热传导问题的有限元方法 33页PPT文档
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13第6章热传导问题有限元
§6-3
稳态二维热传导
根据有限元部分的§2-1 节的第（ 2-1-2a）式， 3 节点有限元的插值函数为
1 Ni ai bi x c i y （ i, j , m ） 2A
对于任一单元 ijm ，可将插值函数求导代入式（6-2-3a） ，得到热传导矩阵元素
190
k k K1(ije) x bi b j y c i c j 4A 4A
q kxA
T x
（ 6-1-1）
其中 k x 是 x 方向上材料的导热系数； A 是垂直于 x 方向热流通过的面积； T 是温度。 （ 2） 对流 定义：对流是固体与周围物体之间进行热能传递的过程。 对流的热流速率可表示为
q hA T T
（ 3） 辐射 定义：辐射热传导是在服从电磁学定律的两个表面之间的热能交换过程。 辐射热流速率由下述关系确定单元热传导矩阵为源自（6-3-1） K
( e) 1
bi bi bi b j kx b jbj 4A sym
bi bm c c ci c j k y i i b j bm c jc j 4A bmbm sym
ci c m c j cm cm cm
如果物体处于没有任何热源的稳定状态，则方程（ 6-1-7）可简化为拉普拉斯方程
2 2 2 T T T 2 2 0 2 x y z
（6-1-10）
由于微分方程（6-1-6 ）或（6-1-7 ）是二阶的，所以需要规定两个边界条件。可能的边界条件是 在 T x , y, z, t T0 1 上： 在 2 上： k x （ 6-1-11a）
2 2 2 1 T T T T k k k 2 q c T dV x y z ~ V 2 x y z t
第7章 稳态热传导问题的有限元法
)dΒιβλιοθήκη 0(8-18)14
采度用分布Ga函ler数ki和n方换法热，边选界择条权件函代数入为(8，-w181 )式N，i 单将元单的元加内权的积温
分公式为
e
[ Ni x
(x
[N ]) Ni x y
( y
[N ])]{T}e d y
e
e
NiQ d 2 Ni qs d
(8-19)
e 3
Ni h[N ]{T}e d
一点上都满足边界条件（8-11）。对于复杂的工程问
题，这样的精确解往往很难找到，需要设法寻找近似
解。所选取的近似解是一族带有待定参数的已知函数
，一般表示为:
n
u u Ni ai Na
（8-12）
i 1
其中 ai为待定系数，为 Ni已知函数，称为试探函数。试探
函数要取完全的函数序列，是线性独立的。由于试探函数
T
0
t
5
这类问题称为稳态（Steady state）热传导问题。 稳态热传导问题并不是温度场不随时间变化，而是指 温度分布稳定后的状态。
若我们不关心物体内部的温度场如何从初始状态 过渡到最后的稳定温度场，那么随时间变化的瞬态（ Transient）热传导方程就退化为稳态热传导方程，三 维问题的稳态热传导方程为
，取： W j N j W j N j
下面用求解二阶常微分方程为例，说明Galerkin 法（参见，王勖成编著“有限元法基本原理和数值 方法”的1.2.3节）。
12
以二维问题为例，说明用Galerkin法建立稳态温度场 的一般有限元格式的过程。二维问题的稳态热传导方程：
x
x
T x
y
y
1 x j
2有限差分法及热传导数值计算PPT演示课件
t1
1 a11
(b1
a12t2
a13t3 )
t2
1 a 22
(b2
a 21t1 a 23t3 )
1 t3 a 33 (b3 a 31t1 a 32t2 )
•24
（2）假设一组解（迭代初场），记为： t1(0)、t2(0)并、t代3(0) 入迭代方程求得第一 次解
每次计算t1(1)均、t用2(1)、最t3(1新) 值代入。
(1) 平直边界上的节点
如图所示 边界节点 (m,n) 只能代表半个元体，若边界上有向 该元体传递的热流密度为q ，据能量守恒定律对该元体有：
tm1,n tm,n ytm,n1tm,n x
x
y 2
x
2
tm,n1 tm,n y
Φm,n
2xyyqw
0
Байду номын сангаас
xy tm ,n1 4 2 tm 1 ,n tm ,n 1 tm ,n 1 x2 Φ m ,n 2 x q w
非稳态项 的离散有三种不同的格式。如果将函数在节 点(n，i+1)对点(n，i)作泰勒展开，可有
•30
•31
由式(b)可得在点(n，i)处一阶导数的一种差分表示式 , 的向前差分:
类似地，将t在点(n，i-1)对点(n，i)作泰勒展开，可得 的向后差分的表达式：
如果将t在点(n，i+1)及(n，i-1)处的展开式相加，则可得 一阶导数的中心差分的表达式：
qw
y x
•16
(3) 内部角点
如图所示内部角点代表了 3/4 个元体，在同样的假设条 件下有
tm1,ntm,ny tm,n1tm,nx tm,n1tm,n x
x
有限元法基础热传导和热应力讲课文档
T 0 t
k 2 ( T ) 2 q T d S 2 Q w T d A 1 2 S 3 h ( T f 1 2 T ) T d A
泛函的变分取驻值，可得控制方程和第二类和第三类边界条件
第一类边界条件应强制满足，称为本质边界条件；
第二、第三类边界条件是自然边界条件。
{T}[]{Z}
将其代入有限元方程，并左乘 [ ]得T 到n个解耦的方程组
Z iiZ i P i, P i []T i{ R T }
积分上述方程组后，得{Z(t)}，由此可得到节点{T(t)}。
11
第十一页，共53页。
11 传热分析与热应力
11.3热辐射
考虑两个无限大的平行平面，由于无限大，不用考虑边界效应。设每 个平面都有均匀温度，平面1的温度为T1，平面2的温度为T2，平面都是理
12
第十二页，共53页。
11 传热分析与热应力
由于辐射面是有限的、非平行的，用视图因子表示
对于两个无限大的平行面为1，对于两个相互看不见的平面是0
13
第十三页，共53页。
11 传热分析与热应力
与面积为A1交换辐射能的表面有多少个，就有多少个式子。如果A1不是
很大，可认为Q1在A1上是个常数，因此
q
Kq = Q 23 第二十三页，共53页。
11 传热分析与热应力
（三）求解热应力的方法
在有限元分析程序中解热应力问题有两种方法，即直接法和间接法。 直接法
直接将传热分析和热应力耦合起来分析的方法。在求解时，直接将传 热边界条件、力学边界条件施加在有限元模型上，以节点温度和位移作 为未知变量求解。
有限元法基础热传导和热应力
第一页，共53页。
11 传热分析与热应力
有限元法基础-11热传导与热应力ppt课件
由于热量的储存使内能增加，即
cdxdydzT&
由能量守恒定律，在微元内有
cd x d y d z T & q d x d y d z ( Q x Q y Q z) d x d y d z x y z
cT & q( Q xx pQ py t课y件 Q zz)
6
11 传热分析与热应力
ppt课件
3
11 传热分析与热应力
11.1 传热问题的基本方程 固体热传导的现象
ppt课件
4
11 传热分析与热应力
术语和单位 在国际标准单位制中，传热分析的术语和单位
c
比热容[J/(kg·K)]
Q
热流（W/m2）
h 对流换热系数 [W/(m2·K)]
k
导热系数[W/(m·K)]]
q 单位体积热生成率 (W/m3)
第三类边界条件：已知与物体相接触的流体介质的温度和换热系数
为已知，即
Qn
kT n
h(TTf
)
ppt课件
7
11 传热分析与热应力
11.2 变分原理与有限元 瞬态热传导问题变分泛函为
k 2 ( T ) 2 q T c T T & d S 2 Q w T d A 1 2 S 3 h ( T f 1 2 T ) T d A
{T}[]{Z}
将其代入有限元方程，并左乘[ ] T 得到n个解耦的方程组
Z & iiZ i P i, P i []T i{ R T }
积分上述方程组后，得{Z(t)}，由此可得到节点{T(t)}。
ppt课件
11
11 传热分析与热应力
11.3热辐射 考虑两个无限大的平行平面，由于无限大，不用考虑边界效应。设
cdxdydzT&
由能量守恒定律，在微元内有
cd x d y d z T & q d x d y d z ( Q x Q y Q z) d x d y d z x y z
cT & q( Q xx pQ py t课y件 Q zz)
6
11 传热分析与热应力
ppt课件
3
11 传热分析与热应力
11.1 传热问题的基本方程 固体热传导的现象
ppt课件
4
11 传热分析与热应力
术语和单位 在国际标准单位制中，传热分析的术语和单位
c
比热容[J/(kg·K)]
Q
热流（W/m2）
h 对流换热系数 [W/(m2·K)]
k
导热系数[W/(m·K)]]
q 单位体积热生成率 (W/m3)
第三类边界条件：已知与物体相接触的流体介质的温度和换热系数
为已知，即
Qn
kT n
h(TTf
)
ppt课件
7
11 传热分析与热应力
11.2 变分原理与有限元 瞬态热传导问题变分泛函为
k 2 ( T ) 2 q T c T T & d S 2 Q w T d A 1 2 S 3 h ( T f 1 2 T ) T d A
{T}[]{Z}
将其代入有限元方程，并左乘[ ] T 得到n个解耦的方程组
Z & iiZ i P i, P i []T i{ R T }
积分上述方程组后，得{Z(t)}，由此可得到节点{T(t)}。
ppt课件
11
11 传热分析与热应力
11.3热辐射 考虑两个无限大的平行平面，由于无限大，不用考虑边界效应。设
7瞬态热传导问题有限元分析
ρ = k = C =1
每个单元的热传导矩阵和比热矩阵分别是
1 − 1 1 2 1 [ K (e ) ] = 4 [C ( e ) ] = 24 − 1 1 1 2
装配后的热传导矩阵、比热矩阵和等效节点热流分别是
瞬态热传导问题有限元分析
7-3
1 −1 0 0 0 2 1 0 − 1 2 − 1 0 0 1 4 1 1 0 1 4 [ K ] = 4 0 − 1 2 − 1 0 [ M ] = 24 0 0 − 1 2 − 1 0 0 1 0 0 0 −1 1 0 0 0
取时间步长 ∆t = 0.01 ，计算结果如下 时间 节点1 节点2 温度 节点3
0 0 1 4 1
0 1 0 0 0 {Q} = 0 0 1 2 1
节点4
节点5
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
7 瞬态热传导问题有限元分析
7.1 瞬态热传导问题有限元分析
瞬态热传导问题的“虚位移”原理为
∫
Ω
& )dΩ + (δT )q dΓ + h(T − T )δTdΓ k∇T ⋅ ∇(δT )dΩ = ∫ δT (Q − ρCT ∫ ∫ 0
Ω Γ2 Γ3
(7.1.1)
将插值公式
T = [ N ]{q} & = [ N ]{q &} T
δT = [ N ]δ {q}
∇T = [ B]{q} ∇(δT ) = [ B]δ {q}
代入方程(7.1.1)得 &} − {Q}) = 0 {δq}T ([ K ]{q} + [C ]{q 其中
FECh稳态热传导问题的有限元法.ppt
A1 (u ) A(u ) A2 (u ) 0 ...
（在域 内）
（10-10）
未知函数u还满足边界条件，
B1 (u ) B(u ) B2 (u ) 0 ....
（在
边界上）
（10-11）
如果未知函数u是上述边值问题的精确解，则在域中的 任一点上 u 都满足微分方程（ 10-10 ），在边界的任一 点上都满足边界条件（10-11）。对于复杂的工程问题 ，这样的精确解往往很难找到，需要设法寻找近似解 。所选取的近似解是一族带有待定参数的已知函数， n 一般表示为: （10-12） uu N i ai Na
x y z
考虑物体不包含内热源的情况，各向同性材料中的 温度场满足Laplace方程，
2T 2T 2T 2 2 0 2 x y z
（10-9）
在分析稳态热传导问题时，不需要考虑物体的初 始温度分布对最后的稳定温度场的影响，因此不必考 虑温度场的初始条件，而只需考虑换热边界条件。计 算稳态温度场实际上是求解偏微分方程的边值问题。 温度场是标量场，将物体离散成有限单元后，每个单 元结点上只有一个温度未知数，比弹性力学问题要简 单。进行温度场计算时有限单元的形函数与弹性力学 问题计算时的完全一致，单元内部的温度分布用单元 的形函数，由单元结点上的温度来确定。由于实际工 程问题中的换热边界条件比较复杂，在许多场合下也 很难进行测量，如何定义正确的换热边界条件是温度 场计算的一个难点。
对于各向同性材料，不同方向上的导热系数相同， 热传导方程可写为以下形式，
T 2T 2T 2T c 2 2 2 Q t x y z
除了热传导方程，计算物体内部的温度分布，还需要 指定初始条件和边界条件。初始条件是指物体最初的 温度分布情况，
（在域 内）
（10-10）
未知函数u还满足边界条件，
B1 (u ) B(u ) B2 (u ) 0 ....
（在
边界上）
（10-11）
如果未知函数u是上述边值问题的精确解，则在域中的 任一点上 u 都满足微分方程（ 10-10 ），在边界的任一 点上都满足边界条件（10-11）。对于复杂的工程问题 ，这样的精确解往往很难找到，需要设法寻找近似解 。所选取的近似解是一族带有待定参数的已知函数， n 一般表示为: （10-12） uu N i ai Na
x y z
考虑物体不包含内热源的情况，各向同性材料中的 温度场满足Laplace方程，
2T 2T 2T 2 2 0 2 x y z
（10-9）
在分析稳态热传导问题时，不需要考虑物体的初 始温度分布对最后的稳定温度场的影响，因此不必考 虑温度场的初始条件，而只需考虑换热边界条件。计 算稳态温度场实际上是求解偏微分方程的边值问题。 温度场是标量场，将物体离散成有限单元后，每个单 元结点上只有一个温度未知数，比弹性力学问题要简 单。进行温度场计算时有限单元的形函数与弹性力学 问题计算时的完全一致，单元内部的温度分布用单元 的形函数，由单元结点上的温度来确定。由于实际工 程问题中的换热边界条件比较复杂，在许多场合下也 很难进行测量，如何定义正确的换热边界条件是温度 场计算的一个难点。
对于各向同性材料，不同方向上的导热系数相同， 热传导方程可写为以下形式，
T 2T 2T 2T c 2 2 2 Q t x y z
除了热传导方程，计算物体内部的温度分布，还需要 指定初始条件和边界条件。初始条件是指物体最初的 温度分布情况，
《有限元法及其应用》课件
实例
某型战斗机的机翼设计过程中，通过有限元分析，优化了机翼的结构和材料分布，提高了机翼的抗弯和 抗扭能力，同时减小了机翼的气动阻力，为飞机的高性能提供了保障。
汽车碰撞模拟
01
总结词
利用有限元法模拟汽车碰撞过程，评估汽车的安全性能和 改进设计方案。
02 03
详细描述
汽车碰撞是交通事故中最为严重的一种情况，有限元法能 够模拟汽车碰撞过程，对汽车的结构、材料和吸能设计等 进行评估，为汽车的安全性能提供科学依据。同时，通过 模拟不同碰撞条件下的结果，可以为汽车设计提供改进方 案。
通过离散化的方法，将连续的偏微分 方程转化为离散的代数方程组。
刚度矩阵与载荷向量
刚度矩阵
描述了每个单元的刚度关系，反 映了单元之间的相互作用。
载荷向量
描述了作用在每个节点上的外力 。
位移求解与应力分析
位移求解
通过求解离散化的代数方程组，得到每个节点的位移。
应力分析
根据位移求解的结果，通过计算得到每个单元的应力应变状态。
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最为广泛，可 以用于分析各种结构的应力、应变、位移
等。
电磁场分析
有限元法可以用于分析电磁场中的电场强 度、磁场强度、电流密度等，如电磁兼容
性分析、天线设计等。
流体动力学
有限元法可以用于模拟流体在各种复杂环 境下的流动行为，如航空航天、船舶、汽 车等领域的流体动力学问题。
应用领域
广泛应用于科学研究和工 程领域，如化学、生物医 学、电磁学等。
FE-SAFE
概述
FE-SAFE是一款用于结构疲劳分析的有限元软件 ，基于有限元方法进行疲劳寿命预测。
特点
某型战斗机的机翼设计过程中，通过有限元分析，优化了机翼的结构和材料分布，提高了机翼的抗弯和 抗扭能力，同时减小了机翼的气动阻力，为飞机的高性能提供了保障。
汽车碰撞模拟
01
总结词
利用有限元法模拟汽车碰撞过程，评估汽车的安全性能和 改进设计方案。
02 03
详细描述
汽车碰撞是交通事故中最为严重的一种情况，有限元法能 够模拟汽车碰撞过程，对汽车的结构、材料和吸能设计等 进行评估，为汽车的安全性能提供科学依据。同时，通过 模拟不同碰撞条件下的结果，可以为汽车设计提供改进方 案。
通过离散化的方法，将连续的偏微分 方程转化为离散的代数方程组。
刚度矩阵与载荷向量
刚度矩阵
描述了每个单元的刚度关系，反 映了单元之间的相互作用。
载荷向量
描述了作用在每个节点上的外力 。
位移求解与应力分析
位移求解
通过求解离散化的代数方程组，得到每个节点的位移。
应力分析
根据位移求解的结果，通过计算得到每个单元的应力应变状态。
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最为广泛，可 以用于分析各种结构的应力、应变、位移
等。
电磁场分析
有限元法可以用于分析电磁场中的电场强 度、磁场强度、电流密度等，如电磁兼容
性分析、天线设计等。
流体动力学
有限元法可以用于模拟流体在各种复杂环 境下的流动行为，如航空航天、船舶、汽 车等领域的流体动力学问题。
应用领域
广泛应用于科学研究和工 程领域，如化学、生物医 学、电磁学等。
FE-SAFE
概述
FE-SAFE是一款用于结构疲劳分析的有限元软件 ，基于有限元方法进行疲劳寿命预测。
特点
有限元法PPT课件
重工业
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。 全球28个办事处和9个代表处 业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。 全球28个办事处和9个代表处 业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)
6 稳态热传导问题的有限元法
6. 穩態熱傳導問題的有限元法本章的內容如下：6.1熱傳導方程與換熱邊界6.2穩態溫度場分析的一般有限元列式 6.3三角形單元的有限元列式 6.4溫度場分析舉例6.1熱傳導方程與換熱邊界在分析工程問題時，經常要瞭解工件內部的溫度分佈情況，例如發動機的工作溫度、金屬工件在熱處理過程中的溫度變化、流體溫度分佈等。
物體內部的溫度分佈取決於物體內部的熱量交換，以及物體與外部介質之間的熱量交換，一般認為是與時間相關的。
物體內部的熱交換採用以下的熱傳導方程（Fourier 方程）來描述，Q z T z y T y x T x tT c+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂z y x λλλρ （6-1）式中ρ為密度，kg/m 3； c 為比熱容，K)J/(kg ⋅；z y x λλλ,,為導熱係數，)k m w ⋅；T 為溫度，℃；t 為時間，s ；Q 為內熱源密度，w/m 3。
對於各向同性材料，不同方向上的導熱係數相同，熱傳導方程可寫為以下形式，Q zT yT xT tT c222222+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂λλλρ （6-2）除了熱傳導方程，計算物體內部的溫度分佈，還需要指定初始條件和邊界條件。
初始條件是指物體最初的溫度分佈情況，() z y,x,T T00t ==（6-3）邊界條件是指物體外表面與周圍環境的熱交換情況。
在傳熱學中一般把邊界條件分為三類。
1）給定物體邊界上的溫度，稱為第一類邊界條件。
物體表面上的溫度或溫度函數為已知，s sT T=或 ),,,(t z y x T Ts s=（6-4）2）給定物體邊界上的熱量輸入或輸出，稱為第二類邊界條件。
已知物體表面上熱流密度，s sz zy yx xq n zT n yT n xT =∂∂+∂∂+∂∂)(λλλ或),,,()(t z y x q n zT n yT n xT s sz zy yx x=∂∂+∂∂+∂∂λλλ（6-5）3）給定對流換熱條件，稱為第三類邊界條件。
《有限元基本原理》课件
这些有限元在节点处相互连接，形成 一个离散化的模型，用于模拟真实结 构的力学行为、热传导、电磁场分布 等。
有限元法的历史与发展
01
有限元法的思想起源于20世纪40年代，但直到1960年 才由美国科学家克拉夫（Clough）正式提出“有限元 法”这一术语。
02
随着计算机技术的发展，有限元法得到了广泛应用和推 广，成为工程领域中解决复杂问题的有力工具。
03
近年来，随着计算能力的提升和算法优化，有限元法的 应用范围不断扩大，涉及的领域也更加广泛。
有限元法的基本思想
01
将连续体离散化为有限个单元，每个单元具 有简单的几何形状和物理属性。
03
02
通过在节点处设置位移约束，将各个单元相 互连接，形成一个整体模型。
通过在各个单元上设置方程，建立整个离散 化模型的平衡方程组。
高阶有限元方法
与其他方法的结合
研究高阶有限元方法，以提高计算的精度 和稳定性。
研究有限元方法与其他数值方法的结合， 如有限差分法、有限体积法等，以拓展其 应用范围。
谢谢聆听
04 有限元法的应用实例
静力分析实例
总结词
静力分析是有限元法最常用的领域之一，主要用于分析结构在恒定载荷下的响应。
详细描述
静力分析用于评估结构在恒定载荷下的应力、应变和位移。例如，桥梁、高层建筑和飞机机身等结构 的稳定性分析。通过有限元法，可以模拟复杂结构的整体行为，并预测其在各种载荷条件下的性能。
动力分析实例
总结词
动力分析涉及结构在动态载荷下的响应 ，如地震、风载和冲击载荷等。
VS
详细描述
动力分析用于评估结构在动态载荷作用下 的振动、冲击和响应。例如，地震工程中 建筑物和桥梁的抗震性能分析。通过有限 元法，可以模拟结构的动态行为，预测其 在地震或其他动态载荷下的破坏模式和倒 塌过程。
有限元法的历史与发展
01
有限元法的思想起源于20世纪40年代，但直到1960年 才由美国科学家克拉夫（Clough）正式提出“有限元 法”这一术语。
02
随着计算机技术的发展，有限元法得到了广泛应用和推 广，成为工程领域中解决复杂问题的有力工具。
03
近年来，随着计算能力的提升和算法优化，有限元法的 应用范围不断扩大，涉及的领域也更加广泛。
有限元法的基本思想
01
将连续体离散化为有限个单元，每个单元具 有简单的几何形状和物理属性。
03
02
通过在节点处设置位移约束，将各个单元相 互连接，形成一个整体模型。
通过在各个单元上设置方程，建立整个离散 化模型的平衡方程组。
高阶有限元方法
与其他方法的结合
研究高阶有限元方法，以提高计算的精度 和稳定性。
研究有限元方法与其他数值方法的结合， 如有限差分法、有限体积法等，以拓展其 应用范围。
谢谢聆听
04 有限元法的应用实例
静力分析实例
总结词
静力分析是有限元法最常用的领域之一，主要用于分析结构在恒定载荷下的响应。
详细描述
静力分析用于评估结构在恒定载荷下的应力、应变和位移。例如，桥梁、高层建筑和飞机机身等结构 的稳定性分析。通过有限元法，可以模拟复杂结构的整体行为，并预测其在各种载荷条件下的性能。
动力分析实例
总结词
动力分析涉及结构在动态载荷下的响应 ，如地震、风载和冲击载荷等。
VS
详细描述
动力分析用于评估结构在动态载荷作用下 的振动、冲击和响应。例如，地震工程中 建筑物和桥梁的抗震性能分析。通过有限 元法，可以模拟结构的动态行为，预测其 在地震或其他动态载荷下的破坏模式和倒 塌过程。
工程有限元方法温度场有限元分析PPT(31页)
由上式得出稳态热传导问题的变分原理如下
0
1
2
k
x
2
1 2
k
y
2
1 2
k
z
2
Q d
qd q
3
ha
1 2
h2
d
稳态热传导分析有限元列式
• 温度插值
将空间域 离散为有限个单元体，在典型单元内各点的温度 可以近似的用单
元的节点温度 i 插值得到
ne
Ni (x, y)i Ni i 1
方程
c
t
x
kx
x
y
ky
y
z
kz
z
Q
0
升温需要的热量
由x, y, z方向传入的热量
内部热源产生的热量
导热系数 k, W/ m K
物体内部的 热源密度
Q, W/kg
比热容 c, J/ kg K
密度 , kg/m3
热传导基本方程
• 热传导问题的边界条件
域的 边界条件 1 2 3
在分析工程问题时，经常要了解工件内部的温度分布情况，例如发动机的 工作温度、金属工件在热处理过程中的温度变化、流体温度分布等。物体 内部的温度分布取决于物体内部的热量交换，以及物体与外部介质之间的 热量交换，一般认为是与时间相关的。在一般三维问题中，瞬态温度场的
场变量 x, y, z,t 在直角坐标中应满足下述热传导（Fourier热传导）微分
k x nx k y ny k z nz k n q
k
x
nx
k
y
ny
k
z
nz
k
n
h(a
)
在 2 边界上 在 3 边界上
第六讲热传导过程有限元分析
START a l1: BFT SOLVC a SOLVSTR b a gidres(coor0); if (stop==0) goto l1;
a场+算法 b场+算法+耦合场 (空一行) 初始化a场 时间循环开始标志 时间和边值更新 直接法求解a场 最小二乘求解b场 输出gid格式的结果文件 循环结束标志
u
kx
u x
u x
ky
u y
u )dV y
Q udV
V
q q0 ud
未知变量：
DISP u u
未知变量定义微分方程弱形式中 的变量
材料参数：
MATE ek ec q 1.0 1.0 0.0 kx(ky) ρc q
材料参数行对应微分方程弱形式 中的变量(考虑各向同性材料，各
向热传导系数相同即kx=ky=ek)
在heatxy.fde给出单元的待求未知量，涉及到的材料参数，单元的形函数表达式，刚度 矩阵表达式和载荷表达式，以及为描述刚度矩阵和载荷向量而自定义的函数。 以下给出微分方程描述文件中与微分方程弱形式对应的部分(详细的解析见《有限元分析基础 和应用》中相关章节)：
微分方程弱形式：
V
(c
u t
有限元计算模型
•施加材料属性：
在condition窗口中为a场(温度)和b场(热流)分别施加材料属性和边界条件，该模型只有一种 材料，材料赋值如下图所示：
a场面材料添加
•施加边界条件：
b场面材料添加
模型内壁保持0℃，外壁与外界发生对流交换(由边界条件文件来实现，在gid中通过赋边界材 料来实现)，边界赋值如下图所示：
传热问题的边界条件有三类：
第一类边界条件： u u0
第二类边界条件：
a场+算法 b场+算法+耦合场 (空一行) 初始化a场 时间循环开始标志 时间和边值更新 直接法求解a场 最小二乘求解b场 输出gid格式的结果文件 循环结束标志
u
kx
u x
u x
ky
u y
u )dV y
Q udV
V
q q0 ud
未知变量：
DISP u u
未知变量定义微分方程弱形式中 的变量
材料参数：
MATE ek ec q 1.0 1.0 0.0 kx(ky) ρc q
材料参数行对应微分方程弱形式 中的变量(考虑各向同性材料，各
向热传导系数相同即kx=ky=ek)
在heatxy.fde给出单元的待求未知量，涉及到的材料参数，单元的形函数表达式，刚度 矩阵表达式和载荷表达式，以及为描述刚度矩阵和载荷向量而自定义的函数。 以下给出微分方程描述文件中与微分方程弱形式对应的部分(详细的解析见《有限元分析基础 和应用》中相关章节)：
微分方程弱形式：
V
(c
u t
有限元计算模型
•施加材料属性：
在condition窗口中为a场(温度)和b场(热流)分别施加材料属性和边界条件，该模型只有一种 材料，材料赋值如下图所示：
a场面材料添加
•施加边界条件：
b场面材料添加
模型内壁保持0℃，外壁与外界发生对流交换(由边界条件文件来实现，在gid中通过赋边界材 料来实现)，边界赋值如下图所示：
传热问题的边界条件有三类：
第一类边界条件： u u0
第二类边界条件：
热传导问题的有限元方法
02 有限元方法的基本原理
有限元方法的基本思想
将连续的求解区域离散成有限个小的 子区域（即有限元），在每个子区域 上选择合适的基函数，通过基函数的 线性组合来逼近真实解。
通过在子区域上定义的边界条件和初 始条件，将所有子区域的解联立起来 ，形成一组线性方程组，求解该方程 组即可得到原问题的近似解。
大规模计算
对于非常大的问题，有限元方法可能 需要大量的计算资源，这可能导致计 算时间较长。
处理复杂边界和界面条件
对于具有复杂边界和界面条件的问题， 有限元方法的实现可能变得复杂和困 难。
有限元方法的应用范围
传热问题
有限元方法广泛应用于传 热问题的数值模拟，如热 传导、热对流和热辐射等 。
结构分析
在结构工程中，有限元方 法用于分析结构的静态和 动态行为，如应力、应变 和振动等。
流体动力学
在流体动力学中，有限元 方法用于模拟流体流动和 传热，如流体动力学分析 和计算流体动力学(CFD) 。
电磁场理论
在电磁场理论中，有限元 方法用于分析电磁场的行 为，如电磁波的传播和散 射等。
05 热传导问题有限元方法的 发展趋势与展望
热传导问题有限元方法的研究热点
复杂几何形状的热传导问 题
03 热传导问题的有限元方法
热传导问题的有限元离散化
将连续的热传导问题离散化为 有限个单元，每个单元内的温 度和热流分布用数学模型表示。
单元之间的热量传递通过节点 传递，节点之间的热量传递用 耦合条件表示。
离散化后的方程组可以用矩阵 形式表示，方便进行数值求解。
热传导问题的有限元求解
01
通过迭代法或直接法求解离散化后的方程组，得到每个节点 的温度值。
有限元方法的数学基础
热传导问题的有限元方法
7.15——8.31 9.1——9.30 几何清理、建立热源模型、计算 温度场 计算位移场、应力场
焊接过程仿真分析的简明求解
将三维模型简化为二维甚至一维。 简化构件几何和加载。 将非线性热弹性-粘塑性模型简化为线性热弹性。 将瞬态过程简化为准稳态过程。 使热过程和力学过程分离。 忽略缺陷和裂纹的形成。 忽略高温发生的熔化，凝固相，以及随后在低屈服 应力的相变过程。 对屈服规律进行简化。 简化坡口形状和焊层结构。 用给定温度范围内与温度无关的平均值取代与温度 相关的材料特征值。
力学模型的网格划分
热学部分的网格划分较为密集，这是由于如 果其网格密度过于粗大，就会导致低温现象出现， 即这个模型最低温度远远低于常温20℃，与实际 情况差别较大，从而造成误差。然而，对于结构 模拟分析，倘若网格过于密集会导致计算时间过 长，在结构分析中将模型重新划分网格。
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
(0 ≤ ξ ≤ 1)
用加权余量法建立两点循环公式
由于采用近似插值，在时间域 ∆t 内，方程将产 生余量，对于这一时间区域，典型的加权余量格式 可以表示为如下形式
∫
1
0
& & ω[C( N nφn + N n +1φn +1 ) + K ( N nφn + N n +1φn +1 ) − P]dξ = 0
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
动画演示
难点和工作安排
难点
1 2 3 4
计算时间长、需要硬盘空间大 计算时间长、
需要详细的焊接方案 热源模型的建立 材料属性
难点和工作安排
焊接过程仿真分析的简明求解
将三维模型简化为二维甚至一维。 简化构件几何和加载。 将非线性热弹性-粘塑性模型简化为线性热弹性。 将瞬态过程简化为准稳态过程。 使热过程和力学过程分离。 忽略缺陷和裂纹的形成。 忽略高温发生的熔化，凝固相，以及随后在低屈服 应力的相变过程。 对屈服规律进行简化。 简化坡口形状和焊层结构。 用给定温度范围内与温度无关的平均值取代与温度 相关的材料特征值。
力学模型的网格划分
热学部分的网格划分较为密集，这是由于如 果其网格密度过于粗大，就会导致低温现象出现， 即这个模型最低温度远远低于常温20℃，与实际 情况差别较大，从而造成误差。然而，对于结构 模拟分析，倘若网格过于密集会导致计算时间过 长，在结构分析中将模型重新划分网格。
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
(0 ≤ ξ ≤ 1)
用加权余量法建立两点循环公式
由于采用近似插值，在时间域 ∆t 内，方程将产 生余量，对于这一时间区域，典型的加权余量格式 可以表示为如下形式
∫
1
0
& & ω[C( N nφn + N n +1φn +1 ) + K ( N nφn + N n +1φn +1 ) − P]dξ = 0
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
动画演示
难点和工作安排
难点
1 2 3 4
计算时间长、需要硬盘空间大 计算时间长、
需要详细的焊接方案 热源模型的建立 材料属性
难点和工作安排
有限元分析热分析课件-PPT
ANSYS提供了两种分析耦合场的方法：直 接耦合法与间接耦合法。
二、单位制问题：在ANSYS热分析过程中，不一 定都要采用国际单位制，但必须要使所有物理 量的单位统一起来。 ANSYS中共有五种单位可供选择（命令流 方式：/UNITS；或Main menu>Preprocessor>Material Props>Material Library >Select Units）： SI（MKS）代表国际单位制，其基本单位 为m，kg，s，K。
创建几何模型、划分网格
Ø h为对流换热系数（或称膜传热系数、给热系数、 TB为周围流体的温度。
ê为实际物体的辐射率，或称黑度，它的数值 再对线2和线3上的各节点施加温度及对流载荷。
USER代表用户自定义单位制，即用户可以根据需要定义基本单位。
膜系数等）； 再对线2和线3上的各节点施加温度及对流载荷。
五、热分析时的三种传热方式及材料基本属性
（1）热传导：当物体内部存在温差，即存在温度 梯度时，热量从物体的高温部分传递到低温部 分；而且不同温度的物体相互接触时热量会从 高温物体传递到低温物体。这种热量传递的方 式称为热传导。 Q/t=KA(Thot-Tcold)/d 式中：Q为时间t内的传热量或热流量；K为热 传导率或热传导系数；
有限元分ANSYS热分析基础知识简介 Ø 稳态热分析实例 Ø 瞬态热分析实例
热分析基础知识简介
一、ANSYS热分析功能介绍 ANSYS热分析模块主要有：
Ø ANSYS/Multiphysics Ø ANSYS/Mechanical Ø ANSYS/Thermal Ø ANSYS/FLOTRAN Ø ANSYS/ED
问题描述： 有一空心钢圆柱体，内半径与外半径分别为
二、单位制问题：在ANSYS热分析过程中，不一 定都要采用国际单位制，但必须要使所有物理 量的单位统一起来。 ANSYS中共有五种单位可供选择（命令流 方式：/UNITS；或Main menu>Preprocessor>Material Props>Material Library >Select Units）： SI（MKS）代表国际单位制，其基本单位 为m，kg，s，K。
创建几何模型、划分网格
Ø h为对流换热系数（或称膜传热系数、给热系数、 TB为周围流体的温度。
ê为实际物体的辐射率，或称黑度，它的数值 再对线2和线3上的各节点施加温度及对流载荷。
USER代表用户自定义单位制，即用户可以根据需要定义基本单位。
膜系数等）； 再对线2和线3上的各节点施加温度及对流载荷。
五、热分析时的三种传热方式及材料基本属性
（1）热传导：当物体内部存在温差，即存在温度 梯度时，热量从物体的高温部分传递到低温部 分；而且不同温度的物体相互接触时热量会从 高温物体传递到低温物体。这种热量传递的方 式称为热传导。 Q/t=KA(Thot-Tcold)/d 式中：Q为时间t内的传热量或热流量；K为热 传导率或热传导系数；
有限元分ANSYS热分析基础知识简介 Ø 稳态热分析实例 Ø 瞬态热分析实例
热分析基础知识简介
一、ANSYS热分析功能介绍 ANSYS热分析模块主要有：
Ø ANSYS/Multiphysics Ø ANSYS/Mechanical Ø ANSYS/Thermal Ø ANSYS/FLOTRAN Ø ANSYS/ED
问题描述： 有一空心钢圆柱体，内半径与外半径分别为
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这里，
PPf PTP0
焊接过程的仿真分析
二十世纪七十年代以来，国内外很多学者都对数值 模拟技术在焊接中的应用进行了研究，取得了不少 成果。特别是“计算焊接力学（Computational Weld Mechanics）”的发展使焊接模拟有了更为 坚实的理论基础。
例如，欧洲空中客车340飞机开发中，飞机机身的 铝合金蒙皮壁板的纵向加强筋采用激光束焊接。主 要问题是保持低变形和减少残余应力。要考虑接头 类型的变化、焊接顺序、冷却条件、装夹模式及纵 向预载荷等措施，决定这些措施及组合，就需要采 用焊接热力数值模拟技术。
N n 1
N n1
(0 1)
用加权余量法建立两点循环公式
由于采用近似插值，在时间域 t 内，方程将产 生余量，对于这一时间区域，典型的加权余量格式 可以表示为如下形式
1
0[ C ( N n n N n 1 n 1 ) K ( N n n N n 1 n 1 ) P ] d 0
焊接过程的仿真分析
焊接热力耦合分析
耦合分析是指在有限元分析的过程中考虑多种物理场的 交叉作用和相互影响。耦合分析最终可归结为两种不同的 方法：直接耦合和顺序耦合。
直接耦合
顺序耦合
•包含所有必须自由度 的耦合单元类型 •仅仅通过一次求解就 能得出耦合场分析结 果
•按照顺序进行两次相 关场分析 •把第一次场分析的结 果作为第二次场分析 的载荷
将求解的时间域0t T划分成若干个时间步长 t
在一定数目的 t 时间区域内，假设 和 的函数
形式来近似方程的精确解
仅在相隔 t 的离散时间点上满足微分方程来代替时
间域内任何时刻t都满足微分方程
进一步假设 t0 0 ,t1 t,t2 2 t, ,tn n t时刻的
当 n 和P都已知时，就可以求得下一时刻的 n 1 这就是
两点循环公式，可以记成
Kn1 Qn1
其中
KC/tK
Q n 1 [ C / t ( 1 ) K ]n ( 1 ) P n P n 1
参数θ的选择
θ =0
n
n+1
θ =1/2
焊接过程的仿真分析
当两种物理场相互作用不明显，或者一种物理场对 另一种物理场有决定性影响，而后一种物理场对前 一种物理场影响较小时，进行两种物理场的完全耦 合分析会使分析的问题过于复杂化，这时就可以考 虑使用顺序耦合分析。顺序耦合分析具有很高的效 率和灵活性。
焊接过程的塑性变形热和相变潜热与焊接热输入相 比，可以忽略不计。焊接热分析的温度场决定了焊 接结构分析的应力场和变形场，而焊接力学场对温 度场的影响较小。因此，一般进行顺序耦合热力分 析。将焊接热分析各载荷步的温度场结果作为力学 分析的热载荷，进行求解。
解都已经求得，下一步要计算的是t n 1 时刻的温度场
n1
瞬态热传导方程的数值解法
用加权余量法建立两点循环公式
在两个时间点t n 和 t n 1 之间的 t 时间区域内，采取如
下线性插值形式
(tn t) N nn N n 1n 1
其中，
t t
当求解初值问题时，如果已知一组参数 n ，则
可以利用上式近似确定另一组参数 n 1 。将插值函数 及其导数代入加权余量表达式，经过整理，得到
( C / t K )n 1 [ C / t K ( 1 ) ]n P
其中
01d
1d 0
P 1Pd 0
热应力的计算
物体由于热膨胀只产生线应变，而剪切应变为零。这种由于热 变形产生的应变可以看作是物体的初应变 0 ，对于三维问题，
0 ( 0 ) [ 111000 ]
物体存在初应变的情况下，应力应变关系可表示成
D(0)
将上式代入虚位移原理的表达式，并进行有限元离散，得到
Ka P
令
(yi)n1(yi)n
则
1it(1)
1it
解的稳定性问题
避免发散 1 避免振荡 0
解的稳定性问题
避免发散
1 （后差分、中心差分）无条件稳定
2
0
1 2
（前差分） tBiblioteka (122 )i
时，稳定
避免振荡
t
1
(1 )i
解的稳定性问题
01d
用加权余量法建立两点循环公式
( C / t K )n 1 [ C / t K ( 1 ) ]n P
其中
01d
1d 0
P 1Pd 0
01d
假定P采用与未知场函数φ相同的插值表达式，得到
PPn1Pn(1)
θ =1
θ =1/2
θ =2/3
θ =1/3
前差分公式 中心差分公式 后差分公式 ω为常数
伽辽金型权函数
解的稳定性问题
解的稳定性一般利用不耦合的齐次方程来讨论
Ciyi Kiyi 0
解析式为
yi Aieit
其中 A i 是任意常数，i Ki /Ci
用两点循环公式求解
( C i/ t K i) ( y i ) n 1 [ C i/ t K i ( 1 ) ] ( y i ) n 0
热传导问题的有限元方法
——焊接过程的ANSYS仿真
L/O/G/O
目录
1 瞬态热传导方程的数值解法
2
焊接过程的仿真分析
3 环焊缝的ANSYS仿真实例
4
难点和工作安排
瞬态热传导方程的数值解法
瞬态温度场中n个节点温度φ的有限元方 程为
CKP
求解一阶偏微分方程
时间积分 模态叠加
瞬态热传导方程的数值解法
焊接过程的仿真分析
焊接过程的仿真分析
当位移显著的改变结构的 刚度时，则被视为几何非 线性
几何非线 性
焊接过程中的非 线性现象
材料非线
性
影响焊接热力的材 料热物理参数和力 学参数均与焊接热 循环过程有关，是 温度的非线性函数
状态非线 性
焊接过程中会出现一系 列相变，由于材料的状 态不同，其本构关系也 要随之变化，这种现象 称为状态非线性问题， 例如在低温区域使用弹 塑性材料模型，而高温 区域使用弹粘塑性本构 模型