九年级数学中考复习：二次函数压轴题—与面积有关的问题(含解析)
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中考复习二次函数压轴题——与面积有关的问题（含答案解析）一、典型例题分析例1．（2019·辽宁初三月考）如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC＝ED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【解析】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝12CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，求解即可得出点Q的坐标．【答案解析】（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0，解得m1＝2，m2＝﹣5．∵OA＜OB，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接BE、OE．∵在Rt △BCD 中，∠CBD ＝90°，EC ＝ED ， ∴BE ＝12CD ＝CE ． 令y ＝x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3， ∴A （﹣1，0），B （3，0）， ∵C （0，﹣3）， ∴OB ＝OC ，又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ， ∴△OBE ≌△OCE （SSS ）， ∴∠BOE ＝∠COE ，∴点E 在第四象限的角平分线上，设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3，得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ∵点E 在第四象限，∴E 点坐标为（12+，﹣12）； （3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．∵S△ACQ＝2S△AOC，∴S△ACF＝2S△AOC，∴AF＝2OA＝2，∴F（1，0）．∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．∵AC∥FQ，∴设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3，∴直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3．联立22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，解得113 12x y =-⎧⎨=⎩，2223xy=⎧⎨=-⎩，∴点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．例2: 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c +⎨⎩+⎧＝＝，解得：b=-4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2-4x+3；（2）令y=0，则x 2-4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴BC=3点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB 时，，∴或-3 ∴P 1（0，），P 2（0，）；②当PB=PC 时，OP=OB=3， ∴P 3（0，-3）；③当BP=BC 时，∵OC=OB=3，∴此时P 与O 重合，∴P 4（0，0）；综上所述，点P 的坐标为：（0，）或（0，）或（0，-3）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t ，由AB=2，得BM=2-t ，则DN=2t ，∴S △MNB =12×（2-t ）×2t=-t 2+2t=-（t-1）2+1，即当M （2，0）、N （2，2）或（2，-2）时△MNB 面积最大，最大面积是1。
二、变式训练1．（2019·辽宁中考模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．点P为第一象限的抛物线上的一个动点，过点P分别做BC和x轴的垂线，交BC于点E和F，交x轴于点M和N．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段PE最大值，并求出线段PE最大时点P的坐标；（3）若S△PMN＝3S△PEF时，求出点P的坐标．2．（2018·辽宁中考真题）如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣14＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．3．（2018·辽宁中考模拟）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（﹣3，﹣3）．（1）求正比例函数和反比例函数的表达式；（2）把直线OA向上平移后与反比例函数的图象交于点B（﹣6，m），与x轴交于点C，求m的值和直线BC的表达式；（3）在（2）的条件下，直线BC与y轴交于点D，求以点A，B，D为顶点的三角形的面积；（4）在（3）的条件下，点A，B，D在二次函数的图象上，试判断该二次函数在第三象限内的图象上是否存在一点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1=1718S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2019·辽宁中考模拟）如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．5．（2018·辽宁中考模拟）如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．6．（2019·天津中考模拟）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。
（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标。
7．（2019·辽宁中考模拟）如图，一次函数y1＝x﹣12与x轴交点A恰好是二次函数y2与x轴的其中一个交点，已知二次函数图象的对称轴为x＝1，并与y轴的交点为D(0，1)．(1)求二次函数的解析式；(2)设该二次函数与一次函数的另一个交点为C点，连接DC，求三角形ADC的面积．(3)根据图象，直接写出当y 1＞y 2时x 的取值范围．8．（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线()20y ax bx c a =++<经过点A 、B ．(1)求a 、b 满足的关系式及c 的值．(2)当0x <时，若()20y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大，求a 的取值范围．(3)如图，当1a =-时，在抛物线上是否存在点P ，使PAB ∆的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2015·广东中考真题）（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x 2+4x 刻画，斜坡可以用一次函数y=x 刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．10．（2015·四川中考真题）（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx−4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．11．（2010·辽宁中考真题）如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B （2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．12．（2019·四川中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(10)(30)(03)A B C ﹣，、，、，.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAM PAC S S ∆∆＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．50．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线C 1：y ＝x 2﹣2x 与抛物线C 2：y ＝ax 2+bx 开口大小相同、方向相反，它们相交于O ，C 两点，且分别与x 轴的正半轴交于点B ，点A ，OA ＝2OB ． （1）求抛物线C 2的解析式；x（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．答案解析1．（2019·辽宁中考模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．点P为第一象限的抛物线上的一个动点，过点P分别做BC和x轴的垂线，交BC于点E和F，交x轴于点M和N．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段PE最大值，并求出线段PE最大时点P的坐标；（3）若S△PMN＝3S△PEF时，求出点P的坐标．（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：930a ba b⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，解得：ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴二次函数的解析式为2y x=+．（2）∵当0x=时，y=∴(C，∴tanOCABCOB∠==，∴30ABC ∠=︒ ∵PN x ⊥轴，∴60PFE BFN ∠=∠=︒， 又∵PE BC ⊥， ∴sin PEPFE PF∠=，∴2PE PF =，设2,P x x x ⎛++ ⎝，直线BC 的解析式为y mx n =+，n n ⎧=⎪+=，∴m y x ==+∴,3F x x ⎛-+ ⎝∴221322PE x x x ⎡⎤⎛⎛=+-+=-+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦又221313922228PE x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当x=23时，PE 取得最大值，PE 的最大值为98，此时点P的坐标为32⎛ ⎝⎭.（3）∵,PEF PNM P P ∠=∠∠=∠， ∴PEF PNM ∽，∴2PEF PNM S PE S PN ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∵3PNMPEFSS=，∴PE PN =∴PN =由（2221322x x x x ⎫-+=⎪⎭解得，122,3x x ==（舍去）， ∴(P2．（2018·辽宁中考真题）如图，点A ，B ，C 都在抛物线y=ax 2﹣2amx+am 2+2m ﹣5（其中﹣14＜a ＜0）上，AB ∥x 轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为 （用含m 的代数式表示）； （2）求△ABC 的面积（用含a 的代数式表示）；（3）若△ABC 的面积为2，当2m ﹣5≤x ≤2m ﹣2时，y 的最大值为2，求m 的值．∵AB∥x轴，且AB=4，∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5），∵∠ABC=135°，∴设BD=t，则CD=t，∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t），∵点C在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣t=a（2+t）2+2m﹣5，整理，得：at2+（4a+1）t=0，解得：t1=0（舍去），t2=﹣41 aa+，∴S△ABC=12AB•CD=﹣82aa+；（3）∵△ABC 的面积为2，∴﹣82a a=2， 解得：a=﹣15， ∴抛物线的解析式为y=﹣15（x ﹣m ）2+2m ﹣5． 分三种情况考虑：①当m ＞2m ﹣2，即m ＜2时，有﹣15（2m ﹣2﹣m ）2+2m ﹣5=2， 整理，得：m 2﹣14m+39=0，解得：m 1=7（舍去），m 2（舍去）；②当2m ﹣5≤m ≤2m ﹣2，即2≤m ≤5时，有2m ﹣5=2，解得：m=72； ③当m ＜2m ﹣5，即m ＞5时，有﹣15（2m ﹣5﹣m ）2+2m ﹣5=2， 整理，得：m 2﹣20m+60=0，解得：m 3=10﹣（舍去），m 4．综上所述：m 的值为72或． 3．（2018·辽宁中考模拟）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A （﹣3，﹣3）．（1）求正比例函数和反比例函数的表达式；（2）把直线OA 向上平移后与反比例函数的图象交于点B （﹣6，m ），与x 轴交于点C ，求m 的值和直线BC 的表达式；（3）在（2）的条件下，直线BC 与y 轴交于点D ，求以点A ，B ，D 为顶点的三角形的面积；（4）在（3）的条件下，点A，B，D在二次函数的图象上，试判断该二次函数在第三象限内的图象上是否存在一点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1=17 18S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设正比例函数的解析式是y=kx，代入（﹣3，﹣3），得：﹣3k=﹣3，解得：k=1，则正比例函数的解析式是：y=x；设反比例函数的解析式是y=，把（﹣3，﹣3）代入解析式得：k1=9，则反比例函数的解析式是：y=；（2）m==﹣，则点B的坐标是（﹣6，﹣），∵y=k3x+b的图象是由y=x平移得到，∴k3=1，即y=x+b，故一次函数的解析式是：y=x+；（3）∵y=x+的图象交y轴于点D，∴D的坐标是（0，），作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N．∵A的坐标是（﹣3，﹣3），B的坐标是（6，﹣），∴M的坐标是（0，﹣3），N的坐标是（0，﹣）．∴OM=3，ON=．则MD=3+=，DN=+=6，MN=3﹣=．则S△ADM=×3×=，S△BDN=×6×6=18，S梯形ABNM=×（3+6）×=．则S四边形ABDM=S梯形ABNM+S△BDN=+18=，S△ABD=S四边形ABDM﹣S△ADM=﹣=；（4）设二次函数的解析式是y=ax2+bx+，则，解得：，则这个二次函数的解析式是：y=x2+4x+；点C的坐标是（﹣，0）．则S=×6﹣×6×6﹣×3×﹣×3×=45﹣18﹣﹣=．假设存在点E（x0，y0），使S1=S=×=．∵四边形CDOE的顶点E只能在x轴的下方，∴y0＜0，∴S1=S△OCD+S△OCE=××﹣×y0=﹣y0，∴﹣y0=，∴y0=﹣，∵E（x0，y0）在二次函数的图象上，∴x02+4x0+=﹣，解得：x0=﹣2或﹣6．当x0=﹣6时，点E（﹣6，﹣）与点B重合，这时CDOE不是四边形，故x0=﹣6（舍去）．∴E的坐标是（﹣2，﹣）．4．（2019·辽宁中考模拟）如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3．当x =2时，y 635=-，即顶点D 的坐标为（2，635-）； （2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论：①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m =±，即点C 坐标为：（，0）或（﹣，0）；②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5±C 坐标为（5+0）或（5﹣0）；③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =9710，则点C 坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C 的坐标为：（±，0）或（5±，0）或（9710，0）； （3）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ．设直线AB 的表达式为y =kx ﹣3，把点B 坐标代入上式，9=5k ﹣3，则k 125=，故函数的表达式为：y 125=x ﹣3，设点P 坐标为（m ，125m 2485-m ﹣3），则点H 坐标为（m ，125m ﹣3），S △PAB 12=•PH •x B 52=（125-m 2+12m ）=－6m 2+30m =25756()22m --+，当m =52时，S △PAB 取得最大值为：752．答：△PAB 的面积最大值为752．5．（2018·辽宁中考模拟）如图1，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0）两点，与y 轴相交于点C ，连结BC ，点P 为抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线l ，交直线BC 于点G ，交x 轴于点E ． （1）求抛物线的表达式；（2）当P 位于y 轴右边的抛物线上运动时，过点C 作CF ⊥直线l ，F 为垂足，当点P 运动到何处时，以P ，C ，F 为顶点的三角形与△OBC 相似？并求出此时点P 的坐标；（3）如图2，当点P 在位于直线BC 上方的抛物线上运动时，连结PC ，PB ，请问△PBC 的面积S 能否取得最大值？若能，请求出最大面积S ，并求出此时点P 的坐标，若不能，请说明理由．解析：（1）将点A （-1，0），B （4，0）的坐标代入函数的表达式得：10{1640b c b c --+-++＝＝， 解得：b =3，c =4．抛物线的解析式为y =-x 2+3x +4． （2）如图1所示：∵令x =0得y =4， ∴OC =4． ∴OC =OB ．∵∠CFP =∠COB =90°，∴FC =PF 时，以P ，C ，F 为顶点的三角形与△OBC 相似． 设点P 的坐标为（a ，-a 2+3a +4）（a ＞0）． 则CF =a ，PF =|-a 2+3a +4-4|=|a 2-3a |． ∴|a 2-3a |=a ． 解得：a =2，a =4．∴点P 的坐标为（2，6）或（4，0）．（3）如图2所示：连接EC．设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）．则OE=a，PE=-a2+3a+4，EB=4-a．∵S四边形PCEB=12OB•PE=12×4（-a2+3a+4），S△CEB=12EB•OC=12×4×（4-a），∴S△PBC=S四边形PCEB-S△CEB=2（-a2+3a+4）-2（4-a）=-2a2+8a．∵a=-2＜0，∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值．∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．6．（2019·天津中考模拟）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。
