相似练习题

相似一、计算题评卷人得分（每空？分，共？分）1、如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．（1）求证: ADE ∽BEF；（2）设正方形的边长为4，AE =，BF =．当取什么值时，有最大值?并求出这个最大值．2、如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.（1）求证：EF∥BC.（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.3、如图，在中，．（1）在图中做出的内角平分线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）（2）在已做出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由．4、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,中线AE与中线CD交于点O，AB=6.（1）求证：AO:OE=2:1；（2）求OC的长.5、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）。

（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由。

6、已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，O为BC上一点，BO＝，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点。

（1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；（2）若将（1）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标；（3）若将（1）中的点M的坐标改为（5，0），其它条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个。

（不必求出点P的坐标）7、一长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD边上(如图)．(1)求AM、MD的长；(2)你能说明点M是线段AD的黄金分割点吗?8、已知：如图，在△ABC中，D为AB边上一点，∠A=36º，AC=BC，AC=AB・AD．（1）试说明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；（2）若AB=1，求AC的值；（3）试构造一个等腰梯形，该梯形连同它的两条对角线，得到了8个三角形，要求构造出的图形中有尽可能多的等腰三角形．（标明各角的度数）9、学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得．（1）请在图中画出形成影子的光线，交确定路灯灯泡所在的位置；（2）求路灯灯泡的垂直高度；（3）如果小明沿线段向小颖（点）走去，当小明走到中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处，…按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为 m（直接用的代数式表示）．10、如图，在中，，是边上的高，是边上的一个动点（不与重合），，，垂足分别为．（1）求证：；（2）与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；（3）当时，为等腰直角三角形吗？并说明理由．11、如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒。

解答下列问题：（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；（2）当t为何值时△APQ是以PQ为底的等腰三角形？（3）当t为何值时PQ∥BC？12、如图所示，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米／秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．（1）若厘米，秒，则______厘米；（2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．13、如图，△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△（使），连接、设直线与AC、分别交于点O、E。

（1）若△ABC为等边三角形，则的值为，∠AFB的度数为0，（2）若△ABC满足∠ACB=，AC=，BC=，①求的值和∠AFB的度数②若E为BC的中点，求△OBC面积的最大值。

14、如图，正方形EFGH内接于△ABC，G、H在BC上，E、F分别在AB、AC上，AM⊥BC于M，交EF于N点，BC=12cm，AM=8cm，求四边形BCFE的面积(保留整数)。

15、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：BC2=CD・AB。

16、已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连结DE并延长交BC的延长线于点F，连结DC、BE．若∠BDE+∠BCE=180°(1)写出图中三对相似三角形(注意：不得添加字母和线)；(2)请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由．‘17、如图，在相对的两座楼中间有一堵院墙，甲、乙两个人分别在楼的同侧观察这堵墙，视线所及如图1所示．根据实际情况画出平面图形如图2(CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF)，甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高5米，DF=100米，BG=10米，求甲、乙两人的观测点到地面距离的差．图1 图218、如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．点D在线段BC的左侧，点E在线段BC的右侧. 设BD = x，CE = y．（1）如果∠BAC = 30°，∠DAE = 105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α，β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．19、如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．⑴求证：CE＝CF；⑵在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE 的长．二、填空题（每空？分，共？分）20、如下图，在RtΔABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D，BC=3，AB=5，写出其中的一对相似三角形是__________和__________；并写出它们的面积比_________21、如下图，在ABC中，AB=BC，点D在AB上，且BD=CD，∠B=40°，则∠ACD= 。

评卷人得分22、右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是。

23、如图，面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数，且b不能被任何质数的平方整除，则的值等于．24、如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA、PR的中点．如果DR=3，AD=4，则EF的长为．25、如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为____________．三、综合题评卷人得分（每空？分，共？分）26、如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD。

（1）求证：△ABF∽△CEB，（2）若DEF的面积为2，求□ABCD得面积。

四、选择题评卷人得分（每空？分，共？分）27、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连结BE交AC于F，连结FD，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD②△FED与△DEB③△CFD与△ABG④△ADF与△CFB中相似的为（）A．①④ B．①② C．②③④ D．①②③28、如图，□ABCD中，E、F分别是AD、CD边的中点，连结AF交BC的延长线于G，连结BE交AF于H，则图中相似的三角形有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对29、如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N ，则△DMN ∶四边形ANME 等于（）A、1∶5B、1∶4C、2∶5D、2∶7参考答案一、计算题1、证明：（1）因为ABCD是正方形，所以∠DAE=∠FBE=，所以∠ADE+∠DEA=，又EF⊥DE，所以∠AED+∠FEB=，所以∠ADE=∠FEB，所以ADE∽BEF．（2）解：由（1）ADE∽BEF，AD=4，BE=4-，得，得==，所以当=2时，有最大值，的最大值为1．2、（1）证明：，∴.又∵,∴ CF是△ACD的中线，∴点F是AD的中点.∵点E是AB的中点，∴ EF∥BD,即 EF∥BC.（2）解：由（1）知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD ,∴.又∵,, ∴,∴,∴的面积为8.3、解：（1）如图，即为所求．（2），理由如下．平分，．又，．4、（1）证明：连接DE，则DE是△ABC的中位线，DE∥AC，DE=AC∴∠OAC=∠OED, ∠OCA=∠ODE.∴△OAC∽△OED∴AO:OE=OC:OD=AC:DE=2:1(2)解：CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，AB=6，∴OC=AB=3由(1)可知，OC:OD=2:1∴OC=CD=25、（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，（2）成立。

证明：法一：连结DE，DF。

∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC。

又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线。