河北工业大学硕士学位论文两类风险因子线性投资组合的条件风险价值姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20071201河北工业大学硕士学位论文两类风险因子线性投资组合的条件风险价值摘要本文把离散型随机变量为一维情景预设模型时线性投资组合的CVaR推广到风险因子服从多项分布和多维Poisson分布时线性投资组合的CVaR；此外，利用CVaR与ES在随机变量可积时的相等关系推导出连续型风险因子服从多维逻辑斯特分布与多维指数幂分布时线性投资组合的CVaR；最后给出一种特殊的连续型风险因子线性投资组合的CVaR.本文共分五章.第二章是预备知识.第三，第四章是本文的主体：首先，第三章给出了风险因子服从多项分布与多维泊松分布时线性投资组合的CVaR；而后，第四章第一节给出了风险因子服从多维逻辑斯特分布和多维指数幂分布时线性投资组合的CVaR，第二节给出风险因子为一种特殊的随机变量----多维泊松分布随机变量与多维指数幂分布随机变量之和----时线性投资组合的CVaR.第五章为结论.关键词：风险价值，条件风险价值，期望亏空，线性投资组合，离散型随机变量，连续型随机变量i各类风险因子线性投资组合条件风险价值iiCONDITIONAL V ALUE-AT-RISK FOR LINEAR PORTFOLIOS WITH TWO CATEGORY DISTRIBUTIONSRISK FACTORSABSTRACTIn the paper, we have extended CVaR of linear portfolios about discrete random variableof scenario models in space of one dimension to CVaR of linear portfolios of multinomial distribution and multi-Poisson power distribution in the hyperspace. In the same time, it presents CVaR of linear portfolios about random variables which have a logistic distribution and an exponential power distribution in use of the equivalence of CVaR and ES when the variables are integral. Finally, it gives CVaR of linear portfolios about the sum of different forms of random variables.There are five chapters in the paper. The first chapter is the introduction. The second one is the pre-knowledge of the paper. The third one and the forth one are the main body of the paper. At first, the third chapter offers CVaR of linear portfolios about random variables with multinomial distribution and multi-Poisson power distribution. Then the forth chapter presents CVaR of linear portfolios about random variables which have a logistic distribution and an exponential power distribution as well as CVaR of linear portfolios about the sum of different form of random variables. The last chapter is the conclusion.KEY WORDS：VaR, CVaR, ES, linear portfolios, discrete random variable, continue random variable河北工业大学硕士学位论文第一章 绪 论金融市场风险已成为金融机构和监管当局关注的焦点，许多金融机构投入大量资源开发金融风险技术.作为风险管理核心和基础的风险测量技术自上世纪九十年代以来，取得了许多重要进展，其中VaR 模型成了金融市场风险测量的主流模型.然而，研究发现，VaR存在两个重大缺陷：不满足一致性公理以及尾部损失测量的不充分（见文献[1,2,3 ]）.著名的一致性公理是由Artzner等在1997年提出的，其内容是：若某种风险计量满足次可加性、正齐次性，单调性和传递不变性四个条件，则该风险计量是一致性风险计量.Artzner等指出，只有满足一致性要求的风险计量方法才能充当投资组合管理工具.一致性公理表达的是金融风险最基本的常识.通过这些条件将检验风险计量工具对投资组合的局部和总体的风险度量是否保持一致性.在一致性公理的四大条件中，次可加性是最为重要的.若VaR不满足次可加性，它就不是凸性的风险计量，我们也就不能通过优化来求得最小风险投资组合.而且，当VaR不满足次可加性时，投资组合的VaR值会大于投资组合中各项资产的VaR值的和，这将产生一个错误的风险规避策略：一个包含多个部门的金融机构只要将其资产分别划分给其下的各个部门，由各个部门分别计算VaR再求和，就能实现整个金融机构的风险降低.显然违背次可加性将有可能给金融监管系统带来系统漏洞.另外，我们可以证明，当且仅当投资组合的收益或损失呈正态分布时，VaR才满足次可加性，进而满足一致性要求.但是许多文献已经给出证明，无论是在国内还是国外的证券市场，投资组合的收益或损失分布都是厚尾或有偏的，即不满足正态性.这也意味着，用VaR来度量投资组合风险是不满足次可加性的，不符合一致性公理的要求.根据Jorion给出的定义（见文献[4]），VaR是指在给定的置信水平和投资期内投资组合可能遭受的最大损失.可见，VaR本质上只是对应于某置信水平的分为数，故又称之为分位点VaR.因此它无法考查分位点下方的信息，即所谓的左尾损失，这就是VaR尾部损失测量的非充分性.VaR方法的这一缺陷使人们忽略了小概率发生的巨额损失事件甚至是金融危机，而这又恰恰正是金融监管部门所必须重点关注的.正是因为VaR方法越来越为人们所熟知和认可而广泛应用于金融系统的风险度量，但其本质又有着上述的缺陷，故研究界纷纷试图对其进行改良，找到一个既具有可操作性又满足一致性公理，特别是考虑到左尾损失极值的风险测量.其中Rockafellar等学者在1997年提出的CVaR（条件风险价值）这一概念（见文献[5,6,7 ]）引起了证券界金融风险管理人员的重点关注，并得到了越来越多业界人士的认可.CVaR是指在投资组合的损失大于某个给定的VaR值条件下的期望损失.从数学上看，CVaR实际上1各类风险因子线性投资组合条件风险价值是个期望值.由此不难发现CVaR与VaR的区别：首先，CVaR不是一个单一的分为数，而是尾部损失的均值，只有将所有大于VaR的损失值都考虑到才能计算，因此它对尾部损失的测量是充分的.其次，Artzner[8]、Acerbi[9]等通过不同渠道证明CVaR是满足次可加性的，因此不论回报是否服从正态分布，CVaR都是一致的风险计量.所以，我们可以认为与VaR相比，CVaR无疑是更加完善的资产组合风险管理工具，也是以后资产组合风险管理技术发展的重要方向之一.本文受文献[5], [9], [16], [17]的启发，把 [5]中离散型随机变量为一维情景预设模型时线性投资组合的CVaR推广到风险因子服从多项分布和多维Poisson分布（见文献[10,11,12]）时线性投资组合的CVaR；此外，利用文献[9]给出的CVaR与ES（见文献[13,14,15]）在随机变量可积时的相等关系以及文献[16,17]得出的椭圆分布（见文献[18,19]）的ES值，推导出连续型风险因子服从多维逻辑斯特分布与多维指数幂分布时线性投资组合的CVaR；最后给出一种特殊的连续型风险因子线性投资组合的CVaR.本文共分五章.第二章是预备知识，介绍了本文的相关概念与相关引理.第三，第四章是本文的主体：首先，第三章给出了投资组合的收益或损失为多项分布和多维Poisson随机变量的线性函数的CVaR；而后，第四章第一节给出了投资组合的收益或损失为随机变量服从逻辑斯特分布与指数幂分布的线性函数的CVaR，第二节给出了投资组合的收益或损失是一类特殊的随机变量——两种类型随机变量之和(见文献[20])——的线性函数的CVaR.第五章为结论，对本文的主要工作进行总结.2河北工业大学硕士学位论文第二章 预备知识3r 记1212(,,...,),(,,...,)r x x x x y y y y ==，…，则相应的列向量记作t x ，ty ，…，其中表示矩阵的转置.记r 矩阵，t r ×()ij r r A ×=A ()ij r r B ×=B ，…,满足通常所定义的矩阵的乘法.特别的, 左乘列向量A t y ,记作t y A ,右乘行向量A x ,记作x A ；2212r 2x x x x x =++⋅⋅⋅+i 表示欧氏内积.我们称[0上种投资产品的投资组合价值的收益损失函数,]t r ()()(0)t t ΔΠ=Π−Π是线性的，如果是各种投资产品收益或损失()t ΔΠ()j X t (1,2,...,)j r =的线性函数，即：()()(0)t t ΔΠ=Π−Π=1122()()...()r r X t X t X t δδδ+++.为了便于书写，我们把()t ΔΠ简记作ΔΠ，()j X t 简记作j X .令12(,,...,)r δδδδ=，12(,,...,)r X X X X =，则：1rtj j j X X X δδδ=ΔΠ===∑i .§2-1 相关概念定义 (Va [15]2.1.1R β) 设(0,1]β∈是个固定值，X 是概率空间(,,P)ΩF 上一实随机变量，定义in .我们称f ∅=∞ ()inf{:[]}q X x P X x ββ=∈≤≥ （1)为X 的分为数，VaR ()()X q X ββ=−为置信水平为β时X 的风险价值(VaR β).定义 (ES [9]2.1.2β) 设(0,1]β∈是个固定值，X 是概率空间(,,P)ΩF 上一实随机变量，且.设为(1)中定义的分为数，我们称E[max(0,)]X −<∞)q X β(q X β−1{()}ES ()(1)(E[1](){[()]})X q X X q X P X βββββ−−≥−=−−+−−−<−为X 在置信水平为β时的期望亏空（ES β）.定义 ([5]2.1.3CVaR β) 设(0,1]β∈是个固定值，X 是概率空间(,,P)ΩF 上一实随机变量，则X 的β-尾分布的均值称作条件风险价值（CVaR β）.各类风险因子线性投资组合条件风险价值定义 ([5]2.1.4CVaR β+ 和CVaR β−) 设(0,1]β∈是个固定值，X 是概率空间(,上一实随机变量，则,P)ΩF CVaR ()E[|VaR ]X X X ββ+=−<− (2) 称作X 在置信水平为β时的上条件风险价值（CVaR β+）.CVaR ()E[|VaR ]X X X ββ−=−≤−称作X 在置信水平为β时的下条件风险价值（CVaR β−）.定义 ( r 维逻辑斯特分布) 若随机向量[19]2.1.5X 满足如下条件，我们称它的分布为n 维逻辑斯特分布.1）X 的密度生成元形式为：2φ()(1)uu e u e −−=+. 2）X 的联合密度函数具有如下形式：121121exp(()())2f ()||1(1exp(()()))2t X r t x x x c x x μμμμ−−−−−−=+−−−ΣΣΣ (3) 其中211121(2)[(1)]r rj r j c jπ∞−−−−==−∑.定义 ( r 维指数幂分布) 若随机向量[19]2.1.6X 满足如下条件，我们称它的分布为r 维指数幂分布.1）X 的密度生成元形式为：φ()sr u u e′−= ，其中,0r s ′>.2）X 的联合密度函数具有如下形式：1102f ()||exp{[()()]}2t s X r r x c x x μμ−−=−−−ΣΣ (4) 其中(2)2(2)(2)(2)r s r r s r c r r s πΓ=Γ. 定义 (r 维泊松分布) 设[11]2.1.712(,,...,)r X X X X =是r 元随机变量，如果12(,,,)r X x x x =⋅⋅⋅的联合概率密度函数为121112(12121211(,,,)!()!()!rr r x x x x xr r r r P x x x e x x x x x )λλλλλλ−−−−+++−⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅− (5)4河北工业大学硕士学位论文其中0k λ>，.1,2,,k r =⋅⋅⋅12r x x x ≤≤⋅⋅⋅≤，0,1,2,k x =⋅⋅⋅，1,2,,k r =⋅⋅⋅.则称X 服从参数为12(,,,)r λλλ⋅⋅⋅的r 元泊松分布，记作12~(,,,)r r X P λλλ⋅⋅⋅.定义 ( r 维多项分布) 设[10]2.1.812(,,...,)r X X X X =是r 元随机变量，如果12(,,,)r X x x x =⋅⋅⋅的联合概率密度函数为11211!(,,,)!!r x x r r n P x x x p p x x r ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ， (6)其中诸i x 为非负整数，且1rii xn ==∑，01i p ≤≤，1,,i r =⋅⋅⋅，11ri i p ==∑，则称12(,,,)r x x x ⋅⋅⋅服从多项分布，记为1(,,,)r M n p p ⋅⋅⋅.注2.1.9 由定义2.1.3和2.1.4可知当X 为连续型随机变量时，CVaR β=CVaR β+=CVaR β−. 注2.1.10 一般情况下我们默认置信水平为β时X 的风险价值(VaR β)为正值，X 表示投资组合的收益或损失，当X 表示投资组合的损失时为负值.§2-2 相关引理现在，我们定义,X ΔΠ的表示形式同上，i X 为满足均值为μ，协方差为的椭圆分布，即：t=ΣAA 12(,,...,)~E (,,)r r X X X μψΣ()ψi 表示X 的特征生成元.则X 的概率密度函数具有如下形式：121f ()||g(()())t X x x x μμ−−=−−ΣΣ||Σ其中表示的行列式；，通过傅立叶变换，上Σ0g :+→ ≠n 2g(||||)x 可化作2(||||)ψξ形式.引理 设[17]2.2.1(0,1)β∈，t X X δδΔΠ==i 是r 维风险因子12(,,...,)r X X X X =的线性函数，其中12(,,...,)r δδδδ=，j δ(1,2,...,)j r =是j X 投资权重，且12(,,...,)~E (,,)r r X X X μψΣ，即X 的概率密度函数为121f ()||g(()())t X x x x μμ−−=−−ΣΣ，为g + 上连续可积且处处不为零的函数.若记g (1),VaR r q βδμ−+=i ，则置信水平为β时该投资组合的期望亏空ES β为：g 2(1),1g 22(1),()ES (())g()r r rq u qu du βββδμ−−+∞−=−+−i .引理 设[9]2.2.2(0,1)β∈是个固定值，X 是概率空间(,,P)ΩF 上一实可积随机变量，则5各类风险因子线性投资组合条件风险价值ES β=CVaR β.引理（条件风险价值作为加权平均） 设[5]2.2.3(0,1)β∈是个固定值，X 是概率空间(,,P)ΩF 上一实随机变量，VaR β为置信水平为β时X 的风险价值，CVaR β+为置信水平为β时X 的上条件风险价值.令(|VaR )1P X X βββλβ≤−−=−，则（i ）当时，(|VaR )1P X X β≤−<1βλ<，即存在比VaR β大的损失，有CVaR VaR (1)CVaR ββββλλβ+=+−（ii ）当时，(|VaR )1P X X β≤−=1βλ=，即VaR β为所有可能发生损失的最大值，此时CVaR β+没有意义.有CVaR VaR ββ=6第三章 两种离散型风险因子线性投资组合的CVaR关于多元离散型分布,由于其复杂性,除了多项分布和多元Poisson 分布外,对其研究一直较少.本文利用数学分析与概率统计相关知识（见文献[21, 22]）给出多项分布和多元Poisson 分布的条件风险价值.定理3.1 设(0,1)α∈是个固定值，[0上种投资产品的投资组合的收益损失函数,]t r X δΔΠ=it X δ=是r 维风险因子12(,,...,)r X X X X =的线性函数，其中j X (1,2,...,)j r =是各种投资产品收益或损失，12(,,...,)r δδδδ=，j δ(1,2,...,)j r =是j X 投资权重.若 12(,,...,)r X X X X −=−−−服从r 维Possion 分布，则X −的概率密度函数为定义2.1.7中（5）式形式.若记1VaR α−为置信水平为1α−时投资组合的风险价值，则：（i ）当时，1(|VaR )P α−ΔΠΔΠ≤−<111(|VaR )1P αααλα−−−ΔΠΔΠ>−=<，置信水平为1α−时投资组合的条件风险价值12111212()11112()11(,,,)11211CVaR (1)!()!()!rr r r rr j j j j n k j j x x x x x rr j tX x x x j r r x i jx X ex xx x x αλλλαααδδλλλδδλ−+==−−−+++−−=⋅⋅⋅=−<−⋅⋅⋅=+−−⋅⋅⋅−∑∑∑∑其中 12111212()111()121(,,,)1211(|VaR )!()!()!rr r r r r j j j j n k j j x x x x xr X x x x r r x i P e x x x x x αλλλαδδλλλ−+==−−−+++−=⋅⋅⋅−>−⋅⋅⋅ΔΠΔΠ>−=−⋅⋅⋅−∑∑∑，(1)(2)()111(,,,)kkkr n n n X i i i αααα+++=⋅⋅⋅()0,1,2,k m n ，i =⋅⋅⋅，1,2,,m r =⋅⋅⋅.（ii ）当时，1(|VaR )P α−ΔΠΔΠ≤−=111(|VaR )1P αααλα−−−ΔΠΔΠ>−==，置信水平为1α−时投资组合的条件风险价值11CVaR VaR αα−−=()11krj j n j i αδ+==∑t X αδ=其中1(|VaR P )α−ΔΠΔΠ>−，X α同（i ）.证明：X −服从r 维Possion 分布，当12(,,...,)r X n n n −=时，由定义2.1.7中（5）式，有121112()1211221211(,,,)!()!()!rr r n n n n nr r r r r P x n x n x n e n n n n n λλλλλλ−−−−+++−⋅⋅⋅−=−=⋅⋅⋅−==−⋅⋅⋅−可知当12(,,...,)r X n n n =−−−时，121112(1211221211(,,,)!()!()!rr r n n n n nr r r r r P x n x n x n e n n n n n )λλλλλλ−−−−+++−⋅⋅⋅=−=−⋅⋅⋅=−=−⋅⋅⋅− (7)对固定参数0k λ>，1,2,,k r =⋅⋅⋅.记，则121122(,,,r n n n r r P P x n x n x ⋅⋅⋅==−=−⋅⋅⋅=−)n 12r n n n P ⋅⋅⋅共有可列个点，按损失从小到大排序相应的损失点记为：(1)(2)()(1)(2)()(1)(2)()000111(,,,)(,,,)(,,,)k k k r r n n n i i i i i i i i i −−⋅⋅⋅−<−−⋅⋅⋅−<⋅⋅⋅<−−⋅⋅⋅−<⋅⋅⋅r )其中对应的概率为，(1)(2)()(,,,kk k r n n n i i i −−⋅⋅⋅−(1)(2)()r n n n kkkii i P ⋅⋅⋅()0,1,2,km n i =⋅⋅⋅，，，.1,2,,m r =⋅⋅⋅0,1,2,k n =⋅⋅⋅1,2,,k r =⋅⋅⋅对任意(0,1)α∈，存在非负整数k n α使得(1)(2)()(1)(2)()1r r n n n n n n kk k kk k k k k k ii i ii i n n n n P P ααα∞∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅==+≥>∑∑由定义2.1.1中（1）式可得置信水平为1α−时投资组合的风险价值1VaR α−=，(1)(2)()12111(,,...,)(,,,)kkkr t r n n n i i i αααδδδ+++⋅⋅⋅i ()11krj j n j i αδ+==∑其中,1,2,,j k r α=⋅⋅⋅， 0,1,2,k n α=⋅⋅⋅)令(1)(2)()111(,,,kkkr n n n X i i i αααα+++=⋅⋅⋅则1VaR t X ααδ−=. （8）根据引理2.2.3（i ）当时，1(|VaR )P α−ΔΠΔΠ≤−<111(|VaR )1P αααλα−−−ΔΠΔΠ>−=<，置信水平为1α−时投资组合的条件风险价值111CVaR VaR (1)CVaR 1αααλ+−−−=+−α− （9）由定义2.1.4，以及(7)式可知置信水平为1α−时投资组合的上条件风险价值11CVaR [|VaR ]E αα+−−=−ΔΠΔΠ<−12(,,,)0,1,2,,1,2,,()(|r k t t t X x x x x k r)t X P X X X αδδδδ=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=−<−∑)12()11112(,,,)1()(,,,r r r j j j j n k j j rj j r X x x x j x i x P x x x αδδδ+===⋅⋅⋅=<−=−⋅⋅⋅∑∑∑∑12111212()111()12(,,,)11211()()!()!()!rr r r r r j j j j n k j j x x x x xrr j j X x x x j r r x i x e x x x x x αλλλδδλλλδ−+==−−+−+−+++=⋅⋅⋅=−<−⋅⋅⋅=−−−+⋅⋅⋅−+∑∑∑∑12111212()11112()(,,,)11211()!()!()r r r r rr j j j j n k j j x x x x x rr j jX x x x j r r x i !x ex xx x x αλλλδδλλλδ−+==−−+−+−+++=⋅⋅⋅=−<−⋅⋅⋅=−−−+⋅⋅⋅−+∑∑∑∑则由（9）式，111CVaR VaR (1)CVaR 1αααλα+−−−=+−−12111212()11112()1(,,,)11211(1)()!()!()rr r r rr j j j j n k j j x x x x x rr j jtX x x x j r r x i x X ex xx x x αλλλααδδλλλδδλ−+==−−+−+−+++−=⋅⋅⋅=−<−⋅⋅⋅=−−−−+⋅⋅⋅−+∑∑∑∑ !其中11(|VaR P )αααλα−−−ΔΠΔΠ>−=，12111212()11112()1(,,,)1211(|VaR )()!()!()!rr r r r r j j j j n k j j x x x x x r j jX x x x r r x i x P e x x x x x αλλλαδδλλλδ−+==−−+−+−+++−=⋅⋅⋅−>−⋅⋅⋅ΔΠΔΠ>−=−−+⋅⋅⋅−+∑∑∑（ii ）当时， 1(|VaR )P α−ΔΠΔΠ≤−=111(|VaR )1P αααλα−−−ΔΠΔΠ>−==，由（8）式，1VaR α−为置信水平为1α−时投资组合可能发生的最大损失，1CVaR α+−没有意义，置信水平为1α−时投资组合的条件风险价值11CVaR VaR αα−−=()11k rj j n j i αδ+==∑tX αδ=. 证毕. 定理3.2 设(0,1)α∈是个固定值，[0上种投资产品的投资组合的收益损失函数,]t r X δΔΠ=it X δ=是r 维风险因子12(,,...,)r X X X X =的线性函数，其中j X (1,2,...,)j r =是各种投资产品收益或损失，12(,,...,)r δδδδ=，j δ(1,2,...,)j r =是j X 投资权重.若 12(,,...,)r X X X X −=−−−服从r 维多项分布，则X −的概率密度函数为定义2.1.8中（6）式形式.若记1VaR α−为置信水平为1α−时投资组合的风险价值，则：ΔΠ1（i ）当时，置信水平为11(|VaR )P α−ΔΠΔΠ≤−<α−时投资组合的条件风险价值112()111111(,,,)11CVaR !(1)!!r r r r j j j j n k j j rj jx x tr X x x x j rx i x X n px x ααααδδp δδλ+==−−=⋅⋅⋅=<−=+−⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑∑∑∑其中11(|VaR )1P αααλα−−−ΔΠΔΠ>−=<112()11111(,,,)1(|VaR )!!rrrr j j j j n k j j j jx x r X x x x r x i x P p x x ααδδp δ+==−=⋅⋅⋅>−ΔΠΔΠ>−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑∑∑， (1)(2)()111(,,,)kkkr n n n X i i i αααα+++=⋅⋅⋅()0,1,2,k m n ，i =⋅⋅⋅，1,2,,m r =⋅⋅⋅.（ii ）当时，1(|VaR )P α−ΔΠΔΠ≤−=111(|VaR )1P αααλα−−−ΔΠΔΠ>−==，置信水平为1α−时投资组合的条件风险价值11CVaR VaR αα−−=()11krj j n j i αδ+==∑t X αδ=其中1(|VaR P )α−ΔΠΔΠ>−，X α同（i ）.证明： X −服从r 维多项分布，当12(,,...,)r X n n n −=时，由定义2.1.8中（6）式有1112211!(,,,)!!r n n r r r r n P x n x n x n p p n n −=−=⋅⋅⋅−==⋅⋅⋅⋅⋅⋅可知当12(,,...,)r X n n n =−−−时，1112211!(,,,)!!r n r r r r n P x n x n x n p p n n =−=−⋅⋅⋅=−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅n )n (10)记，则121122(,,,r n n n r r P P x n x n x ⋅⋅⋅==−=−⋅⋅⋅=−12r n n n P ⋅⋅⋅共有可列个点，按损失从小到大排序相应的损失点记为：(1)(2)()(1)(2)()(1)(2)()000111(,,,)(,,,)(,,,)k k k r r n n n i i i i i i i i i −−⋅⋅⋅−<−−⋅⋅⋅−<⋅⋅⋅<−−⋅⋅⋅−<⋅⋅⋅r )其中对应的概率为，(1)(2)()(,,,kk k r n n n i i i −−⋅⋅⋅−(1)(2)()r n n n kkkii i P ⋅⋅⋅()0,1,2,km n i =⋅⋅⋅，，，.1,2,,m r =⋅⋅⋅0,1,2,k n =⋅⋅⋅1,2,,k r =⋅⋅⋅对任意(0,1)α∈，存在非负整数k n α使得(1)(2)()(1)(2)()1r r n n n n n n kk k kk k k k k k ii i ii i n n n n P P ααα∞∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅==+≥>∑∑由定义2.1.1中（1）式可得置信水平为1α−时投资组合的风险价值1VaR α−=，(1)(2)()12111(,,...,)(,,,)kkkr t r n n n i i i αααδδδ+++⋅⋅⋅i ()11krj j n j i αδ+==∑其中,1,2,,j k r α=⋅⋅⋅， 0,1,2,k n α=⋅⋅⋅)令(1)(2)()111(,,,kkkr n n n X i i i αααα+++=⋅⋅⋅，则1VaR t X ααδ−=. （11）根据引理2.2.3（i ）当时，1(|VaR )P α−ΔΠΔΠ≤−<111(|VaR )1P αααλα−−−ΔΠΔΠ>−=<，置信水平为1α−时投资组合的条件风险价值111CVaR VaR (1)CVaR 1αααλ+−−−=+−α− （12）又由定义2.1.4，以及（10）式可知置信水平为1α−时投资组合的上条件风险价值11CVaR E[|VaR ]αα+−−=−ΔΠΔΠ<−12(,,,)0,1,2,,1,2,,()(|r k t t t X x x x x k r)t X P X X X αδδδδ=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=−<−∑12()11112(,,,)1()(,,,r r r j j j j n k j j rj j r X x x x j x i )x P x x x αδδδ+===⋅⋅⋅=<−=−⋅⋅⋅∑∑∑∑112()1111(,,,)11!()()!()!r r r r j j j j n k j j rx x j j r X x x x j r x i n x p p x x αδδδ+==−−=⋅⋅⋅=<−=−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−∑∑∑∑112()1111(,,,)11!()!()!r r r r j j j j n k j j rj jx x r X x x x j rx i x n x x αδδpp δ+==−=⋅⋅⋅=<−=−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−∑∑∑∑−1则由（12）式，111CVaR VaR (1)CVaR αααλα+−−−=+−−112()11111(,,,)11!(1)()!()!r r r r j j j j n k j j rj jx x tr X x x x j rx i x X n px x αααδδp δδλ+==−−−=⋅⋅⋅=<−=−−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−∑∑∑∑其中11(|VaR P )αααλα−−−ΔΠΔΠ>−=，112()11111(,,,)1(|VaR )()!()!r r r r j j j j n k j j j jx x r X x x x r x i x P p x x ααδδp δ+==−−−=⋅⋅⋅>−ΔΠΔΠ>−=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−∑∑∑（ii ）当时， 1(|VaR )P α−ΔΠΔΠ≤−=111(|VaR )1P αααλα−−−ΔΠΔΠ>−==，由（11）式，1VaR α−为置信水平为1α−时投资组合可能发生的最大损失，1CVaR α+−没有意义，置信水平为1α−时投资组合的条件风险价值11CVaR VaR αα−−=()11krj j n j i αδ+==∑t X αδ=.证毕.注3.3 本文之所以研究X −服从r 维多项分布或Possion 分布，是因为当X 服从多项分布或Possion 分布时，投资组合只有收益没有损失，失去了研究风险价值的意义.第四章 几种连续型风险因子线性投资组合的CVaR§4-1 投资组合收益或损失为椭圆分布随机变量线性函数的CVaR定理4.1.1 设(0,1)α∈是个固定值，[0上r 种投资产品的投资组合的收益损失函数,]t X δΔΠ=it X δ=是维逻辑斯特分布风险因子r 12(,,.X ..,)r X X X =的线性函数，其中j X (1,2,...,)j r =是各种投资产品收益或损失，12(,,...,)r δδδδ=，j δ(1,2,...,)j r =是j X 投资权重，则X 的概率密度函数为定义2.1.5中（3）式形式.记g,r q α=，1VaR α−为置信水平为1α−时投资组合的风险价值，则置信水平为1α−时该投资组合的条件风险价值1CVaR α−为：g 2,()112211CVaR (1)r q r i i i ieααδμ−∞−−+−==−+−i ，其中11121(1)]rj r j c j∞−−−=′=−∑.证明：对任意(0,1)α∈，由定义2.1.4可知X 为可积随机变量，又由引理2.2.2可知1ES CVaR 1αα−−= （13）由引理2.2.1可知1ES α−=g 2,1g 22,()(())g()r r r q u q u du ααδμ−+∞−−∫i则由（13）式1CVaR α−=g 2,1g 22,()(())g()r r r q u q u du ααδμ−+∞−+−i其中12122g()(1)u ru eu c e −−=+.211121(2)[(1)]r rj r j c j π∞−−−−==−∑则1CVaR α−=g 2,112g22,1()22(())(1)r u r r q u eu q du e ααδμ−−+∞−−−+i令2112220122()(1)u r qu eI u q du e−−+∞−=−+∫则2111222201222()222(1)u r r q u u q eu I de −+−+∞−=−+∫211222222()2(1)r r xq x q e x dx e +−−+∞−=−+∫1212r I +=又2122121()21r q xq I x d e−+∞−x ′⎛⎞=−⎜⎟+⎝⎠∫ 212202()()2r x i q i q x e d −∞+∞−=x ′⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠∑∫ 2121212()(1)2r i ix q i q x i e −∞+∞+−=⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠∑∫dx2121212(1)()2r i i q i q i x e −∞+∞+−==−−∑∫x dx21()1221(1)r q i v i i i ve −∞+∞−++==−∑∫dv2112201(1)q r ii i i i eve −∞+∞−+−==−∑∫vdv21112221(1)()()r q r i i i i ieiv e d iv −−∞+∞−−+−==−∑∫v21112221(1)()r q r i i y i iey e d −−∞+∞−−+−==−∑∫y2112211(1)()2r q i i i r ie −∞−−+=+=−Γ∑ 故2,11222,1()22(())(1)g r u r gr q u eI u q du eαα−−+∞−′=−+∫2,()111222112(1)(2gr q r r i i i r ie α+−∞−−+=+=−Γ∑ 2,()11122112((1)2gr q r r i i i r i eα+−∞−−+=+=Γ−∑2则1CVaR α−I δμ′=−+i （14） 把I ′，带入（14）rc g 2,()11122111CVaR 2()(1)2r q r r i i i r i eααδμ+−∞−−+−=+=−+Γ−∑i 2g2,()111112211(1)](1)r q r i rj i j i ji eαδμ−∞∞−−−−−+===−−−∑∑i2g 2,()11221(1)r q r i i i ieαδμ−∞−−+==−+−i其中11121(1)]rj r j c j∞−−−=′=−∑证毕.定理4.1.2 设(0,1)α∈是个固定值，[0上r 种投资产品的投资组合的收益损失函数,]t X δΔΠ=it X δ=是r 维指数幂分布风险因子12(,,...,)r X X X =的线性函数，其中j X (1,2,...,)j =X r 是各种投资产品收益或损失，12(,,...,)r δδδδ=，j δ(1,2,...,)j r =是j X 投资权重，则X 的概率密度函数为定义2.1.6中（4）式形式.记g,r q α=，1VaR α−为置信水平为1α−时投资组合的风险价值，则置信水平为1α−时该投资组合的条件风险价值1CVaR α−为：11CVaR r c αδμα−′=−+i ，其中1122221100221g 2,,11()()122()(())(())112!!()()22r r g 2si s r r i i r r r r i i r r c c r c si q q r r i i ααππ−−i r +++−−∞∞−==−−+′′=−−+++ΓΓ∑∑+ 1220g 21,11()(1)2((1)21)...((1)21)12[(())(!!r si ir i j r r r r j r q j i j α−++∞∞)]2si −==−−⋅−−⋅⋅−−++−−∑∑ 证明：对任意(0,1)α∈，由定义2.1.5可知X 为可积随机变量，又由引理2.2.2可知1ES CVaR 1αα−−= （15）由引理2.2.1可知g 2,1g 221,()ES (())g()r r r q u q u du αααδμ−+∞−=−−∫i由（15）式g 2,1g 221,()CVaR (())g()r r r q u q u du αααδμ−+∞−=−−i其中02g()s r u r u c e−=.(2)02(2)(2)(2)r s r r s r c r r s πΓ=Γ，. 0,0r s >则1CVaR α−0g 2,1g 222,()(())s r r r u r q u q e du ααδμ−+∞−=−+−iδμ′=−i 令021220()sr r u qI u q edu −+∞′−=−∫则2120201()()!r s iqi r u I u q du i −∞+∞=′−=−∑∫ 212021()()!r isi qi r u q u du i −∞+∞=′−=−∑∫011()!ii r I i ∞=′−=∑其中21221()r si qI u q u du −+∞=−∫令1u v=，则 210221111()()r si q 1I q d vv −=−∫v1112222112222()(1)()r r si si r q q vq vq −−++−−−−=−∫2dvq令2x vq =，则111222112210()(1)r r si si r I q x x−−++−−−=−∫dx11222()r si q I −++=即12211220(1)r si r I x xd −−−−−=−∫x122101(1)2((1)21)...((1)21)[1]!r si j j r r r j x x d j −−−−∞=−⋅−−⋅⋅−−+=+∑∫x 11222211001(1)2((1)21)...((1)21)[]!r r si si j j r r r j xdx x x dx j −−−−−−−−∞=−⋅−−⋅⋅−−+=+∑∫∫1221112201(1)2((1)21)...((1)21)!r si r j si j r r r j xdx x dx j −−−−−∞−−−=−⋅−−⋅⋅−−+=+∑∫∫ 171221112201(1)2((1)21)...((1)21)!r si r j si j r r r j xdx x dx j −−−−−∞−−=−⋅−−⋅⋅−−+=+∑∫∫ 1111(1)2((1)21)...((1)21)1()(2!j r r r r j r si j si j ∞)2−−=+−⋅−−⋅⋅−−++=−−+−−∑i a =则0011()!ii r I I i ∞=′−=∑1122021())!r si i i r q I i −++∞=′−=∑112201())!r si i i i r q a i −++∞=′−=∑1121201()1())2!r si i i r r si q i −++∞−=′−+=−−∑11221011()(1)2((1)21)...((1)21)1()()!!r si i i j r r r r j r q j i j −++∞∞2si −==′−−⋅−−⋅⋅−−+++−∑∑− 所以0g 2,1g 222,()(())s r r r r q I u q edu αα−+∞−′=−∫12201g 2,1(12()))2!r si i r i rr si q i α−++∞−=−+=−−∑1220g 21,11()(1)2((1)21)...((1)21)12(())()!!r si ir i j r r r r j r q j i j α−++∞∞2si −==−−⋅−−⋅⋅−−+++−∑∑− 则1CVaR αδμ−′=−+i1r c δμα′=−+i18其中121()2r r r c c I r π−′′′=+Γ1122221100221g 2,,11(()122()))(())112!!()()22r r g 2si s r r i i r r r r i i r r c c r si q q r r i i ααππ−−i ++−−∞∞−==−−+=−−+++ΓΓ∑∑+ 1220g 21,11((1)2((1)21)...((1)21)12[))(!!r si i r i j rr r r j r q j i j α−++∞∞)]2si −==−−⋅−−⋅⋅−−++−−∑∑ 证毕.注4.1.3 当X 服从维指数幂分布时，由定义2.1.5中r X 密度函数可知，r 维正态分布是定义2.1.6中（4）式时的特殊情况，由此可知满足定理4.1.2中条件的r 维正态分布的条件风险价值.01,1r s ==注4.1.4 当X 服从维指数幂分布时，由定义2.1.5中r X 密度函数可知，r 维拉普拉斯分布是定义2.1.6中（4）式012r s ==时的特殊情况，由此可知满足定理4.1.2中条件的维拉普拉斯分布的条件风险价值. r§4-2 投资组合收益或损失为不同类型随机变量之和的线性函数的CVaR除了离散型与连续型随机变量以外，下面我们将给出随机变量为一个离散型随机变量与一个连续型随机变量和的条件风险价值.定理4.2.1 设(0,1)α∈是个固定值，某投资组合在[0上收益或损失函数,]t t Y Y δδΔΠ==i 是维风险因子的线性函数，其中r 12(,,...,)r Y Y Y Y =j Y 是各种投资产品的收益或损失，12(,,...,)r δδδδ=，j δ(1,2,...,)j r =是j Y 投资权重，若Y X X ′′′=+, X ′=12(,,...,)r X X X ′′′,12(,,...,X X X ′′′′′′=)r X ′′，,j j X X ′′′为每个j Y (1,2,...,)j =r 的分支投资产品的收益或损失，其中,X X ′′′相互独立，X ′服从均值为μ，协方差为的维指数幂分布，tΣ=AA r X ′′−服从维泊松分布.记r 1VaR α−为置信水平为1α−时投资组合的风险价值，,tr q α′′=，12(,,,r n n n n )′′=−−− ，则置信水平为1α−时该投资组合的条件风险价值1CVaR α−为：19121112102()12100112111,2,...,()2CVaR 1!()!()!!()2r r r k n in n n n n i r r n k i r r k r r a c e n n n n n n i λλλαπλλλα−−−−∞∞∞−+++−===−=−⋅⋅⋅=−−−⋅⋅⋅−Γ∑∑∑212122,,,,||||(){[(1)()][(1)()]}(21)(2)t r si r si r si r si r r r r n q k q k q k q k r si r si ααααδδμ++++++′′+++−++++−++++A 其中1111(3)2((3)21)...((3)21)1()(1)(2!j i j r r r r j r a si j j ∞)2si −−=+−⋅−−⋅⋅−−++=−−+−−−∑证明：由X ′服从维指数幂分布，则r X ′的概率密度函数具有如下形式：1102f ()||exp{[()()]}2t s X r r x c x x μμ−−′′′=−−−ΣΣ′ 其中12(,,,)r x x x x ′′′′= ，)02(2)(2)(2)r s r r s r c r r s πΓ=Γ，. 0,0r s >又X ′′−服从r 维泊松分布，则12(,,...,)r X n n n ′′−=时，有121112()1211221211(,,,)!()!()!rr r n n n n nr r r r r P x n x n x n e n n n n n λλλλλλ−−−−+++−⋅⋅⋅′′′′′′−=−=⋅⋅⋅−==−⋅⋅⋅−可知当12(,,...,)r X n n n ′′=−−−时，121112()1211221211(,,,)!()!()!rr r n n n n nr r r r r P x n x n x n e n n n n n λλλλλλ−−−−+++−⋅⋅⋅′′′′′′=−=−⋅⋅⋅=−=−⋅⋅⋅−对固定参数0k λ>， ，0,1,2,k n =⋅⋅⋅12r n n n ≤≤⋅⋅⋅≤，1,2,,k r =⋅⋅⋅.记，则Y X 121122(,,,r n n n r r P P x n x n x ⋅⋅⋅′′′′′′==−=−⋅⋅⋅=−)n X ′′′=+的分布函数：F ()()()Y y P Y y P X X y ′′′=<=+<1201,2,...,((,,,);k r n k rP X n n n X y X ∞==)′′′==−−−<∑′′−=<∑∞′⋅⋅⋅′′′<−==1201,2,...,()r k n n n n k rP P X y X ∞⋅⋅⋅==′′′−1201,2,...,f ()r k n n n Xx y x n k rP x dx ′′=∑∫dx 1201,2,...,f ()r k n n n X x y x n k rP x ∞′⋅⋅⋅′′′<−==′′=∑∫由连续型随机变量的定义可知Y 为连续型随机变量，其分布密度函数为：1201,2,...,f ()f ()r k Y n n n X n k ry P y ∞′⋅⋅⋅==x ′′=−∑令，则由条件风险价值的定义，置信水平为112(,,,r n n n n ′′=−−− )α−时投资组合的条件风险价值1CVaR =CVaR 1αα+−−1E[|VaR ]α−=−ΔΠΔΠ<−201VaR 1()f ()Y y y y d αδδα−<−=−∫i i y1VaR 1f ()tt Y y y y d αδδy α−<−=−∫121VaR 01,2,...,1f ()t r k tn n n X y n k ryP y n αδδα−∞′⋅⋅⋅<−==dy ′′=−−∑∫121VaR 01,2,...,1[f (t r k t n n n X y n k rP y y αδδα−∞′⋅⋅⋅<−==′′=−−∑∫)]n dy121112()12012111,2,...,1!()!()!rr r k n n n n nr n r r k re n n n n n λλλλλλα−−−∞−+++=−=⋅⋅⋅=−−⋅⋅⋅−∑11102VaR [||exp{[()()]}]2t tt r y r s y c y n y n αδδμ−−−<−′′′′−−−−−∫ΣΣdy μ121112()12012111,2,...,!()!()!rr r k n n n n nrr n r r k rc en n n n n λλλλλλα−−−∞−+++=−=⋅⋅⋅=−−⋅⋅⋅−∑11102VaR [||exp{[()()]}]2t t t y r s y y n y n dy αδδμ−−−<−′′′′−−−−−∫ΣΣμ （16）令111021VaR ||exp{[()()]}2t t t y r s I y y n y n αδδμ−−−<−′′′′=−−−Σ−−∫Σdy μ设，()tu y n μ−′′=−−A ty u n μ′′=++A ，||dy du =A ，.tΣ=AA 则201||||21()VaR ()s t t ru t tu n I u n ed αδμδμ−−′′++<−′′=++∫A A u201||||2()VaR ()()s t t tru t tu n u n ed αδδμδμ−−′′<−−+′′=++∫A A u201||||2VaR ()[()]s tru tu n u n ed αδδμδδμ−−′′<−−+′′=++∫A A i i u设为把R δA 映射为(||||,0,...,0)δA ，把映射为的旋转，则12(,,...,)r u u u 12(,,...,)r v v v 2011||211||||VaR ()[||||()]s trv tv n I v n ed αδδμδδμ−−′′<−−+′′=++∫A A v2122 2若，，则221||||||||v v v ′=+1r v −′∈ 221011VaR ()(||||)||||211{[||||()]ts r n rv v t1}I v n edv d αδμδδδμ−−′′−−+′−+−∞v ′′′=++∫∫A A作球面坐标变换v l ξ′=，2r S ξ−∈，为2r S −1r −维球面，则，22||r r dv S l dl −−′=2122||1()2r n S n π−−=−Γ为1r −维球面面积.221012VaR ()()2||||2110||{[||||()]}ts r n rv l r t1I S lv n edv αδμδδδμ−−′′−−+∞−+−−∞′′=++∫∫A A dl令1,VaR ()||||t rn q ααδμδ−′′++=A ，则220,12()22110||{[||||()]}s r r rq v l r t1I S l v n e dv αδδμ−∞−−+−−∞′′=++∫∫A dl 2令，则21m v l =+0,21132222111()[||||()]1()2s rn r r q m tv 1I m v v n edmdv n απδδμ−−−∞−−∞′′=−++−Γ∫∫A0,2113222211[||||()]()1()2s rn r r q tv v n m v edmd n απδδμ−−−∞−−∞′′=++−−Γ∫∫A 1v,1211[||||()]1()2rn q t v n I d n απδδμ−−−∞v ′′′=+−Γ∫A +令2132221()sr r m v I m v e dm −∞′−=−∫则21322211()()!r s i v i r m I m v dm i −∞∞=′−=−∑∫2132211()()!r isiv i r m v m dm i −∞+∞=′−=−∑∫31()!ii r I i ∞=′−=∑2132231()r si v I m v m dm −+∞=−∫令1m z=，则21322131111()()r siv 23I v d zz z −=−∫331222211322221110()(1)()r r si si r v v zv zv −−++−−−−=−∫21dzv令21x zv =，则3312223122310()(1)()r r si si r I v x x dx −−++−−−−=−∫312214()r si v I −++=即32231240(1)()r si r I x x d −−−−−=−∫x322101(3)2((3)21)...((3)21)[1()]!r si jj r r r j x x d j −−−−∞=−⋅−−⋅⋅−−+=+−∑∫x 3311222201(3)2((3)21)...((3)21)[(!r r si si j j r r r j )]xdx x x dx j −−∞−−−−−−=−⋅−−⋅⋅−−+=+−∑∫∫3311222201(3)2((3)21)...((3)21)(1)!r r si j si jj r r r j xdx x dxj −−∞−−−−−−=−⋅−−⋅⋅−−+=+−∑∫∫3311222201(3)2((3)21)...((3)21)(1)!r r si j si jj r r r j xdx x dx j −−∞−−−−−−=−⋅−−⋅⋅−−+=+−∑∫∫ 1111(3)2((3)21)...((3)21)1()(1)(2!j j r r r r j r si j si j ∞−−=+−⋅−−⋅⋅−−++=−−+−−−∑)2（17）i a =则2132221()sr r m v I m v e dm −∞′−=−∫31()!i i r I i ∞=′−=∑3122141()()!r si i i r v I i −+∞=′−=∑312211())!r si i i i a r v i −++∞=′−=∑所以02132221()s r r v I m v edm −∞−′=−∫3120211()2)!r si i i i ra v i −++∞=−=∑则,1211[||||()]1()2rn q t 1I v n I d n απδδμ−−−∞v ′′′=+−Γ∫A +。
