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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 已知集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】分析：根据交集定义求结果.详解：由题设和交集的定义可知：.点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2. 若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为，则，则的实部为.点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.点睛：的平均数为.4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．【答案】8【解析】分析：先判断是否成立，若成立，再计算，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得，因为，所以结束循环，输出点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.5. 函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7. 已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间.8. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.9. 函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．11. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12. 在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l 交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.13. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析【解析】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.16. 已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），则．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.19. 记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．【解析】分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合“S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数，，则．设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为．（3）对任意a>0，设．因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．函数，则．由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得，即（**）此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.20. 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．【答案】（1）d的取值范围为．（2）d的取值范围为，证明见解析。
２０１８年江苏省数学高考试题评析及教学启示∗Ә黄㊀健㊀㊀(常熟市教育局教学研究室ꎬ江苏常熟㊀２１５５００)㊀㊀摘㊀要:文章对２０１８年江苏省数学高考试题进行详细深入的分析ꎬ认为试题有四大亮点:低起点㊁高观点ꎬ轻表面㊁重本质ꎬ淡热点㊁强思维ꎬ明趋势㊁求创新ꎻ也有两大问题:重要知识点的考查不均衡ꎬ部分试题打磨得不够精细.同时阐述了自己的教学理念:重视课本的导学作用ꎬ重视数学知识体系ꎬ重视多视角下的一题多解.关键词:江苏高考ꎻ分析评价ꎻ思考启示中图分类号:Ｏ１２３.１㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀文章编号:１００３－６４０７(２０１８)０８￣００３５￣０４１㊀总体评价２０１８年江苏省数学高考试题遵循了国家教育部制订的«普通高中数学课程标准(２０１７年版)»和«２０１８年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)说明»(以下简称«考试说明»)ꎬ继续秉承 原创为主ꎬ改编为辅 的命题理念ꎬ延续了 注重基础ꎬ贴近课本ꎬ多题把关 的命题风格ꎬ原创题能围绕考生熟悉的情境来设置ꎬ改编题多来源于教材及通用复习资料.在保证检测 四基 (基础知识㊁基本技能㊁基本思想㊁基本活动)的前提下ꎬ突出考查了 四能 (发现问题的能力㊁提出问题的能力㊁分析问题的能力㊁解决问题的能力)ꎬ体现了 能力立意 的命题原则ꎬ诠释了数学课程的目标.本着 平稳中有变化ꎬ平和里有创新 的原则ꎬ命题组对试卷的结构和难度把握得非常到位.试卷结构平稳有度ꎬ知识点的考查顺序和模拟卷基本一致ꎬ题目由易到难的过渡比较自然ꎬ基础题和中档题所占比例较大ꎬ使学生能拿到大部分分数ꎬ中高档题注重对问题本质和思想方法及运算能力的考查ꎬ区分度恰当.试题呈现方式常规ꎬ问题情境贴近实际ꎬ符合学生的认知水平ꎬ尊重教师的教学习惯ꎬ没有出现像２０１７年的部分题目存在 情境怪 知识点擦边 语言晦涩 等现象ꎬ更有利于学生渐入状态ꎬ稳定发挥ꎬ有利于正确选拔出不同层次的人才.从考后的反响看ꎬ社会各界反应平稳ꎬ圈内专家对试题赞赏有加ꎬ无疑是成功的.从内容上看ꎬ试题涉及的知识点宽泛ꎬ重难点突出ꎬ层次分明ꎬ难度呈阶梯式上升ꎬ配图清晰明了ꎬ易于上手.对«考试说明»中的８个Ｃ级考点进行了全面反复的考查ꎬ也基本覆盖了Ｂ级考点和兼顾了Ａ级考点ꎬ体现了力求全面㊁突出核心的特点.对主干内容如函数㊁数列㊁解析几何㊁三角等都作了重点考查ꎬ这与日常教学十分吻合ꎬ体现了课程㊁教学㊁评价的一致性.填空题第１~１０题和解答题第１５ꎬ１６题是基础题.对基础题的考查延续了前几年紧扣教材㊁考查单一知识点的习惯ꎬ以课本概念和习题为命题切入点ꎬ考查数学的基本概念㊁定理和公式.几乎所有的基础题都能从教材中找到相近或类似的问题ꎬ不管是问题模型还是计算过程ꎬ都充分顾及了考生的心理ꎬ立足平稳ꎬ未设障碍.填空题第１１~１３题和解答题第１７ꎬ１８题是中档题.考点集中在Ｂ级㊁Ｃ级知识点上ꎬ如 解三角形 基本不等式 直线与圆 函数的性质 平面向量的数量积 ꎬ注重对数学思想的考查ꎬ强调多种知识的融合ꎬ解题思路灵活ꎬ方法丰富.从各个角度都能体会问题的深意ꎬ从不同的解题方法上能凸显能力的差异.此外ꎬ试题依然对运算提出了较高的要求ꎬ贴合了核心素养的理念ꎬ使优秀学生能脱颖而出.填空题第１４题和解答题第１９ꎬ２０题是高档题.考点集中在 导数 数列 等传统难点上ꎬ突出考查问题的本质ꎬ对数学抽象及逻辑推理能力有很高的要求.题目设置上充分尊重学生的答题习惯ꎬ大题均采用分层设问的方式ꎬ起点适当ꎬ层层递进ꎬ螺旋上升ꎬ让不同层次的考生均有所收获ꎬ既增强∗收文日期:２０１８￣０６￣１２ꎻ修订日期:２０１８￣０７￣０５作者简介:黄㊀健(１９７９－)ꎬ男ꎬ江苏常熟人ꎬ中学高级教师.研究方向:数学教育.了学生的解题信心ꎬ又有效地区分了学生的思维水平和数学应用能力ꎬ符合新课程的理念.２㊀特点与亮点２.１㊀低起点ꎬ高观点试题做到了立足教材㊁严格遵守«考试说明».许多试题的命制都立足于较高的数学思想和观点ꎬ同时考虑到学生的心理ꎬ特意将试题的起点放低ꎬ严控难度ꎬ呈现方式尽可能给学生以亲切感ꎬ使学生能顺利解决.比如第２题考查复数的实部ꎬ从高观点下看ꎬ条件中的复数相乘本质上是旋转ꎬ了解本质的学生可以不通过计算仅凭观察就得出答案ꎻ第１８题解析几何题ꎬ学生若了解圆的切线㊁椭圆的切线㊁包络线等内容ꎬ可轻而易举地解决ꎻ第１９题点 Ｓ 的本质是两曲线与它们的公切线的切点重合时的横坐标ꎬ有着很深的背景和很高的思维要求.首先ꎬ指对数函数如ｙ＝ｅｘ和ｙ＝ｌｎｘ的公切线问题如何等价转化是一大难点ꎻ其次ꎬ当切点不重合时ꎬ往往会出现 隐性零点 .鉴于此ꎬ命题组对条件作了约束ꎬ使切点重合后就显得容易多了.另外ꎬ试题严格控制了 最值 范围 问题的数量ꎬ有意降低了解题的门槛ꎬ如第１８题解析几何第２)小题的第②问ꎬ给定三角形的面积求直线方程ꎬ回避了求面积取值范围的问题.２.２㊀轻表面ꎬ重本质和２０１７年不同ꎬ２０１８年许多试题的呈现形式给人一种似曾相识的感觉ꎬ好多问题都是对现有题目进行了适当的改编.虽然试题表面上比较熟悉ꎬ但这并不表示学生仅凭模仿㊁记忆就能顺利地解答.江苏省苏州市教科院的吴锷老师曾经说过: 很多试题都是通过对现有问题进行加工㊁重组而得的ꎬ问题载体的形式并不重要ꎬ重要的是问题中体现出的数学思维和创新能力 .本试卷正是体现了这种 轻表面㊁重本质 的理念ꎬ让学生从熟悉的情境出发ꎬ考查其思考㊁运算和综合化归能力ꎬ使选拔更加真实㊁有效.比如第１３题: 在әＡＢＣ中ꎬ角ＡꎬＢꎬＣ所对的边分别为ａꎬｂꎬｃꎬøＡＢＣ＝１２０ʎꎬøＡＢＣ的平分线交ＡＣ于点Ｄꎬ且ＢＤ＝１ꎬ则４ａ＋ｃ的最小值为. 此题应是参考江苏省南京㊁盐城市２０１７届高三年级一模考试第１４题: 在әＡＢＣ中ꎬＡꎬＢꎬＣ所对的边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ若ａ２＋ｂ２＋２ｃ２＝８ꎬ则әＡＢＣ面积的最大值为. 它将解三角形和基本不等式融合在一起ꎬ解题思路有 转化到角 转化到边 转化到两三角形的面积问题 转化成点的轨迹问题 等ꎬ不管是哪一种思路ꎬ本质都是通过 消元 化归到最值问题.学生如果能类比联想ꎬ就能很快找到思路ꎬ甚至可以想到终极大法:建系.另外从图形特征上看ꎬ本题和一个等面积法的经典问题相似度很高ꎬ可用等面积法快速解决问题.试题如下: 如图１ꎬ在Ｃ城周边已有两条公路ｌ１ꎬｌ２在点Ｏ处交会ꎬ且它们的夹角为７５ʎ.已知图１ＯＣ＝(２＋６)ｋｍꎬＯＣ与公路ｌ１的夹角为４５ʎꎬ现规划在公路ｌ１ꎬｌ２上分别选择ＡꎬＢ两处为交会点(异于点Ｏ)ꎬ并直接修建一条公路通过Ｃ城ꎬ设ＯＡ＝ｘｋｍꎬＯＢ＝ｙｋｍꎬ试确定点ＡꎬＢ的位置ꎬ使әＯＡＢ的面积最小 .２.３㊀淡热点ꎬ强思维相比较前几年ꎬ命题组更注重对数学方法和数学思维的考查ꎬ不少试题都改编自课本ꎬ尤其是具有较强探索意义的开放性问题倍受命题组关注.相反ꎬ对许多被教师广泛关注的热点问题模型ꎬ则有意淡化或回避ꎬ如近几年炒得火热的隐形圆㊁极化恒等式㊁极值偏移点㊁圆锥曲线中的定点定值等.这样的命题方向无疑是正确的ꎬ它能更好地为优秀学生提供发挥的空间ꎬ也体现了公平公正的选拔原则.比如第１２题: 在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬＡ为直线ｌ:ｙ＝２ｘ上在第一象限内的点ꎬＢ(５ꎬ０)ꎬ以ＡＢ为直径的☉Ｃ与直线ｌ交于另一点Ｄ.若ＡＢң ＣＤң＝０ꎬ则点Ａ的横坐标为. 此题考查直线方程和圆方程的概念和运算.虽然通过条件按部就班地 死算 就能求出答案ꎬ但导致的结果是费时且容易出错.对几何图形性质掌握得比较到位的考生可以发现øＢＡＤ＝４５ʎꎬｋＡＢ＝ｔａｎ(θ＋４５ʎ)＝２＋１１－２＝－３(其中θ为ｌ的倾斜角)ꎬ从而ＡＢ的方程为:ｙ＝－３(ｘ－５)ꎬ再联立直线ｌ的方程可快速得出点Ａ的横坐标为３.再如第１４题: 已知集合Ａ＝{ｘ｜ｘ＝２ｎ－１ꎬｎɪＮ∗}ꎬＢ＝{ｘ｜ｘ＝２ｎꎬｎɪＮ∗}.将ＡɣＢ的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{ａｎ}.记Ｓｎ为数列{ａｎ}的前ｎ项和ꎬ则使得Ｓｎ>１２ａｎ＋１成立的ｎ的最小值为. 此题呈现问题的载体都是学生熟悉的ꎬ但学生在处理时却能深刻感受问题的深意ꎬ因为无现成模型或规律可寻ꎬ所以要深入思考并体会数列的特征才能找到解题的方向.这两个例子突出反映了试题对数学运算㊁逻辑推理的较高要求ꎬ能较好地观察出学生对数学问题的感悟能力及在数学应用上的综合能力ꎬ正确区分优秀生和后进生.２.４㊀明趋势ꎬ求创新除了对课本题进行改编外ꎬ本次考试还有不少题目改编自外省的模拟题或数学联赛试题ꎬ可以看出命题组在坚持平稳的方针下也追求适度地创新.种种迹象表明ꎬ竞赛题改编成高考压轴题或是将来命题的一大方向ꎬ命题的趋势正向着多角度㊁多元化的方向发展.比如:第１８题是改编自２０１５年江苏省数学竞赛初赛试卷上的解析几何题ꎬ首次考查椭圆的切线问题ꎬ改变了以往求交点㊁面积范围㊁定点定值等问题的常规套路ꎬ有一定的创新ꎬ综合考查了学生分析和解决问题的能力ꎬ对运算求解能力要求较高ꎬ具有良好的区分度.从教学实际来看ꎬ虽然直线与椭圆相切的问题有着很深的几何背景和意义ꎬ但由于种种原因一直被师生忽视ꎬ不断被边缘化ꎬ这次在高考中出现ꎬ势必会激发各界对此类问题的研究和探源.事实上ꎬ在前不久的江苏省苏州市期末试卷命题过程中ꎬ曾经编出过一道类似的问题ꎬ但没有采用.现将试题呈现如下ꎬ仅供参考.图２如图２ꎬ已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(其中ａ>ｂ>０)的右焦点为Ｆ(２ꎬ０)ꎬ右准线为ｌ:ｘ＝３.设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)是椭圆Ｃ上异于长轴端点的一个动点ꎬ过点Ｐ的直线ｍ与椭圆有且只有一个公共点ꎬ且与直线ｌ相交于点Ｑ.１)求直线ｍ的方程ꎻ２)求证:ＰＦʅＱＦ.另外如第１９题第３)小题: 对任意ａ>０ꎬ判断是否存在ｂ>０ꎬ使函数ｆ(ｘ)与ｇ(ｘ)在区间(０ꎬ＋ɕ)内存在 Ｓ点 ꎬ并说明理由. 这样的设问方式在竞赛中能觅得踪影ꎬ值得研究.３㊀不足与改进㊀㊀１)重要知识点的考查不均衡.本次考试在Ｃ级知识点考查的分布上ꎬ还不是很均衡.比如:平面向量在考纲中明确要重点考和反复考ꎬ然而试卷中仅仅第１２题中以载体的形式出现了一次数量积ꎬ没有考出向量的核心概念及作用ꎬ缺乏向量题该有的 味 .笔者认为ꎬ命题组还是应当继承传统ꎬ在向量核心知识点和方法上多做文章ꎬ考查学生对向量的几何认识和利用向量工具解决其他问题的能力ꎬ这样才能体现出向量工具的真正价值.如２０１６年的 数量积运算 和２０１７年的 平面向量基本定理 ꎬ都体现了重视 四基 和发展 四能 的理念.㊀㊀２)部分试题打磨得不够精细.大部分试题都符合课程理念ꎬ具有较好的选拔功能ꎬ但也有极个别的题目ꎬ似乎打磨得不够精细ꎬ稍稍影响了学生的解题效率.比如第１１题: 若函数ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋１(其中ａɪＲ)在(０ꎬ＋ɕ)内有且只有一个零点ꎬ则ｆ(ｘ)在[－１ꎬ１]上的最大值与最小值的和为. 本题形式上有误导的嫌疑ꎬ因为看见求ｆ(ｘ)的最大值与最小值之和ꎬ数学素养好的学生会想到去研究三次函数的对称中心ꎬ却徒劳无功ꎬ而稍差的学生反而不去多想ꎬ老实算出最大值和最小值后得出结果.如果因为好学生的奇思妙想导致比差学生花的时间更长ꎬ这显然有悖于命题的初衷.笔者认为可将表达式进行修改ꎬ比如只求最大值ꎬ或者将表达式修改为 ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ＋１ ꎬ让学生能从对称㊁平移的角度来处理问题.４㊀思考与启示２０１７年江苏省数学高考的社会反响较大ꎬ而２０１８年则比较平稳ꎬ最大的原因在于学生对题目情境比较熟悉.为什么学生 不怕难题ꎬ而怕新题 ?原因在于学生对问题背景的不熟悉和本质的不理解.这里面有课程设置的原因ꎬ也有八股式考试带来的弊端ꎬ在这样的指挥棒下ꎬ每道题目的题型和难度被人为控制ꎬ部分本应是重点的知识点被边缘化ꎬ学生对章节的了解是碎片式的ꎬ知识的记忆浮于表面ꎬ不懂本质的现象比比皆是.因此只要稍稍改变试题的面孔ꎬ就会 吓 死一大片.但目前制约命题的因素有很多ꎬ试卷的结构不是说改就能改的.既然不能改变高考ꎬ那就尝试改变我们的日常教学ꎬ在此提３点建议.㊀㊀(下转第３８页)２０１８年全国数学高考卷Ⅰ文科第２１题探究∗Ә张㊀涛㊀吴㊀跃㊀㊀(宿城第一中学ꎬ安徽宿州㊀２３４０００)㊀㊀摘㊀要:文章以２０１８年全国数学高考卷Ⅰ文科第２１题为例ꎬ探究５种解法ꎬ同时追本溯源揭示其本质.通过重视教材抓 四基 ㊁高于教材抓 四能 ㊁关注素养抓 创新 这３个方面谈谈对高三复习的思考及感悟.关键词:高考ꎻ探究ꎻ导数ꎻ高三复习中图分类号:Ｏ１２２.１㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀文章编号:１００３－６４０７(２０１８)０８￣００３８￣０４１㊀试题展现例１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－ｌｎｘ－１.１)设ｘ＝２是ｆ(ｘ)的极值点ꎬ求ａꎬ并求ｆ(ｘ)的单调区间ꎻ２)证明:当ａȡ１ｅ时ꎬｆ(ｘ)ȡ０.(２０１８年全国数学高考卷Ⅰ文科试题第２１题)点评㊀本题是２０１８年全国数学高考卷Ⅰ文科试题的压轴题.试题的命制严格遵循«普通高中数学课程标准(２０１７年版)»«２０１８年普通高等学校招生全国统一考试大纲»«２０１８年普通高等学校招生全国统一考试说明»(以下分别简称«课程标准»«考试大纲»«考试说明»)的要求ꎬ体现了素养导向ꎬ展现了数学的科学价值和人文价值ꎬ同时兼顾试题的基础性㊁综合性和应用性.第１)小题考查导数极值的判断㊁单调区间的求法ꎬ注重基础ꎬ学生容易得分ꎻ第２)小题注重对学生能力的考查ꎬ以不等式证明为载体ꎬ考查学生灵活运用导数知识分析问题㊁解决问题的能力ꎬ有一定的广度和深度ꎬ入口较宽ꎬ解法多样ꎬ有利于对学生进行多层次㊁多角度的考查ꎬ作为压轴题起到了把关作用.２㊀解法探究㊀㊀１)解㊀因为ｆᶄ(ｘ)＝ａｅｘ－１ｘꎬ又ｘ＝２是ｆ(ｘ)的极值点ꎬ所以ｆᶄ(２)＝ａｅ２－１２＝０ꎬ解得ａ＝１２ｅ２.当ａ＝１２ｅ２时ꎬ(上接第３７页)１)重视课本的导学作用ꎬ提升学生的核心素养.高三复习要立足于课本ꎬ而不是立足于复习资料.要重视教材的导学作用ꎬ注重 通性 通法 的指导和研究ꎬ重视数学思想方法的渗透和提炼ꎬ让学生充分了解题目的特征ꎬ形成处理问题的方法模型.要引导学生通过反思㊁总结㊁引申和提炼来深化对知识的感悟ꎬ避免以 刷题 死记硬背 等来应付学习.㊀㊀２)重视数学知识体系ꎬ防止教学中心偏移.高三复习要兼具全面性和系统性ꎬ一方面要研究教材ꎬ注意知识点的遗漏ꎬ另一方面也要研究历年高考中的常见考点ꎬ来构建完整的知识结构体系.这些体系的构建ꎬ能让学生明白常考问题的类型ꎬ消除恐惧心理ꎬ也能提高教学的针对性ꎬ增强有效性.３)重视多视角下的一题多解ꎬ引导学生掌握本质.教师上课应注重启发与诱导ꎬ试题的讲评不能只看标准答案ꎬ要重视从多个视角看待问题:如第１３题ꎬ可以从图形作图㊁建系㊁解三角形㊁向量等多角度去分析ꎬ把 讲题目 变成 讲知识 ꎬ做到举一反三㊁触类旁通.同时ꎬ要注意把学生的主动权还给学生ꎬ学生能讲的教师不讲ꎬ学生能想的教师不替学生想ꎬ让学生动起来ꎬ营造充满活力的课堂ꎬ真正发挥学生的主体作用ꎬ提高学生的思维能力ꎬ做到 教有特色ꎬ教有文化ꎬ教有效率 .∗收文日期:２０１８￣０６￣０９ꎻ修订日期:２０１８￣０７￣０１作者简介:张㊀涛(１９６４－)ꎬ男ꎬ安徽宿州人ꎬ中学高级教师.研究方向:数学教育.。
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绝密★启用前2018 年一般高等学校招生全国一致考试（江苏卷）数学 I注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共 4 页，包括非选择题（第 1 题 ~ 第 20 题，共 20 题） .本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务势必自己的姓名、准考据号用0.5 毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点。
3.请仔细查对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考据号与自己能否符合。
4.作答试题，一定用0.5 毫米黑色墨水的署名笔在答题卡上的指定地点作答，在其余位置作答一律无效。
5.如需变动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 小分，合计70 分。
请把答案填写在答题卡相应地点上。
1. 已知会合 A {0,1,2,8}, B { 1,1,6,8},那么A B __________.2. 若复数 z 知足i z 1 2i , 此中i是虚数单位 , 则 z z的实部为 __________.3. 已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如下图, 那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为 __________.4.一个算法的伪代码如下图 , 履行此算法 , 最后输出的S的值为 __________.5. 函数f x log 2 1 的定义域为__________.6. 某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生 , 现从中任选 2 名学生去参加活动, 则恰巧选中 2 名女生的概率是 __________.7. 已知函数y sin(2 x )(2) 的图像对于直线x对称,则的值是__________.2 38. 在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x2 y21(a 0, b 0) 的右焦点 F (c,0) 到一条渐a2 b2近线的距离为3c ,则其离心率的值是__________. 29. 函数f (x)知足f ( x 4) f ( x)( x R) ,且在区间 ( 2,2) 上cos x,0 x 2f ( x) 2 , 则f ( f (15)) 的值为 __________.1|,| x 2 x 0210. 如下图 , 正方体的棱长为2, 以其全部面的中心为极点的多面体的体积为__________.11. 若函数 f (x) 2x3 ax 2 1(a R) 在 (0, ) 内有且只有一个零点,则 f ( x) 在 [ 1,1]上的最大值与最小值的和为__________.12. 在平面直角坐标系 xOy 中, A 为直线 l : y 2x 上在第一象限内的点, B5,0 以 ABuuur uuur, 则点A的横坐标为 __________.为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ,若 AB CD 013. 在 ABC 中,角A, B, C所对应的边分别为a,b, c, ABC 120o , ABC 的均分线交AC 于点 D ,且 BD 1,则 4a c 的最小值为__________.14. 已知会合A x | x 2n 1,n N* ,B x | x 2n , n N*,将A B 的全部元素从小到大挨次摆列组成一个数列a n , 记S n为数列的前n项和 , 则使得S n 12a n 1建立的 n 的最小值为 __________.二、解答题15. 在平行四边形ABCD A1B1C1D1中, AA1 AB, AB1 B1C11.求证 : AB / /平面A1B1C2.平面 ABB1 A1平面 A1BC16. 已知, 为锐角 , tan 4,cos 5 3 51.求 cos2 的值。
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1. 已知集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】分析：根据交集定义求结果.详解：由题设和交集的定义可知：.点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2. 若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为，则，则的实部为.点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.点睛：的平均数为.4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．【答案】8【解析】分析：先判断是否成立，若成立，再计算，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得，因为，所以结束循环，输出点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.5. 函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7. 已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.8. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.9. 函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．11. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12. 在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.13. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析【解析】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.16. 已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），则．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.19. 记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．【解析】分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合“S 点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数，，则．设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为．（3）对任意a>0，设．因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．函数，则．由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得，即（**）此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.20. 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．【答案】（1）d的取值范围为．（2）d的取值范围为，证明见解析。
2018年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B={1，8} ．【解答】解：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}，故答案为：{1，8}．2．（5分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为2．【解答】解：由i•z=1+2i，得z=，∴z的实部为2．故答案为：2．3．（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为90．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，它们的平均数为×（89+89+90+91+91）=90．故答案为：90．4．（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为8．【解答】解：模拟程序的运行过程如下；I=1，S=1，I=3，S=2，I=5，S=4，I=7，S=8，此时不满足循环条件，则输出S=8．故答案为：8．5．（5分）函数f（x）=的定义域为[2，+∞）．【解答】解：由题意得：≥1，解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．6．（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为0.3．【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，故答案为：0.37．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值是．【解答】解：∵y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，∵﹣φ＜，∴当k=0时，φ=﹣，故答案为：﹣．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是2．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，可得：=b=，可得，即c=2a，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．9．（5分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为．【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=，f（）=cos（）=cos=，即f（f（15））=，故答案为：10．（5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×=．故答案为：．11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为﹣3．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为3．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．联立，解得D（1，2）．∴=．解得：a=3或a=﹣1．又a＞0，∴a=3．即A的横坐标为3．故答案为：3．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．14．（5分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n成立的n的最小值为27．+1【解答】解：利用列举法可得：S26=，a27=43，⇒12a27=516，不符合题意．S27==546，28=45⇒1228=540，符合题意，故答案为：27．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．【解答】证明：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1，⇒AB∥平面A1B1C；（2）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，⇒四边形ABB1A1是菱形，⊥AB1⊥A1B．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC．∴⇒AB1⊥面A1BC，且AB1⊂平面ABB1A1⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．16．（14分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α=；（2）由（1）得，sin2，则tan2α=．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，α），∴sin（α+β）==．则tan（α+β）=．∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]==．17．（14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．=（40sinθ+10）•80cosθ【解答】解：（1）S矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ），S△CDP=•80cosθ（40﹣40sinθ）=1600（cosθ﹣cosθsinθ），当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，∴sinθ的取值范围是[，1）；（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）=8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，则f′（θ）=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ=﹣2sin2θ﹣sinθ+1；令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；当sinθ∈[，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．=800（4sinθcosθ+cosθ），答：（1）S矩形ABCDS△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ），sinθ∈[，1）；（2）θ=时总产值y最大．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．∵∴，又a2+b2=c2=3，解得a=2，b=1．∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．将k=﹣，m=3代入可得，解得x=，y=1，故点P的坐标为（．②设A（x1，y1），B（x2，y2），由⇒k＜﹣．联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，|x2﹣x1|==，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．∴y=﹣为所求．19．（16分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S 点”；（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=，f（）=﹣=g（）=﹣lna2，得a=；（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=，（x≠0），由f′（x0）=g′（x0），得b=﹣＞0，得0＜x0＜1，由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a==﹣，得a=x02﹣，令h（x）=x2﹣﹣a=，（a＞0，0＜x＜1），设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．20．（16分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．（2）∵a1=b1＞0且|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，∴|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即﹣2b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴2≤2，2﹣2n≤﹣2，（n=2，3，…，m+1），∴﹣2b1=（q n﹣1﹣2n+2）=（q n﹣1﹣2n+2）=（2﹣2n+2）≤0，（n=2，3，…，m+1），又∵＞0，（n=2，3，…，m+1），∴存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立当m=1时，（）b1≤d≤b1，设c n=，则c n+1﹣c n=﹣=b1•q n﹣1•，（n=2，3，…，m），设f（n）=（q﹣1）n﹣q，∵q﹣1＞0，∴f（n）单调递增，∵q∈（1，]，∴f（m）=（q﹣1）m﹣q≤（m﹣1）（﹣）=（m﹣1）（2﹣），设=x，（x∈（0，]），且设g（x）=2x+，则g′（x）=2x ln2﹣，∵2x ln2，≥4，∴g′（x）=2x ln2﹣＜0，在x∈（0，]上恒成立，即g（x）单调递增，∴g（x）的最大值为g（）=＜0，∴f（m）＜0∴f（n）＜0对（n=2，3，…，m）均成立，∴数列{c n}，（n=2，3，…，m+1）单调递减，∴c n的最大值为c2=b1q，c n的最小值为c m+1=，∴d的取值范围是d∈[b1q﹣2b1，]．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．【解答】B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）已知矩阵A=．（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．【解答】C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．【解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）≥（x+2y+2z）2，∵x+2y+2z=6，∴x2+y2+z2≥4是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，∴x2+y2+z2的最小值为4【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则，OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，故以{}为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，∵AB=AA1=2，A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），A1（0，﹣1，2），B1（，0，2），C1（0，1，2）．（1）点P为A1B1的中点．∴，∴，．|cos|===．∴异面直线BP与AC1所成角的余弦值为：；（2）∵Q为BC的中点．∴Q（）∴，，设平面AQC1的一个法向量为=（x，y，z），由，可取=（，﹣1，1），设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，sinθ=|cos|==，∴直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求f3（2），f4（2）的值；（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．【解答】解：（1）记μ（abc）为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3，∴f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5；（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴f n（0）=1．逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n（1）=n﹣1．（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排为计算f n+1列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n+1（2）=f n（2）+f n（1）+f n（0）=f n（2）+n．当n≥5时，f n（2）=[f n（2）﹣f n﹣1（2）]+[f n﹣1（2）﹣f n﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2）=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f4（2）=．因此，当n≥5时，f n（2）=．。
2018年高考数学全国卷Ⅲ第20题的思考作者：于涛
来源：《福建中学数学》2019年第04期
本文探究2018年高考数学全国卷Ⅲ文科第20题的试题背景，得到若干结论，并对结论进行拓展推广.
1试题再现
2018年高考全国卷Ⅲ文理数学第20题的背景相同，为便于深入研究，以文科数学第20题为例，
例（2018年高考全国卷Ⅲ.文20）已知斜率
试题考查了直线与椭圆的位置关系、向量、两点间的距离公式等知识，考查了方程、函数、消元等思想方法的应用，检验了逻辑推理和运算求解的能力，试题第（l）问是椭圆中点弦问题，可以用通性通法，也可以用点差法，是全国卷考查的高频考点，参见文[l].试题第（2）问研究了三条长度成等差数列的焦半径，蕴含了一般性的规律，背景深刻，笔者对试题
背景进行了深入思考，并对其进行了拓展推广，得到下列结论与读者分享.
以上是对一道高考试題的探究，是透过现象看本质的过程，教学中可以尝试从不同的角度进行拓展研究，将数学试题变为数学问题，从而激活学生的创新思维，点燃学生的学习热情，促进学生的学习效果.
参考文献
[1]于涛.把握高考热点提高复习效率——以微专题“椭圆的中点弦问题”教学设计为例[J].求学（教学教研版），2017 （7）： 45-48。
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学1. 已知集合，，那么__________.2. 若复数z满足，其中i是虚数单位，则z的实部为__________.3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______.4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为______.5. 函数的定义域为__________.6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为__________.7. 已知函数的图象关于直线对称，则的值为__________.8. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是__________.9. 函数满足，且在区间上，，则的值为__________.10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________.11. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________.12. 在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB 为直径的圆C与直线l交于另一点若，则点A的横坐标为__________. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为__________.14. 已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为______.15. 在平行六面体中，，求证：平面；平面平面16. 已知，为锐角，，求的值；求的值．17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧为此圆弧的中点和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为用分别表示矩形ABCD和的面积，并确定的取值范围；若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点，焦点，，圆O的直径为求椭圆C及圆O的方程；设直线l与圆O相切于第一象限内的点①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若的面积为，求直线l的方程．19. 记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．证明：函数与不存在“S点”；若函数与存在“S点”，求实数a的值；已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．20. 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．设，，，若对，2，3，4均成立，求d的取值范围；若，，证明：存在，使得对，3，…，均成立，并求d的取值范围用，m，q表示21. 如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为若，求BC的长．22. 已知矩阵求A的逆矩阵；若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．23. 在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．24. 若x，y，z为实数，且，求的最小值．25. 如图，正三棱柱中，，点P，Q分别为，BC的中点．求异面直线BP与所成角的余弦值；求直线与平面所成角的正弦值．26. 设，对1，2，……，n的一个排列……，如果当时，有，则称是排列……的一个逆序，排列……的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序，，则排列231的逆序数为记为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．求，的值；求的表达式用n表示答案和解析1.【答案】【解析】【分析】直接利用交集运算得答案．本题考查交集及其运算，属于基础题．【解答】解：，，，故答案为：2.【答案】2【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由，得，的实部为故答案为：3.【答案】90【解析】【分析】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题．根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，它们的平均数为故答案为：4.【答案】8【解析】【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法，属基础题.【解答】解：模拟程序的运行过程如下；，，，，，，，，此时不满足循环条件，则输出故答案为：5.【答案】【解析】【分析】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．【解答】解：由题意得：，解得：，函数的定义域是故答案为：6.【答案】【解析】【分析】本题考查了古典概率的问题，属于基础题．设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可.【解答】解：设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率，故答案为：7.【答案】【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：的图象关于直线对称，，，即，，，当时，，故答案为：8.【答案】2【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，可得：，可得，即，所以双曲线的离心率为：故答案为：9.【答案】【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键．根据函数的周期性，进行转化求解即可．【解答】解：由得函数是周期为4的周期函数，则，，即，故答案为：10.【答案】【解析】【分析】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力，属于中档题．将多面体看做两个正四棱锥，然后利用体积公式求解即可．【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的体积为故答案为11.【答案】【解析】【分析】解：，，①当时，，函数在上单调递增，，在上没有零点，舍去；②当时，的解为，在上递减，在递增，又只有一个零点，，解得，则，，，的解集为，在上递增，在上递减，，，，，，在上的最大值与最小值的和为：【解答】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．推导出，，当时，，，在上没有零点；当时，的解为，在上递减，在递增，由只有一个零点，解得，从而，，，利用导数性质能求出在上的最大值与最小值的和．12.【答案】3【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．设，，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，结合求得a值得答案．【解答】解：设，，，，则圆C的方程为联立，解得解得：或又，即A的横坐标为故答案为：13.【答案】9【解析】【分析】本题主要考查三角形的面积公式与基本不等式的应用．根据面积关系建立条件等式，结合基本不等式利用1的代换的方法进行求解即可．【解答】解：由题意得，即，得，得，当且仅当，即，亦即，时，取等号，故答案为：14.【答案】27【解析】【分析】本题考查数列的递推关系以及数列的分组转化求和，属于拔高题.根据题意说明当，时不符合题意，当时，，符合题意，求出n的最小值. 【解答】解：集合A是由所有正奇数组成的集合，集合B是由组成的集合，所有的正奇数与按照从小到大的顺序排列构成，在数列中，前面有16个正奇数，即，当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；……；当时，，，不符合题意；当时，，，，符合题意．故使得成立的n的最小值为故答案为：15.【答案】证明：平行六面体中，，又平面平面；得平面；在平行六面体中，，得四边形是菱形，在平行六面体中，，又，平面，平面得面，且平面平面平面【解析】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．由平面；可得四边形是菱形，，由面，平面平面16.【答案】解：由，解得，；由得，，则，，，则【解析】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，属于中档题．由已知结合平方关系求得，的值，再由倍角公式得的值；由求得，再由求得，利用，展开两角差的正切求解．17.【答案】解：，，当B、N重合时，最小，此时；当C、P重合时，最大，此时，的取值范围是；设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则，其中；设，则；令，解得，此时，；当时，，单调递增；当时，，单调递减；时，取得最大值，即总产值y最大．【解析】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函数的最值问题，是较难题．根据图形计算矩形ABCD和的面积，求出的取值范围；根据题意求出年总产值y的解析式，构造函数，利用导数求的最大值，即可得出为何值时年总产值最大．18.【答案】解：由题意可设椭圆方程为，焦点，，椭圆C过点，，又，解得，椭圆C的方程为：，圆O的方程为：①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，因此k一定小于0，可设直线l的方程为，由圆心到直线l的距离等于圆半径，可得，即由，可得，，可得，，结合，，解得，将，代入，可得，解得，，故点P的坐标为②设，，由联立直线与椭圆方程得，，O到直线l的距离，，的面积为，解得，正值舍去，直线l的方程为【解析】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于较难题．由题意可得，，又，解得，，即可得到椭圆C的方程和圆O的方程；①可设直线l的方程为，，可得，即，由，可得，，解得，，进而可得P点坐标；②设，，联立直线与椭圆方程得，根据弦长公式和点到直线得距离公式可解得，正值舍去，，即可得到直线方程.19.【答案】解：证明：，，则由定义得，得方程无解，则与不存在“S点”；，，，由得，得，，得；，，，由，假设，得，得，由，得，得，令，，设，，则，，得，又的图象在上不间断，则在上有零点，则在上有零点，则存在，使与在区间内存在“S”点．【解析】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键．根据“S点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；根据“S点”的定义解两个方程即可；分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．20.【答案】解：由题意可知对任意，2，3，4均成立，，，，解得即且对，3，…，均成立，，…，，即，…，，…，，，…，，又，…，，存在，使得对，3，…，均成立当时，，设，则，…，，设，，单调递增，，设，且设，则，，，，在上恒成立，即单调递减，又，，对…，均成立，数列，…，单调递减，的最大值为，的最小值为，的取值范围是【解析】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可．21.【答案】解：连接OC，因为PC为切线且切点为C，所以因为圆O的半径为2，，所以，，所以，所以，所以为等边三角形，所以【解析】连接OC，由题意，CP为圆O的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理，可以得到PO的长，即可判断是等边三角形，BC的长．本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的应用，考查发现问题解决问题的能力．22.【答案】解：矩阵，，所以A可逆，从而：A的逆矩阵设，则，所以，因此点P的坐标为【解析】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，考查转化思想的应用，是基本知识的考查．矩阵，求出，A可逆，然后求解A的逆矩阵设，通过，求出，即可得到点P的坐标．23.【答案】解：曲线C的方程为，，，曲线C是圆心为，半径为得圆．直线l的方程为，，直线l的普通方程为：圆心C到直线l的距离为，直线l被曲线C截得的弦长为【解析】将直线l、曲线C的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到直线的距离公式，属于中档题．24.【答案】解：由柯西不等式得，，是当且仅当时，不等式取等号，此时，，，的最小值为4【解析】本题主要考查求的最值，利用柯西不等式是解决本题的关键．根据柯西不等式进行证明即可．25.【答案】解：如图，在正三棱柱中，设AC，的中点分别为O，，则，，，故以为基底，建立空间直角坐标系，，，，，，，点P为的中点．，，异面直线BP与所成角的余弦值为；为BC的中点．，，设平面的一个法向量为，由，可取，设直线与平面所成角的正弦值为，，直线与平面所成角的正弦值为【解析】本题考查了异面直线所成角，直线与平面所成角，向量法求空间角，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．设AC，的中点分别为O，，以为基底，建立空间直角坐标系，由可得异面直线BP与所成角的余弦值；求得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的正弦值为，可得，即可得直线与平面所成角的正弦值．26.【答案】解：记为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有，，，，，，，，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，；对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，当时，……因此，当时，【解析】由题意直接求得的值，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得的值；对一般的的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得，则当时，…，则的表达式可求．本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题．。
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 已知集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】分析：根据交集定义求结果.详解：由题设和交集的定义可知：.点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2. 若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为，则，则的实部为.点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.点睛：的平均数为.4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．【答案】8【解析】分析：先判断是否成立，若成立，再计算，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得，因为，所以结束循环，输出点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.5. 函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7. 已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间.8. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.9. 函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．11. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12. 在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l 交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.13. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析【解析】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.16. 已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），则．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.19. 记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．【解析】分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合“S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数，，则．设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为．（3）对任意a>0，设．因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．函数，则．由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得，即（**）此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.20. 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．【答案】（1）d的取值范围为．（2）d的取值范围为，证明见解析。
2018年高考数学全国Ⅱ卷第20题研究作者：孟囿弟龚敏来源：《数学教学通讯·高中版》2019年第01期[摘要] 文章從试题立意、试题解题方法、试题教材背景等方面对2018年高考数学全国Ⅱ卷第20题进行了研究，该立体几何题是对学生数学思维、推理及数学探究能力等的全面考查，培养学生的数学素养.[关键词] 高考题;立体几何;立意分析;研究试题呈现与简评2018年高考数学全国Ⅱ卷第20题：简评：此题以勾股定理的逆定理、线段的定比分点定理、线面垂直判定定理、三垂线定理、空间向量及运算等基础知识为载体，对数学推理能力、研究能力、思维能力、思想方法进行了较全面的考查，是一道深化能力立意的好题目. 本文从试题立意、试题解题方法、试题教材背景等方面，对此题进行了一番探究，以期为中学教师在平日教学中，提供多角度、多视角的变式教学素材，培养学生思维的广阔性、发散性、灵活性等.试题的立意分析立意是试题的考查目的，能力立意是高考数学命题的重要价值取向，一般从数学语言、数学知识、数学思想方法、数学能力素养等方面确定试题的考查目的. 该题主要考查了数学思想方法和数学能力素养，下面从这两方面分析该题的立意.以数学思想方法立意：该题第（1）问，若采用线面垂直的判定定理进行证明，需运用转化的数学思想，将线线垂直转化为线面垂直，从而得以证明;若不用线面垂直的判定定理，可从射影知识入手，将立体几何转化为平面几何知识，然后结合三角形外心唯一的知识，证明射影点与已知点重合，进而解决问题. 该题第（2）问，可先考虑建立空间直角坐标系（坐标法），然后用向量法，数形结合解决问题;若不建立空间直角坐标系，可先作辅助线，由三垂线定理找到二面角所对应的平面角，再运用几何等体积法求得点面距离，进而解决问题. 因此，本题的解答可以涉及三大基本方法：坐标法、向量法、几何法. 解决立体结合中的问题，几何法以逻辑推理作为工具解决问题，向量法利用向量的概念及运算解决问题，坐标法利用数及其运算解决问题. 坐标法常与向量运算结合运用[1]. 该题考查了数形结合、转化与化归等数学思想.以数学能力素养立意：该题考查了学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力（动手作图）和探究意识. 该题对思维能力进行了全面考查，对问题的解答，需要经历“作图—观察—猜想—证明”等过程，数学证明处于数学理性思维的最高层次[2]. 观察、联系众多空间几何体的基本元素，预计与顿悟解题思路，尝试与选择解题方法等，考查了学生的直觉思维;对直角三角形的判定，对各边长的计算，寻找二面角所对应的平面角等，考查了逻辑思维;对解题思路的探寻，对数学命题的证明，对数学知识的应用等，考查了学生思维的广阔性和探究意识.由此分析，高考试题扎根于教材，是教材上例题和习题的改编或推广，在平时的教学和复习时，教师们需重视教材，对教材中例题、习题、复习题的解题思路、数学思想方法、解题策略、改编形式进行引导与讲解. 同时，大力提倡立足于教材编拟高考试题，不编难题、偏题，回归教材，减轻学生的课业负担，让学生快乐学习，培养学生的数学素养.参考文献：[1] 刘绍学，章建跃等.普通高中课程标准实验教科书数学2-1（选修）（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2007：110.[2] 赵思林. 论数学证明的教育价值[J]. 中学数学杂志：初中版，2016（10）.[3] 于国海. 优化与生成——数学解题的价值取向[J]. 数学通报，2011， 50（2）：10-12.[4] 刘绍学，章建跃等. 普通高中课程标准实验教科书数学2（必修）（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2007：67.。
2018年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．2．（5.00分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为．5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为．6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为．8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为．10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为．13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．14．（5.00分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，成立的n的最小值为．则使得S n＞12a n+1二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．16．（14.00分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．17．（14.00分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D 均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（16.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．19．（16.00分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．20．（16.00分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10.00分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10.00分）已知矩阵A=．（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求f3（2），f4（2）的值；（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．2018年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B={1，8} ．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}，故答案为：{1，8}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．2．（5.00分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为2．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i•z=1+2i，得z=，∴z的实部为2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为90．【分析】根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，它们的平均数为×（89+89+90+91+91）=90．故答案为：90．【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题．4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为8．【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行过程如下；I=1，S=1，I=3，S=2，I=5，S=4，I=7，S=8，此时不满足循环条件，则输出S=8．故答案为：8．【点评】本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为[2，+∞）．【分析】解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．【解答】解：由题意得：≥1，解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为0.3．【分析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，根据概率公式计算即可，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，故答案为：0.3【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题．7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为．【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，∵﹣φ＜，∴当k=0时，φ=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2．【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，可得：=b=，可得，即c=2a，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为．【分析】根据函数的周期性，进行转化求解即可．【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=，f（）=cos（）=cos=，即f（f（15））=，故答案为：【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键．10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．【分析】求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可．【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为﹣3．【分析】推导出f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），当a≤0时，f′（x）=2x（3x ﹣a）＞0，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点；当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，由f（x）只有一个零点，解得a=3，从而f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x ∈[﹣1，1]，利用导数性质能求出f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为3．【分析】设A（a，2a），a＞0，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，结合=0求得a值得答案．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．联立，解得D（1，2）．∴=．解得：a=3或a=﹣1．又a＞0，∴a=3．即A的横坐标为3．故答案为：3．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．14．（5.00分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n成立的n的最小值为27．+1【分析】采用列举法，验证n=26，n=27即可．【解答】解：利用列举法可得：当n=26时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，所以数列{a n}的前26项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41，2，4，8，16，32．S26=，a27=43，⇒12a27=516，不符合题意．当n=27时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，所以数列{a n}的前26项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41，43，2，4，8，16，32．S27==546，a28=45⇒12a28=540，符合题意，故答案为：27．【点评】本题考查了集合、数列的求和，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．【分析】（1）由⇒AB∥平面A1B1C；（2）可得四边形ABB1A1是菱形，AB1⊥A1B，由AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC⇒AB1⊥面A1BC，⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．【解答】证明：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂∥平面A1B1C⇒AB∥平面A1B1C；（2）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，⇒四边形ABB1A1是菱形，⊥AB1⊥A1B．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC．∴⇒AB1⊥面A1BC，且AB1⊂平面ABB1A1⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．【点评】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．16．（14.00分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【分析】（1）由已知结合平方关系求得sinα，cosα的值，再由倍角公式得cos2α的值；（2）由（1）求得tan2α，再由cos（α+β）=﹣求得tan（α+β），利用tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]，展开两角差的正切求解．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α=；（2）由（1）得，sin2，则tan2α=．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）==．则tan（α+β）=．∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]==．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．17．（14.00分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D 均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【分析】（1）根据图形计算矩形ABCD和△CDP的面积，求出sinθ的取值范围；（2）根据题意求出年总产值y的解析式，构造函数f（θ），利用导数求f（θ）的最大值，即可得出θ为何值时年总产值最大．【解答】解：（1）S=（40sinθ+10）•80cosθ矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ），S△CDP=•80cosθ（40﹣40sinθ）=1600（cosθ﹣cosθsinθ），当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，∴sinθ的取值范围是[，1）；（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）=8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，则f′（θ）=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ=﹣2sin2θ﹣sinθ+1；令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；当sinθ∈[，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．=800（4sinθcosθ+cosθ），答：（1）S矩形ABCDS△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ），sinθ∈[，1）；θ=时总产值y最大．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函数的最值问题，是中档题．18．（16.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．【分析】（1）由题意可得．，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1即可．（2）①可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，解得k=﹣，m=3．即可②设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．即可【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．∵∴，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1．∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．将k=﹣，m=3代入可得，解得x=，y=1，故点P的坐标为（．②设A（x1，y1），B（x2，y2），由⇒k＜﹣．联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，|x2﹣x1|==，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．∴y=﹣为所求．【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题．19．（16.00分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．【分析】（1）根据“S点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；（2）根据“S点”的定义解两个方程即可；（3）分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S 点”；（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=，f（）=﹣=g（）=﹣lna2，得a=；（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=，（x≠0），由f′（x0）=g′（x0），假设b＞0，得b=﹣＞0，得0＜x0＜1，由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a==﹣，得a=x02﹣，令h（x）=x2﹣﹣a=，（a＞0，0＜x＜1），设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则存在b＞0，使f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键．20．（16.00分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；（2）根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．【点评】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10.00分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．【分析】连接OC，由题意，CP为圆O的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理，可以得到PO的长，即可判断△COB是等边三角形，BC的长．【解答】解：连接OC，因为PC为切线且切点为C，所以OC⊥CP．因为圆O的半径为2，，所以BO=OC=2，，所以，所以∠COP=60°，所以△COB为等边三角形，所以BC=BO=2．【点评】本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的应用，考查发现问题解决问题的能力．B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10.00分）已知矩阵A=．（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．【分析】（1）矩阵A=，求出det（A）=1≠0，A可逆，然后求解A的逆矩阵A﹣1．（2）设P（x，y），通过•=，求出=，即可得到点P的坐标．【解答】解：（1）矩阵A=，det（A）=2×2﹣1×3=1≠0，所以A可逆，从而：A的逆矩阵A﹣1=．（2）设P（x，y），则•=，所以=A﹣1=，因此点P的坐标为（3，﹣1）．【点评】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，考查转化思想的应用，是基本知识的考查．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．【分析】将直线l、曲线C的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解．【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到直线的距离公式，属于中档题．D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．【分析】根据柯西不等式进行证明即可．【解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）≥（x+2y+2z）2，∵x+2y+2z=6，∴x2+y2+z2≥4是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，∴x2+y2+z2的最小值为4【点评】本题主要考查不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键．，【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【分析】设AC，A1C1的中点分别为O，O1，以{}为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，（1）由|cos|=可得异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求得平面AQC1的一个法向量为，设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，可得sinθ=|cos|=，即可得直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则，OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，故以{}为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，∵AB=AA1=2，A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），A1（0，﹣1，2），B1（，0，2），C1（0，1，2）．（1）点P为A1B1的中点．∴，∴，．|cos|===．∴异面直线BP与AC1所成角的余弦值为：；（2）∵Q为BC的中点．∴Q（）∴，，设平面AQC1的一个法向量为=（x，y，z），由，可取=（，﹣1，1），设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，sinθ=|cos|==，∴直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．【点评】本题考查了向量法求空间角，属于中档题．26．设n ∈N *，对1，2，……，n 的一个排列i 1i 2……i n ，如果当s ＜t 时，有i s ＞i t ，则称（i s ，i t ）是排列i 1i 2……i n 的一个逆序，排列i 1i 2……i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n （k ）为1，2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求f 3（2），f 4（2）的值；（2）求f n （2）（n ≥5）的表达式（用n 表示）．【分析】（1）由题意直接求得f 3（2）的值，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得f 4（2）的值；（2）对一般的n （n ≥4）的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n （1）=n ﹣1．为计算f n +1（2），当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得f n +1（2）=f n （2）+f n （1）+f n （0）=f n （2）+n ，则当n ≥5时，f n （2）=[f n （2）﹣f n ﹣1（2）]+[f n ﹣1（2）﹣f n ﹣2（2）]+…+[f 5（2）﹣f 4（2）]+f 4（2），则f n （2）（n ≥5）的表达式可求．【解答】解：（1）记μ（abc ）为排列abc 得逆序数，对1，2，3的所有排列，有μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3，∴f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5；（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴f n（0）=1．逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n（1）=n﹣1．为计算f n+1（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n+1（2）=f n（2）+f n（1）+f n（0）=f n（2）+n．当n≥5时，f n（2）=[f n（2）﹣f n﹣1（2）]+[f n﹣1（2）﹣f n﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2）=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f4（2）=．因此，当n≥5时，f n（2）=．【点评】本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题．。
