初中数学知识归纳平移旋转和翻折的计算及应用

初中数学知识归纳形的平移旋转与翻折在初中数学课程中，形的平移、旋转和翻折是非常重要的概念和技巧。

通过学习和理解这些概念，学生可以更好地认识和应用几何形状。

本文将对初中数学中形的平移、旋转和翻折进行归纳总结，并介绍相关的基本原理和技巧。

一、形的平移形的平移是指在平面内将一个形状整体移动到另一个位置，而形状保持不变。

在平移过程中，形状的大小、形状以及内部的相互关系都不会发生变化。

平移的基本原理是：确定一个平移向量，然后根据该向量的大小和方向，将形状内的每个点都移动到对应的新位置上。

平移向量可以用有序对表示，如(u, v)，其中u表示横向位移，v表示纵向位移。

形状中的每个点的新坐标可以通过将原坐标与平移向量的分量相加得到。

例如，将一个矩形形状A平移到新的位置B，平移向量为(3, 4)。

假设矩形角点的坐标为A(1, 2), B(4, 6)，则可以计算出新位置上的所有角点坐标为B(4, 6), C(4, 10), D(7, 10), E(7, 6)。

形的平移有以下几个重要性质：1. 平移前后的形状相等。

2. 平移前后形状内的各点之间的距离保持不变。

3. 平移不改变形状内角的度数。

二、形的旋转形的旋转是指将形状围绕某一固定点旋转一定角度，使得形状保持不变。

旋转中心可以位于形状内部、外部或者边上。

旋转的基本原理是：确定旋转中心和旋转角度，根据旋转的顺时针或逆时针方向将形状内的每个点绕旋转中心旋转一定的角度，并保持距离不变。

假设旋转中心为O(0, 0)，旋转角度为θ，对于一个点P(x, y)，点P 经过旋转后的新坐标可以通过以下公式计算得到：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ例如，将一个矩形形状A绕原点逆时针旋转60度，矩形的角点坐标为A(2, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(2, 4)。

根据旋转公式，可以计算出新位置上的所有角点坐标为A'(1.732, 1), B'(4.732, 1), C'(4.732, 4), D'(1.732, 4)。

新人教版初中数学——图形的轴对称、平移与旋转知识点归纳及中考典型题解析一、轴对称图形与轴对称轴对称图形轴对称图形定义如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴性质对应线段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′对应点所连的线段被对称轴垂直平分区别(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴关系(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形1等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤（1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；（2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤（1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；（2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．二、图形的平移1．定义在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．3．性质（1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；（2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；（3）平移前后的图形全等．4．作图步骤（1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；（2）找出原图形的关键点；（3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．三、图形的旋转1．定义在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．2．三大要素旋转中心、旋转方向和旋转角度．3．性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．4．作图步骤（1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；（2）找出原图形的关键点；（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．四、中心对称图形与中心对称中心对称图形中心对称图形定义如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称性质对应点点A与点C，点B与点D点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′对应线段AB=CD，AD=BCAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角∠A=∠C∠B=∠D∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′区别中心对称图形是指具有某种特性的一个图形中心对称是指两个图形的关系联系把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．考向一轴对称轴对称图形与轴对称的区别与联系区别：轴对称图形是针对一个图形而言，它是指一个图形所具有的对称性质，而轴对称则是针对两个图形而言的，它描述的是两个图形的一种位置关系，轴对称图形沿对称轴对折后，其自身的一部分与另一部分重合，而成轴对称的两个图形沿对称轴对折后，一个图形与另一个图形重合.联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体时，它就成了一个轴对称图形．典例1第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，全国上下掀起喜迎冬奥热潮，下列四个汉字中是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】A【解析】A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选A．1．下列图形中不是轴对称图形的是A．B．C．D．考向二平移1．平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段平行（或共线）且相等．2．平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行或一条边共线，方向相同．3．平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两图形全等．典例2下列运动中：①荡秋千；②钟摆的摆动；③拉抽屉时的抽屉；④工厂里的输送带上的物品，不属于平移的有A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】①荡秋千，是旋转，不是平移；②钟摆的摆动，是旋转，不是平移；③拉抽屉时抽屉的运动，是平移；④工厂里的输送带上的物品运动，是平移；故选C．2．下列四组图形都含有两个可以重合的三角形，其中可以通过平移其中一个三角形得到另一个三角形的是A．B．C．D．3．如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，则A．乙比甲先到B．甲比乙先到C．甲和乙同时到D．无法确定考向三旋转通过旋转，图形中的每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．在旋转过程中，图形的形状与大小都没有发生变化．典例3 如图，在ABC △中，65BAC ∠=︒，以点A 为旋转中心，将ABC △绕点A 逆时针旋转，得AB C ''△，连接BB '，若BB'AC ∥，则BAC '∠的大小是A ．15︒B ．25︒C ．35︒D ．45︒【答案】A【解析】∵△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB ′C ′的位置， ∴AB ′=AB ，∠B ′AC ′=∠BAC =65︒， ∴∠AB ′B =∠ABB ′， ∵BB ′∥AC ，∴∠ABB ′=∠CAB =65°， ∴∠AB ′B =∠ABB ′=65°， ∴∠BAB ′=180°–2×65°=50°，∴∠BAC ′=∠B ′AC ′–∠BAB ′=65°–50°=15°， 故选A ．4．五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是A ．36°B ．60°C ．72°D ．90°5．如图将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AED ，若点B 、D 、E 在同一条直线上，∠BAC =20°，则∠ADB的度数为A．55°B．60°C．65°D．70°考向四中心对称识别轴对称图形与中心对称图形：①识别轴对称图形：轴对称图形是一类具有特殊形状的图形，若把一个图形沿某条直线对称，直线两旁的部分能完全重合，则称该图形为轴对称图形．这条直线为它的一条对称轴．轴对称图形有一条或几条对称轴．②中心对称图形识别：看是否存在一点，把图形绕该点旋转180°后能与原图形重合．典例4下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】B【解析】A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误，故选B．6．下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是A．B．C．D．1．下列四个图形中，不是轴对称图形的是A．B．C．D．2．已知点A的坐标为（3，–2），则点A向右平移3个单位后的坐标为A．（0，–2）B．（6，–2）C．（3，1）D．（3，–5）3．下列说法中正确的有①旋转中心到对应点的距离相等；②对称中心是对称点所连线段的中点；③旋转后的两个图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角；④任意一个等边三角形都是中心对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是A．把△ABC向右平移6格B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格C．把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格D．把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格5．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（–2，–2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为A．（1，–1）B．（–1，–1）C．（1，1）D．（–1，1）6．在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为__________．7．将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1=110°，则∠2=__________°．8．如图所示，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于E、F，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD面积的____．9．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°<α<90°）．若∠1=112°，则∠α=__________°．10．△ABC 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示．（1）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于原点O 成中心对称，则点A 1的坐标为__________； （2）将△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，则点B 2的坐标为__________； （3）画出△ABC 绕O 点顺时针方向旋转90°得到的△A 3B 3C 3，并求点C 走过的路径长．11．如图，在ABC △中，D 为BC 上任一点，DE AC ∥交AB 于点E DF AB ，∥交AC 于点F ，求证：点E F ，关于AD 的中点对称．12．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为（1，3），点B坐标为（2，1）；（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出点C'的坐标；（3）判断△ABC的形状．并说明理由．13．如图，已知∠BAC=40°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，使得点B与CA的延长线上的点D重合，连接CE．（1）△ABC旋转了多少度？（2）连接CE，试判断△AEC的形状．（3）若∠ACE=20°，求∠AEC的度数．1．下列四个图形中，可以由下图通过平移得到的是A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，–1），平移线段AB，使点A落在点A1（–2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为A．（–1，–1）B．（1，0）C．（–1，0）D．（3，0）4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为A．30°B．90°C．120°D．180°5．如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．216．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′=1，则A′D等于A．2 B．3 C．4 D．3 27．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为A．4 B．25C．6 D．268．如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，将等边△AOB 绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是__________．9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10 cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6 cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为__________cm．10．如图，在△ABC中，AB=AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为__________．11．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG=CH，直线GH绕点O 逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若∠α=90°，AB=9，AD=3，求AE的长．13．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α=60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．变式拓展1．【答案】A【解析】A．不是轴对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选A．2．【答案】D【解析】A、可以通过轴对称得到，故此选项错误；B、可以通过旋转得到，故此选项错误；C、可以通过轴对称得到，故此选项错误；D、可通过平移得到，故此选项正确；故选D．3．【答案】C【解析】由平移的性质可知，甲、乙两只蚂蚁的行走的路程相同，且两只蚂蚁的速度相同，所以两只蚂蚁同时到达，故选C．4．【答案】C【解析】根据旋转的性质可知，每次旋转的度数可以是360°÷5=72°或72°的倍数．故选C．5．【答案】C【解析】∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED，∴∠BAC=∠DAE=20°，AB=AE，∠BAE=90°，∴∠BEA=45°，∵∠BDA=∠BEA+∠DAE=45°+20°，∴∠BDA=65°.故选C．6．【答案】A【解析】A、是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是旋转变换图形，故本选项错误；D、是旋转变换图形，故本选项错误．1．【答案】C【解析】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选C．2．【答案】B【解析】∵将点A（3，–2）向右平移3个单位所得点的坐标为（6，–2），∴正确答案是B选项.故选B．3．【答案】C【解析】①旋转中心到对应点的距离相等，正确；②对称中心是对称点所连线段的中点，正确；③旋转后的两个图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角，正确；④任意一个等边三角形都是中心对称图形，错误．说法正确的有3个，故选C．4．【答案】D【解析】根据图象，△ABC 绕着点A 逆时针方向90°旋转与△DEF 形状相同，向右平移6格就可以与△DEF 重合．故选D ． 5．【答案】C【解析】菱形OABC 的顶点O （0，0），B （–2，–2）， 得D 点坐标为（022-，022-），即（–1，–1）． 每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60=2700°，2700°÷360°=7.5周， OD 旋转了7周半，菱形的对角线交点D 的坐标为（1，1）； 故选C ． 6．【答案】23-【解析】如图，作AH ⊥CD 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =120°， ∴AB ∥CD ，∴∠D +∠BAD =180°， ∴∠D =60°， ∵AD =AB =2，∴AH =AD ·sin60°3= ∵B ，B ′关于EF 对称， ∴BE =EB ′，当BE 的值最小时，AE 的值最大，根据垂线段最短可知，当EB ′3AH ==时，BE 的值最小， ∴AE 的最大值=23， 故答案为：23． 7．【答案】55【解析】∵1110∠=︒，纸条的两边互相平行，∴3180118011070.∠=︒-∠=︒-︒=︒根据翻折的性质，()()1121803180705522∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒．故答案为：55． 8．【答案】14【解析】根据中心对称图形的性质，得AOE COF △≌△，则阴影部分的面积等于BOC △的面积，为平行四边形ABCD 面积的14．故答案为：14． 9．【答案】22【解析】如图，∵21112∠=∠=︒（对顶角相等），∴336090211268.∠=-⨯︒-=︒︒︒ ∴'906822BAB ∠=-=︒︒︒，∴旋转角'22.BAB α∠=∠=︒故答案为：22．10．【解析】（1）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于原点O 成中心对称，则点A 1的坐标为（2，–3）．（2）将△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，则点B 2的坐标为（3，1）． （3）将△ABC 绕O 点顺时针方向旋转90°，则点C 走过的路径长=90π2180=π．11．【解析】如图，连接EF 交AD 于点O ．DE AC ∥交AB 于E DF AB ，∥交AC 于F ，∴四边形AEDF 是平行四边形， ∴点E F ，关于AD 的中点对称．12．【解析】（1）如图所示：（2）如图所示：'''A B C △即为所求：C '的坐标为()55-，； （3）2221454162091625AB AC BC =+==+==+=，，，∴222AB AC BC +=， ∴ABC △是直角三角形．13．【解析】（1）∵∠BAC =40°，∴∠BAD =140°，∴△ABC 旋转了140°．（2）由旋转的性质可知AC =AE ，∴△AEC 是等腰三角形． （3）由旋转的性质可知，∠CAE =∠BAD =140°，又AC =AE ， ∴∠AEC =（180°–140°）÷2=20°．1．【答案】D【解析】∵只有D 的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到； 故选D ． 2．【答案】B【解析】将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标横坐标增加3，即（5，1）．故选B ． 3．【答案】【解析】由点A （2，1）平移后所得的点A 1的坐标为（–2，2），可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，∴点B 的对应点B 1的坐标为（–1，0）．故选C ． 4．【答案】C【解析】∵360°÷3=120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选C ． 5．【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD =∠ACE =90°，∴∠BAC =90°， 又∵∠B =60°，∴∠ACB =30°，∴BC =2AB =6，∴AD =6，直通中考由折叠可得，∠E =∠D =∠B =60°，∴∠DAE =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴△ADE 的周长为6×3=18，故选C ． 6．【答案】B【解析】∵S △ABC =16.S △A ′EF =9，且AD 为BC 边的中线，∴S △A ′DE =12S △A ′EF =92，S △ABD =12S △ABC =8， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A 'B 'C '，∴A ′E ∥AB ，∴△DA ′E ∽△DAB ， 则2()A'DE ABD S A'D AD S =△△，即299()1816A'D A'D ==+，解得A ′D =3或A ′D =﹣37（舍），故选B ． 7．【答案】D【解析】∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置．∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于20，∴AD =DC =2，∵DE =2，∴Rt △ADE 中，AE =22AD DE +=26，故选D ．8．【答案】（﹣2，﹣23） 【解析】作BH ⊥y 轴于H ，如图，∵△OAB 为等边三角形，∴OH =AH =2，∠BOA =60°，∴BH =3OH =23，∴B 点坐标为（2，23）， ∵等边△AOB 绕点O 顺时针旋转180°得到△A ′OB ′， ∴点B ′的坐标是（﹣2，﹣23）． 故答案为：（﹣2，﹣23）． 9．【答案】10–26【解析】如图，过点A 作AG ⊥DE 于点G ，由旋转知：AD =AE ，∠DAE =90°，∠CAE =∠BAD =15°，∴∠AED =∠ADG =45°，在△AEF 中，∠AFD =∠AED +∠CAE =60°，在Rt △ADG 中，AG =DG =2AD =32， 在Rt △AFG 中，GF =3AG =6，AF =2FG =26，∴CF =AC –AF =10–26， 故答案为：10–26．10．【答案】23–2【解析】根据旋转过程可知：∠CAD =30°=∠CAB ，AC =AD =4．∴∠BCA =∠ACD =∠ADC =75°．∴∠ECD =180°–2×75°=30°．∴∠E =75°–30°=45°．过点C 作CH ⊥AE 于H 点，在Rt △ACH 中，CH =12AC =2，AH =23． ∴HD =AD –AH =4–23．在Rt △CHE 中，∵∠E =45°，∴EH =CH =2．∴DE =EH –HD =2–（4–23）=23–2．故答案为3–2．11．【解析】（1）如下图所示，点A 1的坐标是（–4，1）；（2）如下图所示，点A 2的坐标是（1，–4）；（3）∵点A （4，1），∴OA 221417+=∴线段OA 290(17)⨯π⨯=174π．12．【解析】（1）∵对角线AC的中点为O，∴AO=CO，且AG=CH，∴GO=HO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，CD=AB，CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB，且CO=AO，∠FOC=∠EOA，∴△COF≌△AOE（ASA），∴FO=EO，且GO=HO，∴四边形EHFG是平行四边形；（2）如图，连接CE，∵∠α=90°，∴EF⊥AC，且AO=CO，∴EF是AC的垂直平分线，∴AE=CE，在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2，∴AE2=（9–AE）2+9，∴AE=5．13．【解析】（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°，∵CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=12（180°–30°）=75°，∴∠ADE=90°–75°=15°；（2）如图2，∵点F是边AC中点，∴BF=12 AC，∵∠ACB=30°，∴AB=12AC，∴BF=AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转60得到△DEC，∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB，∴DE=BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE=CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF=BC，∴DF=BE，而BF=DE，∴四边形BEDF是平行四边形．。

旋转平移翻折的几何变换与性质旋转、平移和翻折是几何中常见的基本变换方式，它们在空间和平面几何中发挥着重要的作用。

本文将介绍旋转平移翻折的几何变换及其性质，推导其数学表达式，并通过具体的实例来说明其应用。

一、旋转变换旋转是指将平面或空间中的图形按照一定角度绕着旋转中心进行旋转的操作。

对于平面上的点(x, y)，其绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ其中，x'和y'分别表示旋转后点的坐标，θ为旋转角度。

二、平移变换平移是指将平面或空间中的图形沿着指定的方向和距离进行移动的操作。

平移变换可以用一个向量来表示。

对于平面上的点(x, y)，其平移(dx, dy)后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = x + dxy' = y + dy其中，(dx, dy)为平移向量，x'和y'分别表示平移后点的坐标。

三、翻折变换翻折是指将平面或空间中的图形沿着指定的轴进行对称的操作。

对于平面上的点(x, y)，其关于直线y=k翻折后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = xy' = 2k - y其中，(x', y')为翻折后点的坐标，k为翻折轴的位置。

以上是旋转、平移和翻折的几何变换的数学表达式。

下面将通过实例说明它们在几何问题中的应用。

实例一：旋转变换假设有一张平面上的三角形ABC，顶点分别为A(1, 2)，B(3, 4)和C(5, 6)。

现在需要将该三角形绕原点顺时针旋转60度，求旋转后各顶点的坐标。

根据旋转变换的公式，旋转角度θ=60°，原点为旋转中心，可以计算得出旋转后的各顶点坐标为：A'(1*cos60° - 2*sin60°, 1*sin60° + 2*cos60°) = (0.5, 2.598)B'(3*cos60° - 4*sin60°, 3*sin60° + 4*cos60°) = (-1.133, 4.330)C'(5*cos60° - 6*sin60°, 5*sin60° + 6*cos60°) = (1.333, 7.464)实例二：平移变换假设有一条直线L，其方程为y = 2x - 1。

形的旋转平移和翻折操作总结形的旋转、平移和翻折是我们在几何学中经常遇到的操作。

通过这些操作，我们可以改变形状的位置、方向和形式。

在本文中，我们将对这些操作进行总结，以便更好地理解和应用它们。

一、形的旋转形的旋转是指将形状绕着一个中心点旋转一定角度，从而得到一个新的形状。

旋转可以是顺时针或逆时针方向的，取决于旋转角度的正负。

旋转操作的关键是确定旋转的中心点和旋转角度。

中心点可以是一个顶点、一个线段的中点或任意一点。

旋转角度通常用度数表示，如顺时针旋转90度或逆时针旋转45度。

例如，我们可以将一个三角形绕着顶点A顺时针旋转90度，得到一个新的三角形。

旋转后的三角形与原三角形共边，但是位置和方向不同。

二、形的平移形的平移是指保持形状不变，但将其整体沿着一个方向平行移动一定距离。

平移操作可以是水平、垂直或斜向的，取决于平移的方向。

平移操作的关键是确定平移的方向和距离。

方向可以是上、下、左、右或任意一个斜向的方向。

距离可以用长度单位表示，如平移2个单位或平移5个厘米。

例如，我们可以将一个矩形向右平移3个单位，得到一个与原矩形形状相同但位置发生改变的新矩形。

三、形的翻折形的翻折是指将形状沿着一个轴线对称折叠，从而得到一个镜像对称的新形状。

翻折操作有水平翻折和垂直翻折两种形式。

水平翻折是指将形状从上至下对称折叠，垂直翻折是指将形状从左至右对称折叠。

翻折轴线可以是一条边、一条对角线或任意一条直线。

例如，我们可以将一个正方形沿着一条垂直轴线翻折，得到一个左右对称的新正方形。

综上所述，形的旋转、平移和翻折是几何学中常见的操作。

通过这些操作，我们可以改变形状的位置、方向和形式，使得几何问题的解决更加灵活和多样化。

在实际应用中，我们可以利用这些操作解决一些形状变换和位置确定的问题，提高几何学的应用能力。

七年级下册平移旋转知识点
平移和旋转是数学中学习的基本概念，也是数学实用性非常强
的一部分内容。

在七年级下册的学习中，平移和旋转也是必须掌
握的重要知识点。

本文将为大家简单介绍七年级下册平移旋转的
知识点。

一、平移
平移是指图形在平面上沿着一定方向移动相同的距离，因而形
状和大小没有改变。

平移的方式有很多，可以是垂直方向、水平
方向，也可以是斜向。

简单的平移，可以通过在笛卡尔坐标系中，指定横轴和纵轴的平移向量实现。

例如，平移向量为(x, y)，则点(x1, y1)的新坐标为(x1 + x, y1 + y)。

二、旋转
旋转是指图形沿着一定的定点旋转一定的角度，因而改变了形
状和大小。

旋转可以分为逆时针旋转和顺时针旋转。

在平面上的
旋转，可以以平面内的某一点作为旋转中心。

旋转角度则为旋转中心与各点之间相应的角度。

例如，以点(x0, y0)为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，某点(x, y)经过旋转后的新坐标为：
x1 = (x - x0)cosθ - (y - y0)sinθ + x0
y1 = (x - x0)sinθ + (y - y0)cosθ + y0
总结一下：七年级下册的平移和旋转知识点包括了平移向量及其作用、旋转中心及其作用，还包括如何计算平面上图形的平移和旋转后的坐标。

在学习知识的过程中，需要掌握基础的概念和方法，也需要多多练习，通过多次练习，能让自己在实践中更加熟练地掌握平移和旋转的相关知识。

初中数学知识归纳平移旋转和翻折的基本操作初中数学知识归纳——平移、旋转和翻折的基本操作初中数学中，平移、旋转和翻折是几个重要的几何变换操作。

这些操作不仅在几何题中常常出现，而且在解决实际问题时也起着重要作用。

本文将对平移、旋转和翻折的基本概念，操作规则以及实际应用进行归纳总结。

一、平移的基本概念及操作规则平移是指物体在平面上沿着某个方向移动一段距离，同时保持形状和大小不变。

在平移中，可以将物体的每个点都沿着相同的方向和距离进行移动。

具体操作规则如下：1. 平移的操作规则- 平移前后物体保持形状和大小不变。

- 平移前后物体上的所有点与平移向量保持平行。

2. 平移的表示方法平移可以使用向量表示。

假设平移向量为共点向量〈a，b〉，则平移的规则可以表示为：新位置的坐标 = 旧位置的坐标 + 平移向量。

二、旋转的基本概念及操作规则旋转是指物体在平面上围绕一个点旋转一定的角度，同时保持形状和大小不变。

在旋转中，可以将物体的每个点都绕着旋转中心点按照一定的角度进行旋转。

具体操作规则如下：1. 旋转的操作规则- 旋转前后物体保持形状和大小不变。

- 旋转前后物体上的所有点与旋转中心的距离保持不变。

2. 旋转的表示方法旋转可以使用旋转角度来表示。

设旋转中心为点O，顺时针旋转θ角度，则旋转的规则可以表示为：新位置的坐标 = 旋转中心点O的坐标 + 旋转后点O'的坐标。

三、翻折的基本概念及操作规则翻折是指物体在平面上沿着某一直线对称翻转，同时保持形状和大小不变。

在翻折中，可以将物体的每个点都绕着对称轴进行翻折。

具体操作规则如下：1. 翻折的操作规则- 翻折前后物体保持形状和大小不变。

- 翻折前后物体上的所有点关于对称轴对称。

2. 翻折的表示方法翻折可以通过对称轴进行表示。

设对称轴为线l，则翻折的规则可以表示为：新位置的坐标 = 原位置点关于对称轴的对称点。

四、平移、旋转和翻折的实际应用平移、旋转和翻折不仅是几何题中经常出现的概念，也在日常生活和实际问题中得到广泛应用。

初三数学几何三大变换（旋转、平移、翻折）知识点汇总初三数学——几何变换平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。

所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形（或其一部分）施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。

旋转一、旋转的定义二、常见的几种模型三、旋转类型题目1、正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。

2、正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转90°，使得BA与BC重合。

经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。

3、等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转90°，使得AC与BC重合。

经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。

平移1、平移的定义把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种图形的平行移动简称为平移。

2、平移的两个要素：（1)平移方向；（2）平移距离。

3、对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角。

4、平移方向和距离的确定（1）要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离，否则将无法实现平移，那么怎样确定这两点呢？A. 若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度，表示平移距离，也有时另给平移距离的长度。

七年级数学平移和旋转的变换复习知识点
总结
本文档旨在回顾七年级数学中与平移和旋转变换相关的知识点，并提供简明扼要的总结。

以下是重要的知识点回顾：
平移变换
- 平移变换是指将一个图形在平面上按照一定的距离和方向移
动的变换。

- 平移变换的性质：
- 平移变换不改变图形的大小、形状和方向。

- 平移变换保持图形的各点之间的相对位置关系不变。

- 平移变换的示例：
- 将图形沿着横轴向右平移2个单位。

- 将图形沿着纵轴向上平移3个单位。

旋转变换
- 旋转变换是指将一个图形按照一定的角度绕着某个点旋转的变换。

- 旋转变换的性质：
- 旋转变换不改变图形的大小和形状。

- 旋转变换保持图形的各点之间的相对位置关系不变。

- 旋转变换的示例：
- 将图形绕着原点逆时针旋转90度。

- 将图形绕着任意点顺时针旋转180度。

这些是七年级数学中平移和旋转变换的基本知识点回顾。

通过掌握这些知识，你将能够更好地理解和应用平移和旋转变换。

请注意：本文档的内容仅为简要总结，不涉及详细的计算方法和具体题目。

如需更深入的研究，请参考相关教材和课堂讲义。

初中数学中的形的平移旋转与翻折初中数学中的形的平移、旋转与翻折形的平移、旋转与翻折是初中数学中的重要概念和技巧。

通过学习这些内容，我们可以深入理解几何图形的性质和变化规律，提高数学解题的能力和思维逻辑能力。

本文将着重介绍初中数学中形的平移、旋转与翻折的概念、性质和相关解题方法。

一、形的平移1. 平移的概念平移是指在平面上，将一个点或者图形沿着特定的方向和距离移动之后的位置与移动前的位置相对应的变换。

2. 平移的性质（1）平移不改变图形的大小和形状。

（2）平移保持图形内部的所有角度和线段的相对关系不变。

（3）平移不改变图形的面积和周长。

3. 平移的表示方法和步骤平移可以用向量表示或者用坐标表示。

对于向量表示，我们可以通过指定平移向量的大小和方向来表示平移的规律。

对于坐标表示，我们可以通过向图形内的每个点添加相同的坐标改变量来得到平移后的图形。

平移的步骤一般为：（1）标出移动前的图形和参考点；（2）选择适当的方向和距离，确定平移的规律；（3）根据规律，将每个点移动到对应的位置，得到平移后的图形。

二、形的旋转1. 旋转的概念旋转是指在平面或空间中，围绕特定的中心点，按照一定的角度和方向，将一个点或者图形转到另一个位置的变换。

2. 旋转的性质（1）旋转不改变图形的形状。

（2）旋转保持图形内角度大小和线段的相对关系不变。

（3）旋转不改变图形的面积和周长。

3. 旋转的表示方法和步骤旋转可以通过给出旋转的中心点、旋转的角度和方向来表示旋转的规律。

在实际解题中，我们常常使用逆时针旋转的角度来表示旋转。

旋转的步骤一般为：（1）标出旋转前的图形和旋转的中心点；（2）选择适当的旋转角度和方向，确定旋转的规律；（3）根据规律，将图形的每个点旋转对应的角度和方向，得到旋转后的图形。

三、形的翻折1. 翻折的概念翻折是指通过将图形沿着一条直线对称折叠，使得折叠后的一部分与折叠前的另一部分重合的变换。

2. 翻折的性质（1）翻折不改变图形的形状。

七年级旋转平移知识点归纳总结旋转和平移是数学中非常重要的几何变换方式，它们在解决问题、证明定理等方面有着广泛的应用。

在七年级的几何学习中，学生首次接触到旋转平移的概念和相关知识点。

本文将对七年级旋转平移的知识进行归纳总结。

一、旋转旋转是指物体以某一点为中心进行旋转，使物体的每一点都绕着这一中心旋转相同的角度。

旋转可以按顺时针或逆时针方向进行。

1. 旋转的基本概念旋转可以用角度来表示，常用的单位有度和弧度。

旋转角度可以为正数、负数或零。

当旋转角度为正数时，表示顺时针旋转；当旋转角度为负数时，表示逆时针旋转。

2. 旋转的性质旋转具有以下性质：- 旋转不改变物体的大小和形状，只改变物体的位置和方向；- 旋转之后，物体上各点之间的距离保持不变；- 旋转是一个可逆变换，即可以通过相同的角度进行逆时针旋转恢复到原来的位置。

3. 旋转的图像变化通过以下几点进行总结：- 若旋转角度为90°或270°，则图像是以旋转中心为对称中心的；- 若旋转角度为180°或360°，则图像是以旋转中心为象限对称的；- 旋转不会改变物体上各点与旋转中心的连线长度。

二、平移平移是指物体在平面上沿直线方向移动一段距离，使物体的各个点保持平行距离不变。

1. 平移的基本概念平移可以用向量来表示。

平移向量的大小和方向表示了平移的位移量和方向。

2. 平移的性质平移具有以下性质：- 平移不改变物体的大小、形状和方向，只改变物体的位置；- 平移后，物体上各点之间的相对位置关系保持不变；- 平移是一个可逆变换，即可以通过相反方向的平移恢复到原来的位置。

3. 平移的图像变化通过以下几点进行总结：- 平移不改变形状，只改变位置；- 平移前后，物体上各点之间的距离保持不变；- 平移后的图像与原图像是全等图形。

三、旋转和平移的关系旋转和平移是几何中的两种基本变换方式，它们之间有着密切的关系。

1. 旋转与平移的区别旋转和平移的区别主要体现在以下几个方面：- 旋转是以某一点为中心进行旋转，而平移是沿直线方向进行移动；- 旋转可以改变物体的方向，平移只改变物体的位置；- 旋转会保持物体的形状不变，而平移不改变物体的形状。