概率论与数理统计试卷和答案

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一、填空题：（每空 4 分，共 20分） 得 分 评阅人

1、设事件,AB是互不相容的，P(A)=0.4, P(B)=0.3，则)(BAP= 。

2、已知随机变量X的分布函数为.arctan121)(xxF则{03}PX=_______。

3、设随机变量X ~ N (2, 9)，则数学期望)1-2(2XE = 。

4、设随机变量X1, X2，…，Xn，…相互独立，服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差，),2,1(0)(,)(2=>==kσXDμXEkk，则随机变量σnμnXYnkkn∑1-==的极限分布是_____________。

5、已知随机变量X~),(pmB（二项分布），Y~),(pnB，且X与Y相互独立，则X+Y服从_________________________分布。

二、单项选择题：（每题4 分，共20分） 得 分 评阅人

1、21,2,3,3kPXkck是某随机变量的分布律，则C =（ ）。

（A）2. （B）0.5. （C）1. （D）1.5

2、设随机变量Y在1,6上服从均匀分布，则方程210xYx有实根的概率为（ ）。

(A) 0.2 (B) 0.4 (C) 0.8 (D) 0.6

3、在每次试验中事件A发生的概率为0.5，如果作100次独立试验，记事件A发生的次数为随机变量X，根据切比雪夫不等式估计P (40 < X < 60) ≥（ ）。

(A) 0.5 (B) 0.75 (C) 0.25 (D) 1

4、若随机变量X与Y不相关，则下列结论不正确的是（ ）。

(A) X与Y独立 (B) E (XY)=E(X) E(Y) (C) Cov (X, Y) = 0 (D) D (X-Y) = D (X) + D (Y)

5、设21,XX是取自服从正态分布)1,(N的总体X的样本，则下列估计量为总体期望的无偏估计量的是（ ）。

(A) 21XX (B）214132XX (C) 214331XX (D) 212121XX 第 2 页 共 7 页 三、计算题：（每题10分，共 40分） 得 分 评阅人

1、将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生。试问：

(1) 每个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?

(2) 3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少?

2、袋中有大小、重量等完全相同的四个球，分别标有数字1，2，2，3，现从袋中任取一球，取后不放回，再取第二次。分别以X、Y记第一次和第二次取得球上标有的数字。求：

（1）（X，Y）的联合分布律；（2）X和Y的边缘分布律；（3）判断X与Y是否独立。

第 3 页 共 7 页 3、某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，

概率密度函数为：0,00,6001)(6001xxexfx，试求在仪器使用的最初200小时内，至

少有一只电子元件损坏的概率。

4、设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0。设干燥时间总体服从正态分布),(2N，若由以往经验知=0.6，求的置信度为0.95的置信区间。759.0)96.1(=Φ

第 4 页 共 7 页 四、证明题：（10分） 得 分 评阅人

设连续型随机变量X的概率密度为xe21f(x)，x，证明2XY的概率密度为0,00,21(y)fYyyeyy。

五、应用题：（10分） 得 分 评阅人

设一个人在一年中患感冒的次数X服从参数为5的泊松分布，假定正在销售一种新型特效药，对75%的人群来说可将上述参数减小为3，而对另外25%的人群则无效，若某人试用此药一年，在试用期间患上了两次感冒，试运用贝叶斯公式分析此药对他有效的可能性是多少？

… 第 5 页 共 7 页

一、填空题：（每空 4 分，共 20分） 得 分 评阅人

1、0.3 2、13 3、25 4、N(0,1) 5、),(pnmB

二、单项选择题：（每题4 分，共20分） 得 分 评阅人

1、B 2、C 3、B 4、 A 5、D

三、计算题：（每题10分，共 40分） 得 分 评阅人

1、解：设A1={每个班级各分配到一名优秀生}

A2={3名优秀生分配在同一个班级}

则（1）9125!3)(5551051544484121CCCCCCAP 5分

（2）9163)(55510515555102122CCCCCCAP 10分

2、解：X、Y所有可能取值都为1，2，3，则

（1）（X，Y）的联合概率分布为

1 2 3

1 0

61121 2

6161613

121610

6分

（2）X，Y的边缘分布为：25.05.025.0321~X Y X 第 6 页 共 7 页 25.05.025.0321~Y 8分

（3）因不独立与YXYPXPYXP,111,1。 10分

3、解：以)3,2,1(iXi表示第i只元件的寿命，iA表示事件“在仪器使用的最初200小时内，第i只元件损坏”，则1A、2A、3A相互独立，且

3,2,1,16001)2000()(3120006001iedxeXPAPxii 4分

所求概率为 )(1)(321321AAAPAAAP 6分

)(1321AAAP 7分

)()()(1321APAPAP 8分

)](1)][(1)][(1[1321APAPAP 9分

11e 10分

4、解：采用统计量 )1,0(~/NnXU 2分

则平均干燥时间的置信度为1-的置信区间为),(22UnXUnX。5分

69/)0.51.66.53.675.68.57.56(X 6分

96.1)96.1(975.0)()(025.0025.02UUU得由 8分

所以平均干燥时间的置信度为0.95的置信区间是(5.61, 6.39)。 10分

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四、证明题：（10分） 得 分 评阅人

证明：先求Y的分布函数)()()(2yXPyYPyFY: 2分

当0)(,0yFyY; 4分

当yyyYdxxfdxxfyXyPyFy0)(2)()()(,0

yyxedxe10 8分

再由分布函数求导得Y的概率密度

0,00,21(y)fYyyeyy。 10分

五、应用题：（10分） 得 分 评阅人

解：设A表示此药有效这一事件，则有25.0)(,75.0)(APAP， 2分

,2,1,0,!5)|(,!3)|(53kekAkXPekAkXPkk，由贝叶斯公式有 4分

}|2{)(}|2{)(}|2{)(}2|{AXPAPAXPAPAXPAPXAP 7分

988.00842.025.02240.075.02240.075.0 9分

所以此药对他有效的可能性是88.9%。 10分