菁华学校2019级高一数学导学活动单
1 向量的概念及表示
主备人：陈广军
【学习目标】
1. 了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及几何表示。
2. 通过解决实际问题，提高依据具体问题背景分析问题、解决问题的能力。
3. 体会数学在生活中重要作用，培养严谨的思维习惯。
【明标自学】
一、情景活动
活动1 南辕北辙：战国时，有个北方人要到南方的楚国去他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说：“不要紧，我有一匹好马！”
结果
原因 .
活动2 老鼠由A向东北逃窜，猫在B处向东追去。猫能否追到老鼠？
◆结论：猫 追上老鼠。猫的速度再快也没用，因为 错了。
活动3 请同学们到我家来做客!
如果要找一个物理量来刻画从学校到老师家的位置变化，应该用哪个量，位移还是路程，这两个物理量的区别在哪？
二、数学建构（阅读教材第59、60页，完成表格）
名称 定义 备注
向量 既有______又有______的量；向量的大小叫做向量的______(或称______) 平面向量是自由向量
零向量 长度为______的向量；其方向是任意的 记作______
单位向量 长度等于________的向量 与非零向量ar共线的单位向量为aa±rr
平行（共线）向量 方向 或 的非零向量 0r与任一向量 或共线
相等向量 长度______且方向______的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度______且方向____的向量 0r的相反向量为
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菁华学校2019级高一数学导学活动单
2 判断：
1.由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可以用负数来表示,所以温度是向量.
2.坐标平面上的x轴和y轴是向量.
向量的概念及表示
教学目标：
理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.
教学重点：
向量概念、相等向量概念、向量几何表示.
教学难点：
向量概念的理解.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.
还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.
向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.
而这一节课，我们将学习向量的有关概念.
Ⅱ.讲授新课
这一节，大家通过自学来熟悉相关内容，然后我们通过概念辨析例题来检验大家自学的效果.
1.向量的概念：
(我们把既有大小又有方向的量叫向量)
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB→.
3.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0；
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
4.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.
说明：(1)综合①、②才是平行向量的完整定义；
(2)向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.
5.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：(1)向量a与b相等，记作a＝b； (2)零向量与零向量相等；
(3)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
6.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
说明：(1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
第 1 页 共 4 页 总 课 题 平面向量 总课时 第17课时
分 课 题 向量的概念及表示 分课时 第 1 课时
教学目标 了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示。理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量，相反向量的概念。
重点难点 向量的有关概念的理解，向量的正确表示方法。
引入新课
问题1、位移和距离两个量有什么不同？
问题2、举例说明只有大小的量_________________________________________；
既有大小又有方向的量_________________________________________。
1、向量的概念（两要素）_________________________________________
2、如何表示向量？
3、__________________________________________________向量的模，
__________________________________________________叫零向量，
__________________________________________________叫单位向量。
4、_________________________________________平行向量
_________________________________________共线向量
_________________________________________相等向量
_________________________________________相反向量。
5、平面直角坐标系内，起点在坐标原点的单位向量，它们的终点的轨迹是__________。
例题剖析
例1、如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：
（1）试找出与FE共线的向量；
1
第五章 平面向量
第一节 平面向量的概念及线性运算
一、基础知识
1．向量的有关概念
(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A为起点、B为终点的向量记作AB―→，也可用黑体的单个小写字母a，b，c，…来表示向量．
(2)向量的长度(模)：向量AB―→的大小即向量AB―→的长度(模)，记为|AB―→|.
2．几种特殊向量
名称
定义
备注
零向量 长度为0的向量 零向量记作0，其方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位的向量 单位向量记作a0，a0＝a|a|
平行向量 方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量) 0与任意向量共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量
相反向量 长度相等且方向相反的两个向量 若a，b为相反向量，则a＝－b
单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量a|a|和－a|a|.
3．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则 a－b＝a＋(－b) 2
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
向量加法的多边形法则
多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.
4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
只有a≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.
