椭圆及其性质课件-2025届高三数学一轮复习

第八篇 平面解析几何

专题8.05 椭圆及其几何性质

【考试要求】

1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

【知识梳理】

1.椭圆的定义

在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a＜c，则集合P为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)

图形

性质范围 －a≤x≤a

－b≤y≤b －b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，

B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，

B1(－b，0)，B2(b，0)

轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b

焦距 |F1F2|＝2c

离心率 e＝ca∈(0，1)

a，b，c的关系 c2＝a2－b2 【微点提醒】

点P(x0，y0)和椭圆的位置关系

(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1；

(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；

(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )

(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( )

(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( )

(4)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同.( )

高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程

【本讲主要内容】

椭圆的定义、性质及标准方程

椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质

【知识掌握】

【知识点精析】

1. 椭圆的定义：

⑴第一定义：平面内与两个定点12FF、的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数)10(ee，则动点M的轨迹叫做椭圆。

定点F是椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，常数e叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a等于2c，则动点轨迹是线段12FF。

②若常数2a小于2c，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：

标准方程 )0(12222babyax中心在原点，焦点在x轴上 )0(12222babxay

中心在原点，焦点在y轴上

图形

范围 xayb， xbya，

顶点 12120000AaAaBbBb，、，，、， 12120000AaAaBbBb，、，，、，

对称轴 x轴、y轴；

长轴长2a，短轴长2b；

焦点在长轴上 x轴、y轴；

长轴长2a，短轴长2b；

焦点在长轴上

焦点 1200FcFc，、， 1200FcFc，、，

焦距 )0(221ccFF )0(221ccFF 离心率 )10(eace )10(eace

准线 2axc 2ayc

参数方程与普通方程 22221xyab的参数方程为

cossinxayb为参数 22221yxab的参数方程为

cossinyaxb为参数

3. 焦半径公式：

椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x轴上时，设12FF、分别是椭圆的左、右焦点，00Pxy，是椭圆上任一点，则10PFaex，20PFaex。

椭圆的几种常见形成方法

0．平面截圆柱或圆锥所得的封闭非圆截线；

1．到两定点12(0)(0)FcFc，、，的距离之和为2(0)aac＞＞的点的轨迹；

2．已知两个定点12(0)(0)AaAa，，，，动点P满足(0)PAPBkkmm＜，P的轨迹；

3．到定点(0)Fc，与到定直线2(0)alxacc＞＞：距离之比为cea的点轨迹；

4．定长线段ABab两端点AB、分别在x轴和y轴上移动，线段AB上点P满足

PAa，点P的轨迹；

5．已知圆2221Cxya：，圆22220Cxybab＞＞：，，过O作射线OT分别交1C、

2C于M、N两点，过M作x轴的垂线MA，过N作y轴的垂线NB，设MANBP，点P的轨迹；

6．设M是圆229xy上的一个动点，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P在线段MN上，且3MNPM，点P的轨迹；

7．一张半径为4的纸片，若圆心坐标为(10)C，，圆形纸片上有一定点(12)F，，折叠该纸片，使圆周上的动点E刚好与定点F重合，设折痕为MN，P是折痕上到C、F两点距离之和最小的点，点P的轨迹；

8．与两圆222212(2)1(2)81CxyCxy：，：都相切的动圆圆心轨迹．

你能说明这些轨迹是椭圆么？你能再搜集几个？？

椭圆的简单几何性质导学案（复习课）

教学目标：

1. 深入了解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质。

2. 掌握a、b、c几何意义以及a、b、c、e 的相互关系。

3. 能利用椭圆的有关知识解释实际问题。

4. 贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质。

教学重、难点：

重点：椭圆的简单几何性质。

难点：运用椭圆的几何性质解决有关椭圆的综合问题。

椭圆的标准方程及其几何性质：

标准方程

图

象

范

围

对 称 性

顶点坐标

焦点坐标

常见题型一:椭圆几何性质的简单应用

例1 已知椭圆方程为16x2+25y2=400,

它的长轴长是： 。短轴长是：

焦距是 。 离心率等于： 。

焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程

(1)与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点，且离心率为

55 ； 半

轴

长

焦

距

a,b,c关系

离 心 率 (2)长轴长是短轴长的2倍，且过点A（2，0）；

练习：

(1) 在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6，求椭圆的标准方程；

(2) 椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比为1:4，短轴长为8，

求椭圆的标准方程。

常见题型二：有关椭圆的离心率

例3

（1）已知椭圆C: 14222yax 的一个焦点（2,0），求椭圆的离心率。

（2）若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，求椭圆的离心率.

练习：

1、若椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．

2. (13四川)从椭圆 22221(0)xyabab上一点Ｐ向ｘ轴作垂线，垂足恰为左焦点，A是椭圆与ｘ轴正半轴的交点，Ｂ是椭圆与ｙ轴正半轴的交点，且 //ABOP，Ｏ是坐标原点，则该椭圆离心率是（ ）