青岛大学数学分析2009-2017年考研初试真题
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青岛大学考研专业课真题——信号与系统 2009年 (附带答案及评分标准)
科目代码： 827 科目名称： 信号与系统 （共 13 页）请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效Ⅰ、填空题（共11题，每空格3分，共33分）1．对冲激偶信号)(t δ'，='⎰∞∞-dt t )(δ ，=-'⎰∞∞-dt t f t t )()(0δ 。
2．时间函数)()(t u e t f t -=的傅里叶变换=)(ωF 。
3．已知()()x n nu n =，()()h n u n =，则卷积和序列)()()(n h n x n y *=在2n =点的取值为(2)y = 。
4．象函数2()221(0)F z z z z -=-++<<∞，则原序列=)(n f 。
5．序列()()x n u n =-的z 变换及其收敛域为 。
6．s 平面的实轴映射到z 平面是 。
7．题图7所示因果周期信号的拉氏变换()F s = 。
8．无失真传输网络的频域系统函数()H j ω= 。
9．某因果LTI （线性时不变）离散时间系统的系统函数3()31z H z z =-，则系统对余弦激励序列()cos()()x n n n π=-∞<<∞的响应()y n = 。
10．写出题图10所示流图描述的连续时间系统的微分方程 。
题图7t题图10科目代码： 827 科目名称： 信号与系统 （共 13 页）请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效t题图1322Ⅱ、计算题（共8题，117分）（11分）11．描述某线性时不变因果离散时间系统的差分方程为)1()()1(5.0)(--=-+n x n x n y n y已知当)()(n u n x =时，全响应的1)1(=y ，求零输入响应)(n y zi 。
（12分）12．某因果LTI 连续时间系统，其输入、输出用下列微分—积分方程描述()5()()()()d r t r t e f t d e t dtτττ∞-∞+=--⎰其中()()3()t f t e u t t δ-=+，求该系统的单位冲激响应()h t 。
2014年青岛大学考研试题657数学分析
青岛大学 2014 年硕士研究生入学考试试题
科目代码： 657 科目名称： 数学分析 （共 2 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
一、求下列极限（满分 24 分） 1． lim n 1
n
1 n
．
2． lim
x 0
x 0
sin t 2 dt
ln(1 x 3 )
n 1
sin nx n
, x ( 0, ) 条件收敛。
八、 （满分 12 分）设 u n ( x) , n 1,2, , 均在点 x a 连续， u n (a) 发
n 1
散，求证 0 ， u n ( x) 在 ( a , a ) 内非一致收敛。
n 1
在条
1
件
a
k 1
n
k
xk 1 (a k 0 , k 1,2,, n) 下的最小值。
五、 （满分 12 分） 证明： 若函数 f ( x) 在 [a , b] 上连续， 则 f ( x) 在 [a , b] 上有界。 六、 （满分 12 分）证明：若 f 在 [ a , b ] 上可导，且 f (a ) f (b ) 0 ， 则存在 (a , b) 使得 f ( ) 0 。 七、 （满分 12 分）证明级数
九、 （满分 12 分）确定幂级数 数。
n 1
xn 的收敛半径，并求其和函 n (n 1)
十、 （满分 12 分）设 f ( x) x ，在区间 ( , ) 内将其展开成傅里叶 级数。
2
e
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( x2 y 2 )
科目代码： 657 科目名称： 数学分析 （共 2 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
一、求下列极限（满分 24 分） 1． lim n 1
n
1 n
．
2． lim
x 0
x 0
sin t 2 dt
ln(1 x 3 )
n 1
sin nx n
, x ( 0, ) 条件收敛。
八、 （满分 12 分）设 u n ( x) , n 1,2, , 均在点 x a 连续， u n (a) 发
n 1
散，求证 0 ， u n ( x) 在 ( a , a ) 内非一致收敛。
n 1
在条
1
件
a
k 1
n
k
xk 1 (a k 0 , k 1,2,, n) 下的最小值。
五、 （满分 12 分） 证明： 若函数 f ( x) 在 [a , b] 上连续， 则 f ( x) 在 [a , b] 上有界。 六、 （满分 12 分）证明：若 f 在 [ a , b ] 上可导，且 f (a ) f (b ) 0 ， 则存在 (a , b) 使得 f ( ) 0 。 七、 （满分 12 分）证明级数
九、 （满分 12 分）确定幂级数 数。
n 1
xn 的收敛半径，并求其和函 n (n 1)
十、 （满分 12 分）设 f ( x) x ，在区间 ( , ) 内将其展开成傅里叶 级数。
2
e
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( x2 y 2 )
青岛大学考研历年初试真题之概率论与数理统计2009--2014年考研真题
科目代码： 619 科目名称： 概率论与数理统计 （共3页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
D( ) D D ( E ) 2 D D ( E ) 2
由此并可得 D( ) D D
四、(15分) 计算题
（，） 设二维随机变量 的联合密度为
、、 （15分）计算题 假设某险种在投保时期内一共发生了N次赔款， i 表示第 i 次赔款 额，则相应的赔款总量为： S 1 2 ... N ，其中N为取非负整 数值的随机变量， 1， 2， ..., N 具有相同的分布函数，且N,
1， 2， ..., N 相互独立，问：
。
2： （4 分）袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球，今有两人 依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率 是 。 3： （4 分）设两两相互独立的三事件 A ， B 和 C 满足条件： ABC ，
P A P B P C
P A
。
1 ， 且 已 知 P( A B C ) 9 / 16 ， 则 2
4： （4 分） 已知随机变量 X 的概率密度函数 f x 则 X 的概率分布函数 F x 。
1 | x| e ， x ， 2
5： （4 分）若随机变量 在（1，6）上服从均匀分布，则方程 x x 1 0 有实根的概率是 。
1）推导赔款总量S的数学期望及方差公式； 2）若N服从参数 3 的泊松分布，第i笔赔款额 i 的分布列如下表 ：
i
pi
2000 0.2
3000 0.3
4000 0.5
计算赔款总量S的范围。 七、（15分）证明题 设 n 为独立同分布的随机变量序列，每个随机变量的期望为 a , 且方差存在，证明：
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
D( ) D D ( E ) 2 D D ( E ) 2
由此并可得 D( ) D D
四、(15分) 计算题
（，） 设二维随机变量 的联合密度为
、、 （15分）计算题 假设某险种在投保时期内一共发生了N次赔款， i 表示第 i 次赔款 额，则相应的赔款总量为： S 1 2 ... N ，其中N为取非负整 数值的随机变量， 1， 2， ..., N 具有相同的分布函数，且N,
1， 2， ..., N 相互独立，问：
。
2： （4 分）袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球，今有两人 依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率 是 。 3： （4 分）设两两相互独立的三事件 A ， B 和 C 满足条件： ABC ，
P A P B P C
P A
。
1 ， 且 已 知 P( A B C ) 9 / 16 ， 则 2
4： （4 分） 已知随机变量 X 的概率密度函数 f x 则 X 的概率分布函数 F x 。
1 | x| e ， x ， 2
5： （4 分）若随机变量 在（1，6）上服从均匀分布，则方程 x x 1 0 有实根的概率是 。
1）推导赔款总量S的数学期望及方差公式； 2）若N服从参数 3 的泊松分布，第i笔赔款额 i 的分布列如下表 ：
i
pi
2000 0.2
3000 0.3
4000 0.5
计算赔款总量S的范围。 七、（15分）证明题 设 n 为独立同分布的随机变量序列，每个随机变量的期望为 a , 且方差存在，证明：
青岛大学高等代数2009-2017年考研初试真题
青岛大学2017年硕士研究生入学考试试题科目代码：816科目名称：高等代数（共2页）请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效一、（15分）令n n j i n j n i b a b a A ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11，计算行列式A det 。
二、（10分）设)(),(),(),(2121x g x g x f x f 是数域P 上的多项式，并且()2,1,,1)(),(==j i x g x f ji。
证明：()()())(),()(),()()(),()(21212211x g x g x f x f x g x f x g x f =三、（20分）设V 是数域P 上的n 维线性空间，n εεε,,,21是V 的一组基，n m m <,,,,21ααα是V 的一个线性无关向量组。
证明：在n εεε,,,21中存在m n -个向量m n i i i -εεε,,,21，使得m n i i i m -εεεααα,,,,,,,2121构成V 的一组基。
四、（20分）设A 是n 阶非零实对称矩阵，二次型Ax x T 的符号差为零。
证明：存在n 维非零实向量321,,ααα，使得0,0,0332211=<>ααααααA A A TT T 。
五、（20分）设n 元非齐次线性方程组b Ax =有解，令γ是b Ax =的解向量，s ηηη,,,21是其导出组0=Ax 的基础解系。
证明：（1）s ηγηγηγγ+++,,,,21线性无关；（2）b Ax =的任意2+s 个解向量1210,,,,,+s s γγγγγ必线性相关。
六、（15分）设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B C C AM T是实矩阵，其中B A ,分别为n m ,阶方阵。
（1）证明：若M 是对称矩阵，则B A ,是对称矩阵。
（2）证明：若M 是正定矩阵，则C A C B B A T 1,,--是正定矩阵。
七、（15分）设B A ,是数域P 上的n 阶方阵，且E AB m =)(，其中E 是n 阶单位矩阵，m 是正整数。
2017年青岛大学考研试题880数学基础综合
x1 , x2 [a, b], x1 x2 ，有
x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 1 x x f 1 2 f (t )dt . 2 2 x2 x1 x1
1
8．（10 分）计算：
0
dx ． (1 x )(1 x )
2
a a a a
1 ,
, s 线性表示．
11． （10 分） 若 A 2 A , 且 E A B 是可逆阵， 证明： 秩 ( AB ) A, B F nn ， 秩 ( BA) ． 12．（10 分）设 f ( x), g ( x) F [ x] ，且 f ( x), g ( x)) 1 ，则 a, b F ，且均 不为 0， ( f ( x) g ( x), af ( x) bg ( x)) 1 ． 13．（10 分）设 F 是数域, A, B, E F nn ,且 AB A B ，
证明: ( A E )
1
EB ．
14．（10 分）设 是数域 F 上的线性空间 V 的线性变换，且 2 ，证 明： （1） 的特征值只能是 0,1．
（2） Ker { ( ) V } ．
15． （每小题 5 分，共 10 分）对于 R n 的线性变换，
6．（10 分）设 a, b 0, 函数 f ( x ) 0 ，且 f ( x) 在 [a, b] 上可积，
b a
xf ( x)dx 0. 试证明：
b a
x 2 f ( x)dx a（10 分）设 f ( x) 是 [a, b] 上连续的凸函数．试证：
3．（10 分）设 f ( x) 对 ( , ) 内一切 x 有 f ( x 2 ) f ( x)
x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 1 x x f 1 2 f (t )dt . 2 2 x2 x1 x1
1
8．（10 分）计算：
0
dx ． (1 x )(1 x )
2
a a a a
1 ,
, s 线性表示．
11． （10 分） 若 A 2 A , 且 E A B 是可逆阵， 证明： 秩 ( AB ) A, B F nn ， 秩 ( BA) ． 12．（10 分）设 f ( x), g ( x) F [ x] ，且 f ( x), g ( x)) 1 ，则 a, b F ，且均 不为 0， ( f ( x) g ( x), af ( x) bg ( x)) 1 ． 13．（10 分）设 F 是数域, A, B, E F nn ,且 AB A B ，
证明: ( A E )
1
EB ．
14．（10 分）设 是数域 F 上的线性空间 V 的线性变换，且 2 ，证 明： （1） 的特征值只能是 0,1．
（2） Ker { ( ) V } ．
15． （每小题 5 分，共 10 分）对于 R n 的线性变换，
6．（10 分）设 a, b 0, 函数 f ( x ) 0 ，且 f ( x) 在 [a, b] 上可积，
b a
xf ( x)dx 0. 试证明：
b a
x 2 f ( x)dx a（10 分）设 f ( x) 是 [a, b] 上连续的凸函数．试证：
3．（10 分）设 f ( x) 对 ( , ) 内一切 x 有 f ( x 2 ) f ( x)
青岛大学常微分方程2010-2017年考研初试真题
1青岛大学2017年硕士研究生入学考试试题科目代码：877科目名称：常微分方程（共2页）请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，打在试卷上无效
一、填空题（18分）
1．所谓微分方程就是一个或几个联系着之间关系的等式。
2．在微分方程中，必定含有未知函数的导数项，其中出现的就称为该微分方程的阶数。
3．对于n 阶方程0),...,,,,()(='''n y y y y x F ，如果它的解),...,,,(21n c c c x y ϕ=含有常数n c c c ,...,,21，则称这个解为。
4．对于现行微分方程来说，其通解就包含了它的
；对于非线性方程来说其通解并不一定包含其。
二、根据下图建立相应的微分方程（15分）
如图所示，一根弹簧一端固定另一端连接
质量为m 的物体。
设弹簧系数是k,空气
的阻尼系数是n ，并假设物体的空气阻力
与物体的运动速度成正比。
试求物体运动的微分方程。
三、回答下列各题（25分）
1．指出下列方程的阶数并判断是否为线性方程
（1）y x dx dy 32-=，（2）03233=++xy dx
dy y dx y
d 2．什么是常微分方程的特解？何为初值问题？
3．写出齐次和非齐次线性微分方程组的一般形式；叙述叠加原理；若)
(1x ϕx
m
k。
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五、（每题 5 分， 共 15 分）计算下列各积分：
(1)
e3x+ex e4x−e2x+1
dx
;
(2) 1 x+2dx ;
x x−2
(3)
1 0
xexdx
六、（20 分）求下列函数
fx =
π
− 4 , − π ≤ x 0h
0,
x = 0h
π
4, 0
的傅里叶展开式。
七、（20 分）证明函数项级数
∞ cos nx n=1 n
1
7. (本题满分 30 分) 证明:
(1) (1)n1 sin 1 收敛;
n3
n
(2)
(1)n1 sin
1 n
n3 (ln n)x
在[0, ) 一致收敛;
(3)
lim
x0
n3
(1)n1 sin (ln n)x
1 n
(1)n1 sin
1. (本题满分 30 分) 求下列极限：
(1) lim( n a n b )n , 其中 a 0,b 0, a 1,b 1 ；
n
2
(2) lim sin( n2 1) ； n
nn
(3)
lim
n
3n
n!
.
2.
(本题满分
20
分)证明数列
{xn}
收敛,其中
x1
3
,
xn1
在一点 [a,b], 使得
b f (x)g(x)dx f ( )
b
g(x)dx .
a
a
6. (本题满分15分) 证明:广义积分 cos x dx 收敛,而 | cos x | dx 发散.
1x
1
x
7. (本题满分15分)
(x 1)n
讨论并指出级数
绝对收敛、条件收敛、发散的范围.
1−x 1−x
.
二、（20 分）证明：f x = x 在[0, +∞) 上一致连续。
三、（20 分）设函数 f(x) 在点 x0 处存在左右导数，试用ε − δ 定义 证明：f(x) 在 x0 处连续。
四、（20 分）设函数 f(x) 在[a,b] 上可导，证明：存在 ξ∈(a,b), 使得
2ξ f b − f a = b2 − a2 f'(ξ)
n 3
1 n
.
8. (本题满分 15 分) 构造一个二元函数, 使得它在原点的两个一阶偏导数 都存在, 但该函数在原点不可微，并说明理由.
9. (本题满分 15 分) 计算曲面积分 x2dydz y2dzdx z2dxdy , 其中 S 是 S
球面 (x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2 ( R 0 )的外侧.
10. (本题满分15分) 计算曲面积分 A (x 1)dydz 2 cos ydzdx 3dxdy , 其中
S
S 是曲面 z x2 y2 与 z 3 所构成的封闭曲面取外侧.
2
青岛大学 2010 年硕士研究生入学考试试题
科目代码： 615 科目名称： 数学分析 （共 2 页） 请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
5. (本题满分 10 分) 设函数 f (x) 0 ，在有限区间[a,b] 上连续，证明:
b
b
f (x)dx
1
dx (b a)2 .
a
a f (x)
6. (本题满分 10 分) 设函数 f ( x ) 在 x0 的某邻域内 n 阶可导，若 f ( x ) 被 n 阶多项式 Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n 逼近，相差是 (x x0 )n 的高阶无穷小，证明 n 阶多项式 Pn ( x ) 是唯一的.
1. (本题满分30分) 求下列极限：
(1) lim tann ( 1 ) ;
n
4n
(2)
lim(
n
n
1 2
1
2 n2
1
n n2
1);
2
n
(3)
lim
x0
a tan x b(1 cos x) a1 ln(1 x) b1(1 ex2 )
,
其中
a2
a12
在[
π 2
,
3π 2
]
上是一致收敛的。
八、（25 分）计算曲面积分：
I = xdydz + ydzdx + zdxdyh
S
其中 S:x2 + y2 = z2, 0
青岛大学2009年硕士研究生入学考试试题
科目代码： 615 科目名称：数学分析 （共 2 页） 请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
n0 (n 1)4n
8. (本题满分10分)
讨论函数 z | xy | 在原点的连续性、两个一阶偏导数的存在性以及在原 点的可微性. 9. (本题满分15分) 在变换公式 x r cos , y r sin 之下, 求出方程
2 z 2 z 0 的变换形式. x2 y2
1 2
( xn
3 xn
)
,
n 1, 2,3,
;
并求极限
lim
n
xn
.
3. (本题满分 10 分) 是否存在正实数 a 使得恰好比其立方少 1 ?为什么?
4. (本题满分 10 分) 设函数 f ( x ) 在区间 (a, ) 可导，且 f ( x ) 在区间
(a, ) 上有界，证明函数 f ( x ) 在区间 (a, ) 上一致连续.
0.
2. (本题满分10分) 解下列各题:
(1) 试画出一导函数 f (x) 的图形(非常数),并据此导函数的图形简单画出函数
f (x) 的图形;
(2) 试用某一物理意义解释拉格朗日微分中值定理.
3. (本题满分10分) 利用确界原理证明:
若单调递减实数列 {xn } 有下界,则数列 {xn } 收敛,
且
lim
n
xn
a
,
其中
a inf{xn} .
4. (本题满分15分)
设方程 2x tan(x y)
xx
y
确定了
y
是
x
的函数,求
d2y dx2
.
1
5. (本题满分15分)
设函数 f (x) 和 g(x) 均在有限区间[a,b] 上连续,且 g(x) 不变号.证明:至少存
青岛大学 2017 年硕士研究生入学考试试题
科目代码：657 科目名称：数学分析 (共 2 页) 请考生写明题号， 将答案全部答在试题纸上，答在试卷上无效。
一、计算下列各极限：（每题 5 分， 共 10 分）
(1)
lim
n→∞
(
1 1∙2
+
1 2∙3
+
⋯
+
1 n∙(n+1)
);
(2)
lim
x→0
3
1+x− 1+x− 3