等腰三角形性质及判定
要点一、等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180
2
A
︒-∠
.
要点二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【典型例题】
类型一、等腰三角形中有关度数的计算题
例1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.
举一反三：
1.已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．
2.如图，在△ABC中AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求三角形各角的度数.
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数
类型二、等腰三角形中的分类讨论
例2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
举一反三：
1.等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是．
2.等腰三角形的一个底角是70度，则它的顶角是＿＿＿＿＿＿
3.等腰三角形的周长是10，腰长是4，则底边为＿＿＿＿＿＿
4.等腰三角形的一个底角是30度，则它的底角是＿＿＿＿＿＿
5.等腰三角形的周长是20cm，一边长是8cm，则其它两边长为＿＿＿＿
6.等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（）
D
C
B
A
7等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）
A．过顶点的直线B．底边的垂线[]C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线8、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．
9.已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组．
（1）求a、b的值．（2）求这个等腰三角形的周长．
10若x，y满足|x﹣3|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（）A． 12 B．14 C．15 D．12或15
类型三、等腰三角形性质和判定综合应用
例3、已知：如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF 并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD．
求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．
举一反三：
2如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
1.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD．
(1)求证：BE＝AD；
(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；
(3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由．
3.如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
构造等腰三角形解题的辅助线常用做法
等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。那么如何构造等腰三角形呢？一般有以下四种方法：（1）依据平行线构造等腰三角形；
（2）依据倍角关系构造等腰三角形；
（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；
（4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。
1、依据平行线构造等腰三角形
例1：如图。△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，
EF交BC于D，求证DE=DF.
2、依据倍角关系构造等腰三角形
例2：如图。△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线求证：AB+BD=AB
3、依据角平分线+垂线，构造等腰三角形
例3，如图。△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BF平分∠ABC，CD⊥
BD交BF的延长线于D，求证：BF=2CD
4、依据60°角或120°角，常补形构造等边三角形
例4,、如图。∠BAD=120° BD=DC AB+AD=AC 求证：AC平分∠BAD
4、如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E.求证：BE＝1
2
AD.（拓
展）
5.（拓展）已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD＝AB，CM⊥AD于M. 求证：AM＝1
2
(AB＋AC) ．
