2-5高中数学核动力

第2章 第5节1.(π－4)2等于( ) A ．π－4 B ．4－π C ．π＋4 D ．±(π－4)【解析】(π－4)2＝|π－4|＝4－π.【答案】 B2．函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞] C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)【解析】 由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0. 【答案】 A3．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11【解析】 ∵f (x )＝2x ＋2－x ，f (a )＝3， ∴2a ＋2－a ＝3，f (2a )＝22a ＋2－2a＝(2a ＋2－a )2－2＝9－2＝7.【答案】 B4．(2013·西安模拟)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为________．【解析】 a ＝5－12∈(0,1)， 则f (x )＝a x 为R 上的减函数． ∵a m ＞a n ，∴m ＜n . 【答案】 m ＜n5．若函数y ＝a ·2x －1－a2x －1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域； (4)讨论函数的单调性．【解】 ∵函数y ＝a ·2x －1－a 2x－1，∴y ＝a －12x －1. (1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0， 即a －12－x－1＋a －12x －1＝0， ∴2a ＋1－2x 1－2x ＝0，∴a ＝－12. (2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x －1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)法一：∵x ≠0，∴2x －1＞－1.∵2x －1≠0，∴0＞2x －1＞－1或2x －1＞0. ∴－12－12x －1＞12或－12－12x －1＜－12，即函数的值域为{y |y ＞12或y ＜－12}．法二：由y ＝－12－12x －1≠－12，可得2x ＝y －12y ＋12.∵2x ＞0，∴y －12y ＋12＞0.可得y ＞12或y ＜－12.即函数的值域为{y |y ＞12或y ＜－12}．(4)当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则y 1－y 2＝12x 2－1－12x 1－1＝2x 1－2x 2(2x 2－1)(2x 1－1).∵0＜x 1＜x 2，∴1＜2x 1＜2x 2. ∴2x 1－2x 2＜0,2x 1－1＞0,2x 2－1＞0.∴y 1－y 2＜0，因此y ＝－12－12x －1在(0，＋∞)上单调递增．同样可以得出y ＝－12－12x－1在(－∞，0)上单调递增．课时作业【考点排查表】1．(827)23＋(－1)3372964的值为( )A ．0 B.89 C.43D.29 【解析】 (827)23＋(－1)3372964＝[(23)3]23－13(94)3＝49－49＝0. 【答案】 A2．(2013·北京模拟)在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称【解析】 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＝2－x ，∴它与函数y ＝2x 的图象关于y 轴对称． 【答案】 A3．(2012·梅州高三质检)已知函数f (x )＝a 2－x (a ＞0且a ≠1)，当x ＞2时，f (x )＞1，则f (x )在R 上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．当x ＞2时是增函数，x ＜2时是减函数D ．当x ＞2时是减函数，x ＜2时是增函数【解析】 ∵x ＞2时，f (x )＞1，∴a 2－x ＞1，∴0＜a ＜1.∴f (x )＝a 2－x 在R 上是增函数．故选A.【答案】 A4．已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b ，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 由已知得2a ＝3b ，在同一坐标系中作出y ＝2x ，y ＝3x 的图象，当纵坐标相等时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出③④不可能成立．【答案】 B5．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－1,1)D ．(0,2)【解析】 由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1＜0＜k ＋1，解得－1＜k ＜1.【答案】 C6．(2013·滨州模拟)设f (x )是定义在R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，则f ⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫13的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫13 B ．f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32 C ．f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫13 D ．f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫23【解析】 函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，关于y 轴对称，故函数f (x )关于直线x ＝1对称，所以f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫43，f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫53，当x ≥1时f (x )为减函数，由43<32<53可得f ⎝⎛⎭⎫43>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫53即f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫13.【答案】 A 二、填空题7．(2013·潍坊模拟)指数函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a ＝________. 【解析】 当a ＞1时，y ＝a x 是增函数，∴a 2－a ＝a 2，∴a ＝32；当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数，∴a －a 2＝a 2，a ＝12，∴a ＝12或32.【答案】 12或328．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最大值为________．【解析】 由3－4x ＋x 2＞0得x ＞3或x ＜1，∴M ＝{x |x ＞3或x ＜1}，f (x )＝－3×22x ＋2x ＋2＝－3(2x －16)2＋2512.∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2，∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512.【答案】25129．给出下列结论： ①当a ＜0时，(a 2)32＝a 3；②na n ＝|a |(n ＞1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥2且x ≠73； ④若2x ＝16,3y ＝127，则x ＋y ＝7.其中正确的命题序号为________．【解析】 当a ＜0时，(a 2)32＞0，而a 3＜0，故①错误； ∵na n＝|a |.故②正确；⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，3x －7≠0，得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2且x ≠73，故③正确；∵2x ＝16，∴x ＝4，又3y ＝127，∴y ＝－3，∴x ＋y ＝1.故④不正确．【答案】 ②③ 三、解答题11．设函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1为奇函数．求：(1)实数a 的值；(2)用定义法判断f (x )在其定义域上的单调性． 【解】 (1)依题意，函数f (x )的定义域为R ， ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴a ·2－x ＋a －22－x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1， ∴2(a －1)(2x ＋1)＝0，∴a ＝1. (2)由(1)知，f (x )＝2x －12x ＋1，设x 1＜x 2且x 1，x 2∈R ， 则f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－12x 2＋1－2x 1－12x 1＋1＝2(2x 2－2x 1)(2x 2＋1)(2x 1＋1)∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )是R 上的增函数． 12．已知函数f (x )＝2x －12|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．【解】 当x ＞0时，f (x )＝2x －12x ；当x ＜0时，f (x )＝2x －12－x ＝2x －2x ＝0；当x ＝0时，f (x )＝0.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －12x ，x ＞0，0，x ≤0.由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2·2x －1＝0，解得2x ＝1±2.∵2x ＞0，∴x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)． ∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t ＋1)． ∵t ∈[1,2]，∴－(1＋22t )∈[－17，－5]． 故m 的取值范围是[－5，＋∞)． 四、选做题13．(1)求常数c 的值； (2)解不等式f (x )＞28＋1. 【解】 (1)依题意0＜c ＜1，∴c 2＜c ， ∵f (c 2)＝98，∴c 3＋1＝98，c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎨⎧12x ＋1，0＜x ＜12，2－4x＋1，12≤x ＜1，由f (x )＞28＋1，得 当0＜x ＜12时，12x ＋1＞28＋1，∴24＜x ＜12.当12≤x ＜1时，2－4x ＋1＞28＋1，∴12≤x ＜58. 综上可知，24＜x ＜58.∴f (x )＞28＋1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪24＜x ＜58.。