圆的基本性质
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1 圆的基本性质
知识回顾
圆的周长： 圆的面积：
1、圆：
圆心 的线段叫做弦， 的弦叫直径。
叫做圆弧，简称弧。
2、垂直平分线：
3、角的平分线：
有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( )
A．4个 B．3个 C． 2个 D． 1个
4、垂径定理
垂径定理：
推论1：
（1）如图，△ ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C ，⑤,正确结论的个数是（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
（1）（2） （3） 2 （2）如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是__________.
（3）已知：如图，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。
①若AB＝，ON＝1，求MN的长；
②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。
（4） 已知：△ABC内接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm，求AB的长。
（5）圆的半径为13cm，两弦ABCD∥，24cmAB，10cmCD，则两弦ABCD，的距离是（ ）
Ａ．7cm Ｂ．17cm Ｃ．12cm Ｄ．7cm或17cm
（6）若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm、深约为2 cm的小坑，则该铅球的直径约为( )
A. 10 cm B. 14.5 cm C. 19.5 cm D. 20 cm
5、圆心角定理
顶点在圆心的角，叫圆心角。
圆心角定理：
（1）在同圆中，下列四个命题:(1)圆心角是顶点在圆心的角；(2)两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；(3)两条弦相等，它们所对的弧也相等；(4)等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 3 （2） 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求∠DCA的度数。
（3）⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )
A．AB>2AM B．AB=2AM
C．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定
6、圆周角定理
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。
1、圆周角定理：
2、圆周角定理的推论：
推论2：
即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵90C
∴90C ∴AB是直径
（1）如下图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50o，则∠C的度数是________。 CBAODCBAOCBAO 4
第1题图 第2题图
（2）如图，点ABC，，都在O上，若34C∠，则AOB∠的度数为（ ）
A．34 B．56 C．60 D．68
（3）已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧CD⌒上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
（4）如图，点B、C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角BAC等于（ ）
A．60 B．50 C．40 D．30
第4题图 第6题图
（5）如图，已知EF是O的直径，把A∠为60的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设POFx∠，则x的取值范围是（ ）
Ａ．60120x≤≤ Ｂ．3060x≤≤
Ｃ．3090x≤≤ Ｄ．30120x≤≤
（6）如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO.以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连接EF.若∠BAC=22º，则∠EFG=_____.
PODCBA(第3题图) O C
B A
O F C A P
E （B）
第5题图 5 7、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：
即：在⊙O中，
∵四边形ABCD是内接四边形
∴180CBAD 180BD
DAEC
（1）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=________°.
第1题图 第2题图 第3题图
（2）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上，
如果∠BOD=120°，那么∠BCE等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
（3）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内OB上一点，BMO120，则⊙C的半径为（ ）
A. 6 B. 5 C 3 D. 32
EDCBA 6
课后练习：
1.O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则O的半径长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2.如图，AB为⊙O直径，E是BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．
4.如图，点A、B、P在⊙O上，且∠APB=50°若点M是⊙O上的动
点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.圆的一条弦长等于它的半径，求这条弦所对的圆周角的度数为： .
6.如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠B大小为 ( )
A．25° B．35° C．45° D．65°
7.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAＢ＝２８°，则∠C的大小是（ ）
A．６２° B．５６° C．２８° D．３２°
第6题图 第7题图 第9题图
8.如图，点AB，是O上两点，10AB，点P是O上的动点（P与AB，不重合），连结APPB，，过点O分别作OEAP于E，OFPB于F，则EF ．
9、已知，如图：AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝450。给出以下五个结论：①∠EBC＝22.50，；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC。其中正确结论的序号是 。 ABOFPE第8题图 7 10.如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = _____________．
11.已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°， 求∠C及∠AOC的度数．
12.已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．
13.已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为2，3，求∠BAC的度数
