7-4，常物性流体在两无限大平行平板之间作稳态层流流动，下板静止不动，上板在外力作用下以恒定速度U 运动，试推导连续性方程和动量方程。 解：按照题意
0,
0=∂∂=∂∂=x
v y v v 故连续性方程
0=∂∂+∂∂y
v x u 可简化为
0=∂∂x
u
因流体是常物性，不可压缩的，N-S 方程为 x 方向：
)(12222y
u x u v y p F y u v x u u x ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂ρρ 可简化为
022=∂∂+∂∂-y
v x p F x η
y 方向
)(12222y
v x v v y p F y v v x v u y ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂ρρ 可简化为
0=∂∂=
y
p
F y
8-3，试证明，流体外掠平壁层流边界层换热的局部努赛尔特数为
12121
Re Pr
x Nu r =
证明：适用于外掠平板的层流边界层的能量方程
22t t t u v a x y y
∂∂∂+=∂∂∂ 常壁温边界条件为
0w y t t y ∞
==→∞时，时，t=t
引入量纲一的温度w
w
t t t t ∞-Θ=
-
则上述能量方程变为22u v a x y y
∂Θ∂Θ∂Θ+=∂∂∂
引入相似变量12Re ()y y
x x ηδ=
==
有
11()(()22x x x
ηη
ηηη∂Θ∂Θ∂''==Θ-=-Θ∂∂∂
()y y η
ηη∂Θ∂Θ∂'==∂∂∂；22()U y x ηυ∞∂Θ''=
Θ∂ 将上三式和流函数表示的速度代入边界层能量方程，得到
1
Pr 02
f '''Θ+Θ=
当Pr 1=时，速度边界层厚度远小于温度边界层厚度，可近似认为温度边界层内速度为主流速度，即1,f f η'==，则由上式可得
Pr ()2
d f d η''Θ'=-'Θ，求解可得 11()()Pr 2
Pr
(0)()erf η
ηπ
Θ='Θ=
则1212
0.564Re
Pr
x x
Nu =
8-4，求证，常物性不可压缩流体，对于层流边界层的二维滞止流动，其局部努
赛尔特数满足10.422
0.57Re Pr x Nu =⋅
证明：对于题中所给情况，能量方程可表示为
22u v x y y
θθθα∂∂∂+=∂∂∂
其中，,,()u v y x ψψψθθηθ∂∂==-===∂∂ 故上式可转化为Pr
02
θζθ'''+
⋅⋅= 经两次积分，得到0000Pr [exp()]2()Pr [exp()]2d d d d η
μ
μ
ζηη
θμζηη
∞-=-⎰⎰⎰⎰ 定义表面传热系数s x s q h T T ∞=
-
，则(0)q '= 进一步，进行无量纲化处理，引入局部努赛尔特数
1
2(0)Re x x x h x Nu k ⋅'===
其中12
00Re (0)Pr [exp()]2x
d d μ
θζηη
∞'=-⎰⎰ 针对层流边界层的条件，查由埃克特给出的计算表如下：
不同Pr 数下，常物性层流边界层，12
Re x Nu -⋅的值
故可看出，12
Re x Nu -⋅=常数，进而，1
2()=x h xu k υ
-∞⋅=1常数C ，
由1m u C x ∞=⋅，得1
12
12
m C k
h x
υ-=
⋅
对于二维滞止流，m=1，则h 也为常数，从x=0到x 处的平均热导率h m 定义为
1x
m h hdx x =⎰
故11
112212120121m m x m C k C k h x dx x x m υυ
--=⋅=
⋅⋅+⎰， 则
2
1
m h h m =
+，由此可看出， 在m=1时，努赛尔特数的近似解可以很好的表示为10.422
0.57Re Pr x Nu =⋅ 同样的，我们也可以得到三维滞止流的近似解10.422
0.76Re Pr x Nu =⋅
9-1，试证明：圆管内充分发展流动的体积流量可表示为： ()04
08p p L
r V i -=μπ
9-2，常物性不可压缩流体在两平行平板间作层流流动，下板静止，上板以匀速U 运动，板间距为2b ，试证明充分发展流动的速度分布为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=b y b y dx dp b b y U u 2222μ 证：二维流体质量、动量方程
0=∂∂+∂∂y
v
x u ① ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂2222)(y u x
u x p
y u v x u u μρ ②
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂2222)(y v x
v y p
y v v x v u μρ ③ 在充分发展区，截面上只有沿流动方向的速度u 在断面上变化，法向速度v 可以忽略，因此可由方程①得:
0=v ,
0=∂∂x
u
④ 将式④代入③得到，0=∂∂y
p
，表明压力P 只是流动方向x 的函数，即流道断面上压力是均匀一致的
进一步由式②得，t cons y u
dx dp tan 22=∂∂=μ ⑤
相应的边界条件：
U
u b y u y ====,20,0
对⑤积分得：
11C y dx dp
y
u +=∂∂μμ
212
21C y C y dx
dp U ++=
μ d
dp b b u C μ-=
21，02=C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⇒b y b y dx dp b b y U u 2222μ
