈图,则G 2中的顶点数至少是10,此时x 5+x 6+x 7+x 82,若x 6=x 8,则F 1(2)中有8个(x 5+x 6+x 7+7)圈,故x 6≠x 8.现考虑x 5+x 6+x 7+x 8=2,在该方程式中有6种解,其中4种解是对称的:x 5=x 6=1,x 7=x 8=0;x 6=x 7=1,x 5=x 8=0;x 5=x 8=1,x 6=x 7=0;x 5=x 6=0,x 7=x 8=1,另外2种解也是对称的:x 6=2,x 5=x 7=x 8=0;x 8=2,x 5=x 6=x 7=0,故只需考虑两种解即可.当x 5=x 6=1,x 7=x 8=0时,在F 1(2)(如图3所示)增加一条弦的情况.图3顶点数为10的泛圈图Fig.3A pancyclic graph with 10verticesi)该弦跳过一个顶点连接v 1v 3,则9圈的个数为8:v 1v 3,…v 1,v 1v 3…v 7v 8v 9v 10v 1,…v 1v 3v 2v 5…v 1,v 1v 3v 2v 5…v 7v 8v 9v 10v 1,v 1…v 7v 9v 10v 1,v 1v 4v 2v 5v 6v 7v 9v 10v 1,v 1…v 8v 10v 1,v 1v 4v 2v 5…v 8v 10v 1,类似地连接v 3v 5,9圈的个数也为8个.连接v 2v 4,3圈的个数为5:v 2v 4v 3v 2,v 2v 5v 4v 2,v 1v 4v 2v 1,v 8v 10v 9v 8,v 7v 9v 8v 7.连接v 4v 6,3圈的个数只有3个:v 4v 6v 5v 4,v 8v 10v 9v 8,v 7v 9v 8v 7,类似地连接v 5v 7或v 6v 8,v 9v 1,v 10v 2,3圈的个数也为3.ii)该弦跳过2个顶点连接v 3v 6,4圈的个数5个:v 1v 4v 3v 2v 1,v 2v 5v 4v 3v 2,v 3v 4v 5v 6v 3,v 1v 4v 5v 2v 1,v 6v 8v 9v 7v 6,类似地连接v 4v 7或v 5v 8,v 9v 2,v 10v 3,v 1v 8,v 7v 10,4圈的个数也为5.连接v 6v 9,4圈的个数为6:v 1v 4v 3v 2v 1,v 2v 5v 4v 3v 2,v 6v 8v 9v 7v 6,v 1v 4v 5v 2v 1,v 6v 9v 8v 7v 6,v 6v 9v 7v 8v 6.iii)该弦跳过3个顶点连接v 1v 5,则7圈的个数为6:v 1v 5v 6v 7…v 1,v 1v 5v 6v 7v 8v 9v 10v 1,v 1v 4v 5v 6v 8v 10v 1,v 1v 4v 5v 6v 7v 9v 10v 1,张耀静:(4)-泛圈图的一个必要条件第1期1319年v 1v 2v 5v 6v 8v 9v 10v 1,v 1v 2v 5v 6v 7v 9v 10v 1,类似地连接,v 2v 6,v 3v 9,v 4v 10,v 5v 9,v 6v 10,v 1v 7,7圈的个数也为6.连接v 3v 7,则7圈的个数为5:v 1v 4v 5v 6v 7v 9v 10v 1,v 1v 2v 5v 6v 8v 9v 10v 1,v 1v 2v 5v 6v 7v 9v 10v 1,v 1v 4v 5v 6v 8v 10v 1,v 3v 7v 8v 9v 10v 1v 2v 3,类似地连接v 4v 8或v 2v 8,7圈的个数也为5.当x 6=2,x 5=x 7=x 8=0时,i)该弦跳过一个顶点连接v 1v 3,则9圈的个数为6:v 1v 3v 4…v 10v 1,v 1v 3…v 7v 9v 8v 10v 1,v 1…v 7v 9v 10v 1,v 1…v 8v 10v 1,v 1v 5v 4v 3v 2v 6v 7v 10v 1,v 1v 5v 4v 3v 2v 6v 7v 8v 10v 1,类似地连接v 2v 4或v 3v 5,v 4v 6,v 5v 6,v 6v 8,v 2v 10,9圈的个数还是6.ii)该弦跳过2个顶点连接v 1v 4,则9圈的个数为6:v 1v 4v 3v 2v 6…v 10v 1,v 1v 4v 3v 2v 6v 7v 9v 8v 10v 1,v 1…v 7v 8v 10v 1,v 1…v 7v 8v 10v 1,v 1v 5v 4v 3v 2v 6v 7v 9v 10v 1,v 1v 5v 4v 3v 2v 6v 7v 8v 10v 1,类似地连接v 3v 6或v 6v 9,v 1v 8,9圈的个数还是6.连接v 2v 5,得到7圈的个数为6:v 1v 5…v 10v 1,v 1v 5v 6v 7v 9v 8v 10v 1,v 1v 2v 6…v 10v 1,v 1v 2v 6v 7v 9vv 1v 10v 1,v 1v 2v 5v 6v 7v 9v 10v 1,v 1v 2v 5v 6v 7v 8v 10v 1,同样连接v 4v 7或v 3v 10,7圈的个数为6.连接v 5v 8,则7圈的个数为5:v 1v 5…v 10v 1,v 1v 5v 6v 7v 9v 8v 10v 1,v 1v 2v 6…v 10v 1,v 1v 2v 6v 7v 9vv 8v 10v 1,v 1v 2v 3v 4v 5v 8v 1,类似地连接v 2v 9,7圈的个数也为5.连接v 7v 10,得到8圈的个数只有2个:v 1…v 7v 10v 1,v 1v 5v 4v 3v 2v 6v 7v 10v 1.故x 5+x 6+x 7+x 83,F 1(2)是(4)-泛圈图的生成子图的阶为V (F 1(2))11.综上所述,F 1(1)或F 1(2)是(4)-泛圈图的生成子图,其阶分别为13、11.2)h =1,如图4.图4两对缠绕弦相交只有一个交点的泛圈图Fig.4A pancyclic graph in which two pairs of intertwined chords intersect at only onea)在F 2(1)中恰好有26个圈,但26不是4的倍数,故考虑在F 2(1)中添加弦得到G ,现考虑在F 2(1)添加一条弦e 3得到G 3的情况.①e 3不与任何一对缠绕弦相交,则F 2(1)增加13个圈.②e 3与其中一对缠绕弦相交,有两种情况,(i)e 3跳过该缠绕弦的一个顶点,则F 2(1)增加15个圈;(ii)e 3跳过该缠绕弦的2个顶点,则F 2(1)增加19个圈.③e 3与两对缠绕弦相交,有4种情况;(i)跳过这两对缠绕弦中的一个顶点,此时F 2(1)增加15个闽南师范大学学报穴自然科学版雪2014i)该弦跳过一个顶点.连接v 2v 1,或v 2v 4,v 4v 6,v 1v 11,v 2v 12,F 2(1)中的总圈数大于40,连接v 5v 7,或v 6v 8,v 7v 9,v 9v 11,F 2(1)中的总圈数小于40,而对于12个顶点的(4)-泛圈图总圈数为40,故在F 2(1)增加一条这样的弦不能使其为(4)-泛圈图.ii)该弦跳过两个顶点.连接v 4v 7,此时得到4圈的个数为5:v 1v 4v 3v 2v 1,v 1v 4v 5v 2v 1,v 2v 5v 4v 3v 2,v 3v 11v 12v 4v 3,v 4v 5v 6v 7v 4,类似地连接v 8v 5或v 9v 6,v 10v 7,v 12v 9,v 1v 10,v 11v 2,4圈的个数也为5.连接v 6v 3,则4圈的个数为6:v 3v 4v 5v 6v 3,v 3v 6v 5v 2v 3,v 11v 3v 4v 12v 11,v 1v 4v 5v 2v 1,v 2v 3v 4v 1v 2,v 2v 3v 4v 5v 2,类似地连接v 3v 4,得到4圈的个数也为6.iii)该弦跳过3个顶点.连接v 1v 5,5圈个数为5:v 3v 11v 12v 1v 2v 3,v 4v 12v 1v 2v 3v 4,v 1v 4v 3v 11v 1,v 2v 5v 4v 12v 1v 2,v 1v 5v 4v 3v 2v 1.同样连接v 5v 9或v 6v 10,v 7v 11,v 8v 12,v 9v 1,得到5圈的个数为5.当x 9=1,x 10=1,x 11=3时,如图6,圈;(ii)跳过两对缠绕弦的中的两个顶点,则F 2(1)增加14个圈;(iii)e 3跳过该缠绕弦中的3个顶点,则F 2(1)增加16个圈;(iv)跳过这两对缠绕弦的4个顶点,则G 3至少增加15个圈.故在F 2(1)中添加一条弦至少增加13个圈,此时G 3中至少有39个圈,又39不是4的倍数,故若要G 3是(4)-泛圈图,则G 3至少有40个圈,此时G 3至少有12个顶点,V (F 2(1))12,那么,x 9+x 10+x 115.现考虑x 9+x 10+x 11=5该方程有以下解:x 9=5,x 10=0,x 11=0;x 9=0,x 10=0,x 11=5;x 9=0,x 10=5,x 11=0;x 9=1,x 10=1,x 11=3;x 9=3,x 10=1,x 11=1;x 9=1,x 10=3,x 11=1;x 9=0,x 10=1,x 11=4;x 9=1,x 10=0,x 11=4;x 9=4,x 10=1,x 11=0;x 9=1,x 10=4,x 11=0;x 9=0,x 10=4,x 11=1;x 9=4,x 10=0,x 11=1;x 9=2,x 10=2,x 11=1;x 9=1,x 10=2,x 11=2;x 9=2,x 10=1,x 11=2;由于一些解有对称性,故只需看x 9=5,x 10=0,x 11=0;x 9=0,x 10=0,x 11=5;x 9=1,x 10=1,x 11=3;x 9=3,x 10=1,x 11=1;x 9=1,x 10=0,x 11=4;x 9=4,x 10=1,x 11=0;x 9=0,x 10=4,x 11=1;x 9=2,x 10=2,x 11=1;x 9=1,x 10=2,x 11=2,这9种解即可.当x 9=5,x 10=0,x 11=0时,F 2(1)(如图5)4圈的个数为6:v 1v 4v 5v 2v 1,v 3v 6v 7v 4v 3,v 1v 2v 3v 4v 1,v 2v 3v 4v 5v 2,v 3v 4v 5v 6v 3,v 4v 5v 6v 7v 4.当x 9=0,x 10=0,x 11=5时,在F 2(1)(如图5)中考虑增加弦:图5顶点数为12的泛圈图Fig.5A pancyclic graph with 12vertices张耀静:(4)-泛圈图的一个必要条件第1期15闽南师范大学学报穴自然科学版19年i)该弦跳过一个顶点.除了连接v 7v 8,得到的新图中的总圈数小于40,连接其他跳过一个顶点的弦,G 3中的总圈数大于40,故在F 2(1)中增加跳过一个顶点的弦不能是(4)-泛圈图的生成子图.ii)该弦跳过两个顶点.连接v 9v 12,得到7圈的个数为5:v 1v 5v 6v 7v 8v 9v 12v 1,v 9v 12v 11v 5…v 9,v 1v 4v 10…v 1,v 4…v 10,v 4v 10v 9v 12v 1v 2v 3v 4,连接弦v 4v 7或弦v 3v 6,v 6v 9,v 7v 10,v 11v 8,v 1v 10和v 2v 11,得到的7圈也为5.连接v 1v 4或v 2v 5,v 5v 8那么G 3中的总圈数大于40,而12个顶点的(4)-泛圈图的总圈数为40,故G 3不是(4)-泛圈图.iii)该弦跳过3个顶点.除了连接v 6v 10,得到的新图中的总圈数小于40,在F 2(1)中不管如何增加一条跳过3个顶点的弦,在新图中得到的总圈数大于40.同理讨论剩下的几个解可以得到当x 9+x 10+x 11=5,时,F 2(1)不是(4)-泛圈图的生成子图.从而有x 9+x 10+x 116,F 2(1)是(4)-泛圈图的生成子图,其阶V (F 1(2))13.b)在F 2(2)中恰好有22个圈,但22不是4的倍数,故考虑在F 2(2)中添加弦得到G ,现考虑在F 2(2)添加一条弦e 4得到G 4的情况.①e 4不与任何一对缠绕弦相交,则在F 2(2)增加17个圈.②e 4与其中一对缠绕弦相交,则有两种情况:(i)e 4跳过该缠绕弦的一个顶点,则F 2(2)增加15个圈;(ii)e 4跳过该缠绕弦的2顶点,此时F 2(2)增加18个圈;(iii)e 4跳过该缠绕弦的3个顶点,则F 2(2)增加8个圈.③e 4与两对缠绕弦相交,则有4种情况:(i)e 4跳过两对缠绕弦中的一个顶点,则F 2(2)增加15个圈;(ii)e 4跳过两对缠绕弦中的2个顶点,则F 2(2)增加15个圈;(iii)跳过两对缠绕弦中的3个顶点,则F 2(2)至少增加16个圈;(iv)跳过4个顶点,则F 2(2)至少增加19个.故在F 2(2)中添加一条弦至少新产生8个圈,此时G 4中至少有30个圈,又30不是4的倍数,故若要G 4是(4)-泛圈图,则G 4至少有32个圈,此时G 4至少有10个顶点,V (F 2(2))10,那么x 12+x 13+x 143.对于x 12+x 13+x 143,若x 13=x 14,则在F 2(2)中x 13+x 14圈的个数为8,故x 13≠x 14.考虑x 12+x 13+x 14=3,该方程式有8个解:x 12=1,x 13=2,x 14=0;x 12=1,x 13=0,x 14=2;x 12=2,x 13=1,x 14=0;x 12=2,x 13=0,x 14=1;x 12=0,x 13=2,x 14=1;x 12=0,x 13=1,x 14=2;x 12=0,x 13=3,x 14=0;x 12=0,x 13=0,x 14=3,对于上述的8种解,当x 12=1,这2种解对称;x 12=2时,这4种解分别对称;x 12=0时,这2种解对称,故只需考虑上述的各一个解即可.当x 12=1,x 13=2,x 14=0时,考虑在F 2(2)(如图7)中添加一条弦的情况:图612阶泛圈图Fig.612of the order of pancyclic graph雪2016i)e 4跳过一个顶点连接v 10v 2,则9圈的个数为6个:v 10v 2…v 10,v 10v 2…v 6v 8v 7v 9v 10,v 1…v 6v 8…v 1,v 1…v 7v 9v 10v 1,v 1v 5v 4v 3v 2v 6v 7v 9v 10v 1,v 1v 5v 4v 6v 2v 6v 8v 9v 10v 1,类似地连接v 1v 3或v 2v 4,v 3v 5或v 6v 4,v 8v 10,得到9圈的个数也为6.连接v 5v 7,则有5个9圈:v 1…v 5v 7…v 1,v 1…v 6v 8…v 1,v 1…v 7v 9v 10v 1,v 1v 5v 4v 3v 2v 6v 7v 9v 10v 1,v 1v 5v 4v 3v 2v 6v 8v 9v 10v 1.连接v 1v 9,9圈的个数为8:v 9v 1…v 9,v 9v 1v 5v 4v 3v 2v 6…v 9,v 9…v 6v 8…v 7v 9,v 1…v 7v 9v 10v 1,v 1v 5v 4v 3v 2v 6v 7v 9v 10v 1,v 1v 5v 4v 3v 2v 6v 7v 9v 10v 1,v 1v 5v 4v 3v 2v 6v 8v 9v 10v 1;v 9v 1v 5v 4v 3v 2v 6v 8v 7v 9.连接v 6v 9,则8圈的个数只有2:,类似地连接v 1…v 6v 9v 10v 1,v 1v 5v 4v 3v 2v 6v 9v 10v 1,得到的8圈的个数也为2.ii)e 4跳过2个顶点连接v 10v 3,则得到9圈的个数为6:v 10v 3v 2v 1v 5…v 10,v 10v 2v 1v 5v 6v 8v 7v 9v 10,v 1…v 7v 9v 10v 1,v 1v 5v 4v 3v 2v 6v 7v 9v 10v 1,v 1v 5v 4v 3v 2v 6v 7v 9v 10v 1,v 1v 5v 4v 3v 2v 6v 8v 9v 10v 1,类似地连接v 1v 4或v 3v 6,得到的9圈的个数也为6.连接v 2v 5,得到7圈的个数为6:v 1v 5…v 1,v 1v 2v 6…v 1,v 1v 5v 6v 8v 7v 9v 10v 1,v 1v 2v 6v 8v 7v 9v 10v 1,v 2v 5v 6v 8…v 2,v 2v 5v 6v 7v 9…v 2,类似地连接v 1v 8或v 2v 9,得到7圈的个数也为6.连接v 4v 7,得到7圈的个数为5:v 1v 5…v 1,v 1v 2v 6…v 1,v 1v 5v 6v 8v 7v 9v 10v 1,v 1v 2v 6v 8v 7v 9v 10v 1,v 4v 7v 9…v 4,同样地连接v 5v 8,得到7圈的个数也为5.连接v 6v 9,则8圈的个数只有2个:v 1…v 6v 9v 10v 1,v 1v 5v 4v 3v 2v 6v 9v 10,类似地连接v 7v 10,也只得到8圈的个数为2.iii)e 4跳过3个顶点连接v 3v 10,则7圈的个数为5:v 1v 5…v 1,v 1v 2v 6…v 1,v 1v 5v 6v 8v 7v 9v 10v 1,v 1v 2v 6v 8v 7v 9v 10v 1,v 1v 2v 3v 7…v 1,类似地连接v 4v 8或v 5v 9,v 2v 8得到的7圈的个数也为5.连接v 6v 10,则7圈的个数为6:v 1v 5…v 1,v 1v 2v 6…v 1,v 1v 5v 6v 8v 7v 9v 10v 1,v 1v 2v 6v 8v 7v 9v 10v 1,v 1…v 6v 10v 1,图710阶F 1(2)Fig.710of the order of F 1(2)张耀静:(4)-泛圈图的一个必要条件第1期1719年a)在F 3(1)中恰好有23个圈,但23不是4的倍数,故考虑在F 3(1)中添加弦得到G ,现考虑在F 3(1)添加一条弦e 5得到的情况.①e 5不与任何一对缠绕弦相交,则在F 3(1)增加12个圈.②e 5与其中一对缠绕弦相交,则有两种情况:(i)e 5跳过该缠绕弦的一个顶点,则F 3(1)增加至少13个圈;(ii)e 5跳过该缠绕弦的两个顶点,此时F 3(1)至少增加13个圈.③e 5与两对缠绕弦相交,则有4种情况:(i)e 5跳过两对缠绕弦中的一个顶点,则F 3(1)增加12个圈;(ii)e 5跳过两对缠绕弦中的2个顶点,则F 3(1)增加16个圈;(iii))e 5跳过两对缠绕弦中的3个顶点,则F 3(1)至少增加12个圈.故在F 3(1)中添加一条弦至少增加12个圈,此时G 5中至少有35个圈,又35不是4的倍数,若G 5是(4)泛圈图,那么G 5中至少有36个圈,从而F 3(1)是(4)-泛圈图的生成子图,其阶为V (F 2(2))11.b)在F 3(2)中恰好有23个圈,但23不是4的倍数,故考虑在中添加弦得到G ,现考虑在F 3(2)添加一条弦e 6得到G 6的情况.①e 6不与任何一对缠绕弦相交,则在F 3(2)至少增加11个圈.②e 6与其中一对缠绕弦相交,则有两种情况:(i)e 6跳过该缠绕弦的一个顶点,则F 3(2)至少增加12个圈;(ii)e 6跳过该缠绕弦的两v 1v 5v 4v 3v 2v 6v 10v 1,类似地连接v 1v 7或v 3v 9,v 10v 4,得到7圈的个数也为6.类似地与上面一样讨论x 12=2,x 13=1,x 14=0;x 12=0,x 13=3,x 14=0;x 12=0,x 13=1,x 14=2这3种解,得到x 12+x 13+x 143不成立,故x 12+x 13+x 144,从而F 2(2)是(4)-泛圈图的生成子图,其阶为V (F 2(2))11.综上所述,F 2(1)或F 2(2)是(4)-泛圈图的生成子图,其阶分别为13、11.3)h =2,如图8.图8两对缠绕弦相交只有两个交点的泛圈图Fig.8A pancyclic graph in which two pairs of intertwined chords intersect at only two points闽南师范大学学报穴自然科学版雪2018a)在F 4(1)中恰好有22个圈,但22不是4的倍数,故考虑在F 4(1)中添加弦得到G ,现考虑在F 4(1)添加一条弦e 8得到G 8的情况.①e 8不与任何一对缠绕弦相交,则在F 4(1)增加11个圈.②e 8与其中一对缠绕弦相交,则有两种情况:(i)e 8跳过该缠绕弦的一个顶点,则F 4(1)至少增加11个圈;(ii)e 8跳过该缠绕弦的两个顶点,此时F 4(1)至少增加17个圈.③e 8与两对缠绕弦相交,则有3种情况:(i)e 8跳过两对缠绕弦中的一个顶点,则F 4(1)增加14个圈;(ii)e 8跳过两对缠绕弦中的2个顶点,则F 4(1)增加16个圈;(iii)e 8跳过两对缠绕弦中的3个顶点,则F 4(1)增加19个.故在F 4(1)中添加一条弦至少增加11个圈,此时G 8中至少有33个圈,又33不是4的倍数,故F 4(1)是(4)-泛圈图的生成子图,其阶为V (F 4(1))11.个顶点,此时F 3(2)至少增加12个圈.③F 3(2)与两对缠绕弦相交,则有4种情况:(i)e 6跳过两对缠绕弦中的一个顶点,则F 3(2)至少增加13个圈;(ii)e 6跳过两对缠绕弦中的2个顶点,则F 3(2)至少增加12个圈;(iii)e 6跳过两对缠绕弦中的3个顶点,则F 3(2)至少增加16个;(iv)e 6跳过两对缠绕弦中的4个顶点.则F 3(2)至少增加19个.故在F 3(2)中添加一条弦至少增加11个圈,此时G 6中至少有34个圈,又34不是4的倍数,若G 1是(4)泛圈图,那么G 1中至少有36个圈,从而F 3(2)是(4)-泛圈图生成子图,其阶为V (F 2(2))11.c)F 3(3)中恰好有15个圈,但15不是4的倍数,故考虑在F 3(3)中添加弦得到G ,现考虑在F 3(3)添加一条弦e 7得到G 7的情况.①e 7不与任何一对缠绕弦相交,则在F 3(3)增加10个圈.②e 7与其中一对缠绕弦相交,则有两种情况:(i)e 7跳过该缠绕弦的一个顶点,则F 3(3)增加11个圈;(ii)e 7跳过该缠绕弦的两个顶点,此时F 3(3)增加11个圈.③e 7与两对缠绕弦相交,则有4种情况:(i)e 7跳过两对缠绕弦中的一个顶点,则F 3(3)增加9个圈;(ii)e 7跳过两对缠绕弦中的2个顶点,则F 3(3)增加11个圈;(iii)e 7跳过两对缠绕弦中的3个顶点,则F 3(3)至少增加9个;(iv)e 7跳过两对缠绕弦中的4个顶点.则F 3(3)增加10个.故在G 7中添加一条弦至少增加9个圈,此时G 3中至少有24个圈,23是4的倍数,故若要G 7是(4)-泛圈图,则G 7至少有24个圈,此时G 3至少有8个顶点,从而F 3(3)是(4)-泛圈生成子图,其阶为.d)因为F 3(4)中4圈的个数总为6:v i v j +1v j +2v i +1v i ,v i v i +1v j v j +1v i ,v i +1v j v j +1v j +2,v i +1v j v j +1v j +2v i ,v i +2v j +1v i v i +2,v i +1v i +2v j +1v j +2,故F 3(4)不是(4)-泛圈图的生成子图.综上所述,F 3(1)或F 3(2)或F 3(3)是(4)-泛圈图的生成子图,其阶分别为11、11、8.4)h =3,如图9.图9两对缠绕弦相交只有3个交点的泛圈图Fig.9A pancyclic graph in which two pairs of intertwined chords intersect at only three points张耀静:(4)-泛圈图的一个必要条件第1期19闽南师范大学学报穴自然科学版雪2019年参考文献:[1]J.A.Bondy,U.S.R.Murty.Graph Theory with Applications[M].New York:The Macmillan Press Ltd,1976.[2]Y.Shi.Some theorems of uniquely pancyclic graphs[J].Discrete Math.,1986,59(1-2):167-180.[3]K.Markstr üo m.A note on uniquely pancyclic graphs[J]bin.,2009,44:105-110.[4]Y.Shi,H.P.Yap,S.K.Teo.On uniquely r-pancyclic graph[J].Ann.New York Acad.Sci.,1989,576:487-499.[5]C.T.Zamfirescu.(2)-pancyclic graphs[J].Discrete Appl.Math.,2013,161(7-8):1128-1136.[6]刘少强,陈锦丽.(3)-泛圈图的一些必要条件[J].闽南师范大学学报(自然科学版),2014,27(1):7-15.[7]S.Liu.On r-(k)-pancyclic graph[J].Ars Combin.,2018,140:277-291.[责任编辑:钟国翔]b)在F 4(2)中恰好有13个圈,但13不是4的倍数,故考虑在F 4(2)中添加弦得到G ,现考虑在F 4(2)添加一条弦e 9得到G 9的情况.①e 9不与任何一对缠绕弦相交,则在F 4(2)增加8个圈.②e 9与其中一对缠绕弦相交,则有两种情况:(i)e 9跳过该缠绕弦的一个顶点,则F 4(2)增加9个圈;(ii)e 9跳过该缠绕弦的两个顶点,此时F 4(2)增加9个圈.③e 9与两对缠绕弦相交,则有2种情况:(i)e 9跳过两对缠绕弦中的2个顶点,则F 4(2)增加9个圈;(ii)e 9跳过两对缠绕弦中的3个顶点,则F 4(2)至少增加8个.故在F 4(2)中添加一条弦至少增加8个圈,此时G 9中至少有21个圈,又21不是4的倍数,从而若F 4(2)是(4)-泛圈图的生成子图,那么V (F 4(2))8.综上所述,F 4(1)或F 4(2)是(4)-泛圈图的生成子图,其阶分别为11、8.故若G 是含有2对缠绕弦的(4)-泛圈图,那么F 1(1),F 1(2),F 2(1),F 2(2),F 3(1),F 3(2),F 3(3),F 4(1),F 4(2)中必有一个是G 的生成子图,且这些生成子图的阶分别为13、11、13、11、11、11、8、11、8.20。