机械CAD 基础
第三讲 图形编辑命令
今天我们继续介绍编辑命令。图形的编辑包括图元的修改和图形对象形状和位置的变化。整个图形形状或位置的变化，实际上就是图形坐标的改变。在计算机图形学原理中，这种改变是通过矩阵变换来实现的。矩阵是实现几何变换的有效工具。为了统一用矩阵来表示各种图形的变换，通常用齐次坐标来表示各点的坐标，即二维点用三维坐标来表示，三维点用四维坐标来表示。象这种用n+1维坐标来表示n 维坐标的方法就叫齐次坐标表示法。有了齐次坐标就可以方便地实现图形的变换。
一、 图形的几何变换
图形变换是指对图形的几何信息进行几何变换后产生新的图形。计算机图形学传统的表达方法，二维点的齐次坐标矩阵
[]1y x
P =，统一的图形变换矩阵T 可分别表示为： ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=s m
l q d
c p b
a T 变化后新坐标为P*
[][][]s qy px m dy bx l cy ax s m l q d
c p b
a y x
h y x ++++++=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=1***
正常化处理后坐标为P`
[]⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++++++++=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=11***
*
1''
s qy px m dy bx s qy px l
cy ax h y h x y x
二、基本变换：包括恒等变换、比例变换、镜像变换、旋转变换、平移变换、错切变换等。
1、比例变换：通过SCALE 命令可以实现图形的放大或缩小操作。
变换矩阵可表示为：⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=s d a T S 000000，比例因子a 、b 全比例因子s 图形变换可以通过比例因子d a 、或全比例因子s 分别控制。 比例变换后的新点'P 为
[][][]⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡−−−→−=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=100000011''s dy s
ax s dy ax s d a y x
y x 正常化 讨论：
（1）当s=1时， 若1==d a ，为恒等比例变换，即保持图形不变。
若1>=d a ，为等比例放大，若d a ≠则图形向某一方向变化。 比如a=d=2, 则[][][]12210002000211''y x y x y x =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡= 如下图所示
若1<=d a ，为等比缩小。
（2）当1==d a 时， 若s>1为等比例缩小
若s<1为等比例放大
2、镜射变换：通过mirror 命令实现的。变换矩阵为 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=10
000d
c b
a T m 变换后的'P 为
[][][]11000011''dy bx cy ax d c b a y x y x ++=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡= 讨论：当0==c b 时，若对x 轴镜像变换
[][][]110001000111''y x y x
y x -=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=
若11=-=d a ，对y 轴镜像变换
若11-=-=d a ，对o 点镜像变换
当0==d a 时，
若11==c b ，对y=x 的镜射变换
[][][]110000101011''
x y y x
y x =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=
若11-=-=c b ，对y=-x 的镜射变换
3、平移变换：通过move 命令可以实现图形的平移操作，其平移变换矩阵为
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=1010001m l T t 平移系数为l 、m 变换后点'P 为
[][][]1101000111''m y l x m l y x
y x ++=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=
沿x 、y 方向分别移动l 、m
11-==d a
，
4、旋转变换：通过Rotater 命令可以实现图形的旋转操作，若旋转角度θ，则变换矩阵为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10
0cos sin 0sin cos θ
θ
θθr T 变换后的'P 为
[][][]
1cos sin sin cos 10
0cos sin 0sin cos 11''θθθθθ
θ
θθ
y x y x y x
y x +-=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=
5、错切变换：通过Stretch 命令，拉伸选定图形，使图形形状发生变化。
其图形错切变换矩阵可表示为 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=1000101c b T c
变换后的'P 点为
[][][]1100010111''
y bx cy x c b y x
y x ++=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=
当 沿+y 方向错切
沿-y 方向错切
当00>=c b ， 沿+x 方向错切 沿-x 方向错切
例1 判断下面矩阵是什么变换变换？对应的图形是什么样？
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-100010001 对y 轴镜像，图形
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001 对原点镜像，图形
0=b c
，
