浙教版数学九年级上册二次函数及图像练习

九年级上册第一章第二节《二次函数的图像》综合练习一、单选题1.如果将抛物线y＝x2向上平移1个单位，那么所得抛物线对应的函数关系式是（）A. y＝x2+1B. y＝x2﹣1C. y＝（x+1）2D. y＝（x﹣1）22.在平直角坐标系中，如果抛物线y＝4x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）A. y＝4（x﹣2）2+2B. y＝4（x+2）2﹣2C. y＝4（x﹣2）2﹣2D. y＝4（x+2）2+23.将抛物线y＝x2+3先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的解析式为（）A. y＝（x+2）2+2B. y＝（x﹣1）2+5C. y＝（x+2）2+4D. y＝（x﹣2）2+24.关于抛物线y=−x2+2x−3的判断，下列说法正确的是（）A. 抛物线的开口方向向上B. 抛物线的对称轴是直线x=−1C. 抛物线对称轴左侧部分是下降的D. 抛物线顶点到x轴的距离是25.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现有下列结论：① b2−4ac>0、② a> 0、③ b>0、④ c>0，则其中结论正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）A. y＝2（x﹣2）2﹣4B. y＝2（x﹣1）2+3C. y＝2（x﹣1）2﹣3D. y＝2x2﹣37.在直角坐标平面内，如果抛物线y=2x2﹣3经过平移后与抛物线y=2x2重合，那么平移的要求是（）A. 沿y轴向上平移3个单位B. 沿y轴向下平移3个单位C. 沿x轴向左平移3个单位D. 沿x轴向右平移3个单位8.将抛物线y=x2向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（）A. y=(x+2)2−3B. y=(x+2)2+3C. y=(x−2)2+3D. y=(x−2)2−39.如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A，B，C，则判断正确是（）A. a>0,b>0B. a<0,b<0C. a>0,b<0D. a<0,b>010.二次函数y＝1﹣2x2的图象的开口方向（）A. 向左B. 向右C. 向上D. 向下11.如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y=ax2；② y=bx2；③ y=cx2；④ y=dx2，则a、b、c、d 的大小关系为( )A. a＞b＞c＞dB. a＞b＞d＞cC. b＞a＞c＞dD. b＞a＞d＞c12.将抛物线y=-2(x-1)2-1向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（）A. y=-2(x-4)2+1B. y=-2(x+2)2+1C. y=-2(x-4)2-3D. y=-2(x+2)2-313.关于抛物线y=2(x+3)2，以下说法正确的是（）A. 开口向下B. 对称轴是x= —3C. 顶点坐标是（0，0）D. 当x＞—3时，y随x增大而减小二、填空题14.将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则平移后所得新抛物线的表达式为________．15.若抛物线y=x2+(m−2)x+3的对称轴是y轴，则m=________．16.将抛物线y＝2x2向下平移1个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是________．17.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是________.18.将二次函数y=x2−4x+5化为y=a(x−ℎ)2+k的形式，则y=________.19.若二次函数y=ax2+bx+a2−2（a 、b 为常数）的图象如图，则的值为________.20.如图,圆O的半径为2.C 1是函数y=x 2的图象,C 2是函数y=−x 2的图象，则阴影部分的面积是________.三、解答题21.已知y=(m−2)x m2−m+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴22.求抛物线y=2x2﹣3x+1的顶点和对称轴．四、作图题(x−1)223.已知二次函数y=−12（1）完成下表：（2）在下面的坐标系中描点，画出该二次函数的图象.24.画出二次函数y＝(x﹣1)2的图象.五、综合题25.已知抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣1）．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．（2）写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和二次函数的最值．答案解析部分一、单选题1. A【解答】解：∵抛物线y＝x2向上平移1个单位后的顶点坐标为（0，1），∴所得抛物线对应的函数关系式是y＝x2+1．故答案为：A．【分析】根据向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．2. B【解答】解：将x轴向上平移2个单位就相当于将抛物线向下平移2个单位，将y轴向右平移就相当于将抛物线向左平移2个单位，根据平移法则：左加右减，上加下减，∴在新坐标系下抛物线的解析式为y＝4（x+2）2﹣2，故答案为：B．【分析】将x轴向上平移2个单位就相当于将抛物线向下平移2个单位，将y轴向右平移就相当于将抛物线向左平移2个单位，据此根据平面直角坐标系中函数图象的平移规律求解可得．3. A【解答】解：∵抛物线y＝x2+3的顶点坐标为：（0，3），∴抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的顶点坐标为：（﹣2，2），∴所得新抛物线的解析式为：y＝（x+2）2+2．故答案为：A．【分析】根据抛物线平移后的形状不变，即a不变；然后求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移的性质即可求出平移后的抛物线的顶点坐标即可确定解析式．4. D【解答】A：二次项系数为-1<0，故开口向下，错误；B：对称轴公式x=−b2a=-22·(−1)=1，错误；C：开口向下，在对称轴左侧部分上升，错误；D：顶点坐标公式(−b2a ,4ac−b24a)代入计算得顶点为(1,−2)，顶点到x轴的距离是2，正确．故答案选：D【分析】根据二次项系数的正负性判断开口方向；根据对称轴公式x=−b2a计算对称轴；根据开口方向判断图象是上升还是下降；根据顶点坐标公式(−b2a ,4ac−b24a)计算顶点坐标进行判断．5. B【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点∴b2−4ac>0，故①正确；∴a＞0，故②正确；∵抛物线的对称轴在y轴右侧∴a和b异号∵a＞0∴b＜0，故③错误；∵抛物线与y轴交于负半轴∴c＜0，故④错误．综上：正确的个数有2个.故答案为：B．【分析】由抛物线与x轴交点个数即可判断①；根据抛物线的开口方向即可判断②；根据对称轴的位置即可判断③；根据抛物线与y轴的交点位置即可判断④．6. C【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，得以新的抛物线的表达式是，y＝2（x﹣2+1）2﹣3，即y＝2（x﹣1）2﹣3，故答案为：C．【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解答即可.7. A【解答】解：∵抛物线y=2x2﹣3的顶点为（0，﹣3），抛物线y=2x2的顶点为（0，0），从（0，﹣3）到（0，0）是沿y轴向上平移3个单位，故答案为：A．【分析】抛物线y=2x2﹣3的顶点为（0，﹣3）,平移后的抛物线y=2x2的顶点为（0，0），由（0，﹣3）到（0，0），可得沿y轴向上平移3个单位，据此判断即可.8. D【解答】解：∵抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)∴把点(0,0)向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后对应的点的坐标为(0−2,0−3)，即(−2,−3)，∴平移后抛物线的解析式为：y=(x−2)2−3．故答案为：D．【分析】根据抛物线的平移规律，上下平移对整个函数上加下减，左右平移在x上左加右减即可得出新的函数表达式．9. A【解答】因为图像开口向上，所以a＞0，因为图像对称轴在y轴的左侧，根据左同右异可知b＞0，所以答案选A.【分析】根据图像开口方向可以判断a的正负，根据图像对称轴与y的关系可以判断b的正负，据此可选出答案.10. D【解答】∵二次函数y＝1﹣2x2中﹣2＜0，故答案为：D.【分析】二次函数中二次项的系数决定抛物线的开口方向.11. A【解答】由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象开口向上，当二次项系数为负时，图象开口向下”结合“二次项系数的绝对值越大，图象的开口越大”分析可得：a＞b＞c＞d .故答案为：A.【分析】（1）二次函数y=ax2(a≠0）的图象的开口方向由“ 的符号”确定，当a＞0 时，图象的开口向上，当a＜0 时，图象的开口向下；（2）二次函数y=ax2(a≠0）的图象的开口大小由|a| 的大小确定，当|a| 越大时，图象的开口越小.12. B【解答】将抛物线y=-2(x-1)2-1向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是y=-2(x+3-1)2-1+2=-2(x+2)2+1故答案为：B.【分析】根据平移口诀“左加右减，上加下减”即可得出答案.13. B【解答】抛物线y=2(x+3)2，a=2>0，开口向上；对称轴为x=−3；顶点坐标为(−3,0)；当x＞—3时，y随x增大而增大，当x＜—3时，y随x增大而减小；故答案为：B.【分析】a>0，抛物线开口向上，a<0，抛物线开口向下；对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)，增减性：开口向上时，左减右增；开口向下时，左增右减；即可解答.二、填空题14. y＝（x+2）2﹣5【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），所以，平移后的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣5．故答案为y＝（x+2）2﹣5．【分析】先确定抛物线的顶点坐标，然后再平移顶点，最后利用顶点式抛物线写出解析式即可．15. 2=0，解得：m=2.【解答】解：根据题意，得：−m−22故答案为：2.【分析】根据抛物线的对称轴公式即可得出关于m的方程，解方程即得答案.16. y＝2（x+3）2﹣1【解答】解：将抛物线y=2x2向下平移1个单位得y=2x2﹣1，再向左平移3个单位，得y=2(x+3)2﹣1；故所得抛物线的解析式为y=2(x+3)2﹣1．故答案为：y=2(x+3)2﹣1．【分析】根据函数图象向左平移加，向下平移减，可得答案．17. y=﹣(x﹣1)2﹣2【解答】解：y=x2+2x+3=(x+1)2+2，抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标为(﹣1，2)，点(﹣1，2)关于原点的对称点为(1，﹣2)，所以抛物线y=x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是y=﹣(x﹣1)2﹣2.故答案是：y=﹣(x﹣1)2﹣2.【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再求出该点关于原点的对称点，即可求出旋转后的抛物线解析式. 18. (x−2)2+1【解答】y=x2−4x+5= (x−2)2+1，故填：(x−2)2+1.【分析】将抛物线右边进行配方即可求出结论.19. −√2【解答】解：由图可知，函数图象开口向下，∴a＜0，又∵函数图象经过坐标原点（0，0），∴a2-2=0，解得a1= （舍去），a2= ．故答案为：．【分析】根据图象开口向下可知a＜0，又二次函数图象经过坐标原点，把原点坐标代入函数解析式解关于a的一元二次方程即可．20. 2π【解答】把x轴下方阴影部分关于x轴对称后，原图形阴影部分的面积和，变为一个半圆的面积，即π⋅222=2π【分析】根据圆和二次函数图象的对称性，用割补法和圆的面积公式，即可求解.三、解答题21. 解：由题意得{m 2−m=2m−2≠0解得m=-1，y=−3(x−12)2+274开口向下，顶点坐标(12,274)，对称轴x=12【分析】二次函数中自变量的最高次数为二次且二次项系数不为0，故可求得m的值；从而可求得所给二次函数的解析式，再将解析式配方为顶点式：y=a(x−ℎ)2+k，那么a>0时，抛物线开口向上，a<0时抛物线开口向下；顶点坐标为（h，k）；对称轴为x=h.22. 解：∵y=2x2﹣3x+1=2（x﹣34）2﹣18，∴抛物线y=2x2﹣3x+1的顶点坐标为（34，﹣18），对称轴是x= 34．【分析】将抛物线解析式配方为顶点式，可求顶点坐标和对称轴四、作图题23. （1）解：如下表，（2）解：见下图，【分析】（1）该函数的顶点坐标是（1,0）故围绕顶点坐标对称的取出几对自变量的值代入抛物线的解析式算出对应的函数值，从而完成列表；（2）把表中每对对应的自变量的值及其函数值作为点的横纵坐标，在坐标平面内描出这些点，再用平滑的曲线从自变量取值从小到大连接起来即可.24. 解：列表得：如图：.【分析】利用描点法，围绕x=1，y=0,对称的取出几对x的值及对应的函数值，以这些值作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，再顺次连接即可。

初中数学浙教版九年级上册1.2 二次函数的图象（1）同步练习一、单选题（共8题；共16分）1.二次函数y=（a﹣1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（）A. a＞1B. a＜1C. a＞0D. a＜02.抛物线y＝－x2的图象一定经过( )A. 第一、二象限B. 第三、四象限C. 第一、三象限D. 第二、四象限3.已知物体下落高度h关于下落时间t的函数关系式h＝gt2，则此函数的图象为（）A. B. C. D.4.当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是( )A. B. C. D.5.抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2的共同性质是( )A. 开口向上B. 对称轴是y轴C. 都有最高点D. y随x的增大而增大6.如果A(-2，n)，B(2，n),C(4，n+12)这三个点都在同一个函数的图像上，那么这个函数的解析式可能是( )A. B. C. D.7.下列判断中唯一正确的是（）A. 函数的图象开口向上，函数的图象开口向下B. 二次函数，当时，随的增大而增大C. 与图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同D. 抛物线与的图象关于轴对称8.如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（）A. B. C. D.二、填空题（共4题；共4分）9.如果抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，那么a的值是________．10.如图，在平面直角坐标系中，两条开口向上的抛物线所对应的函数表达式分别为y=(2a2-1)x2与y=ax2若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的2倍，则a的值为________ 。

11.在平面直角坐标系中，点A、B是抛物线y=ax2(a>0)上两点若点A、B的坐标分别为(3，m)、(4，n)，则m________n。

1.2 二次函数的图像(1) （巩固练习）姓名 班级第一部分1、若点A (－2，m )在抛物线y =x 2上，则m 的值为………（ ）A. 4B. 5C. 3D. 22、抛物线y=ax 2与y =2x 2形状相同，则a 的值为………（ ）A. ±2B. 2C. -2D. 13. 抛物线y =－3x 2上一点到x 轴的距离是3，则该点的横坐标是4. 若抛物线y=ax 2经过点P ( l ，－2 )，则它也经过5. 若对任意实数x ，二次函数y =(a +1)x 2的值总是非负数，则a 的取值范围是6. 如下图平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是7. 在同一坐标系中，作y =x 2，y =21-x 2，y =31x 2的图象，它们的共同特点是 （任写一项）8. 在函数xy 2=、5+=x y 、2x y =图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有第二部分1. 直线y =x 与抛物线y =－3x 2的交点是 .2. 如图，写出一个符合图象的二次函数表达式： .3. 抛物线的顶点为原点，以y 轴为对称轴，且经过点A (－2，8).(1) 求这个函数的解析式；(2) 写出抛物线上与点A 关于y 轴对称的点B 的坐标，并计算△OAB 的面积．4. 写出一次函数y =2x 与二次函数y =2x 2的三个共同点：.5. 函数y = 226mm mx --是二次函数，当m =_____时，其图象开口向上；当m =_____时，其图象开口向下.参考答案第一部分6. 如下图平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是答案：y =43x 27. 在同一坐标系中，作y =x 2，y =21-x 2，y =31x 2的图象，它们的共同特点是 （任写一项）解析：抛物线y =ax 2的开口方向由二次项系数a 的符号决定；抛物线y =ax 2的顶点为原点，其对称轴为x 轴8. 在函数xy 2=、5+=x y 、2x y =图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有解析：反比例函数和正比例是以原点为对称中心的中心对称图形，而抛物线和不经过原点的直线都不是.答案： 1个第二部分1. 直线y =x 与抛物线y =－3x 2的交点是 .解析：问题转化为解方程组⎩⎨⎧-==23x y x y ，解得⎩⎨⎧==00y x ，即交点坐标为(0，0). 答案：(0，0)2. 如图，写出一个符合图象的二次函数表达式： .答案：形如y=ax 2(a <0)3. 抛物线的顶点为原点，以y 轴为对称轴，且经过点A (－2，8).(1) 求这个函数的解析式；(2) 写出抛物线上与点A 关于y 轴对称的点B 的坐标，并计算△OAB 的面积．分析：对于(2)先求出B 点坐标，再计算AB 的长，最后计算△OAB 的面积.解：(1) 把点A (－2，8)的坐标代入y=ax 2，得8=a (－2)2，∴a =2∴这个二次函数的解析式为y=2x 2.(2) A (－2，8)关于y 轴的对称点B 的坐标为(2，8)，∴AB =4，∴S △OAB =21×4×8=16. 4. 写出一次函数y =2x 与二次函数y =2x 2的三个共同点：.答案：如都经过(0，0)和(1，2)点，都经过第一象限，都是轴对称图形等等.5. 函数y = 226mm mx --是二次函数，当m =_____时，其图象开口向上；当m =_____时，其图象开口向下.解析：二次函数的次数为2，m 2－2m －6=2，得m =4或－2. 再根据m 的符号判别开口方向.答案：4 －2。

1.2-1.3 二次函数的图象及其性质一、选择题（共10小题；共50分）1. 抛物线y=x2−4x−7的顶点坐标是 ( )A. (2,−11)B. (−2,7)C. (2,11)D. (2,−3)2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是 ( )A. c>−1B. b>0C. 2a+b≠0D. 9a2+c>3b3. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2−x−6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则∣m∣的最小值为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 64. 将抛物线C:y=x2+3x−10，将抛物线C平移到Cʹ．若两条抛物线C，Cʹ关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是 ( )个单位A. 将抛物线C向右平移52B. 将抛物线C向右平移3个单位C. 将抛物线C向右平移5个单位D. 将抛物线C向右平移6个单位5. 把抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=(x−1)2−4，则b，c的值为( )A. b=2，c=−3B. b=4，c=3C. b=−6，c=8D. b=4，c=−76. 已知两点A(−5,y1)，B(3,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上，点C(x0,y0)是该抛物线的顶点，若y1>y2≥y0，则x0的取值范围是 ( )A. x0>−5B. x0>−1C. −5<x0<−1D. −2<x0<37. 已知二次函数y=x2+3x−10的图象为抛物线C，将抛物线C平移得到新的二次函数图象Cʹ．如果两个二次函数的图象C、Cʹ关于直线x=1对称，则下列平移方法中，正确的是 ( )个单位 B. 将抛物线C向右平移3个单位A. 将抛物线C向右平移52C. 将抛物线C向右平移5个单位D. 将抛物线C向右平移6个单位8. 下列关于二次函数y=ax2−2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断，正确的是 ( )A. 没有交点B. 只有一个交点，且它位于y轴右侧C. 有两个交点，且它们均位于y轴左侧D. 有两个交点，且它们均位于y轴右侧9. 根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴 ( )A. 只有一个交点B. 有两个交点，且它们分别在y轴两侧C. 有两个交点，且它们均在y轴同侧D. 无交点10. 如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的"内接格点三角形"．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，AB=3√2，且点A，B，C的横坐标x A，x B，x C满足x A<x C<x B，那么符合上述条件的抛物线条数是 ( )A. 7B. 8C. 14D. 16二、填空题（共10小题；共50分）11. 将抛物线y=3(x−4)2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是．12. 二次函数y=x2+2x−5的对称轴是，顶点坐标是．13. 把抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是．14. 关于x的一元二次方程ax2−3x−1=0的两个不相等的实数根都在−1和0之间（不包括−1和0），则a的取值范围是．15. 统计学规定：某次测量得到n个结果x1，x2，⋯，x n．当函数y=(x−x1)2+(x−x2)2+⋯+(x−x n)2取最小值时，对应x的值称为这次测量的“最佳近似值”．若某次测量得到5个结果9.8，10.1，10.5，10.3，9.8．则这次测量的“最佳近似值”为．16. 如图，一段抛物线：y=−x(x−2)(0≤x≤2)记为C1，它与x轴交于两点O,A1；将C1绕A1旋转180∘得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180∘得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P(11,m)在第6段抛物线C6上，则m=．17. 抛物线y=2x2−4x+3绕坐标原点旋转180∘所得的抛物线的解析式是．18. 已知点A(4,y1)，B(√2,y2)，C(−2,y3)都在二次函数y=(x−2)2−1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．,0)，有下列结论：19. 如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=−1，且过点(12① abc>0；② a−2b+4c=0；③ 25a−10b+4c=0；④ 3b+2c>0；⑤ a−b≥m(am−b)．其中所有正确的结论．（填写正确结论的序号）20. 如图所示，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，⋯，A n．将抛物线y=x2沿直线l:y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，⋯，M n都在直线l:y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3，⋯，A n，则顶点M2014的坐标为．三、解答题（共5小题；共65分）21. 已知抛物线C：y=−x2+bx+c经过A(−3,0)和B(0,3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴于x轴的交点记为N．Ⅰ求抛物线C的表达式；Ⅱ求点M的坐标；Ⅲ将抛物线C平移到Cʹ，抛物线Cʹ的顶点记为Mʹ，它的对称轴于x轴的交点记为Nʹ．如果以点M、N、Mʹ、Nʹ为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C 怎样平移?为什么?22. 设函数y=(x−1)[(k−1)x+(k−3)]（k是常数）．Ⅰ当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；Ⅱ根据图象，写出你发现的一条结论；Ⅲ将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．23. 如图，抛物线y1=−x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：Ⅰ抛物线y2的顶点坐标；Ⅱ阴影部分的面积S = ；Ⅲ若再将抛物线y2绕原点O旋转180∘得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．24. 已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点．Ⅰ求C1的顶点坐标；Ⅱ将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A(−3,0)，求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；Ⅲ若P(n,y1)，Q(2,y2)是C1上的两点，且y1>y2．直接写出实数n的取值范围．25. 已知抛物线C1:y=ax2+bx+c(x≤4)经过原点和点A(4,0)，顶点为点C，将抛物线C1绕点A旋转180∘得到抛物线C2，顶点为点D，与x轴的另一个交点为点B．Ⅰ直接写出点B的坐标；Ⅱ求C，D两点的坐标（用含a的代数式表示）；Ⅲ当四边形OCBD为矩形时，求a的值．答案第一部分1. A2. D3. B4. C5. B6. B7. C8. D9. B10. C第二部分11. y =3(x −5)2−1 或 y =3x 2−30x +74（写出任何一种形式均可）12. 直线 x =−1；(−1,−6)13. y =(x −2)2+314. −94<a <−2 15. 10.116. −117. −2x 2−4x −318. y 3>y 1>y 219. ①③⑤20. (4027,4027)第三部分21. （1） ∵ 抛物线 y =−x 2+bx +c 经过 A (−3,0) 和 B (0,3) 两点，∴ {−9−3b +c =0,c =3,解得 {b =−2,c =3.故此抛物线的解析式为：y =−x 2−2x +3．（2） ∵ 由（1）知抛物线的解析式：y =−x 2−2x +3，∴ 当 x =−b 2a =−−22×(−1)=−1 时，y =4，∴ M (−1,4)．（3） 由题意得，以点 M 、 N 、 Mʹ 、 Nʹ 为顶点的平行四边形的边 MN 的对边只能是 MʹNʹ， ∴ MN ∥MʹNʹ，且 MN =MʹNʹ．∴ MN ⋅MʹNʹ=16，∴ NNʹ=4．（i）当M、N、Mʹ、Nʹ为顶点的平行四边形是四边形MNNʹMʹ时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线Cʹ；（ii）当M、N、Mʹ、Nʹ为顶点的平行四边形是四边形MNMʹNʹ时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，在向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线Cʹ．∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线Cʹ．22. （1）作图如图．（2）函数y=(x−1)[(k−1)x+(k−3)]（k是常数）的图象都经过点(1,0)．（答案不唯一）（3）∵y2=(x−1)2，∴将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3为y3=(x+3)2−2．∴当x=−3时，函数y3的最小值为−2．23. （1）(1,2)（2）2（3）抛物线y1=−x2+2向右平移1个单位得到y2=−(x−1)2+2=−x2+2x+1，再关于原点旋转180∘得到y3=x2+2x−1．24. （1）y=x2+2x+m=(x+1)2+m−1，对称轴为x=−1．∵与x轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0．∴C1的顶点坐标为(−1,0)．（2）设C2的函数关系式为y=(x+1)2+k．把A(−3,0)代入上式得(−3+1)2+k=0，解得k=−4，∴C2的函数关系式为y=(x+1)2−4．∵抛物线的对称轴为x=−1，与x轴的一个交点为A(−3,0)，由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为(1,0)．（3）n>2或n<−4．25. （1）点B的坐标为(8,0)．（2）C1:y=ax(x−4)=a(x−2)2−4a，得C(2,−4a)．C2:y=−a(x−4)(x−8)=−a(x−6)2+4a，得D(6,4a)．（3）由抛物线的对称性得CO=CA．当四边形OCBD为矩形时，AO=AC，所以CO=CA=OA，即△OAC是等边三角形．所以∣y C∣=√32OA=2√3，即4a=±2√3，a=±√32．。

二次函数的图像 (2) （稳固练习）姓名班级第一部分1.图象的极点为(－ 2 ，－ 2 ) ，且经过原点的二次函数的关系式是（）A. y= 1(x+2 ) 2－ 2 B. y =1( x－2 ) 2－ 2 C. y = 2( x +2 ) 2－2 D. y= 2( x－2 22)2－22.抛物线 y=2( x－2)2－6的极点为 C ，已知 y=－kx +3的图象经过点 C ，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为（）A. 1B. 3C. 2D. 43. 将抛物线 y＝2x2先沿 x 轴方向向左平移2个单位，再沿 y 轴方向向下平移3个单位，所得抛物线的分析式是（）A. y =2( x+2) 2－ 3B.y=2( x- 2) 2－ 3C.y =2( x+2) 2 +3D. y=2( x+3) 2 +24. 无论 m 取任何实数，抛物线y = a(x + m )2+ m (a≠0)的极点都（）A. 在y = x直线上B. 在直线y= －x上C. 在x轴上D. 在y轴上5. 把抛物线 y=－2 x2向上平移1. 个单位，获得的抛物线是第二部分6.二次函数 y=－3( x －2)2+9图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为.7. 将抛物线 y=2 x2向左平移 2 个单位，获得的抛物线是.8. 在同一坐标平面内，图象不行能由函数 y=2 x2+1的图象经过平移变换、轴对称变换获得的函数是.1 ( x 3)25的对称轴是.9. 抛物线 y210. 抛物线y= x2 +4 与y轴的交点坐标是．1 x2先向下平移2个单位，再向左平移2个单位.11.将抛物线y2(1)求此时抛物线的分析式；(2)应将此抛物线向右平移多少个单位，才能使所得的抛物线经过原点？12. 若抛物线y=ax2 + b经过点 (1 ， 2) 与点 ( 3 ，0).(1)求 a， b 的值；(2)若把此抛物线向右平移 3 个单位，求此时抛物线的极点 .参照答案第一部分4. 无论 m 取任何实数，抛物线y = a(x + m )2+ m (a≠0)的极点都（）A. 在y = x直线上B. 在直线y= －x上C. 在x轴上D. 在y轴上分析：∵抛物线极点坐标为(－m，m )，∴极点在直线y= －x上 .答案： B5. 把抛物线 y=－2 x2向上平移1. 个单位，获得的抛物线是答案：y =－2 x2+16.二次函数 y=－3( x －2)2+9图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为.答案：张口向下、对称轴为x 2 、极点坐标（2，9）把 (0 ， 0) 代入，得 0= 1(0+2 － m )2－2，解得 m =0（舍）或 4 ，2即抛物线向右平移 4 个单位，才能使所得的抛物线经过原点. 12. 若抛物线y=ax2 + b经过点 (1 ， 2) 与点 ( 3， 0).(1) 求 a， b 的值；(2) 若把此抛物线向右平移 3 个单位，求此时抛物线的极点 .a b2 a 1 3a b 0 ，∴3b(2) 抛物线的分析式为 y = － x 2+3 ，向右平移 3 个单位后得 y = － (x － 3) 2+3此时极点坐标为 (3 ， 3).初中数学试卷。

专题两位同学做法正确的是（ ）A ．甲正确，乙不正确B ．甲不正确，乙正确C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都不正确【变式1-3】（2023·广东·九年级专题练习）4．用配方法把二次函数2231y x x =-+写成()2y a x h k =-+的形式为(1)完成下表，并在方格纸中画该函数的图象；…1-0123………(2)根据图象，完成下列填空：①当1x >时，y 随x 的增大而___________②当0y <时，x 的取值范围是____________【变式3-1】．（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）10．已知函数图象如图所示，根据图象可得：(1)抛物线顶点坐标___________．(2)对称轴为___________．(3)当x =___________时，y 有最大值是___________．(4)当___________时，y 随着 x 的增大而增大．(5)当___________时，0y >．【变式3-2】（2023春·河南安阳·九年级校考阶段练习）11．已知抛物线2246y x x =-++．(1)请用配方法将2246y x x =-++化为()2y a x h k =-+的形式，并直接写出对称轴；(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出2246y x x =-++的图象；(3)该抛物线沿x 轴向左或向右平移m （0m >）个单位长度后经过原点，求m 的值．【变式3-3】（2023·上海松江·统考一模）12．已知二次函数2241y x x =--．(1)用配方法求这个二次函数的顶点坐标；(2)在所给的平面直角坐标系xOy 中（如图），画出这个二次函数的图像；(3)请描述这个二次函数图像的变化趋势．【知识点2 二次函数解析式的表示方法】（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a ，b ，c 是常数，a ≠0)；（2）顶点式：y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是（h ，k ）；（3）交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是图象与x 轴交点的横坐标．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．【题型4 用待定系数法求二次函数解析式】【例4】（2023春·北京海淀·九年级期末）13．已知二次函数2y ax bx c =++经过()0,5A ，()5,0B 两点，它的对称轴为直线3x =，求这个二次函数解析式．【变式4-1】（2023春·湖北恩施·九年级校考阶段练习）14．已知一条抛物线的对称轴是直线1x =，函数的最大值是2y =，且该抛物线经过坐标原点()0,0．求此抛物线的函数关系．【变式4-2】（2023春·河北承德·九年级承德市第四中学校考阶段练习）15．在二次函数2y x bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：方法二：（1）y=ax2+bx+c沿y轴平移：向上（下）平移m个单位，y=ax2+（或y=ax2+bx+c-m）．（2）y=ax2+bx+c沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，y=ax y=a(x+m)2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)2+b(x-m)+c．【题型5二次函数图象的平移变换】【例5】（2023·陕西榆林·统考一模）A ．224y x x =--B ．y =-D ．y =-【变式5-3】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）20．在平面直角坐标系中，如果抛物线【题型7利用二次函数的对称轴、最值求参数】【例7】新的二次函数1y 的图像，使得当13x -<<时，1y 随x 增大而增大；当45x <<时，1y 随x 增大而减小．则实数k 的取值可以是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7参考答案：故答案为：0，3-，4-，3-，0；（2）观察图象，当1x >时，y 随x 的增大而增大，故答案为：①增大；②13x -<<．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，函数与方程及不等式的关系．10．(1)()32-，(2)直线3x =-（3）∵2246y x x =-++经过点()()1,0,3,0-，∴抛物线沿x 轴向左平移3个单位长度或向右平移1个单位长度后经过原点，∴1m =或3．【点睛】本题考查二次函数的顶点式、画二次函数的图象，二次函数平移的规律，解题的关键是根据掌握二次函数平移的规律．12．(1)顶点坐标()1,3-(2)见解析(3)这个二次函数图像在对称轴直线1x =左侧部分是下降的，右侧部分是上升的【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，即可得出答案；（2）先求出几个特殊的点，然后描点连线即可；（3）根据（2）函数图像，即可得出结果．【详解】（1）解：（1）()()222241221213y x x x x x =--=--=--∴二次函数的顶点坐标()1,3-；（2）解：当0x =时，1y =-，当1y =-时，2x =，经过点()0,1-，()2,1-，顶点坐标为：()1,3-（3）解：这个二次函数图像在对称轴直线【点睛】本题主要考查二次函数的基本性质及作图方法，题关键．13．265y x x =-+【分析】根据待定系数法求解函数解析式即可．【详解】解：由题意得：322550b a a b c ⎧-=⎪⎪++=⎨，∴顶点坐标为()1,2，设抛物线解析式为()212y a x =-+，将点()0,0代入，得20a +=解得：2a =-，∴抛物线解析式为()2212y x =--+．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．15．A【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解．【详解】解：把点()()1,2,0,1--代入2y x bx c =++，得：121b c c -+=⎧⎨=-⎩，解得：12c b =-⎧⎨=-⎩，∴二次函数的解析式为221y x x =--，当2x =时，42211y =-⨯-=-．故选：A【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握用待定系数法求出二次函数的解析式的方法是解题的关键．16．D【分析】设函数解析式为(3)(2)y a x x =+-，将点(1,8)-代入即可求得a 的值，可得结果．【详解】解：设抛物线函数解析式为：(3)(2)y a x x =+-，∵抛物线经过点(1,8)-，∴8(13)(12)a -=+-，解得：2a =，∴抛物线解析式为：2(3)(2)y x x =+-，整理得：22212y x x =+-，故选：D ．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，设出二次函数的交点式是解题的关键．【分析】将抛物线243y x x =-+化成顶点式，再根据“左加右减，上加下减”，采取逆推的方法可得抛物线2y x bx c =++的解析式．【详解】解：将抛物线243y xx =-+化成顶点式为()221y x =--，将抛物线243y xx =-+向左平移4个单位，再向上平移3个单位得新抛物线解析式为()22413y x =-+-+，即246y x x =++，∴抛物线2y x bx c =++的解析式为246y x x =++，4b ∴=，6c =，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数平移的特征，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．18．2y x =【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”解答即可．【详解】解：将二次函数222=++y x x 化为顶点式为：()211y x =++，将二次函数()211y x =++的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到的新图象函数的表达式为22(11)11y x x =+-+-=，故答案为：2y x =．【点睛】本题考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数图象平移规律是解答的关键．19．B【分析】由平移的性质可得二次项的系数为2-，再结合平移后的抛物线的顶点坐标可得答案．【详解】解：∵抛物线212y x bx c =-++经过平移后得到抛物线2y ，而2y 的顶点坐标为：()1,3-，∴()222213241y x x x =-++=--+，即2241y x x =--+；【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，轴对称变化，知识进行求解．。

《阅读材料探索函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c与图象的关系》同步练习一、基础过关1．已知抛物线的解析式为y=(x－2)2+1，则抛物线的顶点坐标是 ( )A．(－2，1) B．(2，1)C．(2，－1) D．(1，2)2．已知二次函数y＝x2－4x＋5的顶点坐标为( )A．(－2，－1) B．(2,1) C．(2，－1) D．(－2,1)3．抛物线y＝x2－4x＋3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为( )A．(4，－1) B．(0，－3) C．(－2，－3) D．(－2，－1)4．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是( )A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值5．抛物线y＝2(x－14)2－258的顶点坐标是，对称轴是，与x轴的交点是，与y轴的交点是．6．抛物线y=(x 十1)2－2的对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小． 7．如果抛物线y ＝a(x 十2b a)2+244ac b a -的对称轴是x ＝－2，开口大小和方向与抛物线y ＝32-x 2的相同，且经过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ． 8．将抛物线y ＝x 2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为____________．二、综合训练9．将抛物线y ＝34(x+5)2－6向右平移4个单位，再向上平移5个单位，求此时抛物线的解析式．10．已知抛物线y ＝(x －1)2+a －l 的顶点A 在直线y ＝－x+3上，直线y ＝－x+3与x 轴的交点为B ，求△AOB 的面积(O 为坐标原点)．11．已知二次函数y ＝－12x 2－x ＋32. (1)在如图中的直角坐标系中，画出这个函数的图象；(2)根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围；(3)若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．三、拓展应用12．已知抛物线y ＝12x 2＋x ＋c 与x 轴没有交点． (1)求c 的取值范围；(2)试确定直线y ＝cx ＋1经过的象限，并说明理由．参考答案一、基础过关1.B2.B3.A4.C5.(125,48-)，x=14(－1，0)和(32，0)，(0，－3)6.x=－l >－1 <－l7.32-，－6，08.y＝x2＋1二、综合训练9．提示：解析式为y=34(x+1)2－1．10．提示：S△AOB＝12×3×2＝3．11．解：(1)画图．(2)当y＜0时，x的取值范围是x＜－3或x＞1.(3)平移后图象所对应的函数关系式为y ＝－12(x －2)2＋2三、拓展应用12．解：(1)∵抛物线与x 轴没有交点，∴Δ＜0，即1－2c ＜0，解得c ＞12. (2)∵c ＞12，∴直线y ＝cx ＋1随x 的增大而增大．∵b ＝1，∴直线y ＝cx ＋1经过第一、二、三象限．。