第九章_相对论性量子力学
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第九章 相对论性量子力学
2007年12月14日上课内容
量子力学与狭义相对论结合，产生了Klein-Gordon 方程和Dirac 方程 §9.1 相对论性波动方程 9.1A Klein-Gordon 方程
经典力学中，对于自由粒子，能量与动量的关系m
p
E 22
=。
量子力学中，力学量变成了算符，得到Schrodinger 方程()()t x m
t x t
i ,2,2
2
ψψ∇-
=∂∂。
上面的情况是在非相对论情况下讨论问题。
在相对论下，能量42222c m p c E +=，经过∇=→∂∂=→i
p p t
i E
E ˆ,ˆ，可得 ()
φφ42222ˆˆc m p c E
+=------Klein-Gordon 方程 φφφ2
2
22
2
22
1
c m t
c -
∇=∂∂
------
与普通波动方程相比多了一个质量项。
()
*
*2***22
2*2*2222**
22
222
2*
11φφφφφφφφ
φφφφφφφφφφφφ∇-∇⋅∇=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∇-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∇=∂∂
-∂∂
c t t t c m c m t c t c
()
*
*
**2
220
φ
φφφ
φφφφρρ∇-∇=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂
==⋅∇+∂∂mi
J t t mc i J t
----------连续性方程 将连续性方程对整个空间积分，假定波函数在无穷远处为0，则03
=∂∂⎰
r d t
ρ---几率守恒。
负概率的困难？
将ρ乘上电荷，可以解释为电荷密度。
将J 乘上电荷则为电流密度。
电荷密度可正可负，几率守恒可表示电荷守恒。
总之，Klein-Gordon 方程是一切自旋为0的粒子所满足的相对论波动方程。
与Dirac 方程一样，负概率的困难将在二次量子化后得到解决。
[非相对论近似]：在非相对论近似下，K-G 方程将过渡到普通的Schrodinger 方程。
令()()⎪⎭
⎫
⎝⎛
-
=t mc i
t r t r 2exp ,, ψφ，则
()()()()t r mc t i e t r t i t r mc t i e
t r t
i t mc i
t
mc i ,,,,2
22
22
2
ψφψφ⎪⎭
⎫
⎝⎛+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭
⎫
⎝⎛+∂∂=∂∂--
由Klein-Gordon 方程，()φφ42222ˆˆc m p c E
+=，可得 ()()()t r c m p c t r mc t i ,ˆ,4222
2
2ψψ+=⎪⎭
⎫
⎝⎛+∂∂ 这里，因为t
i ∂∂
相当于动能，即
22
1mv 。
与2
mc 相比，具有
2
2c
v 的数量级。
所以在非相对
论近似下，存在，
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∂∂+≈⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂t i mc c m t i t i mc c m mc t i 2422
2422
222 结合以上结果，可知
()()()
()()()
t r m
p
t r t
i t r c m p
c t r t i mc t r c m ,2ˆ,,ˆ,2,2
4222
242ψψψψψ=
∂∂⇒+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+
至此，Klein-Gordon 方程就过渡到非相对论波动方程。
9.1B Dirac 方程
Klein-Gordon 方程将Schrodinger 方程中的时间微商由一次变为二次，虽然满足了相对论的要求，却带来了负概率的困难。
Dirac 采取了相反的方法，他把空间微商由二次降为一次，以求得和时间的一致。
结果是克服了负概率的困难，得到了电子运动的相对论波动方程，即Dirac 方程。
将相对论能量方程两边开方，得
()2
4
2
2
2
mc p c c m p c E βα+⋅=+=
在上式中做代换，()()φβαφ2
mc p c t
i +⋅=∂∂
式中，βα,为矩阵。
Dirac 方程为矩阵方程，由于时空均匀性，βα,与t r ,无关。
分析βα,的性质：。
