一类变系数抛物型微分方程的自由边界问题

一类p-Laplacian椭圆抛物型偏微分方程解的唯一性袁海君【摘要】主要利用了凸集的有序性,证明了一类p-Laplacian椭圆抛物型偏微分方程即:ρt(u)-▽·(|▽u|p-2▽u) =f(t,x)的解的唯一性,其定义在区域(0,T)×Ω,其中Ω是RN的一个有界区域(N≥1),边界(a)Ω是C2光滑的p≥2,ρ(u(0,x))=ρ0.【期刊名称】《山东商业职业技术学院学报》【年(卷),期】2014(014)005【总页数】3页(P124-126)【关键词】p-Laplacian;凸集;有序性;唯一性【作者】袁海君【作者单位】山东商业职业技术学院,山东济南250103【正文语种】中文【中图分类】O172目前，物理学、生物化学、医学、控制论等学科的实际问题均可以通过偏微分方程来解决。

人们对其的研究日渐深入，并取得了很多重要的成果，使得这方面的理论日趋完善。

本文研究一类具有初边值问题的椭圆抛物型偏微分方ρt(u)-▽·(|▽u|p-2▽u)=f(t,x)其中，(t,x)∈(0,T)×Ω且ρ(u(0,x))=ρ0其中Ω是RN的一个有界区域(N≥1)，ρ:R→R是有界的非减的Lipschitz连续的函数，其中Lipschitz常数Cp>0。

近年来具有上述初值的椭圆抛物型方程解的问题受到越来越多的关注，在工程力学方面应用性越来越广泛。

文献[1]已经证明了该方程解的存在性。

接下来利用解的有序性来证明该方程解的唯一性。

首先结合文献[2]做如下假设(a)如果和▽，那么。

(b)对任意的和,并且有,有).为了去陈述下面的定理，接下来定义在凸集间的有序关系。

定义1对于两凸集⊂H,如果下面的结论成立，即对所有的1,有.我们就认为，并写作。

下面的引理主要是和解的有序性有关，而解的有序性又是由给定的数ρ0，f和K1(t)来决定的。

引理1(解的有序性)若u和分别是(*;ρ0,f,K1(t))和的解，并假设对所有的t∈[0,T]，有。

一类变分问题的欧拉方程和自然边界条件在近代数学中，变分法是一种重要的数学处理的方法。

它的基本原理是通过构造一类尽可能接近实际情况的数学模型，通过对变分问题的求解来得到实际问题的最优解。

一类变分问题具有自然的边界条件，这要求解析问题时必须满足某种边界条件，即欧拉方程，以保证问题的准确性和完整性。

一类变分问题是一类对函数进行最小化处理的问题，通常变分问题由一个最小化函数、一系列积分约束和一系列边界条件组成。

最小化函数表示变分问题的可最优化的目标，积分约束是根据问题的实际情况来计算函数的取值，而边界条件则搭建了数学模型的边界，使得问题可以得到准确的最优解。

对于一类变分问题，其边界条件可以分为硬边界条件和软边界条件。

硬边界条件表示函数在边界处取特定值，而软边界条件则表示函数在边界处取特定的梯度，一类变分问题的边界条件可以是硬边界条件或软边界条件，或两种条件的混合形式，总之，边界条件的作用是确定函数在边界处的表现型式，以保证变分问题的准确性和完整性。

解决一类变分问题常常需要满足一种特殊的边界条件，即欧拉方程。

欧拉方程是一类满足一阶微分方程平衡性质的边界状态方程，欧拉方程对求解变分问题具有重要的作用，它使变分问题的边界和内部完整结合，使得问题有效地求解，从而获得有效的问题解。

此外，自然边界条件也是一类变分问题的重要属性。

自然边界条件是指变量在边界处具有某种梯度，而不是确定的取值，解决变分问题时，首先要明确自然边界条件，然后根据自然边界条件求解问题，以获得有效的解。

综上所述，一类变分问题具有自然的边界条件，即欧拉方程和自然边界条件，它们的作用是确定函数在边界处的表现型式，以保证变分问题的准确性和完整性。

解决变分问题时，应充分考虑欧拉方程和自然边界条件，以获得有效的解。

两类抛物型外问题的自然边界元方法及非重叠区域分解算法的开题报告1. 研究背景抛物型偏微分方程是描述许多实际问题的数学模型，如扩散、热传导、流体力学等。

在工程、自然科学等领域中都有广泛应用。

因此研究抛物型偏微分方程解的数值计算方法具有重要的理论和应用价值。

边界元方法作为一种数值计算方法，已广泛应用于解决偏微分方程的边值问题。

然而，在处理抛物型偏微分方程的自然边界问题时，传统的边界元方法通常较为困难。

经典的边界元方法需要将整个区域分离为网格单元，而对于抛物型方程来说，由于时域方向的离散化对网格单元的大小和时间步长的要求较高，这将导致算法的复杂度较高。

因此，针对抛物型外问题的边界元方法面临许多挑战。

本文将尝试探索一种可以处理自然边界的边界元方法，并设计一种非重叠区域分解算法来提高数值计算效率。

2. 研究内容本文主要分为以下两个部分：(1) 抛物型外问题的自然边界元方法针对抛物型外问题的自然边界问题，我们将尝试设计一种新的边界元方法来处理自然边界条件。

传统的边界元方法通常需要将整个区域分离为网格单元，然而，由于抛物型方程要求时间步长精度较高，因此容易导致算法复杂度较高。

因此，我们将尝试设计一种能够适应时间步长要求的新型非重叠边界元方法。

(2) 非重叠区域分解算法的设计我们将通过一种新的非重叠区域分解算法来提高边界元方法的计算效率。

该算法将把整个计算区域划分为若干个互不重叠的小区域，然后在每个小区域中分别计算相应的边界元。

这种算法可以有效减少边界元方法中的计算工作量，从而提高数值计算效率。

3. 研究意义本文将研发能够处理抛物型外问题自然边界的边界元方法和非重叠区域分解算法。

这样的研究结果对于解决抛物型方程的数值计算问题具有重要意义。

一方面，这将有助于设计新型的工程材料和结构；另一方面，这也将有助于加速工业生产和科学研究。

因此，本文将填补国内在该领域的研究空白，并对推进国内高科技产业和科技创新起到积极的促进作用。

一维抛物型偏微分方程初边值问题求解【原创实用版】目录一、引言二、一维抛物型偏微分方程的基本概念1.抛物型偏微分方程的定义2.一维抛物型偏微分方程的特点三、一维抛物型偏微分方程初边值问题的求解方法1.紧差分法2.追赶法3.有限元算法四、各种方法的适用范围和优缺点比较1.紧差分法的适用范围和优缺点2.追赶法的适用范围和优缺点3.有限元算法的适用范围和优缺点五、结论正文一、引言一维抛物型偏微分方程在物理、化学、生物等领域有着广泛的应用，例如热传导方程、扩散方程等。

求解一维抛物型偏微分方程初边值问题，对于理解现实世界中的各种现象具有重要意义。

本文将介绍一维抛物型偏微分方程初边值问题的求解方法，包括紧差分法、追赶法和有限元算法，并对这些方法的适用范围和优缺点进行比较。

二、一维抛物型偏微分方程的基本概念1.抛物型偏微分方程的定义抛物型偏微分方程是指描述抛物型函数的偏微分方程，其一般形式为：u_t = au_xx + bu_x + cu其中，u 表示函数值，t 表示时间，x 表示空间坐标，a、b、c 为常数。

2.一维抛物型偏微分方程的特点一维抛物型偏微分方程的特点是其系数矩阵 A 为对称矩阵，且其特征值均为实数。

这使得一维抛物型偏微分方程的求解较为简单。

三、一维抛物型偏微分方程初边值问题的求解方法1.紧差分法紧差分法是一种常用的求解一维抛物型偏微分方程初边值问题的数值方法。

该方法通过离散化方程，将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程组，然后使用迭代法求解该代数方程组。

紧差分法的精度为O(h^12h^24)，无条件差分稳定。

2.追赶法追赶法是另一种求解一维抛物型偏微分方程初边值问题的数值方法。

该方法通过解线性方程组，得到数值解。

追赶法的优点是稳定性较好，适用于较大时间步长和空间步长的情况。

3.有限元算法有限元算法是一种求解一维抛物型偏微分方程初边值问题的数值方法，其基本思想是将整个计算域进行网格划分，然后在每个网格节点上求解微分方程。

一维抛物型偏微分方程初边值问题求解摘要：一、引言二、一维抛物型偏微分方程初边值问题概述三、求解方法四、数值模拟与分析五、结论正文：一、引言一维抛物型偏微分方程在数学和物理等领域有着广泛的应用，比如热传导方程、波动方程等。

对于这种方程的初边值问题，人们进行了大量的研究，提出了多种求解方法。

本文将对这些方法进行综述和分析。

二、一维抛物型偏微分方程初边值问题概述一维抛物型偏微分方程形式为：$$frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 frac{partial^2 u}{partial x^2}$$其中，$u(x,t)$ 是未知函数，$c$ 是常数。

初边值问题要求解该方程，并满足以下条件：1.$u(x,0) = f(x)$，即$t=0$ 时的函数值已知。

2.$frac{partial u}{partial t}(x,0) = g(x)$，即$t=0$ 时的导数值已知。

三、求解方法针对一维抛物型偏微分方程的初边值问题，目前主要有以下几种求解方法：1.分离变量法：适用于$c=1$ 的情况。

该方法将方程分解为两个独立的一阶线性微分方程，可以求得解析解。

2.矩方法：适用于$ceq 1$ 的情况。

该方法将方程转化为关于矩的递推关系式，可以求得数值解。

3.有限差分法：将方程离散化，通过差分方程求解。

该方法可以得到数值解，但可能会出现数值稳定性问题。

4.有限元法：将方程转化为有限个单元的积分方程，通过插值函数求解。

该方法可以得到较高质量的数值解，但计算复杂度较高。

四、数值模拟与分析为了比较不同方法的求解效果，我们取一维抛物型偏微分方程的一个具体例子，采用以上方法进行数值模拟。

通过对比分析，我们可以得出以下结论：1.分离变量法适用于$c=1$ 的情况，可以得到解析解，但求解范围有限。

2.矩方法对于$ceq 1$ 的情况有较好的适用性，可以得到数值解，但计算复杂度较高。

3.有限差分法易出现数值稳定性问题，求解精度较低。

一类变系数抛物型方程的数值解法
李娟;王威
【期刊名称】《长春工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(032)004
【摘要】讨论了带有初边值条件的抛物型方程。

该问题需要求解u（x,t）和未知变系数a（t）〉0。

这是一个反问题。

利用有限差分方法给出了该问题的三层线性化差分格式。

收敛阶在L∞范数下为O（h2＋τ2）。

在pc机上利用Matlab软件编程,计算数值算例验证了理论收敛阶。

【总页数】4页(P361-364)
【作者】李娟;王威
【作者单位】应天职业技术学院基础部,江苏南京210046;应天职业技术学院基础部,江苏南京210046
【正文语种】中文
【中图分类】O241.82
【相关文献】
1.求解变系数时滞抛物型方程的高精度数值解法 [J], 刘明鼎;张艳敏
2.一类非线性边界条件的抛物型方程组的周期解的数值解法 [J], 陈玉娟
3.一类抛物型方程反问题的数值解法 [J], 葛美宝;徐定华;王泽文;张文
4.一类时滞非线性抛物型方程的数值解法 [J], 舒阿秀;郝庆一;胡万宝
5.求解一维变系数抛物型方程的高精度数值解法 [J], 刘明鼎;张艳敏;段素芳
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一类变分问题的欧拉方程和自然边界条件欧拉方程和自然边界条件是一类变分问题的重要组成部分。

变分问题是利用变分法从实际问题构建的数学描述，是一种实用工具，可以用来解决各种复杂科学和工程问题。

一类变分问题是指那些满足一定条件的变分问题，本文将讨论它们的欧拉方程和自然边界条件的构成。

首先，让我们看一类变分问题的定义。

一类变分问题是以下形式的变分问题：$$min_{uin V}J[u] =int_{Omega}L(x,u,frac{partialu}{partial x})dx$$其中，$u$是某个函数空间$V$内的函数，而$L$是某个特定的拉格朗日函数，而$Omega$是变分问题设置的某个特定区域。

在这类变分问题中，欧拉方程是一个关键组成部分，它是一个偏微分方程，它可以用来衡量变分法求解数值误差。

欧拉方程可以根据变分问题的具体形式来给出。

比如对于上述的一类变分问题，欧拉方程可以给出下面的形式：$$frac{partial L}{partial u}-frac{d}{dx}frac{partial L}{partial frac{partial u}{partial x}}=0$$以上就是欧拉方程的一般形式，除此之外，这个欧拉方程还应该满足自然边界条件，这些边界条件是利用变分法对边界的处理所导致的。

比如上述问题，自然边界条件应该可以给出下面的形式：$$frac{partial u}{partial n}=f(x)$$其中，$f(x)$是定义在边界上的一个特定函数，$n$表示边界上的单位向量。

欧拉方程和自然边界条件是一类变分问题的重要组成部分，它们可以根据问题的具体形式来给出。

欧拉方程可以用来衡量变分法求解数值误差，而自然边界条件则是采用变分法考虑边界的结果。

变分法是一种实用工具，可以用来解决各种复杂的科学和工程问题，而一类变分问题也是一个重要的部分，它们的欧拉方程和自然边界条件必须被给出，以求解变分问题。

有相变的变系数抛物型微分方程自由边界问题崔晓丽;刘威;孟丽娜【摘要】研究一类变系数抛物型微分方程的自由边界问题,根据变系数这一特点,用积分插值法建立方程的守恒差分格式.在方程有相变的情况下,相应地用显式差分格式逼近微分方程,得到离散点温度值随时间或空间变量变化的规律.【期刊名称】《黑龙江工程学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(026)002【总页数】4页(P74-77)【关键词】变系数;自由边界;数值分析;差分格式【作者】崔晓丽;刘威;孟丽娜【作者单位】黑龙江工程学院数学系,黑龙江哈尔滨150050;黑龙江工程学院数学系,黑龙江哈尔滨150050;黑龙江工程学院数学系,黑龙江哈尔滨150050【正文语种】中文【中图分类】O175.2自由边界问题是指偏微分方程的某些边界是未知的，它需要和定解问题的解一起确定，未知的边界就称为自由边界。

自由边界问题存在于自然科学、工程等诸多领域，探讨自由边界问题的数值解法具有十分重要的意义。

但是，因为问题本身的复杂性和非线性，其数值计算较一般的偏微分方程组定解问题的求解要困难得多。

目前，有关自由边界问题的模型大都是针对常系数抛物型偏微分方程展开的，而本文则是针对变系数抛物型偏微分方程展开。

相比之下，变系数的情形更复杂一些，适用的范围更广泛，更符合自然现象。

本文考虑一维变系数热传导问题，其系数是变量x的函数，初始态为液态的一种物质的有限（或半无限）区域。

在系统的左端有1个冷冻装置，本文讨论如下变系数抛物型方程（1），先考虑在无相变的情况下，在左边界x＝0有一热流量q （t）（小于0）以及在右边界x＝x 0的温度条件。

此时，给出如下初边值问题：其中：α（x）＞0，α（x）＝（x），ρ、c和k分别为密度、比热和热传导系数，ρ、c和k中至少有1个是变量x的函数（其中ρ和c的变化较小，可以近似认为只有k是x的函数）。

初始温度是θ0＝θ0（x）且b （t）代表在边界x＝x 0、t ＞0时的温度。

抛物型初边值问题的边界积分—微分方程及其边界元方法羊丹平
【期刊名称】《《数学年刊：A辑》》
【年(卷),期】1992(001)003
【摘要】本文提出和研究了抛物型方程Neumann初边值问题的一个新的边界归化方法。

它将原始初边值问题归化成一类新的边界积分-微分方程。

由此导出一种新的既保持原始问题的自伴性,又具有可积弱奇性积分核的边界变分方程和边界元方法,给出了近似解在各种范数意义下的先验误差估计。

【总页数】8页(P336-343)
【作者】羊丹平
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O175.26
【相关文献】
1.一类拟线性抛物型偏微分方程初边值问题的逐层优化算法 [J], 张正林
2.一类非线性拟抛物型积分微分方程初边值问题解的爆破 [J], 田应辉
3.一类时滞抛物型偏微分方程初边值问题的奇摄动研究 [J], 张正林
4.二维抛物型偏微分方程初边值问题的解法分析 [J], 张正林
5.非线性拟抛物型积分微分方程的初边值问题和初值问题 [J], 尚亚东;郭柏灵因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一类抛物方程组弱解梯度的有界性
对于一类抛物方程组$F(u) = 0$，其弱解$u$ 的梯度$\nabla F(u)$ 的有界性取决于其线性部分的系数矩阵是否具有有限的特征值，也就是说是否具有有限的条件数。

如果系数矩阵具有有限的特征值，那么$F(u)$ 的弱解$u$ 的梯度$\nabla F(u)$ 就是有界的。

如果系数矩阵具有无限的特征值，那么$F(u)$ 的弱解$u$ 的梯度$\nabla F(u)$ 就是无界的。

另外需要注意的是，这只是对于某一类抛物方程组，其弱解梯度有界性的一般结论，具体的某个方程组是否有界，还需要具体分析。

如果系数矩阵是有限条件数的，那么它的逆存在，这意味着线性部分对于整个方程组是可逆的。

这样的话，梯度的范数就可以通过系数矩阵的范数来进行估算。

因此当系数矩阵具有有限特征值时，梯度的范数是有界的。

另外，如果系数矩阵是非奇异的，那么它的逆存在，这意味着线性部分对于整个方程组是可逆的。

这样的话，梯度的范数就可以通过系数矩阵的范数来进行估算。

因此当系数矩阵是非奇异的时，梯度的范数是有界的。

总之，具体是否有界需要结合具体的系数矩阵进行分析。

有相变的变系数抛物型微分方程自由边界问题有相变的变系数抛物型微分方程自由边界问题是数学分析中一个具有重要理论意义和实际应用价值的问题。

以一维空间有相变系数抛物型微分方程为例，本文分析了论文中有关自由边界问题的解析解，研究了系数变化带来的困境，具体来说，讨论了系数跳跃和变动范围的情况，提出了一称为补偿技术的解决方案，并给出了实际应用的实例，为此问题提供了有效的数值计算方法。

一维有相变系数抛物型微分方程一般形式为：$$begin{cases}frac{d^2 u}{dt^2} + q(t) frac{d u}{dt} + p(t) u(t) = f(t) t in [t_0,t_1]u(t_0) = alphau(t_1)= betaend{cases}$$其中$u(t)$为未知函数，$p(t)$、$q(t)$、$f(t)$为带有变化情况的给定函数，$t_0$、$t_1$为区间的端点， $alpha$、$beta$为初始和终止条件。

考虑系数 $p(t)$ $q(t)$在$[t_0,t_1]$内发生跳跃或变动，出现系数变化的情况。

首先，在此情况下，上述方程组可以转化为一组以多个子区间分割的子方程组：$$begin{cases}frac{d^2 u}{dt^2} + q_i(t) frac{d u}{dt} + p_i(t) u(t) = f_i(t) t in [t_{i-1},t_i]u(t_{i-1}) = u_{i-1}u(t_i)= u_iend{cases}$$其中 $i =1,2,…,n$，$n$为区间的长度，$u_{i-1}$和$u_i$分别是子方程在$[t_{i-1},t_i]$间上的初值和终值，$p_i(t)$ 、$q_i(t)$和$f_i(t)$分别代表跳跃之后的系数。

由于系数发生变动，困难就出现了：子方程组的右端项$f_i(t)$和边界条件$u_{i-1}$和$u_i$可能与系数变动之前有所差别，但是在系数变动之后，需要将这些右端项和边界条件补偿，以保证其可以与系数变动之后的子方程组相协调。

微分方程的边界值问题微分方程是数学中的一个重要分支，用于描述自然界中的各种变化和关系。

边界值问题是微分方程的一个特殊类型，它在许多实际问题中具有重要意义。

本文将介绍微分方程的边界值问题并探讨其应用。

一、什么是微分方程的边界值问题是一类特殊的微分方程问题。

在这类问题中，除了给出方程的微分形式，还需要给出边界条件，即在特定的边界位置上给出方程解的值或导数值。

边界条件的给定使问题具有唯一的解。

二、一阶我们先来看一阶微分方程的边界值问题。

一阶微分方程是指方程中出现的最高阶导数为一阶的微分方程。

常见的一阶微分方程的边界值问题为：y'(x) = f(x, y(x)), a ≤ x ≤ by(a) = α, y(b) = β其中，y'(x)表示y关于x的导数，f(x, y(x))是给定的函数，a和b是给定的边界值，α和β是给定的常数。

三、二阶接下来我们讨论二阶微分方程的边界值问题。

二阶微分方程是指方程中出现的最高阶导数为二阶的微分方程。

常见的二阶微分方程的边界值问题为：y''(x) = f(x, y(x), y'(x)), a ≤ x ≤ by(a) = α, y(b) = β其中，y''(x)表示y关于x的二阶导数，f(x, y(x), y'(x))是给定的函数。

四、边界值问题的应用微分方程的边界值问题在科学和工程领域中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，边界值问题可以用来描述杆、梁、薄膜等结构的变形情况。

在工程学中，边界值问题可以用来计算流体的流动状态和热传导问题。

在经济学中，边界值问题可以用来分析市场行为和经济增长。

五、总结微分方程的边界值问题是微分方程中重要的问题类型，它描述了在特定的边界条件下微分方程的解。

一阶和二阶微分方程的边界值问题是常见的类型，其应用广泛且多样化。

边界值问题在自然科学、工程技术和社会经济等领域都具有重要的作用。

在解决实际问题时，我们需要根据具体情况选择适当的微分方程模型和边界条件，并运用合适的数值或解析方法求解。