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第八章 振动与波动本章提要1. 简谐振动· 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。
· 简谐振动运动方程()cos x A t ωϕ=+其中A 为振幅，为角频率，（t+）称为谐振动的相位，t ＝0时的相位称为初相位。
· 简谐振动速度方程d ()d sin xv A t tωωϕ==-+ · 简谐振动加速度方程222d ()d cos xa A t tωωϕ==-+· 简谐振动可用旋转矢量法表示。
2. 简谐振动的能量· 若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在某一时刻m 的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体m 动能为212k E mv =· 弹簧的势能为212p E kx =· 振子总能量为P22222211()+()221=2sin cos k E E E m A t kA t kA ωωϕωϕ=+=++3. 阻尼振动· 如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。
· 阻尼振动的动力学方程为222d d 20d d x xx t tβω++= 其中，γ是阻尼系数，2mγβ=。
（1） 当22ωβ>时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。
（2） 当22ωβ=时，不再出现振荡，称临界阻尼。
（3） 当22ωβ<时，不出现振荡，称过阻尼。
4. 受迫振动· 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力· 受迫振动的运动方程为22P 2d d 2d d cos x x F x t t t mβωω++= 其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。
· 当驱动力振动的频率p ω等于ω时，振幅出现最大值，称为共振。
8-1．已知波源在原点(x=0)的平面简谐波的方程为)cos(Cx Bt A y -=式中A,B,C 为正值恒量.试求:(1)波的振幅,波速,频率,周期与波长;(2)写出传播放向上距离波源l 处一点的振动方程;(3)试求任何时刻,在波传播放向上相距为D 的两点的位相差;解:(1) ∵A 、B 、C 为正值恒量，所以该波沿X 轴正方向传播，与平面简谐波的波动方程)(cos cxt A y -=ω比较系数，可得波的振幅为A ，B =ω, π2B f =, B T π2=， C c=ω，C B C c ==ω ，因为f c λ=，所以C B C B CT ππλ22=⋅==． 所以该波的振幅为A,波速为CB,频率为π2B ,周期为B π2,波长为C π2.(2)传播方向上距波源l 处一点的振动方程为：)cos(Cl Bt A y -=.(3)设t 时刻，传播方向上相距为D 的两点分别为x 1,x 2. 那么这两点所对应的波动方程分别为： )cos(11Cx Bt A y -= )cos(22Cx Bt A y -= 所以这两点的相位差Δφ为CD x x C =-=-=∆1221φφφ.8-2. 一列横波沿绳子传播时的波动方程为)410cos(05.0x t y ππ-=,式中x,y 以m 计,t 以s 计.(1)求此波的振幅、波速、频率、和波长;(2)求绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度;(3)求x=0.2m 处的质点在t=1s 时的相位,它是原点处质点在哪一时刻的位相. 这一位相所代表的运动状态在t=1.25s 时刻到达哪一点?在t=1.5s 时刻到达哪一点?(4)分别图示t=1s,1.1s,1.25s,1.5s 各时刻的波形.解：(1)通过与平面简谐波的波动方程比较系数，可得 此波的振幅为:A=0.05m, 波速为:ππ410=c =2.5(m/s). 频率为：ππ210=f =5(HZ). 波长为：f c =λ=0.5(m).答：该波的振幅为0.05m, 波速为2.5m/s, 频率为5HZ,波长为0.5m.(2) ∵平面简谐波的波动方程为：)(cos cxt A y -=ω.∴绳子上各质点的振动速度为: )(sin cxt A t y v --=∂∂=ωω.绳子上各质点的振动加速度为: )(cos 222c xt A ty a --=∂∂=ωω.∴绳子上各质点振动时的最大速度为 ωA v =max =0.5π=1.57(m/s). 绳子上各质点振动时的最大加速度为 2m ax ωA a = =52π=49.35(m/s 2). 答：绳子上各质点振动时的最大速度为1.57m/s ，最大加速度为49.35m/s 2. (3)X=0.2m 处的质点在t=1s 时的位相: φ=9.2π 设该位相是原点处质点在t 时刻的位相，可得 φ=9.2π=10πt t=0.92(s) 这一位相代表的运动状态在t=1.25s 时距离原点的位置为： )(825.0)125.1(2.02.0m c t c x =-+=∆+=同理，在t=1.5s 时，该位相所代表的运动状态，距离原点的位置为： t c x '∆+=2.0=1.45 (m). (4)t=1s 时，x y π4cos 05.0=. t=1.1s 时，x y π4cos 05.0-=. t=1.25s 时,x y π4sin 05.0=. t=1.5s 时，x y π4cos 05.0-=.8-3. 已知平面余弦波波源的振动周期T=21s,所激起的波的波长λ=10m,振幅为0.1m,当t=0时,波源处振动的位移恰为正方向的最大值,取波源处为原点并设波沿+X 方向传播,求: (1)此波的方程;(2)沿波传播方向距离波源为2λ处的振动方程; (3)当4T t =时,波源和距离波源为 4λ,2λ,43λ及λ的各点各自离开平衡位置的位移;(4)当4T t =时,波源和距离波源为 4λ,2λ,43λ及λ的各点自离开平衡位置的位移;并根据(3)(4)计算结果画出波形(y-x)曲线; (5)当4T t =和2T 时,距离波源4λ处质点的振动速度. 解：(1)根据题意可知，该平面余弦波的振幅 A=0.1m, 频率f =2(HZ),波速f c λ==20(m/s),初相位φ0=0. 当取波源为原点并沿该波沿+X 方向传播时，波动方程为 )54cos(1.0x t y ππ-=.(2)沿波传播方向距离波源为λ/2处的振动方程为： )254cos(1.0λππ⋅-=t y =-0.1cos4πt.(3)距离波源分别为4λ,2λ,43λ和λ的各点的振动方程为 t y π4sin 1.0=, t y π4cos 1.0-= t y π4sin 1.0-=, t y π4cos 1.0=当4Tt =时，它们各自离开平衡位置的位移为 44sin 1.01Ty ⋅=π=0.1(m)， 2y =0(m),3y =-0.1(m), 4y =0(m)(4)与(3)的方法类似，易求得 4λ=x 时， y=0(m). 2λ=x 时， y=0.1(m).43λ=x 时，y=0(m). λ=x 时，y=-0.1(m).(5)各质点的振动速度，)54sin(4.0x t t y v πππ--=∂∂= 当4Tt =时，距离波源4λ处质点的振动速度为： )4544sin(4.0λπππ⨯-⨯-=T v =0(m/s)同理，当2T t =时，距离波源4λ处质点的振动速度为：v =-0.4π(m/s)答：当4Tt =和2T 时，距离波源4λ处质点的振动速度分别为0m/s 和-0.4πm/s. 8-4. 一波源做简谐振动,周期为1001s,经平衡位置向正方向运动时,作为计时起点.设此振动以c=400m/s 的速度沿直线传播,求: (1)这波沿某一波线的方程;(2)距波源为16m 处和20m 处质点振动方程和初位相; (3)距波源为15m 和16 m 的两质点的位相差是多少?解：(1)根据题意可知，该简谐波的频率为ƒ=100(HZ)， 波速c=400m/s, 初相位20πφ-=, 设该平面简谐波的波动方程为 )22cos(0φλπλπ+-=x ct A y 将上面的结果代入可得，)222cos(πλππ--=x t T A y =)22200cos(πππ--x t A(2)距波源为16m 和20m 处质点振动方程为：将x=16m 代入上式，得 )2200()2216200cos(1πππππ-=-⨯-=t Aos t A y同理,)2200cos()2220200cos(2πππππ-=-⨯-=t A t A y 初相位分别为：t=0时，210πφ-=,220πφ-=.(3)距波源为15m 和16m 的两质点的位相差： λπφ2⨯∆=∆x =2π. 8-5. 已知某平面简谐波的波源振动方程为)2sin(06.0πt y =,式中y 以m 计,t 以s计.设波速为2m/s,试求离波源5m 处质点的振动方程.这点的位相所表示的运动状态相当波源在哪一时刻的运动状态?解：离波源5m 处质点的振动方程为：将X=5m 代入波动方程得 )5(2sin06.0c t y -=π=)452sin(06.0ππ-t 设该点的位相所代表的运动状态相当波源在t ′时刻的运动状态，所以 t t '=-2452πππ可得 t ′=(t-2.5)(s).8-6.如图所示,A 和B 是两个同位相的波源,相距d=0.10m,同时以30Hz 的频率发出波动,波速为0.50m/s.P 点位于AB 上方,AP 与AB 夹角为30o ,且PA=4m ，求两波通过P 点位相差．解：依题意可知，PA=4m,AB=0.1m, 利用余弦定理，可得 PB=3.91(m)，两波通过P 点相位差： λπφ2)(⨯-=∆PB PA又∵fc=λ ∴Δφ=10.8π. 8-7. S 1和S 2是两个相干波源，相距41波长，S 1比S 2的位相超前2π.设两列波在 S 1,S 2连线方向的强度相同且不随距离变化,问S 1,S 2连线上在S 1外侧各点处的合成波的强度如何?又在S 2外侧各点的强度如何?解：两列相干波在空间任意点P 所形成的振动的振幅为 α∆=cos A 2A +A +A 212221A其中Δα为两列相干波在空间任一点所引起的两个振动的位相差 λπααα2)(1212⨯---=∆r r当P 点在S 1外侧时，根据题中所给的条件，可得 πλλππλπααα-=⨯--=⨯---=∆4222)(1212r r∴0)cos(-2A 2A 2020=+=πA 又∵波的强度与振幅的平方成正比 ∴I=0. 同理，当P 点在S 2外侧时， 02)4(22)(1212=⨯---=⨯---=∆λπλπλπαααr r ⇒A=2A 0 ∴04I I =答：S 1,S 2连线上在S 1外侧各点处的合成波的强度为0，而在S 2外侧合成波的强度为4I 0.8-8．图所示,设平面横波1沿BP 方向传播,它在B 点的振动方程为t y πcos 102.021-⨯=,平面横波2沿AP 方向传播,A 点的振动方程为)2cos(102.022ππ+⨯=-t y ,两式中y 以ｍ计，ｔ以ｓ计，Ｐ处与Ｂ相距0.40m ，与A 相距0.05m,波速为0.20m/s.求: (1)两波传到P 处的为相差; (2)在P 处合振动的振幅;(3)如果在P 处相遇的两横波,振动方向是互相垂直的,则合振动的振幅又如何?解：(1)两波传到P 处的位相差Δα： λπααα2)(1212⨯---=∆r r由题中给出A,B 两点的振动方程可知，A 比B 的位相超前π ∴ππωππλππα5.22)(22)(-=⨯-⨯-=--=∆CPB PA PB PA (2)在P 处合振动的振幅为：α∆++=cos A 2A A A 2010220210A 21083.2-⨯= (m). (3)由于两列横波振幅相同，频率相同，相位差Δα=25π, 所以，当振动方向相互垂直时，合成的结果是圆周运动. ∴A=A 10=0.2×10-2(m).8-9. 一列正弦式空气波,沿直径为0.14m 的圆柱形管行进,波的平均强度为18*10-3J/s ·m 2,频率为300Hz,波速为300m/s,问: (1)波中的平均能量密度和最大能量密度是多少?(2)每两个相邻的,相位差为2π的同相面(亦即相距1波长的两同相面)之间的波段中有多少能量?解：(1)根据题中所给的条件，由C I ω= 则cI=ω=300/10183-⨯=5106-⨯(J ·m -3). 由)(sin 222c rt A -=ωωρω 可得ωωρω222max ==A =4102.1-⨯(J ·m -3)(2)V W ∆⋅=ωd r 2πω==9.23×710-(J)8-10. 为了保持波源的振动不变,需要消耗4W 的功率,如果波源发出的是球面波,且认为媒质不吸收波的 能量,求距离波源1m 和2m 处的能流密度. 解：因为IS P =,所以距离波源1m 处的能流密度为ππ1442111===r S P I =0.318(w ·m -2)距离波源2m 处的能流密度为222244r S P I π===0.08(w ·m -2). 8-11. 两个波在一根很长的细绳上传播,它们的方程设为 )4(cos 06.01t x y -=π,)4(cos 06.02t x y +=π,式中x,y 以m 计,t 以s 计;(1) 求各波的频率,波长,波速和传播方向;(2) 试求这细绳上是做驻波式振动,求节点的位置和腹点的位置; (3)波腹处的振幅多大?在x=1.2m 处振幅多大?解：(1)与波动方程形式)cos(crt A y -=ω作比较，可得)4(4cos 06.01x t y -=π, )4(4cos 06.02xt y +=ππω41= ⇒πω211=f =2(Hz)， s m c /41= 111T c =λ=2(m) 传播方向沿x 轴正方向 πω42=， ƒ2=2(Hz)， C 2=-4m/s.222T c =λ =2(m). 传播方向沿x 轴负方向(2)由于两列波同频率，同振幅，同振动方向，并且传播速率相同方向相反，故满足驻波条件，所以做的是驻波式振动t x y y y ππ4cos cos 12.021⋅=+= 节点的位置： 2)12(ππ+=k x (k=0,±1, ±2,………) ⇒2)12(+=k x . 腹点的位置： ππk x = (k=0,±1, ±2, ……) ⇒k x =. (3)波腹处的振幅为0.12m.x=1.2m 处的振幅： )2.1cos(12.0π=0.097(m). 8-12. 设入射波的波动方程为)(2cos 1λπxT t A y +=,在x=0处发生反射,反射点为一自由端.求: (1)反射波的波动方程;(2)合成波(驻波)的方程,并由合成波方程说明哪些点是波腹,哪些点是波节.解：(1)反射波的波动方程为： )(2cos 2λπxT t A y -=(2) )2cos()2cos(221T tx A y y πλπ⋅=+波腹点：πλπk x =2 (k=0,±1, ±2,………) ⇒2λk x =.波节点位置：2)12(2πλπ+=k x (k=0,±1, ±2,………) ⇒4)12(λ+=k x8-13. 在实验室中做驻波试验时,将一根长3米的弦线的一端系于电动音叉的一个臂上,这音叉在 垂直于眩线长度的方向撒谎那个以60Hz 的频率做振动,眩线的质量为60*0.001kg.如果使这根弦线产生有四个波腹的振动,必须给这根弦线施多大的力.解：由8.14题的结论可知 μυTl n n 2=(n=1, 2,3，………) 根据题中所给的已知条件，可得 l =3m,n=44υ=60HZ, μ=60·10-3/3=kg 2102-⨯. 代入上式，解得24)2(nlT υμ==162(N).8-14. 把两端固定的一根弦线波动一下,就有横向振动弦线的两固定端传去,并被反射回来形成驻波图样, 一根长度为l 的弦线,它的驻波图样是一定的,所以它可按呈现一个波腹,二个波腹,三个波腹,……的形式做振动或这种基本振动叠加.试证明:一根长度为l 的弦线只能发出下列一些固有频率.μυTl n n 2=n=1,2,3,….. 式中μ是弦线单位的质量,T 是绳中的张力.证明：假设长度为l 的弦线，它的驻波图样可以产生n 个波腹，则n 2λ=l ① 又因波在弦线中传播的速率为 μTc =其中T 是绳中的张力，μ是弦线单位长度的质量μυυλTc nn == ②联立①②，解得 μυTl n n 2=. 故结论得证. 8-15. (1)有一支频率未知的音叉和一支频率已知为384Hz 的标准音叉一起振动时每秒产生三个拍,当这音叉上涂上少量石蜡时,拍频减少,沃尔玛这支音叉频率是多少?(2)某一波形可以用下式表示:11sin sin 3sin 535Y A x A x A x =+++试分别作出该级数前三项的图形,并作出叠加之后的图形. 解：(1)由拍频的定义，可知 123υυυ-==∴ 312±=υυ 即2υ=387或381(Hz). (2)图如下：11。
第十四章波动14-1 一横波再沿绳子传播时得波动方程为[]x m t s m y )()5.2(cos )20.0(11---=ππ。
（1）求波得振幅、波速、频率及波长；（2）求绳上质点振动时得最大速度；（3）分别画出t=1s 和t=2s 时得波形，并指出波峰和波谷。
画出x=1.0m 处质点得振动曲线并讨论其与波形图得不同。
14-1 ()[]x m t s m y )(5.2cos )20.0(11---=ππ分析（1）已知波动方程（又称波函数）求波动的特征量（波速u 、频率ν、振幅A 及彼长 等），通常采用比较法。
将已知的波动方程按波动方程的一般形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=0cos ϕωu x t A y 书写，然后通过比较确定各特征量（式中前“－”、“＋”的选取分别对应波沿x 轴正向和负向传播）。
比较法思路清晰、求解简便，是一种常用的解题方法。
（2）讨论波动问题，要理解振动物理量与波动物理量之间的内在联系与区别。
例如区分质点的振动速度与波速的不同，振动速度是质点的运动速度，即dt dy v =；而波速是波线上质点运动状态的传播速度（也称相位的传播速度、波形的传播速度或能量的传播速度），其大小由介质的性质决定。
介质不变，彼速保持恒定。
（3）将不同时刻的t 值代人已知波动方程，便可以得到不同时刻的波形方程)(x y y =，从而作出波形图。
而将确定的x 值代入波动方程，便可以得到该位置处质点的运动方程)(t y y =，从而作出振动图。
解（1）将已知波动方程表示为()()[]115.25.2cos )20.0(--⋅-=s m x t s m y π 与一般表达式()[]0cos ϕω+-=u x t A y 比较，可得0,5.2,20.001=⋅==-ϕs m u m A则 m v u Hz v 0.2,25.12====λπω（2）绳上质点的振动速度()()()[]1115.25.2sin 5.0---⋅-⋅-==s m x t s s m dt dy v ππ 则1max 57.1-⋅=s m v（3） t=1s 和 t ＝2s 时的波形方程分别为()[]x m m y 115.2cos )20.0(--=ππ()[]x m m y 125cos )20.0(--=ππ波形图如图14－1（a ）所示。
大学物理学——振动和波振 动班级 学号 姓名 成绩内容提要1、简谐振动的三个判据（1）；（2）；（3）2、描述简谐振动的特征量： A 、T 、γ；T1=γ，πγπω22==T3、简谐振动的描述：（1）公式法 ；（2）图像法；（3）旋转矢量法4、简谐振动的速度和加速度：)2cos()sin(v00πϕωϕωω++=+-==t v t A dt dx m ； a=）（）（πϕωϕωω±+=+=0m 0222t a t cos -dtxd A 5、振动的相位随时间变化的关系：6、简谐振动实例弹簧振子：，单摆小角度振动：，复摆：0mgh dt d 22=+θθJ ,T=2mghJπ 7、简谐振动的能量：222m 21k 21A A Eω==系统的动能为：）（ϕωω+==t sin m 21mv 212222A E K ；系统的势能为：）ϕω+==t (cos k 21kx 21222A E P8、两个简谐振动的合成（1）两个同方向同频率的简谐振动的合成合振动方程为：）（ϕω+=t cos x A其中，其中；。
＊(2) 两个同方向不同频率简谐振动的合成拍：当频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时，其合振动的振幅表现为时而加强时而减弱的现象，拍频：12-γγγ=＊（3）两个相互垂直简谐振动的合成合振动方程：）（1221221222212-sin )(cos xy 2y x ϕϕϕϕ=--+A A A A ，为椭圆方程。
练习一一、 填空题1．一劲度系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为T 1。
若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统的周期T 2等于 。
2．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为：A ＝ ；=ω ;=ϕ 。
3．如图，一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，做成一复摆。
已知细棒绕过其一端的轴的转动惯量J ＝3/2ml ，此摆作微小振动的周期为 。
1． 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ⨯10－2 m 。
假如使物体上下振动，且规定向下为正方向。
〔1〕t =0时，物体在平衡位置上方8.0 ⨯10－2 m处，由静止开始向下运动，求运动方程。
〔2〕t = 0时，物体在平衡位置并以0.60m/s 的速度向上运动，求运动方程。
题1分析：求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A 、ω，和ϕ。
其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质〔振子质量m 与弹簧劲度系数k 〕决定的，即m k /=ω，k 可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A 和初相ϕ需要根据初始条件确定。
解：物体受力平衡时，弹性力F 与重力P 的大小相等，即F = mg 。
而此时弹簧的伸长量m l 2108.9-⨯=∆。
如此弹簧的劲度系数l mg l F k ∆=∆=//。
系统作简谐运动的角频率为1s 10//-=∆==l g m k ω〔1〕设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x 轴正向。
由初始条件t = 0时，m x 210100.8-⨯=，010=v 可得振幅m 100.8)/(2210102-⨯=+=ωv x A ；应用旋转矢量法可确定初相πϕ=1。
如此运动方程为])s 10cos[()m 100.8(121π+⨯=--t x〔2〕t = 0时，020=x ，120s m 6.0-⋅=v ，同理可得m 100.6)/(22202022-⨯=+=ωv x A ，2/2πϕ=；如此运动方程为]5.0)s 10cos[()m 100.6(122π+⨯=--t x2．某振动质点的x －t 曲线如下列图，试求：〔1〕运动方程；〔2〕点P 对应的相位；〔3〕到达点P 相应位置所需要的时间。
题2分析：由运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题。
此题就是要通过x －t 图线确定振动的三个特征量量A 、ω，和0ϕ，从而写出运动方程。
曲线最大幅值即为振幅A ；而ω、0ϕ通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比拟方便。
第七章 电磁感应本章提要1. 法拉第电磁感应定律· 当穿过闭合导体回路所包围面积的磁通量发生变化时，导体回路中就将产生电流，这种现象称为电磁感应现象，此时产生的电流称为感应电流。
· 法拉第电磁感应定律表述为：通过导体回路所包围面积的磁通量发生变化石，回路中产生地感应电动势i e 与磁通量m Φ变化率的关系为d d t＝－F e其中Φ为磁链，负号表示感应电动势的方向。
对螺线管有N 匝线圈，可以有m N Φ=Φ。
2. 楞次定律· 楞次定律可直接判断感应电流方向，其表述为：闭合回路中感应电流的方向总是要用自己激发的磁场来阻碍引起感应电流的磁通量的变化。
3. 动生电动势· 磁感应强度不变，回路或回路的一部分相对于磁场运动，这样产生的电动势称为动生电动势。
动生电动势可以看成是洛仑兹力引起的。
· 由动生电动势的定义可得：()d bab ae 醋ò＝v B l· 洛伦兹力不做功，但起能量转换的作用。
4. 感生电动势·当导体回路静止，而通过导体回路磁通量的变化仅由磁场的变化引起时，导体中产生的电动势称为感生电动势。
d dd d d d L S t te F =??蝌Ñ－＝－i E r B S 其中E i 为感生电场强度。
5. 自感· 当回路中的电流发生变化，它所激发的磁场产生的通过自身回路的磁通量也会发生变化，此变化将在自身回路中产生感应电动势，这种现象称为自感现象，产生的电动势为自感电动势，其表达式为：d d L iL te =-（L 一定时）负号表明自感电动势阻碍回路中电流的变化，比例系数L 称为电感或自感系数。
· 自感系数表达式为：L iY =· 自感磁能212m W LI =6. 互感· 对于两个临近的载流回路，当其中一回路中的电流变化时，电流所激发的变化磁场在另一回路中产生感应电动势。
大学物理活页答案（振动和波部分）第一节 简谐振动1. D2.D3.B4.B5.B6.A7. X=0.02cos (52π−π2) 8. 2:1 9. 0.05m -37° 10. π or 3π 11. 012.解： 周期 3/2/2=ω=πT s ， 振幅 A = 0.1 m ， 初相 φ= 2π/3， v max = A = 0.3π m/s ，a max = 2A = 0.9π2 m/s 2 ．13.提示：旋转矢量法（1）x =0.1cos (πt −π2)（2）x =0.1cos (πt +π3) （3）x =0.1cos (πt +π)14. （1）x =0.08cos (π2t +π3)t=1 x=-0.069m F=-kx=−m ω2x =2.7×10−4（2）π3=π2t t=0.67s第二节 振动能量和振动的合成1. D2.D3.D4.B5.B6. )(212121k k m k k +=νπ 提示：弹簧串联公式等效于电阻并联 7. 0.02m 8. π 0 提示：两个旋转矢量反向9. 402hz10. A=0.1m 位相等于113° 提示：两个旋转矢量垂直。
11. mv 0=(m +M)v ′ 12kA 2=1(m+M)v ′22 A=0.025m ω=√k m+M =40 x=0.025cos (40t −π/2)12. x=0.02cos (4t +π/3)x (m) ω π/3 π/3 t = 0 0.04 0.08 -0.04 -0.08 O A A机械波第一节 简谐波1. B2. A3.D4.C5.A （注意图缺：振幅A=0.01m ）6.B7. 503.2 8. a 向下 b 向上 c 向上 d 向下 （追赶前方质元）9. π 10. 4π 或011.解：(1) )1024cos(1.0x t y π-π=)201(4cos 1.0x t -π= (SI) (2) t 1 = T /4 = (1 /8) s ，x 1 = λ /4 = (10 /4) m 处质点的位移)80/4/(4cos 1.01λ-π=T y m 1.0)818/1(4cos 1.0=-π= (3) 振速 )20/(4sin 4.0x t ty -ππ-=∂∂=v ． )4/1(212==T t s ，在 x 1 = λ /4 = (10 /4) m 处质点的振速 26.1)21sin(4.02-=π-ππ-=v m/s 12.λ=0.4m u =0.05 k =ωu =2πλ=5π ω=π4 ϕ0=π2−2πT ∙T 2=−π2 y (x,t )=0.06cos (π4t −5πx −π2) y (0.2,t )=0.06cos (π4t −3π2)13. 210)cos sin 3(21-⨯-=t t y P ωω 210)]cos()21cos(3(21-⨯π++π-=t t ωω )3/4cos(1012π+⨯=-t ω (SI)． 波的表达式为：]2/234cos[1012λλω-π-π+⨯=-x t y )312cos(1012π+π-⨯=-λωx t (SI) 第二节 波的干涉 驻波 电磁波1.D2.C3. D4.B5.B6.A7.C8. y =−2Acos (ωt ) ðy ðt =2Aωsin (ωt)9. 2A （提示：两振动同相）10. 0.5m 11. Acos2π(t T −x λ) A12. > 70.8hz 13. 7.96×10-2 W/m 214.解：(1) 反射点是固定端，所以反射有相位突变π，且反射波振幅为A ，因此反 射波的表达式为 ])//(2cos[2π+-π=T t x A y λ(2) 驻波的表达式是 21y y y += )21/2cos()21/2cos(2π-ππ+π=T t x A λ (3) 波腹位置： π=π+πn x 21/2λ, λ)21(21-=n x , n = 1, 2, 3, 4,… 波节位置： π+π=π+π2121/2n x λ λn x 21= , n = 1, 2, 3, 4,…15.解：(1) 与波动的标准表达式 )/(2cos λνx t A y -π= 对比可得： ν = 4 Hz ， λ = 1.50 m ， 波速 u = λν = 6.00 m/s(2) 节点位置 )21(3/4π+π±=πn x )21(3+±=n x m , n = 0，1，2，3, …(3) 波腹位置 π±=πn x 3/44/3n x ±= m , n = 0，1，2，3, …。
第七章 电磁感应本章提要1. 法拉第电磁感应定律· 当穿过闭合导体回路所包围面积的磁通量发生变化时，导体回路中就将产生电流，这种现象称为电磁感应现象，此时产生的电流称为感应电流。
· 法拉第电磁感应定律表述为：通过导体回路所包围面积的磁通量发生变化石，回路中产生地感应电动势i e 与磁通量m Φ变化率的关系为其中Φ为磁链，负号表示感应电动势的方向。
对螺线管有N 匝线圈，可以有m N Φ=Φ。
2. 楞次定律· 楞次定律可直接判断感应电流方向，其表述为：闭合回路中感应电流的方向总是要用自己激发的磁场来阻碍引起感应电流的磁通量的变化。
3. 动生电动势· 磁感应强度不变，回路或回路的一部分相对于磁场运动，这样产生的电动势称为动生电动势。
动生电动势可以看成是洛仑兹力引起的。
· 由动生电动势的定义可得：· 洛伦兹力不做功，但起能量转换的作用。
4. 感生电动势·当导体回路静止，而通过导体回路磁通量的变化仅由磁场的变化引起时，导体中产生的电动势称为感生电动势。
其中E i 为感生电场强度。
5. 自感· 当回路中的电流发生变化，它所激发的磁场产生的通过自身回路的磁通量也会发生变化，此变化将在自身回路中产生感应电动势，这种现象称为自感现象，产生的电动势为自感电动势，其表达式为：d d L i L te =-（L 一定时） 负号表明自感电动势阻碍回路中电流的变化，比例系数L 称为电感或自感系数。
· 自感系数表达式为：· 自感磁能6. 互感· 对于两个临近的载流回路，当其中一回路中的电流变化时，电流所激发的变化磁场在另一回路中产生感应电动势。
这种现象称为互感现象，对应产生的电动势称为互感电动势，其表达式为：121d d i M te =-（M 一定时） 其中M 为互感系数。
7. 麦克斯韦方程组回顾有关描述静电场和稳恒磁场的基本性质的4个方程：● 静电场高斯定理● 稳恒磁场的高斯定理● 静电场的环路定理● 稳恒磁场的安培环路定理根据上述4个方程，考虑电场或磁场的变化，麦克斯韦对上述方程进行修改，得到如下一组描述任何电场和磁场的方程组。
第八章课后习题解答一、选择题8-1如图8-1所示，一定量的理想气体，由平衡态A 变到平衡态B ，且它们的压强相等，即=A B p p 。
则在状态A 和状态B 之间，气体无论经过的是什么过程，气体必然[ ](A) 对外作正功 (B) 内能增加 (C) 从外界吸热 (D) 向外界放热分析：由p V -图可知，A A B B p V p V =，即知A B T T <，则对一定量理想气体必有B A E E >，即气体由状态A 变化到状态B ，内能必增加。
而作功、热传递均是过程量，与具体的热力学过程相关，所以（A ）、（C ）、（D ）不是必然结果，只有（B ）正确。
8-2 两个相同的刚性容器，一个盛有氢气，一个盛有氦气（均视为刚性分子理想气体）。
开始时它们的压强和温度都相同。
现将3 J 热量传给氦气，使之升高到一定的温度。
若使氢气也升高同样的温度，则应向氢气传递热量为[ ](A) 6 J (B) 3 J (C) 5 J (D) 10 J分析：由热力学第一定律Q E W =∆+知在等体过程中Q E =∆。
故可知欲使氢气和氦气升高相同的温度，由理想气体的内能公式2m i E R T M '∆=∆，知需传递的热量之比22222:():():5:3HHe H He H He H He H Hem m Q Q i i i i M M ''===。
故正确的是（C ）。
8-3 一定量理想气体分别经过等压、等温和绝热过程从体积1V 膨胀到体积2V ，如图8-3所示，则下述正确的是[ ]习题8-1图(A) A C →吸热最多，内能增加(B) A D →内能增加，作功最少(C) A B →吸热最多，内能不变(D) A C →对外作功，内能不变分析：根据p V -图可知图中A B →为等压过程，A C →为等温过程，A D →为绝热过程。
又由理想气体的物态方程pV vRT =可知，p V -图上的pV 积越大，则该点温度越高，因此图中D A B C T T T T <==，又因对于一定量的气体而言其内能公式2i E vRT =，由此知0AB E ∆>，0AC E ∆=，0AD E ∆<。
第八章 振动与波动本章提要1. 简谐振动· 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。
· 简谐振动运动方程()cos x A t ωϕ=+其中A 为振幅，ω 为角频率，（ωt+ϕ）称为谐振动的相位，t ＝0时的相位ϕ 称为初相位。
· 简谐振动速度方程d ()d sin x v A t tωωϕ==-+· 简谐振动加速度方程222d ()d cos x a A t tωωϕ==-+· 简谐振动可用旋转矢量法表示。
2. 简谐振动的能量· 若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在某一时刻m 的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体m 动能为212k E mv =· 弹簧的势能为212p E kx =· 振子总能量为P22222211()+()221=2sin cos k E E E m A t kA t kAωωϕωϕ=+=++3. 阻尼振动· 如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。
· 阻尼振动的动力学方程为222d d 20d d x x x ttβω++=其中，γ是阻尼系数，2mγβ=。
（1） 当22ωβ>时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。
（2） 当22ωβ=时，不再出现振荡，称临界阻尼。
（3） 当22ωβ<时，不出现振荡，称过阻尼。
4. 受迫振动· 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力 · 受迫振动的运动方程为22P 2d d 2d d cos x x F x t ttmβωω++=其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。
· 当驱动力振动的频率p ω等于ω时，振幅出现最大值，称为共振。
5. 简谐振动的合成与分解（1） 一维同频率的简谐振动的合成 若任一时刻t 两个振动的位移分别为111()cos x A t ωϕ=+ 222()cos x A t ωϕ=+合振动方程可表示为()cos x A t ωϕ=+其中，A 和ϕ 分别为合振动的振幅与初相位A =11221122sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+（2） 二维同频率的简谐振动的合成若一个质点同时参与两个同频率的简谐振动，且此两个简谐振动分别在x 轴和y 轴上进行，运动方程分别为11()cos x A t ωϕ=+22()cos y A t ωϕ=+其合振动方程为22221212212122()()cos sin xyxy A A A A ϕϕϕϕ+--=-该为一个椭圆方程，椭圆形状由振幅A 1、A 2及相位差21()ϕϕ-决定。
（3） 二维不同频率的简谐振动的合成如果两个相互垂直的简谐振动的周期成简单的整数比，合运动的轨迹也是稳定的闭合曲线，这样合成振动的轨迹图形称为李萨如图形。
6. 简谐波· 若波源作简谐振动，那么当这种振动在介质中传播时，介质中的各点也作与此频率相同的简谐振动，这样形成的波动称为简谐波。
· 简谐波的波动方程()cos x y A t u ω=-或2()cos t xy A T πλ=-或2()cos xy A t πνλ=-7. 简谐波的能量密度· 单位体积的介质中波的能量称能量密度，用w 表示，其描述了介质中各处能量的分布情况222sin Ex w A t V u ρω∆∆⎛⎫==- ⎪⎝⎭ · 平均能量密度表示一个周期内能量密度的平均值0222221d 1d 12sin T T w w tT x A t t T u Aρωρω=⎛⎫=-⎪⎝⎭=⎰⎰· 波动的能流密度2212I w u u A ρω=⋅=8. 多普勒效应· 当观察者或波源相对于传播的介质运动时，观察者接受到的波的频率与波源的频率不同，这种现象称为多普勒效应。
（1） 波源静止，观察者相对于介质运动 观察者接收到的频率为0011v u v u u vTv ννλ++⎛⎫===+ ⎪⎝⎭（2） 观察者静止，波源相对于介质运动观察者接收到的频率为11s s svvv v u TvT u Tv u ννλλ====---（3） 波源和观察者同时相对于介质运动 观察者接收到的频率为01s sv u v u u Tv u ννλ++==--思考题8-1 什么是简谐振动？下列运动哪个是简谐振动？（1）拍皮球时球的运动；（2）人的脉搏运动；（3）一个小球在球形碗底部的微小摆动。
答：简谐振动是物体在回复力（弹性力或准弹性力）作用下的运动。
在运动过程中，平衡位置两侧的回复力方向不同；运动轨迹是正弦曲线 （1） 该现象好象是往复运动，实际上由于在运动过程中重力的方向始终不变，因而不是简谐振动（2） 运动轨迹不是正弦曲线，不是简谐振动。
（3） 一个小球在球形碗底部的微小摆动时，重力的切向分力起着回复力的作用是简谐振动。
8-2 一个弹簧振子振动的振幅增大到两倍时，振动的周期、频率、最大速度、最大加速度和振动能量都将如何变化？答：若弹簧振子振动的振幅增大到原来的两倍时，振动的周期和频率不变，最大速度和最大加速度增加二倍，振动能量增加四倍。
8-3 如果不忽略弹簧的质量，一个弹簧振子的振动周期比忽略弹簧的质量时的振动周期是变大还是变小？答：若不忽略弹簧的质量，弹簧振子的振动周期相对于忽略质量时的周期较大。
8-4 设向右的方向为正方向，试指出在怎样的位置时简谐振动的质点 （1）位移为零；（2）位移最大；（3）速度为零；（4）速度为负最大值；（5）加速度为零；（6）加速度为正最大。
答：（1）考虑简谐振动质点位移表达式()cos x A t ωϕ=+可得2t πωϕ+=时，位移为零。
这时质点在平衡位置。
（2） 同理，当0t ωϕ+=时，位移最大。
这时质点在两侧的端点。
（3） 考虑简谐振动质点速度表达式()sin v A t ωωϕ=-+可得0t ωϕ+=时，速度为零。
这时质点在两侧的端点。
（4） 同理，当2t πωϕ+=时，速度为负最大值。
这时质点从右侧经平衡位置向左运动。
（5） 考虑简谐振动质点加速度表达式2()cos a A t ωωϕ=-+当2t πωϕ+=时，加速度为零。
这时质点在平衡位置。
（6） 同理，当t ωϕπ+=时，加速度为正最大。
这时质点左侧端点（位移最大）位置。
8-5 弹簧振子的简谐振动方程为)cos(ϕω+=t A x ，指出振动物体在下列位置时的位移、速度、加速度和所受弹性力的大小和方向：（1）正方向端点；（2）平衡位置且向负方向运动；（3）平衡位置且向正方向运动；（4）负方向端点。
答：（1）振动物体位于正方向端点的状态如下：位移最大，方向指向正方向，速度为零，加速度最大、方向指向负方向，所受弹性力的大小最大、方向指向平衡位置。
（2）振动物体在平衡位置且向负方向运动的状态如下：位移为零，速度最大、方向指向负方向，加速度为零，所受弹性力的大小为零。
（3）振动物体在平衡位置且向正方向运动的状态如下：位移为零，速度最大、方向指向正方向，加速度为零，所受弹性力的大小为零。
（4）振动物体位于负方向端点的运动状态如下：位移最大、方向指向负方向，速度为零，加速度最大、方向指向正方向，所受弹性力的大小最大、方向指向平衡位置。
8-6 要测定一个未知振动的频率，你有何办法？答：利用李萨如图形方法：用一个已知频率的振动与未知频率进行合成，只要合成的结果是一个闭合稳定的图形，便可以测定未知振动的频率。
8-7 在波的表达式中，坐标原点是否一定要设在波源的位置？在简谐振动的表达式中有几个独立变量？简谐波的表达式中有几个独立变量？比较两个表达式的意义。
答：在波的表达式中，坐标原点不一定要设在波源的位置。
在简谐振动的表达式中有两个独立变量：x和t。
简谐波的表达式中有三个独立变量：x、y和t。
简谐振动的表达式是描写某一个固定点的振动规律，简谐波的表达式是描写在波转播的介质空间中任意点的振动规律及这些振动之间的相互联系。
8-8 当频率为ν，波长为λ的一列波由波速为u的介质进入波速为3/u的介质后，波的频率和波长如何变化？答：当频率为ν，波长为λ的一列波由波速为u的介质进入波速为3/u的介质后，波的频率不变，波长为原波长的三分之一。
8-9 弦乐器上的一根弦的音调是靠什么调节的？演奏时一根弦发出不同的音调又是靠什么调节的？答：弦乐器上的一根弦振动时形成驻波，不同长度，驻波频率不一样，因而发出不同音调。
弦乐器上的一根弦的音调是靠弦的长度来调节，演奏时一根弦发出不同的音调又是靠弦的不同长度来调节。
8-10 在声源运动、接收器不动和声源不动、接收器运动两种情况下，如果使运动速度一样，接收器接收到的声波是否相同？答：在声源运动、接收器不动和声源不动、接收器运动两种情况下，如果使运动速度一样，根据多普勒效应公式可知，接收器相当于观察者，所以接受器所接收到的声波的频率是不相同的。
练习题8-1 如图8-1所示，两个完全相同的弹簧振子，如将一个拉长10cm ，另一个压缩5cm ，然后放手，试问两物体在何处相遇。
解：依题意得两弹簧振子的振动方程11()cos x A t ωϕ=+22()cos x A t ωϕ=+当12x x =时，得 ,2,1,0,)21(=+=+k k t πϕω，两物体在平衡位置处相遇。
8-2 经验证明，当车辆沿竖直方向振动时，如果振动的加速度不超过1m/s 2，乘客不会有不舒服的感觉。
若车辆竖直振动频率为每分钟90次，为保证乘客没有不舒服的感觉，车辆允许振动的最大振幅为多少？解：由已知可得9023(rad/s)60πωπ⨯==当()ϕω+=t A x cos 时，加速度方程为()22d cos d 2x a A t tωωϕ==-+根据题意知，车辆允许振动的最大振幅为A m ，且21m A ω≤ ，则22110011(m)9314m A ω≤==⋅⨯⋅取等号时是最大振幅。
8-3 放置在水平桌面上的弹簧振子，其简谐振动的振幅A =m 100.22-⨯，周期T = 0.5s ，求起始状态为下列情况的简谐振动方程： （1） 振动物体在正方向端点 （2） 振动物体在负方向端点（3） 振动物体在平衡位置，向负方向运动 （4） 振动物体在平衡位置，向正方向运动（5） 振动物体在m 100.12-⨯=x 处，向负方向运动 （6） 振动物体在m 100.12-⨯-=x 处，向正方向运动解：由于T = 0.5s ，故ππω4/2==T 。
则振动方程为002(4).cos x t πϕ=+由题意得，起始状态为0t =时（1）002002..cos x ϕ==，即0ϕ=，该状态下的振动方程为图8-10024.cos x tπ=（2）002002..cos x ϕ=-=，即ϕπ=，该状态下的振动方程为002(4).cos x t ππ=+（3）0002.cos x ϕ==，0080.sin v πϕ=-<，即2πϕ=，该状态下的振动方程为002(4)2.cos x t ππ=+（4）0002.cos x ϕ==，0080.sin v πϕ=->，即32πϕ=，该状态下的振动方程为3002(4)2.cos x t ππ=+（5）001002..cos x ϕ==，0080.sin v πϕ=-<，即3πϕ=，该状态下的振动方程为002(4)3.cos x t ππ=+（6）001002..cos x ϕ=-=，0080.sin v πϕ=->，即43πϕ=，该状态下的振动方程为4002(4)3.cos x t ππ=+8-4 如图8-2所示，一个立方形木块浮于静水中，其浸入部分的高度为a ，用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入部分的高度为b ，然后放手让其运动。
