1.3.1单调性与最大(小)值(2)教案

第一章 集合(jíhé)与函数概念
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1．3 函数的基本性质
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1．3.1 单调性与最大(小)值(第2课时) 复合函数的单调性及单调性的应用
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课时学案 课时作业
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Hale Waihona Puke 课时学案第五页，共20页。
题型一 复合函数的单调性 例1 (1)已知g(x)是[m，n]上的减函数，且a≤g(x)≤b，f(x) 是[a，b]上的增函数，求证：f[g(x)]在[m，n]上也是减函数．
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思考题3 已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(0)＝1，求 不等式f(2x－1)－1＞0的解集．
【答案】 (12，＋∞)
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【证明】 设m≤x1＜x2≤n， ∵g(x)是[m，n]上的减函数，且a≤g(x)≤b， ∴b≥g(x1)＞g(x2)≥a. 又∵f(x)是[a，b]上的增函数， ∴f[g(x1)]＞f[g(x2)]． 由函数的单调性定义知，f[g(x)]在[m，n]上是减函数．
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定义域．
(2)上述表格可以总结成一句话：“同增异减”．
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思考题1 写出函数y＝ 3x＋2的单调区间． 【答案】 单调增区间[－23，＋∞)
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题型二 单调性的应用 例2 如果函数f(x)＝x2＋bx＋c，对任意实数t都有f(2＋t)＝ f(2－t)，比较f(1)，f(2)，f(4)的大小． 【思路点拨】 本题关键是弄懂f(2＋t)＝f(2－t)所表达的意 思．它表示数2加t或减t，函数值不变，即x＝2是这个二次函数 的对称轴．

1.3.1函数的最大（小）值教案教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；（2）学会使用函数图象理解和研究函数的性质；教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．教学过程：一、 引入课题画出以下函数的图象，并根据图象解答以下问题：○1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能表达函数的什么特征？ （1）32)(+-=x x f（2）32)(+-=x x f ]2,1[-∈x （3）12)(2++=x x x f（4）12)(2++=x x x f ]2,2[-∈x 二、 新课教学（一）函数最大（小）值定义1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，假设存有实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；（2）存有x 0∈I ，使得f(x 0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value ）的定义．（学生活动）注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存有x 0∈I ，使得f(x 0) = M ； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）．2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2 利用图象求函数的最大（小）值○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 假设函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；假设函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；（二）典型例题例1．（教材P 36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．解：（略）说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．巩固练习：如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，假设矩形一边长为x ，面积为y试将y 表示成x 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？例2．（新题讲解）旅 馆 定 价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存有线性关系．设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，所以当房价为)160(x -元时，住房率为)%102055(⋅+x ，于是得 y =150·)160(x -·)%102055(⋅+x ． 因为)%102055(⋅+x ≤1，可知0≤x ≤90． 所以问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题．将y 的两边同除以一个常数0.75，得y 1=－x 2＋50x ＋17600．25因为二次函数y 1在x =25时取得最大值，可知y 也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相对应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）例3．（教材P 37例4）求函数12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值． 解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．巩固练习：（教材P 38练习4）三、 归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论四、 作业布置提升作业：快艇和轮船分别从A 地和C 地同时开出，如以下列图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h 和15 km/h ，已知AC=150km ，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？A BC。

课题：1.3.1函数的最大(小)值一、三维目标：知识与技能:（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义；（2）理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数，体会求函数最值是函数单调性的应用之一。

过程与方法：借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念，培养应用函数的单调性求解函数最值问题。

情感态度与价值观：在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐。

二、学习重、难点：重点：应用函数单调性求函数最值。

难点：理解函数最值可取性的意义。

三、学法指导：通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念， 从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法。

四、知识链接：1.增函数的定义?减函数的定义?函数单调性的定义?2. 判断函数单调性的方法步骤：五、学习过程：1.画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：○1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○2 指出图象的最高点或最低点。

（1）32)(+-=x x f（2）32)(+-=x x f ，]2,1[-∈x（3）2)(x x f = （4）2)(x x f -=2.函数最大（小）值定义(1)．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；（2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）。

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义。

(2). 最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）_______________________________________________；（2）________________________________________________那么，称M是函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）。

(1)令 x 为年产量，y 表示利润，求 y＝f(x)的表达式； (2)当年产量为何值时，工厂的利润最大？其最大值是多 少？
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(3)求解：选择合适的数学方法求解函数． (4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后 将结果应用于现实，做出解释或预测． 也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步
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3
某工厂生产一种机器的固定成本为 5 000 元，且每生产 1 部，需要增加投入 25 元，对销售市场进行调查后得知，市场对 此产品的需求量为每年 500 部，已知销售收入的函数为 N(x)＝ 500x－12x2，其中 x 是产品售出的数量(0≤x≤500)．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个 实数(shìshù)满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至 少有一个交点．
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2．最值 定义 函数的__最__大__值__和__最__小_值___统称为函数的最值 几何 函数y＝f(x)的最值是图象_最__高__点___或_最__低__点___的 意义 纵坐标 说明 函数的最值是在整个定义域内的性质
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②由①知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以若函数 f(x)的 定义域与值域都是[12，2]，则ff122＝＝122，，
即1a1a－－212＝＝122，， 解得 a＝25.
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规律总结：1.利用单调性求最值 的一般步骤
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．利用单调性求最值的三个常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间 [a，b]的左、右端点(duān diǎn)处分别取得最小(大)值和最大 (小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上 是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上 是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．