2017年5月2017届高三第三次全国大联考(新课标Ⅱ卷)理数卷(原卷版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．12B CD ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -=B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为?2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A．BCD ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP u u u r=λAB u u u r +μAD u u u r，则λ+μ的最大值为A ．3B ．C．D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

12017年第三次全国大联考【新课标III 卷】理科数学·参考答案13．3 14．590490 15．12 16．2sin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭17．【解析】（Ⅰ）由cos cos 2a B b A +=，根据余弦定理，得222222222a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=，整理，得2c =．………………2分由()cos 1cos cA b C =-，根据正弦定理，得()sin cos sin 1cos C A B C =-，即sin sin cos sin cos B C A B C =+，又sin B ＝()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+，………4分sin cos sin cos B C A C =，故cos 0C =或sin sin A B =．………………5分当cos 0C =时，2C π=，故ABC △为直角三角形； 当sin sin A B =时，A B =，故ABC △为等腰三角形．………………7分（Ⅱ）因为13sin cos 226x x x x x ⎫π⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以6C π=．………………8分 由（Ⅰ）知2c =，A B =，则a b =，………………9分 所以由余弦定理，得22242cos 6a a a π=+-，解得28a =+，………………10分 所以ABC ∆的面积21sin 226S a π==………………12分18．【解析】（Ⅰ）由题意，得参加跑步类的有778042013⨯=人，………………1分 所以420180240m =-=，78042018012060n =---=．………………3分 根据分层抽样法知，抽取的13人中参加200米的学生人数有180133780⨯=人．………………5分2（Ⅱ）由题意，得抽取的13人中参加400米的学生人数有240134780⨯=，参加跳绳的学生人数有3人，所以X 的所有可能取值为1、2、3、4，………………6分()134347C C 41C 35P X ===，()224347C C 182C 35P X ===，()314347C C 123C 35P X ===，()4447C 14C 35P X ===，………………9分所以离散型随机变量X 的分布列为：X 1 2 3 4P435 1835 1235 135所以41812116()1234353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………12分 19．【解析】（Ⅰ）如图，连接AC 交BD 于点M ，连接MH ．∵AFBG DE ，BG DE =，AF ⊥平面ABCD ，∴四边形BDEG 为矩形，………………1分又∵H 为EG 中点，∴MHBGAF ，MH BG =，………………2分又∵AF ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥BD ．………………3分 在正方形ABCD 中，BD AC ⊥，且ACMH M =，∴BD ⊥平面CMH ，………………4分又CH ⊂平面CMH ，∴BD CH ⊥．………………5分（Ⅱ）由题意，以D 为坐标原点，以,,DA DC DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设1AB AF BG DE ====，………………6分则()0,0,1E ，()1,0,1F ，()1,1,1G ，()0,1,0C ，()1,0,0EF =，()0,1,1EC =-，()1,1,0EG =． …………………………………………………………………7分 设()1111,,x y z =n 为平面FCE 的一个法向量，则由110EF EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，得11100x y z =⎧⎨-=⎩，取11y =，得()10,1,1=n ．………………9分3设()2222,,x y z =n 为平面GCE 的一个法向量，则由2200EG EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，得222200x y y z +=⎧⎨-=⎩，取21y =，得()21,1,1=-n ，………………11分∴1212126cos ,||||323⋅===⋅⨯n n n n n n ， ∴二面角F CE G --的余弦值为6．………………12分20．【解析】（Ⅰ）由题意，得63c a = ①，且12||2F F c =，21||b PF a=，则212146||||2b F F PF c a ⋅=⋅= ②．………………2分由①②联立，并结合222a b c =+，解得26a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=．………………4分 （Ⅱ）当直线m 与x 轴不垂直时，设直线m 的方程为()()20y k x k =-≠，代入椭圆C 的方程22162x y +=，得()222213121260k x k x k +-+-=．………………5分 设()11,A x y 、()22,B x y ，所以21221213k x x k+=+，212212613k x x k -=+．………………6分 根据题意，假设在x 轴上存在一个定点()0,0M x ，使得MA MB ⋅的值为定值， 则()()()()101202102012,,MA MB x x y x x y x x x x y y ⋅=-⋅-=--+()()()()()()222002222120120231210612413x x k x k x x k x x x k x k-++-=+-++++=+．…………7分要使上式为定值，即与k 无关，则()220003121036x x x -+=-，解得073x =，4此时，20569MA MB x ⋅=-=-，………………8分 所以在x 轴上存在定点7,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，使得MA MB ⋅为定值，且073x =，定值为59-．……………9分当直线m 与x 轴垂直时，将2x =代入椭圆方程可求得出,A B 的坐标，不妨设,2,A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，则161,,,33MA MB ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭∴115()()339MA MB ⋅=-⨯--=-．…………11分 综上可知，在x 轴上存在定点7,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，使得MA MB ⋅为定值，且073x =，定值为59-．……12分21．【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()1+∞－，，()()()()2331212111x a af x x x x +-'=+++－＝，………………2分 当0a ≤时，()0f x '≥，函数()f x 在()1+∞－，上单调递增；……………3分 当0a >时，若1x ≥，则()0f x '≥，函数()f x 在1,)+∞上单调递增；若11x -<<，则()0f x '<，函数()f x 在(1)-上单调递减．……………4分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()1+∞－，上单调递增；当0a >时，函数()f x 在区间()1-上单调递减，在)1,+∞上单调递增．………………5分（Ⅱ）22()323()3g x x x x x '=-=-，1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可见，当2,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≥，()g x 在2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≤，()g x 在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，………………7分而()1224327g g ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭，所以，()g x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为4，………………8分 依题意，只需当12,13x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()11134x f x ++≥恒成立， 即()()1111x f x +≥，即()()1ln 111a x x x +++≥+在2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，5亦即()()()211ln 1a x x x ≥+-++在2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立．………………9分 令()()()2()11ln 1h x x x x =+-++2,13x ⎛⎫⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()()()21ln 1h x x x x '=--++，………9分显然(0)0h '=， 当2,03x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时， 0x ->，()()21ln 10x x ++<，()0h x '>，即()h x 在2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增；………………10分当(]0,1x ∈时，0x -<，()()21ln 10x x ++>，()0h x '<，即()h x 在区间(]0,1上单调递减； 所以，当0x =时，函数()h x 取得最大值(0)1h =，………………112分 故1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞．………………12分请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（Ⅰ）消去参数t ，得直线l 的普通方程为10x y -+=，斜率为1， 所以直线l '的斜率为1-．………………1分因为圆C 的极坐标方程可化为24cos 2sin 0m ρρθρθ--+=，所以将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上述方程得圆C 的直角坐标方程为22420x y x y m +--+=，则配方，得()()22215x y m -+-=-，其圆心为()2,1C ，半径为)5m <．………………3分由题意，知直线l '经过圆心()2,1C ，所以直线l '的方程为()12y x -=--，即30x y +-=，所以由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l '的极坐标方程为()cos sin 3ρθθ+=．………………5分（Ⅱ）因为||AB =C 到直线l)5m =<．)5m =<，解得1m =．………………7分 （Ⅲ）当所求切线的斜率存在时，设切线方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k --+=．2=，解得512k=，所以所求切线的方程为512280x y-+=；当所求切线的斜率不存在时，切线方程为4x=．………………9分综上，所求切线的方程为4x=或512280x y-+=．………………10分23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（Ⅰ）设()222f x x x=+--，则()4,13,124,2x xf x x xx x--<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩，………………1分当1x<-时，由42x-->，得6x<-，6x<-∴；………………2分当12x-≤<时，由32x>，得23x>，223x<<∴；………………3分当2x≥时，由42x+>，得2x>-，2x≥∴．………………4分综上所述，集合M为2|63x x x⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或．………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1t=，则()()()1111a b c t---==．因为1,1,1a b c>>>，所以10,10,10a b c->->->，………………6分则()110a a=-+≥>，（当且仅当2a=时等号成立）……………7分()110b b=-+≥>，（当且仅当2b=时等号成立）………………8分()110c c=-+≥>，（当且仅当2c=时等号成立）………………9分则8abc≥≥（当且仅当2a b c===时等号成立），即8abc≥．………………10分67。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学 （试题）一、选择题：（本题共12小题，每小题 5分，共 60分）1．已知集合 A( x, y) x 2 y 2 1 ， B( x, y) y x ，则 AB 中元素的个数为（）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 02．设复数 z 满足(1 i) z2i ，则 z（）12C ． 2D ． 2A ．B ．223．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月份D ．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳4． ( x y)(2x y)5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为（）A ．B ．C ． 40D ． 802255．已知双曲线C ：x2y 2 1（ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线方程为y x ，且与椭圆x2y2ab21 有公共焦点．则 C的方程为（）123A ．x 2 y 2x 2 y 2 x2y2x2y281B ． 1C ．1D ．1104 5 54436．设函数 f ( x)cos(x π3 ) ，则下列结论错误的是（）8πA ． f (x) 的一个周期为2πB ． yf ( x) 的图像关于直线 x对称C． f ( x ) 的一个零点为 xπD． f (x) 在 ( π, π) 单调递减627．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A ． 5B．4C．3D． 28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．π3πC．ππB．D．4２49．等差数列a n的首项为 1，公差不为 0．若 a2， a3， a6成等比数列，则a n前 6项的和为（）A．24B．3C． 3D． 810x2y21（a b 0A1A2A1 A2b2．已知椭圆 C : a2）的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线 bx ay2ab 0相切，则 C 的离心率为（）6321A ．3B．3C．３D．311．已知函数 f ( x)x22x a(e x 1 e x 1 ) 有唯一零点，则 a （）111A ．２B．3C．2D． 1 12．在矩形ABCD中，AB1， AD 2 ，动点 P 在以点C为圆心且与 BD 相切的圆上．若APAB AD ，则的最大值为（）A ． 3B．2 2C． 5D． 2二、填空题：（本题共4小题，每小题 5分，共 20分）x y ≥ 0,13．若 x， y满足约束条件x y 2≤ 0, 则 z3x 4 y 的最小值为 ________．y≥ 0,14．设等比数列a n满足a1a2 1 ， a1a3 3 ，则 a4________．x1,x≤ 0,116． a ，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b都垂直，斜边AB 以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线 AB 与a成60角时， AB 与b成30角；②当直线 AB 与a成60角时， AB 与b成60角；③直线 AB 与a所成角的最小值为45 ；④直线 AB 与a所成角的最大值为60 ．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）三、解答题：（共70分．第 17-20 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22， 23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17．（ 12分）ABC A B C a b c b2的内角，a 2 7 ，．，，的对边分别为，，，已知 sin A 3 cos A 0（ 1）求 c；（ 2）设D为BC边上一点，且 AD AC ，求△ABD的面积．18．（ 12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶 6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为 500瓶；如果最高气温位于区间20 ，25 ，需求量为 300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10 ，1515 ，2020 ，2525 ，3030 ，3535 ，40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（ 1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（ 2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量 n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC形．?ABD ?CBD ，AB= BD．（1）证明：平面ACD ^平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角 D- AE- C 的余弦值．是正三角形，△ACD是直角三角DECB A20．（ 12分）已知抛物线 C : y2 = 2x ，过点（2，0）的直线l交C于 A ， B 两点，圆 M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（ 4，- 2），求直线l与圆M的方程．21．（ 12分）已知函数 f (x) x 1 a ln x ．（ 1）若 f (x) ≥ 0，求 a 的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数111n，(1 + )(1 +22 ) 鬃?(1n ) < m ，求m的最小值．2222． [选修 4-4：坐标系与参数方程] （ 10分）x t ,l 的参数方程在直角坐标系 xOy中，直线 l 的参数方程为（ t为参数），直线y kt,x m,为（ m为参数），设 l 与 l 的交点为 P，当 k变化时， P的轨迹为曲线 C．y m ,k（ 1）写出 C的普通方程：（ 2）以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l : cos( nis )，M为 l 与 C的交点，求 M的极径．23． [选修 4-5：不等式选讲 ] （10分）已知函数 f ( x) | x| | x| ．（ 1）求不等式 f ( x)的解集；（ 2）若不等式 f ( x) x x m 的解集非空，求m的取值范围．2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题 5分，共 60分）1．已知集合 A ( x, y) x 2 y 2 1 ， B( x, y) y x ，则 AB 中元素的个数为（）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 0【答案】 B【解析】 A 表示圆 x 2y 2 1 上所有点的集合， B 表示直线 yx 上所有点的集合，故 AB 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即 A B 元素的个数为2，故选 B.2．设复数 z 满足(1 i) z2i ，则 z （）1 B ．2C ． 2D ． 2A ．22【答案】 C2i 2i 1 i 2i 2 122 ，故选 C.【解析】由题， z1 i 1 ii 1 ，则 z 121 i23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份D ．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【答案】 A【解析】由题图可知， 2014年8月到 9月的月接待游客量在减少，则 A 选项错误，故选 A.4． ( x y)(2 x y)5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为（）A ．B ．C ． 40D ． 80【答案】 C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含x 3 y 3 的项为x C 52 2 x 2y 33y2的系数为 40，故选 C.y C 53 2 x40x 3 y 3 ，则 x 3 y 3C ：x2y 25x ，且与椭圆5．已知双曲线221（ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线方程为 yx 2 y 2ab21 有公共焦点．则 C 的方程为（）123A ． x 2 y 21B ． x 2y 2 1 C ． x 2 y 21D ． x 2y 2 1810455443【答案】 B【解析】 ∵双曲线的一条渐近线方程为y5x ，则b5 ①2a2又∵ 椭圆x 2y 21 与双曲线有公共焦点，易知c3 ，则 a 2 b 2c 2 9 ②12 3x2y2由①② 解得 a 2,b5 ，则双曲线C的方程为1，故选 B.456．设函数 f ( x)cos(xπ) ，则下列结论错误的是（）3A ． f (x) 的一个周期为2πB ． yf ( x) 的图像关于直线 x8π对称3C ． f ( x) 的一个零点为 xπD ． f (x) 在π π) 单调递减6( ,【答案】 D2【解析】函数 f xcos xπ的图象可由 ycosx 向左平移π个单位得到，33如图可知， f x 在π, π 上先递减后递增， D 选项错误，故选 D.2y- O6 x7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于 91，则输入的正整数N的最小值为（）A ． 5B ．4C ． 3D ． 2【答案】 D【解析】程序运行过程如下表所示：SM t初始状态 0 100 1 第1次循环结束 100 10 2 第2次循环结束 90 1 3此时S 90 91 首次满足条件，程序需在 t 3 时跳出循环，即 N2 为满足条件的最小值，故选 D.8．已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ． πB ．3π ππ4C ．D ．【答案】 B２41 2【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径23 ，r122则圆柱体体积 Vπ2 3πr h，故选 B.49．等差数列 a n 的首项为 1，公差不为 0．若 a 2 ， a 3 ， a 6 成等比数列，则a n前 6项的和为（）A ． 24B ． 3C ． 3D ． 8【答案】 A【解析】 ∵ a n为等差数列，且 a 2 ,a 3, a6成等比数列，设公差为d .则 a 32 a 2 a 6 ，即 a 12d 2a 1 d a 1 5d又∵ a 1 1 ，代入上式可得 d 22d又∵ d 0 ，则 d2∴ S 66a 16 5d 16 6 5224 ，故选 A.222210．已知椭圆 C :x2y 2 1（ a b 0 ）的左、右顶点分别为 A 1 ， A 2 ，且以线段 A 1 A 2 为直ab径的圆与直线 bxay 2ab0 相切，则 C 的离心率为（）632 1A ． 3B ． 3C ． ３D ． 3【答案】 A【解析】 ∵ 以 A 1 A 2 为直径为圆与直线bx ay 2ab0 相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，2ab又∵ a 0,b0 ，则上式可化简为 a 2 3b 2∵ b2a2c 2 ，可得 a 23 a2c2，即 c 2 2a 2 3∴ ec 6，故选Aa311．已知函数 f ( x) x 2 2xa(e x 1e x 1 ) 有唯一零点，则 a（）1 1 1A ． ２B ． 3C ． 2【答案】 C【解析】由条件，f ( x) x 2 2x a (e x 1 e x 1 ) ，得：f (2x) (2 x) 2 2(2 x) a (e 2 x 1e (2 x ) 1 )x 2 4 x4 4 2x a(e 1 x e x 1 )x 2 2 x a(e x 1 e x 1 )∴ f (2 x) f ( x) ，即 x 1 为 f (x) 的对称轴， 由题意， f (x) 有唯一零点， ∴ f ( x) 的零点只能为 x1 ，即 f (1) 12 2 1 a(e 1 1 e 1 1) 0 ，解得 a 1．212．在矩形 ABCD 中， AB1， AD2 ，动点 P 在以点 C为圆心且与 AP AB AD ，则的最大值为（）y A ． 3B ． 2 2C ． 5D ． 2B【答案】 A【解析】由题意，画出右图．设 BD 与 C 切于点 E ，连接 CE ．以 A 为原点， AD 为 x 轴正半轴， A(O)AB 为 y轴正半轴建立直角坐标系，则 C 点坐标为 (2,1) ．∵|CD| 1，|BC| 2． ∴ BD 2 2 5 ． 1 2 ∵ BD 切 C 于点 E ． ∴CE ⊥BD ． ∴ CE 是 Rt △ BCD 中斜边 BD 上的高 ．2 12 S △ BCD |BC| |CD| 2 2|EC | 2|BD | |BD |55 5即 C 的半径为 25 ． 5∵ P 在C上．( x 2)2( y 1)24∴ P 点的轨迹方程为 5 ．设 P 点坐标(x 0, y 0)，可以设出 P 点坐标满足的参数方程如下：D ． 1BD 相切的圆上．若P gCEDxx22 5 cos5y 0 125 sin5而 AP (x 0 , y 0 ) ， AB (0,1) ， AD (2,0) ．∵ AP AB AD (0,1) (2,0) (2 , )∴15，y 01 2 5 sin ．x 01 cos525两式相加得：1 2 5sin15cos552( 2 5 )2 ( 5 )2 sin()5 52 sin( ) ≤ 3(其中 sin5， cos2 5 )55当且仅当 π，kZ 时，取得最大值 3．2k π2二、填空题：（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）x y ≥ 0,13．若 x ， y 满足约束条件x y 2 ≤ 0, 则 z 3x 4 y 的最小值为 ________． y ≥ 0,【答案】 1【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为 z3x4y ，则直线 y3zz 值越小．x纵截距越大，由图可知： z 在 A 1,14 4处取最小值，故 z min 3 1 4 11 ．x y 2 0yA (1,1)B x(2,0)x y 014．设等比数列 a n 满足 a 1a 21 ， a 1 a 33 ，则 a4 ________．【答案】 8【解析】a n 为等比数列，设公比为q ． a 1 a 2 1a 1 a 1q 1 ①a 1 a 33，即2，a 1 a 1 q 3 ②显然 q 1， a 10 ，②得 1q 3 ，即 q2 ，代入 ① 式可得 a 1 1 ，①a4a1 q3138．215．设函数 f ( x)x1,x≤ 0,f ( x12 x, x0,则满足 f (x)) 1 的 x的取值范围是 ________．2【答案】 1 ,4【解析】f x x1,x≤0x f11 ，即 f x12 x, x， f x 1 f x 022由图象变换可画出y f x 1与y1 f x 的图象如下：2yy f ( x1)2(1,1)44x1122f (x)y 1由图可知，满足 f x 11f x的解为1. 2,416． a ，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边 AC 所在直线与a ，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线 AB 与a成60角时， AB 与b成30角；②当直线AB与 a 成 60角时， AB 与b成60角；③直线 AB 与a所成角的最小值为45；④直线 AB 与a所成角的最大值为60．其中正确的是 ________（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】由题意知， a、b、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC| 1， AB 2 ，斜边 AB 以直线AC为旋转轴旋转，则 A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以 C 为坐标原点，以CD 为 x 轴正方向， CB 为y轴正方向，CA为 z 轴正方向建立空间直角坐标系．则 D(1,0,0) ， A(0,0,1) ，直线 a 的方向单位向量 a(0,1,0)， | a | 1 ．B 点起始坐标为(0,1,0)，直线 b 的方向单位向量b(1,0,0)， | b |1．设 B 点在运动过程中的坐标 B (cos,sin,0)，其中为 BC与CD 的夹角，[0,2 π) ．那么 AB '在运动过程中的向量AB( cos ,sin,1)，|AB | 2．设 AB 与 a 所成夹角为[0,π] ，211则cos 故设AB cos当AB sin( cos , sin ,1) (0,1,0)2|sin| [0,2] ．a AB22π π[ ,] ，所以③正确，④错误．42与 b 所成夹角为π[0, ]，2AB bb AB( cos ,sin ,1) (1,0,0) .b AB2|| cos2与 a 夹角为60时，即π，32cos2cos 212 ．322∵ cos2sin 21，∴ | cos| 2 ．2∴ cos 21 | cos| ．22∵[0,π] ．2π∴=，此时 AB 与 b 夹角为60．3∴② 正确，①错误．三、解答题：（共70分．第 17-20 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22， 23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17．（ 12分）ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sin A 3 cos A 0 ，a 2 7 ， b 2 ．（ 1）求 c；（ 2）设D为BC边上一点，且AD AC ，求△ABD的面积．【解析】（1）由 sin A 3 cos Aπ0 ，0 得 2sin A3即 A πkπk Z，又 A0, π，3∴ A ππ，得2π3A.32222 bc cos A.又∵a 27, b 2, cosA1由余弦定理a b c 2 代入并整理2得 c 125，故c 4 .（2）∵AC 2,BC 2 7, AB 4，12由余弦定理 a 2 b 2 c 22 7cosC2ab.7∵ AC AD ，即 △ ACD 为直角三角形，则 ACCD cosC ，得 CD7 .由勾股定理 ADCD 2AC 23 .又 A2π DAB2π π π，则3 2 ，36S△ ABD1AD ABsinπ3 .2618．（ 12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4元，售价每瓶 6元，未售出的酸奶降价处理， 以每瓶 2元的价格当天全部处理完． 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 20 ，25 ，需求量为 300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10 ，1515 ，2020 ，25 25 ，3030 ，3535 ，40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（ 1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X （单位：瓶）的分布列； （ 2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的 进货量 n （单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？ 【解析】 ⑴易知需求量 x 可取 200,300,500P X 2 16 1200 3 530 P X 36 2300 3 530 P X 25 7 4 2500 3 .30 5则分布列为：X 200 300 500P1 22555⑵① 当 n ≤ 200 时： Y n 6 42n ，此时 Y max400 ，当 n 200 时取到 .②当 2004 2n 1 2 n2002n ≤ 300 时： Y200558800 2n6n 800n555此时 Y max 520，当 n 300 时取到 .③当 300n ≤ 500 时，Y 1 2002n 200223002 n 30022n 25553200 2n5此时 Y 520. ④当 n ≥ 500 时，易知 Y 一定小于 ③ 的情况 .综上所述：当 n300 时， Y 取到最大值为 520 .1319．（12分）如图，四面体 ABCD 中， △ABC形．?ABD ?CBD ， AB= BD ．（ 1）证明：平面 ACD ^ 平面 ABC ；（ 2）过 AC 的平面交 BD 于点 E ，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角 D- AE- C 的余弦值．【解析】 ⑴取 AC 中点为 O ，连接 BO ， DO ；ABC 为等边三角形 ∴BO AC∴ AB BC AB BC BD BD ABDCBD .ABDDBC∴ AD CD ,即 ACD 为等腰直角三角形，为直角又 O 为底边 AC 中点∴ DO AC令 ABa ，则 AB ACBC BD a易得： OD23 a ， OBa22222∴ OD OBBD由勾股定理的逆定理可得 DOB即 OD OB2是正三角形，△ACD是直角三角DECBADECOBADCAOD ACOD OBzAC OB OOD 平面 ABC DAC平面 ABCOB平面 ABC又∵ OD 平面 ADC由面面垂直的判定定理可得 平面 ADC平面 ABC⑵由题意可知 V D ACE V B ACE即 B , D 到平面 ACE 的距离相等即 E 为 BD 中点以 O 为原点， OA 为 x 轴正方向， OB 为 y轴正方向， OD 为 z 轴正方向，设 AC a ，建立空间直角坐标系，则 O 0,0,0， A a,0,0， D 0,0,a，B 0,3 a ,0222COAx3 a ，E 0,a,44EBy易得： AEa , 3 a, a ， AD a,0, a ， OAa,0,02 4 42 22设平面 AED 的法向量为 n 1 ，平面 AEC 的法向量为 n 2 ，14AE n 1，解得 n 1 3,1, 3则AD n 1 0AE n 20,1, 3OA n 2 ，解得 n 2若二面角 D AEC 为 ，易知 为锐角，则 cosn 1 n 2 7n 1 n 2720．（ 12分）已知抛物线 C : y 2 = 2 x ，过点（ 2，0）的直线 l 交 C 于 A ， B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆．（ 1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（ 2）设圆 M 过点 P （ 4， - 2 ），求直线 l 与圆 M 的方程． 【解析】 ⑴显然，当直线斜率为0 时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设 l : x my 2 ， A( x 1 , y 1) ， B( x 2 , y 2 ) ，联立：y 2 2 x得 y 22my 40 ，xmy24m 2 16 恒大于 0 ， y 1y 22m ， y 1 y 24 ．uur uuurOA OBx 1 x 2 y 1 y 2(my 1 2)( my 2 2)(m 2 1)y 1 y 2 2m( y 1y 2 ) 4uur uuur 4( m 2 1) 2m(2 m)4∴ OA OB ，即O 在圆 M 上．uuur uur⑵若圆 M 过点 P ，则 AP BP(x 1 4)( x 2 4) ( y 1 2)( y 2 2) 0(my 12)( my 2 2) ( y 1 2)( y 22) 0 (m 2 1) y 1 y 2 (2m 2)( y 1 y 2 ) 8 0 化简得 2m2m 1 0 解得 m1 或 121①当 m时， l : 2xy 4 0 圆心为 Q(x 0 , y 0 ) ，2yy 12 y 21， x1y 29 ，20 2 049 21 2半径 r|OQ |42则圆 M : ( x 9 )2 ( y 1 )2 854 2 16②当 m 1 时， l : x y 2 0 圆心为 Q(x 0 , y 0 ) ， y 0y 1y 21 ， x 0y 0 2 3 ，2半径 r |OQ | 32 12 则圆 M : ( x 3)2( y 1)21021．（ 12分）已知函数f (x)x 1 a ln x ．15（ 1）若 f (x) ≥ 0 ，求 a 的值；2n ， (1 + 11 ) 鬃?(1 1 （ ）设 m 为整数，且对于任意正整数)(1+2n ) < m ，求 m 的最22 2小值．【解析】 ⑴f (x) x 1 a ln x ， x 0则 f ( x)1 a xa，且 f (1)xx当 a ≤ 0 时， f x0 ， f x 在 0 ，上单调增， 所以 0x 1时， fx0 ，不满足题意；当 a 0 时，当 0 x a 时， f ( x)0 ，则 f (x) 在 (0, a) 上单调递减；当 xa 时， f ( x) 0 ，则 f (x) 在 (a,) 上单调递增．①若 a 1 ， f (x) 在 (a,1) 上单调递增 ∴ 当 x (a,1) 时 f ( x) f (1) 0 矛盾 ②若 a 1 ， f (x) 在 (1,a) 上单调递减 ∴ 当 x (1,a) 时 f ( x)f (1) 0 矛盾③若 a 1 ， f ( x) 在 (0,1) 上单调递减， 在 (1, ) 上单调递增 ∴ f (x) ≥ f(1) 0 满足题意综上所述 a1 ．⑵ 当 a 1 时 f ( x) x1 ln x ≥ 0 即 ln x ≤ x 1则有 ln( x 1) ≤ x 当且仅当 x 0 时等号成立∴ ln(111kN *k)k ，22一方面： ln(11 ln(1 1 ...ln(11 11 (1)11 ，)2 )n )22n 1n11 21 22222即 (1)(122 )...(1 2 n ) e ． 2(1 1 11(11 11 1352另一方面：)(1 2 )...(1 2 n))(1 2 )(1 3 )642 22 2 2当 n ≥ 3时，(11 11(2,e))(12 2 )...(12 n)2∵ m N * (11 11 m ，，)(1 2 )...(12 n)2 2∴ m 的最小值为 3 ．22． [选修 4-4：坐标系与参数方程 ] （ 10分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为x t ,l 的参数方程y kt,（ t 为参数），直线xm,为m（ m 为参数），设 l 与 l 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C ．y,k（ 1）写出 C 的普通方程：（ 2）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 设 l : cos( nis ) ，M 为 l 与 C 的交点，求 M 的极径．【解析】 ⑴将参数方程转化为一般方程l 1 : y k x2⋯⋯ ① l 2 : y1 x 2⋯⋯ ②k① ② 消 k 可得： x 2y 2416即 P 的轨迹方程为 x 2 y 2 4 ； ⑵将参数方程转化为一般方程l 3 : x y2 0⋯⋯ ③ 联立曲线 C 和 l 3x y 2 0224xyx3 22解得2y2x cos5由解得y sin即 M 的极半径是5 ．23． [选修 4-5：不等式选讲 ]（10分）已知函数 f ( x) | x | | x | ．（ 1）求不等式 f ( x) 的解集；（ 2）若不等式 f ( x)xx m的解集非空，求 m 的取值范围．3,x ≤ 1【解析】 ⑴ f x| x 1| | x 2| 可等价为 f x2x 1, 1 x 2 .由 f x ≥ 1 可得：3,x ≥ 2①当 x ≤ 1 时显然不满足题意；②当 1 x 2 时， 2x 1≥ 1 ，解得 x ≥ 1 ；③当 x ≥ 2 时， f x 3 ≥ 1 恒成立 .综上， f x 1 的解集为 x | x ≥ 1 .⑵不等式 f x ≥ x 2x m 等价为 f xx 2 x ≥ m ，令 g xf xx 2 x ，则 g x ≥ m 解集非空只需要g xmax ≥ m .x 2 x 3, x ≤1而 g xx 2 3 x 1, 1 x 2 .x 2 x 3, x ≥ 2①当 x ≤ 1 时， g xg 13 1 1 5 ；max2②当 1x2 时， g xmaxg 33331 5 ；2 22 4③当 x ≥ 2 时， g x maxg 222 2 31 .综上， g x max5，故 m 5 .4417。

2017年第三次全国大联考【江苏卷】数学·原卷版一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上） 1．已知集合2{20}A x x x =+=，2{|20}B x x x =-≤，则AB =_____________．{0}{0,2},[0,2]A B =-=，{0}.A B =2．已知复数，其中i 为虚数单位，若12||||z z =，则z =_____________．23．已知样本7,8,9,,x y 的平均数为8，且60xy =，则此样本的方差为_____________．4．从甲、乙、丙、丁四个人中随机选取两人，则甲、乙两人有且仅有一人被选中的概率是_____________．5．若(mod )n N m ≡表示正整数错误！未找到引用源。

除以正整数错误！未找到引用源。

后的余数为错误！未找到引用源。

，则执行该程序框图输出的n =______．6．直线:210l y x =+过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_____________． 7．将函数ππ()sin(2)()22f x x θθ=+-<<的图象向右平移(0π)ϕϕ<<个单位长度后得到函数()g x 的图象，若(),()f x g x 的图象都经过点P ，则ϕ的值为_____________．8．已知一个圆锥的底面半径为1，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为_____________．9．四边形ABCD 中，O 为对角线,AC BD 的交点，若||4,12,,2AC BA BC AO OC BO OD =⋅===，则DA DC ⋅=_____________．10．平面四边形ABCD 中，,3,5,4,2====DA CD BC AB 则平面四边形ABCD 面积的最大值为_____________．11．已知()1980,()ln()xf x axg x a a=-=∈R ，若在*x ∈N 上恒有()()0f x g x ≥，则实数a 错误！未找到引用源。