高中数学全套知识点思维导图直线与椭圆曲线的位置关系.pdf

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总结：直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端 点坐标为（x1, y1 ）、（x2, y2），则有弦长公式：
| AB | ( x1 x2 ) ＋( y1 y2 )
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y1 y2 2 ( x1 x2 ) [1 ( ) ] x1 x2
2
( x1 x2 ) (1 k ) 1 k |x1 x2|
2 2

练习 x y 3. 已知椭圆 1, 过右焦点F2的直 5 4 16 5 线l交椭圆于A, B两点，若 AB ， 5 求直线l的方程。
2 2
小结：
1 判别式法求直线和椭圆的关系， 将两个方程式联立．
消去y则得到关于x的一元二次方程 Ax Bx C 0 算 △＞０：相交于两点； 判 △＝０：相切； 别 △＜０：相离． 式
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2 弦长公式：| AB |
1 k | x1 x2 |
2
作业：
1、直线l：y=x+n与椭圆 数n的取值范围。 2、在椭圆
x2 y2 1 没有交点，求实 3 2
x y 1 上求一点P使得该点到直线 3 2
2
2
l：y=x+4的距离最近。


所以： m 5 或 m 5 时，l 与 c 相离；
m 5 时，l 与 c 相切；
5 m 5 时，l 与 c 相交；
思考
直线与椭圆相交时
如何求其弦长？
例2、已知直线 l：y=x+1与椭圆
x + y2 =1相交于A、B两点，求弦AB的长。 4
2
分析：先求出交点，再用两点间距离公 式。
直线与椭圆的位置关系

解： (2)将y x m代入椭圆
y
1
B
5x 2mx m 1 0
2 2
A
O
1 2
由弦长公式得：
| AB | 1 k 1 12 | A|
2
x
4m2 20(m2 1) 5

2 2 5 4m 2 5
2 10 当m 0时， | AB |max 5
x (u x) 1 144 25
2 2
y
F1
169 x2 288ux 144u 2 144 25 0
o
F2
x
由 (288u)2 4 169 (144u2 144 25) 0 144u 2 169 (u 2 25) 0
u 2 169
x y 例3.已知椭圆 1的弦AB被点M （4， 2）平分，求此弦所 36 9 在直线 方程. y
x12 36 则 2 x2 36
B
O
解法2：设 A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，
y12 1 9 2 y2 1 9 [1] [2]
.M
A
x
( x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 由 [1] [2] 得： 0 36 9 y1 y2 9 x1 x2 1 2 xM 1 即 k AB . x1 x2 36 y1 y2 4 2 yM 2
0 直线和椭圆相交，有两 个公共点； 0 直线和椭圆相切，有一 个公共点； 0 直线和椭圆相离，无公 共点。
x2 y 2 例1.已知 P( x，y) 是椭圆 1 上的点， 144 25 求 u x y 的取值范围 .

x2 y 2 变题2.椭圆 1 的焦点为F1,F2,点P为 16 4
其上的动点,当F1PF2为钝角时,点P横坐标的 取值范围是 .
x2 y2 1 例6、已知椭圆C： , 25 9
的左右焦点 分别为F1，F2，P是椭圆的动点：
（1）求|PF1|· 2|的最大值； |PF
（2）当∠F1PF2=60º 时，求△F1PF2的 面积S；
例4.已知过椭圆3x2+4y2=12的左焦点F1作直线l交椭圆于两点A、 B,O为原点，求△OAB面积的最大值并求出此时直线的倾斜角α
例5.设椭圆中心是坐标原点,长轴在x轴上,离 3 3 心率e= ,已知点P(0, 2 )到这个椭圆上点的最 2 3 3 远距离是 7 ,求这个椭圆方程,并求椭圆上到 2 2 点P的距离等于 7 的点的坐标.
直线与椭圆的位置关系
方程
x y 2 1(a b 0) 2 a b y
B2
O
2
2
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b y
A2 F2 B2 x
图形
A1 F1 B1
F2 A2 x
B1 F1
O
范围 对称性 顶点 离心率 准线方 程
-a≤x≤a,-b ≤y≤b
A1(-a,0), B1(0,-b),
2 = 1 1 （y y ） 4 y y 1 2 1 2 2
k
B（x2,y2）
k 表示弦的斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的端点坐标， 一般由根与系数的关系求得 |x1-x2 | 与 | yx2+4y2=4 的右焦点F2且斜率为1的直线l与椭圆交 于A、B，求弦AB的长。 法一 弦长公式：
问题：椭圆与直线的位置关系？

2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋y22＝1的位置关系是(
)
A．相离 B．相切
C．相交
D．无法确定
答案：C
y = x + 1， 解析：联立ቐx2 + y2 = 1，消去y，得3x2＋2x－1＝0，
2
Δ＝22＋12＝16>0， ∴直线与椭圆相交．
3．直线x＋2y＝m与椭圆x42＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(
解析：由于直线y＝kx＋1过定点(0，1)，故点(0，1)恒在椭圆内或椭圆上，所以 m∈[1，＋∞)．又因为m≠5，所以实数m的取值范围是[1，5)∪ 5， + ∞ ．
易错警示
易错原因
纠错心得
本题容易忽视隐含条件m≠5致 注意圆不是椭圆的特殊情况，解答此
错，错误答案为[1，＋∞)． 类问题时，一定要排除圆的情况．
y = kx + m，
联立ቐ x2
a2
+
y2 b2
=
1， 消去y得一个关于x的一元二次方程
位置关系 相交 相切 相离
解的个数 __两__解 __一__解 __无__解
Δ的取值 Δ__>__0 Δ__＝__0 Δ__<__0
状元随笔
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； (2)过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； (3)过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4
1 + k2
2
＝4k2－2＞0，解
得k＜－ 22或k＞ 22，所以k的取值范围为
−∞， −
2 2
∪
2 2Βιβλιοθήκη ，+∞
.
题型 3 直线与椭圆的相交弦问题

练习：若直线 l过圆x y 4x 2 y 0 x y 的圆心M，交椭圆 9 4 1 于 A,B 两点，且 A,B 两点关于 点M对称，求直线 l 的方程
2 位置关系； 2、直线被椭圆截得弦长公式； 3、直线与椭圆的应用。
谢 谢
y x 1
变式1：若直线 y x m 与 x y 1 m 椭圆 4 2 有公共点，求 的取值范围。
2 2
变式2：若直线 y kx 1 ：与 x y 椭圆 4 2 1 交于 A, B 两点， 4 5 AB 且 3 ，求直线 l 的方程
2 2
例2已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点 在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最 大值为3，最小值为1。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线y=kx+m与椭圆C交于A，B 两点（A，B不为左右顶点），且以为 直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直 线过定点，并求出该点的坐标
直线和椭圆的位置关系
永安十二中 罗上尧
知识回顾 1、直线和椭圆的位置关系： 相交、相切、相离； 2、弦长公式
AB 1 k x1 x2 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2 2 2
例12 、判断直线 与椭 2 x y 圆 4 2 1的位置关系，若相交， 求其弦长

柴｜摩拳～掌｜手～破了皮。②用布、手巾等摩擦使干净：～汗｜～桌子｜～玻璃◇～亮眼睛。③涂抹：～油｜～粉｜～红水。④贴近；挨着：～黑儿｜～ 肩而过｜燕子～着水面飞。⑤把瓜果等放在礤床儿上来回摩擦，使成细丝儿：把萝卜～成丝儿。 【擦边球】名打乒乓球时擦着球台边沿的球，后来把做在规 定的界限边缘而不违反规定的事比喻为打擦边球：按规矩办事，不打政策～。 【擦黑儿】〈方〉动天色开始黑下来：赶到家时，天已经～了。 【擦屁股】? 比喻替人做未了的事或处理遗留的问题（多指不好办的）：你别净在前边捅娄子，要我们在后边～。 【擦拭】动擦?：～武器。 【擦洗】动擦拭，洗涤：～ 餐桌｜这个手表该～～了。 【擦音】ī名口腔通路缩小，气流从中挤出而发出的辅音，如普通话语音中的、、等。 【擦澡】∥动用湿毛巾等擦洗全身：擦把澡 。 【嚓】拟声形容物体摩擦等的声音：摩托车～的一声停住了。 【?】见页［礓?儿］ 【礤】〈书〉粗石。 【礤床儿】名把瓜、萝卜等擦成丝儿的器具，在 木板、竹板等中间钉一块金属片，片上凿开许多小窟窿，使翘起的鳞状部分成为薄刃片。 【偲】〈书〉多才。 【猜】①动根据不明显的线索或凭想
弦长问题
1、设直线L的斜率为K,与椭圆C相交 于A(x1,y1)，B(x2,y2),如何求弦长呢?
AB
(x2 x1)2 ( y2 y1)2
( x2
x1 ) 2
1
(
y2 x2
y1 )2 x1
1 k 2 (x2 x1)2 4x1x2
1 k 2 x2 x
y2
y1
一、判断直线和椭圆的位置关系
1.联立方程组
2.消去y(或x)得一元二次方程,考察判别式
(1)当 >0 时,直线和椭圆有两个公共点,此时直线和 椭圆相交.
(2)当 0 时,直线和椭圆有且只有一个公共点,此 时直钱和椭圆相切.

x y 1 相交于 AB 两点，c是的 AB 中 oc 点．若 AB 2 2 ， 斜率为 2（Ｏ为原点），
2
求椭圆方程． 分析：本例是一道综合c 性比较强的问题，求解 本题要利用中点公式求出点坐标，从而得的斜 率，另外还要用到弦长公式：
AB 1 k 2 x1 x2
解：由方程组
mx2 ny 2 1
直线与椭圆的位置关系
直线和椭圆的位置关系的判断
(1)数形结合法
１.直线x=n与椭圆的位置关系
ⅰ. 相离
ⅱ.相切
iii相交
y x
y x
y x
２.直线y=m与椭圆的位置关系种类：
ⅰ. 相离
ⅱ.相切
ⅱ.相交
y x
y x
y x
３.直线y=kx+b与椭圆的位置关系种类：
ⅰ. 相离
ⅱ.相切
ⅱ.相交
y x
y x
围；
• （２）求椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
• 分析：用方程组解的情况来判断，从方程角度看，主要
是由一元二次方程根的判别式 0
• 解１）解方程组
• 消 y 去整理得
4x2 y2 1
y xm
,
5x2 2mx m2 1 0， 4m2 20(m2 1) 20 16m2.
• （１） 由 0得20 16m2 0,
x y 1
消去 y 整理得： (m n)x2 2nx n 1 0
设A(x1, y1)、B(x2 , y2 )、C(x3 , y3 )
则x1
x2
2n mn
, x1 x2
n 1 , mn
y1
y2
2 ( x1
x2 )
2
2n mn
2m mn

直线与椭圆的位置关系,弦长 公式,弦中点问题
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目录
• 直线与椭圆的位置关系 • 弦长公式 • 弦中点问题
01
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的基本定义
直线的定义
直线是无限延伸的，没有起点和 终点。在平面几何中，直线通常 用两点间的连线表示。
椭圆的定义
椭圆是一种平面曲线，其定义是 固定两点（焦点）的距离之和等 于常数的点的轨迹。
通过观察直线与椭圆的交点个数来判 断位置关系。
02
弦长公式
弦长的定义及计算方法
Байду номын сангаас弦长定义
弦长是指连接圆内任意两点间的线段 长度。
计算方法
通过利用勾股定理和圆的基本性质， 可以计算出连接圆内两点的线段长度 。
弦长公式的推导过程
勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方。
圆的基本性质：圆内任意两点间的距离平方等于 这两点与圆心距离的平方和。
直线与椭圆的位置关系分类
相交
直线与椭圆有两个不同的交点。
相切
直线与椭圆只有一个交点。
相离
直线与椭圆没有交点。
判断直线与椭圆位置关系的常用方法
代数法
通过联立直线和椭圆的方程，消元后 得到一元二次方程，然后根据判别式 的值判断直线与椭圆的位置关系。
几何法
参数法
通过引入参数来表示直线的方程，然 后代入椭圆的方程进行求解，根据解 的情况判断位置关系。
弦中点的性质
弦中点与椭圆中心连线段与弦AB垂直，且该线段等于A、B两点到椭圆中心的距 离之和的一半。
弦中点问题的求解方法
利用定义求解
根据弦中点的定义，可以求出弦中点的坐标。
利用几何性质求解

一、判断直线和椭圆的位置关系
1.联立方程组
2.消去y(或x)得一元二次方程,考察判别式
(1)当 >0 时,直线和椭圆有两个公共点,此时直线和 椭圆相交.
(2)当 0 时,直线和椭圆有且只有一个公共点,此 时直钱和椭圆相切.
(3)当 0 时,直线和椭圆无公共点,此时称直线和
椭圆相离.
两湖地区称洋芋，江浙一带称洋番芋或洋山芋，广东称之为薯仔，粤东一带称荷兰薯，闽东地区则称之为番仔薯，在鄂西北一带被称为“土豆”。 [] 英语 potato来自西班牙语patata。据西班牙皇家学院称，此西班牙词汇由泰依诺语batata（红薯）和克丘亚语papa（马铃薯）混合而来的。在拉丁美洲，“马铃薯 ”的西班牙语用papa一词。 [] 历史起源 马铃薯原产于南美洲安第斯山区，人工栽培史最早可追溯到公元前8年到年的秘鲁南部地区。世纪中期，马铃薯被一 个西班牙殖民者从南美洲带到欧洲。那时人们总是欣赏它的花朵美丽，把它当作装饰品。 [] 8年英国人在加勒比海击败西班牙人，从南美搜集烟草等植物种 子，把马铃薯带到英国，英国的气候适合马铃薯的生长，比其它谷物产量高且易于管理。 [] 后来一位法国农学家——安·奥巴曼奇在长期观察和亲身实中，发 现马铃薯不仅能吃，还可以做面包等。从此，法国农民便开始大面积种植马铃薯。 [] 世纪时，马铃薯已经成为欧洲的重要粮食作物并且已经传播到中国，马 铃薯传入中国只有三百多年的历史。据说是华侨从东南亚一带引进的，在世纪中国马铃薯种植面积居世界第二位。马铃薯产量高，营养丰富，对环境的适应
属茄属 亚 属龙葵亚属 种 马铃薯 分布区域 亚洲、北美、非洲南部和澳大利亚 营养成分 等维生素C、蛋白质、糖类 英文名 potato 目录 名称由来 历史起源 形态特征 ? 植株形态 ? 块茎形态 生长习性 ? 生长周期 ? 生长条件 品种分类 产量分布 ? 世界 ? 中国 毒性 ? 中毒原因 ? 中毒症状 ? 急救措施 ? 预防措施 8 繁殖栽培技术 ? 品种选择 ? 选地；跨境留学 跨境留学 ；及整地 ? 种薯处理 ? 播种 ? 施肥 ? 水分管理 ? 中耕管理 ? 收获 病害防治 ? 晚疫病 ? 病毒病 ? 环腐病 虫害防治 ? 斑潜蝇 ? 蚜虫 ? 蛴螬 ? 地老虎 主要价值 ? 营养价值 ? 经济价值 ? 用及保健价值 ? 工业价值 土豆皮变绿后能不能食 用 名称由来 “马铃薯”因酷似马铃铛而得名，此称呼最早见于康熙年间的《 马铃薯 马铃薯 松溪县志食货》。中国东北、河北称土豆，华北称山蛋，西北和