永磁同步直线电机的数学模型分析

永磁同步电动机(PMSM)三相坐标系的数学模型2 PMSM 三相坐标系的数学模型为方便分析起见，将三相永磁的同步电动机看作是理想的电机，也就是说它符合下列假设：(1) 转子上面没有阻尼绕组；定子中各个绕组的电枢电阻、电感值相等，三相定子的绕组按对称的星形分布；(2) 其气隙磁场服从正弦分布而且各次谐波忽略不计，感应电动势也服从正弦分布；(3) 永磁体的等效的励磁电流恒定不改变；电机中的涡流、趋肤效应、电机铁芯饱和和磁滞损耗的影响均忽略不计；温度与频率不影响电机的参数。

坐标系正方向的选取： (1) 转子逆时针方向旋转为正； (2) 正向电流生出正向磁链；(3) 电压，电流的正方向按照电动机的惯例。

则静止三相坐标系里PMSM 的定子侧电压方程3333s s s s u R i p ψ=⋅+ (4-1)静止三相坐标系里PMSM 的定子侧磁链方程3333()s s s f s L i F ψψθ=⋅+⋅ (4-2) 式中，3A s B C i i i i ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3000000s R R R R ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，3A s B C ψψψψ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3A s B C u u u u ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3sin ()sin(120)sin(120)s F θθθθ⎡⎤⎢⎥=-︒⎢⎥⎢⎥+︒⎣⎦3331cos120cos 240100cos1201cos120010cos 240cos1201001s m l L L L ︒︒⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=︒︒+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪︒︒⎝⎭⎝⎭电机统一理论和机电能量转换告诉我们，电机的电磁力矩[37]*I m ()s s e p T n i ψ=- (4-3) 式中，*代表取共轭复数，Im 代表取虚部。

3 PMSMdq 坐标系的数学模型三相交流电机是一个耦合强、非线性、阶次高的多变量系统，它在三相静止的坐标系里的数学模型相当复杂，应用传统的控制策略对其实现交流调速有很大的困难，所以对于一般的三相交流电机常常应用矢量控制的方法，采用坐标变换，把三相交流的绕组等效变换成两相互相垂直的交流绕组或者旋转的两相直流的绕组，等效变换以后其产生的磁动势相等，系统的变量之间得到了部分的解耦，它的数学模型得到了大大简化，使得对于系统的分析和控制也简化了很多，使得它的数学模型与比较简单的直流电机类似[52]。

永磁同步直线电机数学模型永磁同步直线电机是一种应用于直线运动控制系统的新型电机。

它具有高效率、高精度、高刚度和快速响应的特点，广泛应用于工业自动化、高速列车、机床、印刷、数控机床、半导体设备等领域。

永磁同步直线电机的数学模型是描述其运动规律的数学表达式。

通过建立数学模型，可以分析和预测电机的性能，并设计出最优的控制策略。

永磁同步直线电机的数学模型主要包括动态模型和静态模型两部分。

动态模型描述了电机的运动状态和响应特性。

它基于牛顿第二定律和电机动态方程建立，考虑了电机的负载惯性、摩擦力和电磁力等因素。

动态模型可以用于分析电机的加速度、速度和位置等动态性能。

静态模型描述了电机的静态特性。

它基于电机的静态平衡方程建立，考虑了电机的电磁力、重力和摩擦力等因素。

静态模型可以用于分析电机的静态力学性能，如电机的负载能力和刚度等。

在建立永磁同步直线电机的数学模型时，需要考虑电机的结构参数、电磁参数和控制参数等因素。

结构参数包括电机的长度、宽度和高度等几何尺寸，电磁参数包括电机的磁极数、电流和磁链等参数，控制参数包括电机的控制电流和控制电压等参数。

根据实际应用需求，可以对模型进行简化或者增加更多的参数，以提高模型的准确性和适用性。

通过数学模型，可以对永磁同步直线电机的性能进行分析和优化。

例如，可以通过模型预测电机的响应时间、稳态误差和精度等指标，在设计过程中选择合适的结构参数和控制参数，以实现最佳性能。

此外，还可以通过模型分析电机的负载能力和刚度，评估电机在不同工况下的可靠性和稳定性。

永磁同步直线电机的数学模型是分析和设计电机的重要工具。

通过建立准确的数学模型，可以深入理解电机的运动规律和特性，为电机的应用和控制提供有效的指导。

同时，也可以通过模型优化电机的性能，提高电机的效率和精度，满足不同领域和应用的需求。

永磁同步电机的数学模型及矢量控制原理WAA磁同步电机的转F上水盛体的安装方式的不同，则电机的制造丄适用场所、运行•性能、控制方法也郁有所五同。

根据氷磁体在转子上的位貰不同，永磁同步电机可分为小叫(i)表骷式永磁同应电机t Surface-mounted PMSM.简称SPMSM A. SPM)* Jt转f结构如下图所示。

SPM电机转子上的永磁体位于转子铁芯的表面,通常呈瓦片形, 为电机提供径向磁通。

另外,因外包钢膜上的感生涡流损耗,遣成较大的铁损，而且气隙较大•导致其效率较低。

但磁阻转矩较小.若对其进行合理的控制可获得较好的低速运转特性。

(ii)内埋式永磁同步电机(Interior PMSM,简称1PMSM或IPM),此类电机转子上的永磁体位于转了内部，通常呈条状。

由丁此种转子具仃不对称的磴路給构,所以它比SPMSM 分磁阳转矩，从而大大提离了电机的功率密度F实现屈磁控制。

同时，由于永磁休在转子铁芯内部，所以这类电机有更加坚固的转子結构,适合运转于高速场IPM 的定子电感随转『鎚极位西非线性变化.所以1PM的捽制性能随;匸子电流换柑相移影响口SPM与IPM的转于结构如图2.1所示。

本文上嘤研究SPMSM的数学模型及其矢豐控制方法。

水磁体铁芯<a> SPM转子结构<b) IPM转予结构图2.【永毬同歩电机转子蒂构2.2永磁同步电机的数学模型木节苜先建立PMSM的数学模型，这也是后续研究PMSM矢丘控制算法的屣础"接卜來分别对三相静止坐标系、两和邯止坐标系和两相旋转堰标系F的PMSM 的数学模型进行描述。

严格的说，永磁同步电机是一个存在非线性磁化特性和饱和效应的电磁装留，它的 动态方程式一个高阶微分方程，很难对它进行粘确求解，所以必须对它进行一定程度的 简化，将它化成一个二阶微分方程组。

为了突出主婆何题，先忽略次要因素，作如下假 设叫（1） 忽略谐波效应，设定子三相绕组完全对称且在空间中互差120°电角度，所 产生理想正弦磁动势；（2） 忽略永磁体的非线件饱和因素，认为各相绕纽的阴值、电感都是恒定的，FI Ro = R 、= R< = &丄（! = — = Lc ；（3） 不计电机的磁滞损耗和涡流损耗等： （4） 不考电频率和温度变化对电机参数的场响： （5） 转子上没有阻尼绕组，永磁体没有阻尼作用。

(一) PMSM 的数学模型交流电机是一个非线性、强耦合的多变量系统。

永磁同步电机的三相绕组分布在定子上，永磁体安装在转子上。

在永磁同步电机运行过程中，定子与转子始终处于相对运动状态，永磁体与绕组，绕组与绕组之间相互影响，电磁关系十分复杂，再加上磁路饱和等非线性因素，要建立永磁同步电机精确的数学模型是很困难的。

为了简化永磁同步电机的数学模型，我们通常做如下假设：1) 忽略电机的磁路饱和，认为磁路是线性的；2) 不考虑涡流和磁滞损耗；3) 当定子绕组加上三相对称正弦电流时，气隙中只产生正弦分布的磁势，忽略气隙中的高次谐波；4) 驱动开关管和续流二极管为理想元件；5) 忽略齿槽、换向过程和电枢反应等影响。

永磁同步电机的数学模型由电压方程、磁链方程、转矩方程和机械运动方程组成，在两相旋转坐标系下的数学模型如下：(l)电机在两相旋转坐标系中的电压方程如下式所示:d d s d d c q q q s q q c d di u R i L dt di u R i L dt ωψωψ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩其中，Rs 为定子电阻；ud 、uq 分别为d 、q 轴上的两相电压；id 、iq 分别为d 、q 轴上对应的两相电流；Ld 、Lq 分别为直轴电感和交轴电感；ωc 为电角速度；ψd 、ψq 分别为直轴磁链和交轴磁链。

若要获得三相静止坐标系下的电压方程，则需做两相同步旋转坐标系到三相静止坐标系的变换，如下式所示。

cos sin 22cos()sin()3322cos()sin()33a d b q c u u u u u θθθπθπθπθπ⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭ ⎪+-+⎝⎭(2)d/q 轴磁链方程： d d d f q q qL i L i ψψψ=+⎧⎪⎨=⎪⎩ 其中，ψf 为永磁体产生的磁链，为常数，0f r e ωψ=，而c r p ωω=是机械角速度，p 为同步电机的极对数，ωc 为电角速度，e0为空载反电动势，其值为每项倍。

永磁同步电机的数学模型与⽮量控制原理永磁同步电机的数学模型及⽮量控制原理WAA磁同步电机的转F上⽔盛体的安装⽅式的不同，则电机的制造丄适⽤场所、运⾏?性能、控制⽅法也郁有所五同。

根据氷磁体在转⼦上的位貰不同，永磁同步电机可分为⼩叫(i)表骷式永磁同应电机t Surface-mounted PMSM.简称SPMSM A. SPM)* Jt转f结构如下图所⽰。

SPM电机转⼦上的永磁体位于转⼦铁芯的表⾯,通常呈⽡⽚形, 为电机提供径向磁通。

另外,因外包钢膜上的感⽣涡流损耗,遣成较⼤的铁损，⽽且⽓隙较⼤?导致其效率较低。

但磁阻转矩较⼩.若对其进⾏合理的控制可获得较好的低速运转特性。

(ii)内埋式永磁同步电机(Interior PMSM,简称1PMSM或IPM),此类电机转⼦上的永磁体位于转了内部，通常呈条状。

由丁此种转⼦具仃不对称的磴路給构,所以它⽐SPMSM 分磁阳转矩，从⽽⼤⼤提离了电机的功率密度F实现屈磁控制。

同时，由于永磁休在转⼦铁芯内部，所以这类电机有更加坚固的转⼦結构,适合运转于⾼速场IPM 的定⼦电感随转『鎚极位西⾮线性变化.所以1PM的捽制性能随;⼖⼦电流换柑相移影响⼝SPM与IPM的转于结构如图2.1所⽰。

本⽂上嘤研究SPMSM的数学模型及其⽮豐控制⽅法。

⽔磁体铁芯SPM转⼦结构图2.【永毬同歩电机转⼦蒂构2.2永磁同步电机的数学模型⽊节苜先建⽴PMSM的数学模型，这也是后续研究PMSM⽮丘控制算法的屣础"接⼘來分别对三相静⽌坐标系、两和邯⽌坐标系和两相旋转堰标系F的PMSM 的数学模型进⾏描述。

严格的说，永磁同步电机是⼀个存在⾮线性磁化特性和饱和效应的电磁装留，它的动态⽅程式⼀个⾼阶微分⽅程，很难对它进⾏粘确求解，所以必须对它进⾏⼀定程度的简化，将它化成⼀个⼆阶微分⽅程组。

为了突出主婆何题，先忽略次要因素，作如下假设叫（1）忽略谐波效应，设定⼦三相绕组完全对称且在空间中互差120°电⾓度，所产⽣理想正弦磁动势；（2）忽略永磁体的⾮线件饱和因素，认为各相绕纽的阴值、电感都是恒定的，FI Ro = R 、= R< = &丄（! = — = Lc ；（3）不计电机的磁滞损耗和涡流损耗等：（4）不考电频率和温度变化对电机参数的场响：（5）转⼦上没有阻尼绕组，永磁体没有阻尼作⽤。

(1)两相静止坐标下永磁同步电动机的数学模
型
永磁同步电动机的数学模型可以表示为：
1. 电磁转矩方程：
磁链方程：
ψd = Ld * id + (Lq - Ld) * iq
ψq = Lq * iq
电磁转矩方程：
Te = 1.5 * (ψd * iq - ψq * id)
其中，ψd和ψq分别表示直轴和交轴磁链，Ld和Lq表示直轴和交轴的电感。

2. 电流方程：
直轴电流方程：
Ud = R * id + ωe * Lq * iq + ψq * ωm
Uq = R * iq - ωe * Ld * id - ψd * ωm
其中，Ud和Uq分别表示直轴和交轴电压，R表示电阻，ωe表示定子电流的角频率，ωm表示转子电流的角频率。

3. 机械方程：
转速方程：
Te = J * dωm/dt + B * ωm
其中，Te表示电磁转矩，J表示转动惯量，B表示转子的摩擦阻尼系数。

综上所述，这些方程构成了永磁同步电动机的数学模型，可以用来描述其电磁转矩、电流和转速之间的关系。

第2章永磁同步电机的结构特点及数学模型2.1 永磁同步电机概述电机是一种机电能量转换或信号转换的电磁机械装置。

自1831年电磁感应定律为人们所知，人们发现可以利用磁场将电能与机械能进行相互转化，由此发明了电机。

随着不同种类的电机相继出现，大力推动了电气工程行业及电力电子工业的发展。

众所周知，要于电机之内建立所需的磁场，一种方式是可以通过在电机内部对电机绕组通以电流产生磁场，需要持续的提供电能维持磁场存在，磁场强度取决于电机内部的电流及绕组的结构。

另一种可以通过永磁体产生磁场，由于永磁材料的固有特性故不再需要提供其他外在能量便可以持续维持磁场存在，因此采用永磁材料产生磁场可以使电机在自身结构上更为简单，其运行的安全程度和效率也随之提高。

起初人们并未发现可用于建立磁场的较为合适的材料，因此人们利用天然的磁铁矿石制成永磁材料，并在19世纪20年代制成世界上第一台永磁电机。

但由于天然磁铁矿石的磁性较低，因此为了满足磁场需求，制成的电机体积庞大，性能较差，并不能达到人们在工业等相关领域的要求。

直到1845年，英国的惠斯通用电磁铁代替永久磁铁，随后又发明了自励电励磁发电机，开创了电励磁方式的先河。

它弥补了天然磁铁的不足，在随后的几十年中，电励磁电机逐渐取代了原始的永磁电机随着电机技术发展的需要，人们开始不断寻找磁性能更好的永磁材料。

20世纪中期被发现并加以应用的铝镍钴永磁材料和铁氧体永磁材料就是很好的例子，因其磁性能在原有材料基础上的较大提高，因此在工业、农业、军事或者在日常生活中人们又重新重视起永磁电机的应用。

但这两种材料也有其自身的缺陷，铝镍钴永磁材料矫顽力较低、易退磁，铁氧体永磁材料的剩磁较低，在一定程度上又限制了永磁电机的发展。

随着人们的继续探索，20世纪60年代美国人K.J.Stmat研制出的以钐钴为主要成分的稀土永磁材料，被称为第一代稀土永磁材料，引领永磁电机发展到一个新的阶段。

由于其价格昂贵，起初各国研发的重点通常在航空航天和要求高性能的高科技领域。

交流永磁同步电动机数学模型的建立与分析1模型建立交流永磁同步电动机（Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM）根据转子位置可以分为内转子、外转子两种。

主要部件有机座、定子铁心、定子线圈、转子铁芯、永磁体、轴、轴承和电机端盖等，此外还包括转子支撑部件、冷却涵道、接线盒等结构。

PMSM的定子主要指定子绕组与定子铁心部分，对于常见的三相绕组，三相绕组对称分布，各相绕组轴线在空间互差120°，且通入三相绕组的电流相位依次相差120°。

PMSM的转子包括永磁体、转子铁心、转轴、轴承等。

转子提供的磁场主要是由转子铁芯上极性交替的永磁体所发出的，具体气隙平均磁密值大小以及气隙磁密波形的正弦性，主要取决于转子铁芯中永磁体的尺寸、摆放形式以及隔磁措施等因素。

为了所建立模型求解以及推导的便利性，首先对交流永磁同步电动机作如下假设：1)定子绕组Y接，三相绕组对称分布，各相绕组轴线在空间互差120°；转子上的永磁体在定转子气隙内产生主磁场，该磁场沿气隙圆周呈正弦波分布，转子没有阻尼绕组；2)忽略定子绕组的齿槽对气隙磁场分布的影响；3)假设铁心的磁导率时无穷大，不考虑电机定子和转子铁芯的涡流损耗以及磁滞损耗；4)认为定子绕组侧空载反电动势波形为正弦波；5)忽略电动机参数（绕组电阻与绕组电感等）的变化。

图3.1 三相两极PMSM结构简图如图3.1 所示，定子三相绕组AX、BY、CZ沿圆周均匀分布，A、B、C为各项绕组的首端，X、Y、Z为各项绕组的尾端，电流由绕组的首段流出，尾端流入。

此时绕组产生的磁场方向规定为该绕组轴线的正方向，即as、bs 和cs 分别代表A 相、B 相和C 相绕组的轴线，各相绕组分别通入相位相差120° 的电流。

以as、bs、cs为坐标轴，建立三相静止坐标系（如图3.1所示）。

转子的电角位置与电角速度的正方向选取为逆时针方向。

(一) PMS Ｍ的数学模型交流电机是一个非线性、强耦合的多变量系统。

永磁同步电机的三相绕组分布在定子上,永磁体安装在转子上。

在永磁同步电机运行过程中，定子与转子始终处于相对运动状态,永磁体与绕组，绕组与绕组之间相互影响,电磁关系十分复杂,再加上磁路饱和等非线性因素,要建立永磁同步电机精确的数学模型是很困难的。

为了简化永磁同步电机的数学模型，我们通常做如下假设:1) 忽略电机的磁路饱和，认为磁路是线性的;2) 不考虑涡流和磁滞损耗；3) 当定子绕组加上三相对称正弦电流时，气隙中只产生正弦分布的磁势，忽略气隙中的高次谐波；4) 驱动开关管和续流二极管为理想元件;5) 忽略齿槽、换向过程和电枢反应等影响。

永磁同步电机的数学模型由电压方程、磁链方程、转矩方程和机械运动方程组成,在两相旋转坐标系下的数学模型如下:(ｌ）电机在两相旋转坐标系中的电压方程如下式所示：d d s d d c q q q s q q c d di u R i L dt di u R i L dt ωψωψ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩其中，R ｓ为定子电阻;u ｄ、uq 分别为d 、q 轴上的两相电压;i ｄ、iq 分别为ｄ、q 轴上对应的两相电流;Ｌd 、Lq 分别为直轴电感和交轴电感；ωｃ为电角速度;ψd 、ψq 分别为直轴磁链和交轴磁链。

若要获得三相静止坐标系下的电压方程，则需做两相同步旋转坐标系到三相静止坐标系的变换,如下式所示。

cos sin 22cos()sin()3322cos()sin()33a d b q c u u u u u θθθπθπθπθπ⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭ ⎪+-+⎝⎭（2)d/ｑ轴磁链方程： d d d f q q qL i L i ψψψ=+⎧⎪⎨=⎪⎩ 其中，ψf 为永磁体产生的磁链，为常数，0f r e ωψ=，而c r p ωω=是机械角速度,ｐ为同步电机的极对数，ωc 为电角速度,e0为空载反电动势，其值为每项绕倍.(３）转矩方程:32e d q q d T p i i ψψ⎡⎤=-⎣⎦ 把它带入上式可得：3()233()22e f q d q d q f q d q d q T p i L L i i p i p L L i i ψψ⎡⎤=+-⎣⎦=+- 对于上式,前一项是定子电流和永磁体产生的转矩,称为永磁转矩；后一项是转 子突极效应引起的转矩,称为磁阻转矩，若Ld=Lq ，则不存在磁阻转矩,此时,转矩方程为：32e f q t q T p i k i ψ== 这里,t k 为转矩常数，32t f k p ψ=. (4)机械运动方程: m e m L d T J B T dtωω=++ 其中,m ω是电机转速，L T 是负载转矩，J 是总转动惯量（包括电机惯量和负载惯量）,B 是摩擦系数.(二) 直线电机原理永磁直线同步电机是旋转电机在结构上的一种演变，相当于把旋转电机的定子和动子沿轴向剖开,然后将电机展开成直线,由定子演变而来的一侧称为初级,转子演变而来的一侧称为次级。

永磁直线电机的有限元分析及计算永磁直线电机（Permanent Magnet Linear Motor，简称PMLM）是一种将电能转化为直线机械能的装置，它由永磁体组成的固定子和线圈组成的动子构成。

与传统的旋转电机不同，PMLM能够直接输出直线运动，并且具有大力密度、高效率和较低的噪音。

在永磁直线电机的设计和优化过程中，有限元分析（Finite Element Analysis，简称FEA）和计算是非常重要的工具。

在有限元分析中，将电机内部的磁场、电流、力等物理量划分为有限数量的元素和节点，并使用数值方法求解模型的行为。

通过FEA方法，可以定量地评估永磁直线电机的性能指标，如功率、力矩、效率等。

有限元分析通常包括以下步骤：1.建立几何模型：将永磁直线电机的各个组成部分，如永磁体、线圈、铁心等，准确地建模为几何实体。

2.网格划分：将几何模型划分为有限数量的单元和节点，常用的划分方法包括四面体划分、六面体划分、三角形划分等。

3.求解磁场分布：根据电机的电流和永磁体的磁性，使用麦克斯韦方程和安培定律求解磁场分布，并获取磁力密度分布、磁场线轨迹等。

4.计算电机的力矩和力：通过磁场和电流之间的相互作用，计算电机在工作状态下的力矩和力。

5.评估性能指标：根据有限元分析结果，评估永磁直线电机的性能指标，如功率、效率、力矩密度等。

有限元分析不仅可以用于永磁直线电机的静态分析，还可以用于动态分析。

在动态分析中，需要考虑电机的运动状况和电机响应的时间变化。

通过有限元分析，可以评估电机在不同速度、不同负载情况下的性能。

在计算方面，可以使用有限元软件，如ANSYS、COMSOLMultiphysics等，进行永磁直线电机的有限元分析。

这些软件提供了强大的模拟和计算功能，可以帮助工程师快速准确地分析电机的力学和电磁特性。

总之，有限元分析和计算是永磁直线电机设计和优化的关键工具之一、通过使用有限元分析，可以定量地评估电机的性能，指导电机的设计和优化，并提高电机的效率和可靠性。