n阶幂零矩阵

教育科学　

ｎ阶矩阵ｍ次幂的计算方法及其应用分析　

赵晖　

．　（杭州师范大学钱江学院理学分院３１００００）　

【摘要】方阵的高阶次幂计算相对较为繁琐，本文给出了ｎ阶矩阵ｍ次幂的几种简便易行的计算方法，通过这几种计算方法的运用，基本可解决一　

般方阵方幂计算问题。　

【关键词】矩阵高阶次幂计算方法　

ｎ阶矩阵其方幂计算在差分方程组计算中占据相当重要的作用　因此　

对其求解方法进行探讨极为必要。我们了解若两对角形矩阵进行乘积计　

算，其结果仍是对角形矩阵，并且其主对角线上元素是两乘积矩阵各主　

对角线上相应元素乘积，也即ｄｉａｇ（ｘ　，ｘ　，…，Ｘｎ）・ｄｉａｇ（Ｙ。，Ｙ２，…，　

Ｙｎ）＝ｄｉａｇ（ｘ　Ｙ　，ｘ　Ｙ２，…Ｘｎ　Ｙｎ）。因此，我们很容易得到下面这一公式，　

即：（ｄｉａｇ（Ｘ。，Ｘ　，…，Ｘｎ））‘＝ｄｉａｇ（Ｘ　‘，ｘ　，…，Ｘｎ　）。以下我们通过　

具体实例来对Ａ－的解法进行分析。　

一、运用矩阵乘法结合律进行计算　

若Ａ＝　，其中ａ、ｂ为ｎ维歹】』向量，那么Ａｌ＿＝ａｂＴ・ａｂＴ…ａｂ　＝ａ（ｂ　ａ）…　

（ｂｒａ）ｂ　：（ｂＴａ）　Ａ，其中ｂ　ａ为数。　

若ｐ－，ＡＰ＝Ｂ，则Ａ＝ＰＢＰ－　，于是Ａｍ＝ＰＢＰ一・ＰＢＰ～…ＰＢＰ～＝ＰＢ（Ｐ　Ｐ）Ｂ（ｐ－＇ｐ）…　

Ｂ（ｐ－ｌｐ）ＢＰ～＝ＰＢ　Ｐ～。　则　

例：已知矩阵Ａ：ＰＱ，其中Ｐ：ｌ　，Ｑ：［２，一１，２］，求矩阵Ａ，　，Ａ　。　

：　：［　］　。

，一　，。　：『　＇：　２　４］

，。　：　。，一　，。　『　］：。

，　。：Ｐ。．。　：　。　

通常，设　：２　Ａ，则Ａｋ＝　・Ａ＝２　Ａ・Ａ＝２　Ａ％２　Ａ。　

ｒ２一ｌ２］　

根据数学归纳法则有　＝２　・Ａ，那么Ａ　＝２　Ａ＝２　ｌ　４—２４　Ｉ　ｌ２一ｌ２Ｊ　

二、运用数学归纳法　

对上述所列举的例子，我们可先求出Ａ２　…，再运用数学归纳法求　

出Ａ．。下面我们通过一个证明具体说明。　

例：　

，Ｃ０５０一Ｓｌｌｌ　、　＝｛　ｌ　在平面坐标变换中，坐标轴旋转变换对应矩阵　Ｉ　ｓｍ０　ＣＯＳ　Ｊ，　

第２７卷第５期　

２０１１年１０月　大　学　数　学　

ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏ１．２７，№．５　Ｏｃｔ．２０１１　

一个特殊矩阵　次幂的推广　

耿秀荣　，　

（１．桂林航天工业高等专科学校信息工程系，广西桂林　陈雪雯　

５４１００４；　２．广西经贸职业技术学院，广西南宁５３００２１）　

［摘　要］对一类特殊矩阵　次幂进行推广，可得到一般性结论．而该结论能用数学归纳法证明．当　一１　时的结论是其特例．　［关键词］特殊矩阵；　次幂；推广　［中图分类号］Ｏ１５１　［文献标识码］Ｃ　［文章编号］１６７２—１４５４（２０１１）０５—０１３０—０４　

文［１］由两个特殊低阶方阵的　次幂得出ｋ阶方阵　

的　次幂如下：　引理１Ⅲ　已知矩阵　

则　

Ａ　＝　Ａ＝：　

Ａ＝：　１　１　

Ｏ　１　：　：　●　●　Ｏ　０　

１　１　

Ｏ　１　：　：　●　●　０　０　

１　Ｃ　

０　１　●　●　：　：　０　０　

Ｏ　０　我们对此结果进行推广，可以很自然地得到一般性的结论．　

１　问题提出　

对于方阵　

Ａ＝＝　１　１　

Ｏ　１　：　：　●　●　Ｏ　Ｏ　…　１　

…　１　‘．　：　●　●　…　１　Ｃ　：　

ｃｔ＋２　

Ｃ　１　

我们把其主对角线上的数字“１”推广为“　”（其中，“　”可以为任意非零实数）．这时，我们设　

［收稿日期］２００９—０３—０９　［基金项目］新世纪广西高等教育教学改革项目（２Ｏｌ１１ＧＡ１６３）　¨　¨；¨　；ｏ

　第５期　耿秀荣，等：一个特殊矩阵　次幂的推广　１３１　

Ａ　×　＝　

那么，如何计算矩阵Ａ的　次幂（Ａ　）”　

２　问题解答　｝呈　

呢？　１　…　

…　：　’．　●　●　０　…　（忌≥２），　

因为矩阵Ａ的阶数和方次都不确定，所以我们难以总结规律．我们不妨先讨论矩阵Ａ的阶数分别　为忌一２，３，４，…时，寻求Ａ　的规律，在此基础上，再对（Ａ　）　进行归纳总结．　

例１设Ａ—　），其中，　为任意非零实数，求Ａ　．　

显然，可用数学归纳法证得　

第23卷第4期 齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 Vol.23,No.4 2007年7月 Journal of Qiqihar University July,2007

n阶幂零矩阵的判别及构建

吴险峰

（齐齐哈尔大学理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）

摘要：利用幂零矩阵的特征值、特征多项式、相似性等性质，给出构建幂零矩阵的几种方法。

关键词：幂零矩阵；严格三角形矩阵；主子式

中图分类号：O151.21 文献标识码：A 文章编号：1007-984X(2007)04-0072-04

对于有限维的线性空间，在给定基下线性变换与矩阵有着一一对应关系, 而线性变换是比较抽象的，

不如矩阵容易理解，因此总是借助于矩阵来研究有限维线性空间的线性变换。幂零变换是一种特殊的线性

变换，有许多特殊的性质可以利用，但除了用定义外，怎样判定所给的线性变换是否为幂零变换，又如何

构建幂零变换。因为在有限维的线性空间中，幂零变换对应着幂零矩阵，由此幂零矩阵的判定和构建是解

决这一问题的关键。因此本文给出了n阶幂零矩阵的判定方法和构建方法。文中所指的矩阵均为数域F上

的矩阵，数均为数域F上的数。

1 幂零矩阵的判别

引理1 n阶矩阵A是幂零矩阵，当且仅当A的所有特征根都是零。

引理2 设n阶矩阵)(ijaA=的特征多项式为

nnnnAbxbxbxAxIxf++++=−=−−111)("

则kb为A的一切k阶主子式的和乘以k)1(−，nk,,2,1"=，即

∑

≤<<≤−=niiiiiiiiiiiiiiiiiiii

kkkkkkkkk

aaaaaaaaa

b

""####""

1212221212111

1)1(

定理1 数域F上n阶矩阵A为幂零矩阵，当且仅当A的一切k(nk,,2,1"=)阶主子式之和为零。

证

必要性：设)(ijaA=，则由引理2有

nnnnAbxbxbxAxIxf++++=−=−−111)("

其中系数kb为A的一切k阶主子式的和乘以k)1(−，nk,,2,1"=，即

第３４卷笫２期　西南民族大学学报・自然科学版　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｆｏｒ　Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ　Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ　

文章编号：１００３．２８４３（２００８）０２・０２２９－０２　

ｎ次幂等矩阵的代数等价与相似　

周航，柳卫东　

（武警工程学院基础部，陕西西安７１００８６）　

摘要：设Ｒ是含幺结合环，　≥２为自然数、本文证明了ｎ次幂等矩阵集　（　）＝｛Ｐ　ｆ　Ｐ　＝Ｐ∈　Ｉ（　）｝上的代数　

等价与相似都是其中的等价关系，并阐明代数等价是相似的必要非充分条件．　关键词：ｎ次幂等矩阵；代数等价；相似　中图分类号：０１５１　文献标识码：Ａ　

１　引　言　

对任意的含幺结合环　，代数Ｋ．理论给出了一系列Ａｂｅｌ群　（　），ｉ＝０，１，２，…（参见文［１］）．作为环的不变　

量，它们是刻画环结构的有力工具．　

定义１设Ｒ是环，刀　２为自然数，若　

Ｐ　＝Ｐ∈Ｍ　（Ｒ），ｋ　１，　

则称Ｐ为Ｍ　（　）中的１１次幂等矩阵．令　（　）＝｛Ｐ　ｌ　Ｐ　：Ｐ∈Ｍ　（　）｝．　

定义２设Ｐ，Ｑ∈　（Ｒ），若存在　，Ｙ∈　（　），使得　

Ｐ＝ＡＴ，Ｏ－－－．ＹＸ，　则称Ｐ与Ｑ代数等价，记作Ｐ～　Ｑ．　

定义３设尸，Ｏ∈　（　），若存在Ｕ∈　（　），使得　

～＝Ｏ．　则称Ｐ与Ｑ相似，记作尸～　Ｑ．　幂等矩阵与Ｋ０群密切相关　，　，因此研究不同环上的幂等矩阵及其性质便成为代数Ｋ－理论的重要课题之一．　不少学者对此做了深入的研究，得到了一些重要的结果　’翻．文［２］讨论了幂等矩阵有对称分锯（代数等价）与相　

似的关系．在文［２】基础上，本文研究了ｎ次幂等矩阵的代数等价与相似，证明了它们均为　（Ｒ）中的等价关系，　

并阐明代数等价是相似的必要非充分条件．　

２主要结果　

定理１　～　是　（　）中的等价关系．　

证明：显然～　具有反身性、对称陛．下证～　具有传递性．　

设尸’Ｏ，Ｗ∈　（Ｒ），且尸～　Ｑ、Ｏ～　Ｗ．故存在　，Ｙ，Ｓ，Ｔ∈Ｍ　（　），使得