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高数知识点总结公式1.极限相关公式：(1)λ-δ定义:对于任意正实数ε，其中λ和δ为常数，如果当0<|x-a| <δ时，|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)在x趋于a时以L为极限，记为limx→af(x)=L。
（其中ε、δ、λ具有一定联系）(2)夹逼准则：设f(x)≤g(x)≤h(x) (a<x<a+δ)，且limx→af(x) = limx→ah(x) = L，则有limx→ag(x)=L。
(3)左右极限定义：右极限limx→+0f(x)=L：对任意ε>0，存在δ>0，当0<x<a时，有|f(x)-L|<ε。
左极限limx→-0f(x)=L：对任意ε>0，存在δ>0，当a<x<0时，有|f(x)-L|<ε。
(4)无穷大定义：对于任意M>0，都存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有f(x)>M或f(x)<-M，称f(x)当x趋于a时趋于正无穷或负无穷，记为limx→af(x)=+∞或-∞。
(5)无穷小定义：如果在x→a 的极限过程中，函数f(x)的值变化趋向于0，则称函数f(x)为x→a时的无穷小，记作f(x)=o(1)或limx→af(x)=0，其中o(1)是第一个震荡频率。
(6)洛必达法则：设函数f(x)，g(x)具有一阶导函数，且存在limx→a f(x)=limx→ag(x)=0，当x→a时，g'(x)≠0，则limx→af(x) / g(x) = limx→a f'(x) / g'(x)。
2.微分相关公式(1)导数的定义：函数y=f(x)在点x处的导数是指当x沿着x轴正方向变动一个无穷小量Δx时，函数值f(x)所发生的变化量Δy与Δx的比值，即：f' (x) = limΔx→0 (f (x+Δx)−f (x)) / Δx。
(2)常见函数的导数：sin x的导数是cos xcos x的导数是-sin xtan x的导数是sec^2 xcot x的导数是-csc^2 xln x的导数是1 / xe^x的导数是e^x(3)导数的运算法则和法则：(u+v)'=u'+v'差法则：(u-v)'=u'-v'乘法法则：(uv)'=u'v+uv'除法法则：(u/v)'=(u'v-uv') / v^2复合函数求导：设y=f(u)，u=g(x)，则y=f[g(x)]的导数为dy / dx = dy / du * du / dx(4)高阶导数的定义：如果函数y=f(x)在某点x0的邻域内存在导数y',则f(x)在x0处有一阶导数；如果f(x)在x0的某邻域内存在一阶导数y'，且y'在x0处也有导数，则称f(x)在x0处存在二阶导数，记为y''),y''=(y')'；一般地，如果f(x)的n-1阶导数f^(n-1)(x)在x0的邻域内存在，且f^(n-1)(x)可导，则称f(x)在x0处存在n阶导数，记为fn(x0),f^(n)(x0)或(dn / dx^n)f(x0)。
平方关系：sin A2( a )+cos A2( a )=1tan A2( a )+仁sec A2( a )C0t A2( a )+ 仁CSC A2( a )•积的关系：sin a=tan a*cos acos a =cot a*sin atan a=sin a*sec acot a=cos a*csc asec a=tan a*csc acsc a =sec a *cot a•倒数关系：tan a，cot a =1sin a，CSC a =1cos a，sec a =1直角三角形 ABC 中,角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边余弦等于角 A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边 ,三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos( a + B )=cos a，-sOs (&• sin Bcos( a B )=cos a，cos B +sin a* sin Bsin( a±B )=sin a，cos B±cos a，sin Btan( a + B )=(tan a +tan-tanf(a • tan B )tan( -B )=(tan -tan B )/(1+tan a，tan B )三角和的三角函数：sin( a + B + Y )=sin a* cos B，cos Y +cos a，sin B‘ cos ys+cos • sircos B sirsir v Y cos( a + B + Y )=cos a，cos B cosco s y sin B -ssin a cos B -sisin ar sin B‘ cos Ytan( a + B + Y )=(tan a +tan B t+ta a 丫tan B，tartan )/(• tana B B‘ tana y 丫^ tan a )辅助角公式：Asin a +Bcos a =(A A2+B A2)A(1/2)sin( ，其中sint=B/(A A2+B A2)A(1/2)cost=A/(A A2+B A2)A(1/2) tant=B/A Asin a +Bcos a =(A A2+B A2)A(1/2)cos( -t) ,tant=A/B倍角公式：sin(2 a )=2sin a，cos a =2/(tan a +cot a )cos(2 a )=cos A2( -s)八2( a )=2cos^2( -0=1- 2sin A2( a )tan(2 a )=2tan a-tOn A2( a)]•半角公式：sin( a /2)= ±/o(1a )/2)cos( a /2)= 土" ((1+cos a )/2)tan( a /2)= 土必o(1a )/(1+cos a ))=sin a /(1+cos-c©9=(1/sin a•降幕公式sin A2( a )=-cos(2 a ))/2=versin(2 a )/2cos A2( a )=(1+cos(2 a ))/2=covers(2 a )/2tan A2( a )=(tos(2 a ))/(1+cos(2 a ))•万能公式：sin a =2tan( a /2)/[1+tanT( a /2)]cos a =[ttan9( a /2)]/[1+tan9( a /2)]tan a =2tan( a /2)-(an9( a /2)]•积化和差公式：sin a •cos B=(1/2)[sin( +B-B)+)s]in(cos a •sin B=(1/2)[sin( -sin( + -B))]cos a •cos B=(1/2)[cos( + B )-+B co)]s(sin a •sin-(B1/2=)[cos( -+c B os)( -B)]•和差化积公式：sin a +sin B =2sin[( a + p )/2]cos[/2] asin (-sin B =2cos[( a + B )/2]sin[0 )/2] acos a +cos B =2cos[( a + B )/2]cos R )/2] a•三倍角公式：sin(3 a )=3sin-4ain A3( a ) cos(3 a )=4cos A3( -3)s acos a-cos B=2sin[( a + B )/2]sin[© )/2]a•推导公式tan a+cot a=2/sin2 atan a-cot a=-2cot2 a1+cos2 a =2cos A2 a1-cos2 a =2sin A2 a1+sin a =(sin a /2+cos a /2)八2•其他：sin a +sin( a +2n /n)+sin( a +2n *2/n)+sin( a +2 n *3/n)+ ........ +sit)/n]==0+2 n *(n cos a +cos( a +2 n /n)+cos( a +2n *2/n)+cos( a +2 n *3/n)+ ........ +cos-1”r+=n *1以及sin A2( a )+sin A2(-2 n/3)+sin A2( a +2n /3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角函数的角度换算[编辑本段]公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin (2k n+ a) = sin acos (2k n+ a) = cos atan (2k n+a) = tan acot (2k n+ a) = cot a公式二：设a为任意角，n+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:sin ( n+ a) = —sin a cos ( n+ a)= —cos a tan ( n+ a) = tan a cot ( n+ a) = cot a公式三：任意角a与- a的三角函数值之间的关系:sin(－a)=－sin acos(－a)= cos a tan(－a)=－tan acot(－a)=－cot a公式四：利用公式二和公式三可以得到n a与a的三角函数值之间的关系:sin ( n— a) = sin aCOS ( n— a)= —COS a tan ( n— a) =—tan a cot ( n— a) =—cot a公式五：利用公式一和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系:sin(2 n— a) =—sin aCOS (2 n— a) = COS atan (2 n—a) =—tan aCOt (2 n—a ) = —COt a公式六:n /2 ±a 3 n /2 土与a的三角函数值之间的关系Sin ((n /2+ a)=COS aCOS(n /2+ a)二二一sin a tan (n /2+ a)=—COt a COt (n /2+ a)=—tan aSin ((n /2—a)=COS aCOS(n /2—a)二Sin a tan (n /2—a)=COt a COt (n /2—a)=tan aSin ((3 n /2+ a)=—COS aCOS(3 n /2+ a)=Sin a tan (3 n /2+ a)=—COt a COt (3 n /2+ a)=—tan aSin ((3 n /2—a)=—COS aCOS(3n /2- a)=—Sin atan (3n /2- a)=COt aCOt (3n /2- a)=tan a(以上k€ Z)部分高等内容[编辑本段]•高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sin x=[eA(ix)-eA(-ix)]/(2i) COSx=[e A(ix)+e A(-ix)]/2 ta nx=[eA(ix)-eA(-ix)]/[ieA(ix)+ieA(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e A z=exp (z) = 1 + z/1 ! + z A2/2 ! + z A3/3 ! + z A4/4 !+•••+ z A n/n !+•••此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
高等数学公式总结第一章 一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=± 和差角公式：s i n s i n 2s i n c o s22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式：1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin cos cos 22cos 112sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式： ::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+ ，222(1)(21)126n n n n +++++=22333(1)124n n n ++++=2、极限常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1,1n a >=;1n =ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或 第二章 导数与微分1、 基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x-----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
(tgx)，=sec x (ctgx)，= -CSC 2x (secx)'=secx tgx (cscx) ‘ = -cscx ctgx (a x)' = a xl na (log a x)'=1xln a(arcsin x)，= . 1：J l -x 21 (arccos x)'= — 一’ j 1—x 21(arctgx)'= __21 +x 1(arcctgx )' = 一 --1 + x基本积分表:三角函数的有理式积分:导数公式:高等数学公式Jtgxdx = -1 n cosx +C Jctgxdx =1 n sin X +C Jsecxdx = In secx+tgx +CJcscxdx = In cscx-ctgx +C f 巴=fsec xdx = tgx + C ' cos x 、dx 2J ———=Jcsc xdx = -ctgx + C 'sin X 、fsecx tgxdx = secx + Cdx J 2 , 2a +x 「 dx J —2 2 x -af dxJ ""2 2 a -x' 2寸a -x1 x =一 arctg -七 a 亠n2a _ 1 . g+c X +aa -x X =arcsi n — +CaI n J cscx ctgxdx =-cscx + C xfa xd^-^ +C ln a Jshxdx = chx +CJchxdx = shx +Cdx=ln( X + J x 2±a 2) + C2=Jsin n xdx = Jcos nxdx =0 0N x 2 -a 2dx = *J x 2 -a 22口I nd n2 , _______________________+ —l n(x +J x 2 +a 2)+C 2ln X + J x 2 - a 2+C 2222 .a - X . c-x + ——arcsi n —+C2 a2usin X = --- 7,1+u,x u=tg-,dx 严1+u 2一些初等函数: 两个重要极限:-sin (a ±P)=si n^cosP ±cos。
高数解题常用公式高数（即高等数学）是大学中数学课程的一部分，是一门基础性的数学学科。
在高数学习过程中，掌握解题常用公式是非常重要的。
本文将介绍一些经常用到的高数解题常用公式，希望对读者在高数学习中有所帮助。
一、导数公式1.1 基本函数的导数公式（1）常数函数的导数：若y = c（c为常数），则dy/dx = 0。
（2）幂函数的导数：若y = x^n（n为正整数），则dy/dx = nx^(n-1)。
（3）指数函数的导数：若y = a^x（a>0，且a≠1），则dy/dx =ln(a)·a^x。
（4）对数函数的导数：若y = log_a(x)（a>0，且a≠1），则dy/dx = 1/(x·ln(a))。
（5）三角函数的导数：若y = sin(x)，则dy/dx = cos(x)；若y =cos(x)，则dy/dx = -sin(x)；若y = tan(x)，则dy/dx = sec^2(x)。
1.2 基本运算法则（6）和差法则：若y = u(x) + v(x)，则dy/dx = du/dx + dv/dx。
（7）积法则：若y = u(x)·v(x)，则dy/dx = u(x)·dv/dx + v(x)·du/dx。
（8）商法则：若y = u(x)/v(x)，则dy/dx = (u(x)·dv/dx -v(x)·du/dx)/v(x)^2。
（9）复合函数的导数：若y = f(g(x))，则dy/dx = f'(g(x))·g'(x)。
二、积分公式2.1 基本积分公式（1）常数函数的积分：∫c dx = cx + C，其中C为常数。
（2）幂函数的积分：∫x^n dx = (1/(n+1)) x^(n+1) + C，其中C为常数，n≠-1。
（3）指数函数的积分：∫a^x dx = (1/ln(a))·a^x + C，其中C为常数，a>0，且a≠1。
高等数学公式(tgx)f = sec - x (ctgx)f = -esc 2 x (secx)r = secxtgx (cscx)' = -cscx-ctgx (a J = a' Ina(arcsinx)'=: = Jl-F (arc COST / = - .Jl-F(arctgxy = —!-T1 + Q (arcctgx)9 = _ —1 + fj tgxdx = -In |c osx| + C j ctgxdx = ln|sin x\ + CJ secxdx = ln|secx + /gp + C j c scxdx = ln|cscx - cfgR + C =—arctg — +C[= [ sec 2 xdx =tgx+ CJcos" x 」J = j*csc 2 xdx = -ctgx + C J secx ・ tgxclx = secx + C J c sex ・ ctgxdx = - c sex + C^shxdx = chx + C F chxdx = shx+ C7*>〜—I n = jsin” xdx =jcos" xdx =f y/x 2 +crdx = — \lx 2 +a 2 + — ln(x + +t/2) + CJ 22J 走 T+c=ln(x + y/x 1 ±a 2) + C(loga =1x\naIn+ Ca + xf ylx 2 -a'dx = — y/x 2-a 2 - — In x + Jx 2 - a 2 + C J 2 2导数公式：基本积分表:三角函数的有理式积分:,・ sinx . Inn = 1lim (\ + -)x =e = 2.718281828459045... 5 x shx e x 一八双曲正切:〃X =——=———- chx e x +e x arshx = ln(x + \lx 2 +1) archx = ± ln(x + vP-1) . 1. \+x arthx = —\n -----2 1 — x三角函数公式: •诱导公式：角A \\sincos tg ctg _ a 一sin acos a -tga -ctg a 90° -a cos a sin actga tg a 90° +a cos a 一sin a -ctg a "tga 180° -a sin a一cos a -tga -ctg a 180° +a 一sin a 一cos atga ctg a 270° -a 一cos a -sin a ctga tga 270° +a一cos asin a-ctg a~tga. 2ii 1— sinx = ------- , cosx = --------- ? 1 + 1厂 1 +【厂U = tg2dx =2du 1 +w 2一些初等函数:两个重要极限:双曲余弦品二子双曲正弦:$加= 2高数公式汇总360° -a 一sin a cos a ~tga -ctg a 360° +asin acos atgactg a•和差化积公式:sin(a± 0) = sinacos0 土 cosasin 0 cos(tz±/7) = cosacos/? + sinasin 0 sin a + sin 0 = 2sin 2/g(a±0) =tga 土 tg/3 1珂a ・/g0 sin a -sin 0 = 2cossina + 0 a_ p 2 亦(a ±0)/如50冉ctgP ± cigaCOSQ+COS0 = 2cos coscosa-cos0 = 2 sina+0 ・ a-p------- sm--------2 2•和差角公式:•倍角公式:•半角公式:.a , ll-cosa sin —= ±.i ----------2 \ 2 a , il-cosa l-cosasin a /£ — = ± I --------- = ---------- = -----------'2 Yl + cosa sin a1 + cosaa , /l + coscr cos — = ±. -----------2 V 2a , (1+cosa 1 + cosa sin a ctg — = ± |------------ = ---------- = -----------2 Vl-cosa sin a l-cosa•正弦定理：='=：=2R•余弦定理：sin A sinn sinec 2 =a 2 +b 2 - IcibcQsC高阶导数公式 ----- 莱布尼兹（Leibniz ）公式:伽）仞=工㈡/皿严*■0+心一1）…（〃_«+1）汕比严+ + “严）k\中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理:/（〃） - /（a ） = f 《）（b - a ）当F （x ） = x 时，柯西中值定理就融格朗日中值定理。
极限的运算0sin lim=∞→x x x 1s i n l i m 0=→x x x n n n)11(lim +∞→=e导数常用等价无穷小量sinx ～x tanx ～x e x －1～x ln(1+x)～x1－cosx ～22x 11-+nx ～n x a x －1～xlnaarctanx ～arcsinx ～x导数定义)(x f x x )f(x f(x)x x Δx )f(x Δx)f(x Δx 0000lim 000lim'=--→=-+→ 导数公式()a aa xxln =' ()ax x a ln 1log ='()x x 2sec tan =' ()x x 2csc cot -=' ()x x x tan sec sec ='()x x c o t c s c c s c -='()211arcsin xx -='()211arccos xx --='()211arctan x x +='()211c o t xx a r c +-='复合函数求导 [])((x f y ϕ= 若)(u f y =;)(x u ϕ=均可导则[])((x f y ϕ=可导,且x u x u y y ''='参数方程的导数⎩⎨⎧==)()(t y t x φϕ t t x x dtdx dt dy xx y y dxdy y '''=''==')( 拉格朗日中值定理))(()()(a b f a f b f -'=-ξ罗比达法则)()(lim)()(lim ,00x g x f x g x f ''=∞∞不定式对于 求极值的方法)(0x f '=0若)(0x f ''＞0 则f (x 0)极小值)(0x f ''＜0 则f (x 0)极大值图像的凹凸对于y=f (x)在(a b)上有是可能拐点或不存在凸的则凹的则 0)()( 0)()( 0)(=''<''>''x f x f x f x f x f不定积分Ca x a x a a x dx Cx x dx++-=-+=⎰⎰ln 2tan cos 222第一类换元积分法()[]()⎰'dx x x f ϕϕ=()[]()x d x f ϕϕ⎰第二类换元积分法⎰⎰−−→−=)()]([)()(t d t f du u f t u ϕϕϕ=⎰'dt t t f )()]([ϕϕ=F (t)+c =c t F +-)]([ϕ 常用变量替换nb ax + 令t =n b ax + 1n x ，2nx 令x=n x22x a -令x=a sint 利用sin 2t+cos 2t=122a x +令x=a tant 利用1+tan 2t=sec 2t 22a x -令x=a sect 利用1+tan 2t=sec 2t分部积分法⎰⎰'-='vdx u uv dx v u常见选用形式)(arctan arcsin ln arctan arcsin ln )(sin cos )(cos sin )(1x dP x x x dx x x x x P x x e d x P dx x x e x P n n x nx n +⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ 定积分变上限函数 若f (x)连续则 ⎰xa)(dt t f 可导且有[⎰xa)(dt t f ]′=f (x)(⎰ax)(dt t f )′=-f (x)x dt t f '⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰）（x a )(ϕ=[])()(x x f ϕϕ' N-L 公式⎰ba)(dx x f =abx F )(=F (b)-F (a)奇偶函数积分性质 若f(x)为奇函数 则⎰aadx x f -)(=0若f(x)为偶函数 则⎰a adx x f -)(=2⎰adx x f 0)(奇+奇=奇 偶+偶=奇奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇 求旋转体体积 y=(x)在[a,b]dV=πf 2(x)dx V=⎰badV =⎰badx x f )(2π空间解析几何 两点间距离M 1(x 1,y 1,z 1) M 2(x 2,y 2,z 2) │M 1 M 2│=212212212)()()(z z y y x x -+-+-两向量关系→a ={ a x a y a z } →b ={ b x b y b z }→a ∥→b ⇔x x b a =y y b a =zzb a →a ⊥→b = a x b x +a y b y +a z b z =0矢量的数量积性质→a ·→b =a x b x +a y b y +a z b z →a ·→b =→b ·→a →a (→b +→c )=→a →b +→a →c矢量的矢量积性质→a ×→b =zy x z y x b b b a a a①→a ∥→b ⇔→a ×→b = ②→a ×→b =-→b ×→a③→a ×(→b ×→c )=→a ×→b +→a ×→c=S 平行四边形 平面与直线 平面方程M 0 (x 0 , y 0 , z 0 )={A B C} (法向量)M (x , y , z)A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0 (点法式方程) Ax+By+Cz+D=0 (一般式方程)当A=0 平面平行x 轴，D=0 平面过原点a x +b y +cz=1 (截距式方程) 平面的位置关系A 1x+B 1y+C 1z+D 1=0 A 2x+B 2y+C 2z+D 2=0⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++⇔===⇔0cos 212121212121C C B B A A C C B B A A 垂直夹角平行θ 点到平面距离d=222000A CB A DCz By x +++++直线方程M 0 (x 0 , y 0 , z 0 )={l , m , n } 方向向量M 0={x-x 0 ,y-y 0 ,z-z 0}①l x x 0-=m y y 0-=nz z 0-=t 标准方程 对称方程 点向式方程②⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ntz z m t y y lt x x 000 参数式 ③⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C x B x A D z C x B x A 一般式={A 1 B 1 C 1}×{A 2 B 2 C 2}直线与直线的位置关系⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++==212121212121cos 0n n m m l l n n m m l l θ夹角直角不平行平行 平面与直线关系⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧=++=+++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==0A 0D A )cos(A 0002Cn Bm l Cz By x n C m B l 重合平行垂直相交θπ 简单的二次曲面 特殊曲面 球面方程圆心(x 0 ,y 0 ,z 0) 半径为r (x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2=r 2 椭球面方程22a x +22b y +22c z =1 柱面方程 φ (y , x)=0 ① x 2+y 2=1 圆柱面方程 ② y=x 2 抛物面方程③ 22a y -22bx =1 双曲柱面方程旋转曲面方程 f (y, z)⎪⎩⎪⎨⎧+±→22yx y z z 不变轴旋转，绕 z=221y x -- 上半单位球面x 2+y 2=1 圆柱面 z=x 2+y 2 旋转抛物面z=22y x + 上半锥面多元函数微分学 隐函数求导设F(x , y)=0 x y '=yF x F∂∂∂∂-=y x F F ''-设F(x , y , z)=0y z F z F x z F z F F F zy F F z x ''-=-=∂∂''-=-=∂∂∂∂∂∂∂∂空间曲面的切平面及法线F(x , y , z)=0 M 0(x 0 , y 0 , z 0)n ={x F ∂∂,y F ∂∂,zF ∂∂}0M 曲面法向量切平面()()()0z F y F x F0M 0M 0M 000=-∂∂+-∂∂+-∂∂z z y y x x 法线xFx x ∂∂-0=yF y y ∂∂-0=zF z z ∂∂-0二元函数z=f (x,y)的极值①⎩⎨⎧==∂∂∂00z x z 驻点②A=22x z ∂∂ B=y x z ∂∂∂2 C=22yz ∂∂③B 2－AC ＜0 有极值⎩⎨⎧小值大值有极 0＞A 有极 0＜AB 2－AC ＞0 无极值 B 2－AC=0 失效 二重积分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧、格林公式、极坐标转换、变换积分次序、直接积分二重积分4321 极坐标 包含原点⎰⎰D)sin ,cos (θθθrdrd r r f=rdr r r f d r )sin ,cos ()(020θθθθπ⎰⎰不包含原点rdr r r f d r r )sin ,cos ()()(21θθθθθβα⎰⎰曲线积分格林公式δd y Px Q Qdy Pdx D⎰⎰⎰∂∂-∂∂=++)(L 积分曲线与路径无关yPx Q ∂∂=∂∂ 级数⎩⎨⎧≤-⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=∑∑∑∞=∞=∞=时收敛＞时发散级数）（发散（调和级数）当发散当（等比级数） 1 1 1 11 1 1 110p p p nn q q q aaq n p n n n正项级数审敛法 比值审敛法l v u n nn =∞→lim（0＜l ＜+∞）Σu n 和Σv n 有相同的敛散性比较审敛法ρ=+∞→nn n u u 1lim0＜ρ＜1 Σu n 收敛 ρ＞1 Σu n 发散 ρ=1 失效 交错级数 莱布尼茨定理 1、u n 大于u n-1 2、lim u n =0则Σ(-1)n-1u n 收敛 函数展开成幂级数e x=∑∞=0n !n x n=1+x+!22x +…+!n x n +…，R x ∈x -11=∑∞=0n n x =1+x+x 2…+x n +…，|x|＜1 ln(1+x)= ∑∞=1n 1-n 1-n x n）（ =x-22x +…+(-1)n-1n nx +…，（-1＜x ≤1）收敛半径对于Σa n x n R =1lim+∞→n nn a a常微分方程 一阶微分方程 变量可分离方程dxdy=(x)(x)ϕf ⎰⎰+=C dx x f x dy)()(ϕ齐次方程dx dy =)x y (f令u=xy得y=xu则dx dy=u+x dx du f (u)= u+x dxdu一阶线性微分方程 一阶线性齐次微分方程⎰==+'-dxx P Ce y y x P y )( 0)(一阶线性非齐次微分方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰==+'⎰-C dx e x Q e y x Q y x P y dxx P dxx P )()()()()(二阶线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程0=+'+''qy y p y特征方程 r 2+pr+q=0(1)r 1 , r 2为相异实根 xr xr e C e C y 2121+= (2)r 为二重实根 rx e x C C y )(21+=(3)r =α ± iβ )s i n c o s (21x C x C e y xββα+= 二阶常系数非齐次线性微分方程xme x P qy y p y λ)(=+'+'' 特解 x m k e x Q x y λ)(=*其中，⎪⎩⎪⎨⎧=是二重特征根，当是单特征根，当不是特征根，当λλλ210k )(x Q m =a 0x m +a 1x m-1+…+a m-1x+a m线性代数 克莱姆法则⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++线性齐次全为线性非齐次不全为0 , 0 ,212122112222212111212111n n n n nn n n n n n n b b b b b b b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a1、非齐次的解nnn n nna a a a a a a a a 212222111211D = D ≠0 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===DD n D Dn x x x2121D j 是把系数是行列式D 中第j 列元素依次用方程组右端的常数项b 1,b 2…b n 代替后得到的n 阶行列式。
最完整高数公式大全赶紧了以后用1.极限相关公式：- 极限定义：如果对于任意一个给定的正数ε，存在正数δ，使得只要x与a的距离小于δ，则必有f(x)与L的距离小于ε，即lim(x→a)f(x)=L。
2.一元函数相关公式：- 基本求导法则：(C)'=0，(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹，(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx，(tanx)'=sec²x，(cotx)'=-csc²x，(secx)'=secxtanx，(cscx)'=-cscxcotx。
- 链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))，则y'=(dy)/(dx)=(dy)/(du)*(du)/(dx)=f'(u)*g'(x)。
-高阶导数：(fⁿ(x))'=fⁿ⁻¹(x)·f'(x)，其中n为正整数。
-函数泰勒级数展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+…+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+Rⁿ(x)，其中Rⁿ(x)为剩余项。
- 微分方程：设y=f(x)，则dy/dx=f'(x)，d²y/dx²=f''(x)，…3.多元函数相关公式：-偏导数：设z=f(x,y)，则∂z/∂x表示在y固定的条件下对x的变化率，∂z/∂y表示在x固定的条件下对y的变化率。
-链式法则：设z=f(x,y)，x=g(u,v)，y=h(u,v)，则∂z/∂u=∂z/∂x*∂x/∂u+∂z/∂y*∂y/∂u，…- 梯度：设z=f(x₁,x₂,…,xₙ)，则gradz=(∂z/∂x₁,∂z/∂x₂,…,∂z/∂xₙ)。
- 散度：设F=(P,Q,R)为一个三维向量场，则divF=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z。
高等数学公式汇总第一章 一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=±和差角公式：sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin coscos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式：::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+，222(1)(21)126n n n n +++++=22333(1)124n n n ++++=2、极限➢常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1n a >=;lim 1n =➢ ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则➢ 两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+ ➢:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或 第二章 导数与微分1、 基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x-----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
2、()200000000(1)(1)0110000()(): ()()()()()()()2!!(()): (); ((,),(0,1))(())()()()(1)!(1)!n n n n n n n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n o x x R x x x f x x x f x x x x n n ξθθξ++++'''=+-+-++-+⎧-⎪=∈∈⎨+--=-⎪++⎩泰勒公式余项()(1)21(0)(0)(): ()(0)(0)()()(); ((0,1))2!!(1)!n n n n f f f x f x f f x x x x n n θθ++'''=+++++∈+麦克劳林公式常用初等函数的展式：211();();((0,1))2!!(1)!n x xn n n x x e e x R x R x x n n θθ+=+++++=∈+ 352112122sin[(21)]2sin (1)();();((0,1))3!5!(21)!(21)!m m m m m x m x x x x x R x R x x m m πθθ--+++=-+-+-+=∈-+242222121cos[(1)]cos 1(1)();();((0,1))2!4!(2)!(22)!m mm m m x x x x m x R x R x x m m θπθ+++++=-+-+-+=∈+241111011ln(1)(1)()(1)(1); 2!3!1(1)();((0,1))(1)(1)n n n n n n n n n nn n n x x x x x x x R x n n n R x x n x θθ+∞∞--==+++=-+-+-+=-=-+-=∈++∑∑211(1)(1)(1)(1)1();2!!(1)()()(1);((0,1))(1)!nn n n n n x x x x R x n n R x x x n αααααααααααθθ--+---++=+++++--=+∈+201ln (1)1(1)(1)1nnn n x x x x x x∞='⇒=+=-+++-=-+∑3、30222.(:M M s ()()()()M lim .[()()]10; .s ds K MM st t t t d K s ds t t K R K R θααϕψϕψααϕψ∆→===∆''=∆∆∆''''''-∆===∆''+==弧微分公式：平均曲率：从点到点，切线斜率的倾角变化量；:弧长)点的曲率：直线的曲率：半径为的圆的曲率：1=M K ρ=曲线在点处的曲率半径:第四章 不定积分1、常用不定积分公式：()(); (())(); ()()f x dx F x C f x dx f x F x dx F x C ''=+==+⎰⎰⎰11(1); ln ;1; ;ln x xx xx x dx C dx x C xa a dx C e dx e C a μμμμ+=+≠-=++=+=+⎰⎰⎰⎰2222sin cos ; cos sin ;tan ln cos ; cot ln sin ;sec ln sec tan ;csc ln csc cot ln tanln csc cot ;2sec tan ; csc cot ;cos sin sec t xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C xdx x x C xxdx x x C C x x C dx dx xdx x C xdx x C x x x =-+=+=-+=+=++=-+=+=-++==+==-+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰an sec ; csc cot csc ;; ;xdx x C x xdx x C shxdx chx C chxdx shx C =+⋅=-+=+=+⎰⎰⎰⎰2222222arcsin arccos ; arcsin;1arctan arccot ; arctan ; 111ln ; ln ;22ln(;x x C x C C adx dx xx C x C C x a x a adx x a dx a x C C x a a x a a x a a x x C =+=-+=+=+=-+=+++-+=+=+-+--=++⎰⎰⎰⎰⎰22ln(;2arcsin 2a x C a xCa=+=+ 2、常用凑微分公式：2212 (); (ln );11(1)()(ln tan );cos sin dx dxd d x x x x d dx d x x x dxd x x x==-==-=+=3、有特殊技巧的积分1(1)sin cos sin()dx dx a x b x x ϕ=++⎰sin cos (2)ln sin cos sin cos c x d xdx Ax B a x b x C a x b x +=++++⎰241(3)1x dx x ++⎰2211()1()d x x x x=--+⎰第五章 定积分1、基本概念00111()lim ()lim ()()()() , (()())n nbb i i a an i i i f x dx f x f F b F a F x F x f x n n λξ→→=='=∆==-==∑∑⎰⇒⇒⇒⇒连续可积;有界+有限个间断点可积;可积有界; 连续原函数存在()()()()xa x f t dt x f x 'Φ=⇒Φ=⎰()()()[()]()[()]()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎰ ()(())()abf x dx f t t dt αβϕϕ'=⎰⎰，()()()()()()a abbu x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰2、常用定积分公式：()[()()]aaaf x dx f x f x dx -=+-⎰⎰；(),()2()aaaf x f x dx f x dx -=⎰⎰为偶函数；(),()0aaf x f x dx -=⎰为奇函数220(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰；2220(sin )(sin )(sin )2xf x dx f x dx f x dx πππππ==⎰⎰⎰T TT2T 02()()()a af x dx f x dx f x dx +-==⎰⎰⎰；TT()()a n af x dx n f x dx +=⎰⎰Wallis公式：22201331,12242sin cos 2431,352n n n n n n n n n n I xdx xdx I n n nn n n πππ---⎧⋅⋅⋅⋅⎪-⎪-====⎨--⎪⋅⋅⋅⎪-⎩⎰⎰为正偶数为正奇数 无穷限积分：+b+b-bb+-()lim()(+)();()lim ()(-)();()lim()lim ()(+)()a ab baa aab a f x dx f x dx F F a f x dx f x dx F F a f x dx f x dx f x dx F F ∞→∞-∞→∞+∞-∞→∞→∞==∞-==∞-=+=∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰瑕积分：()lim ()()lim ();()lim ()lim ()();()()()b ba tt at abta at b t bbcbaacf x dx f x dx F b F t f x dx f x dx F t F a f x dx f x dx f x dx++--→→→→==-==-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ +1,1,1padx p p x ∞>≤⎰收敛发散；11,01,1p a dx p p x <<≥⎰收敛发散10()(1)!x n n e x dx n τ+∞--==-⎰,(1)()!;(1)1;n n n n τττ+=⋅==201 ()22x e dx τ+∞-=⇒=⎰第六章 定积分应用1、平面图形的面积：直角坐标情形：()baA f x dx =⎰；()()baA f x g x dx =-⎰；()()dcA y y dy ϕψ=-⎰参数方程情形：()()()();(();())A t d t t t dt a b ββααψϕψϕϕαϕβ'====⎰⎰极坐标情形：21()2A d βαρθθ=⎰ 2、空间立体的体积：由截面面积：()baV A x dx =⎰旋转体：绕x 轴旋转：222();[()()()2();2()()()b ba ad dccV f x dx V f x g x dx x V y y dy V y y y dy y πππϕπϕψ==-==-⎰⎰⎰⎰为积分变量为积分变量 绕y 轴旋转：222()2()();()[()()]()b baadcV x f x dx x f x g x dx x V y y dy y πππϕψ==-=-⎰⎰⎰为积分变量为积分变量3、平面曲线的弧长：as ββααθ===⎰⎰⎰变力做功：()b aW F x dx =⎰抽水做功：=,g dW dM g h dV g h ρ⨯⨯=⋅⋅=⋅⋅⋅克服重力做功质量高度 液体压力做功：=dF pdA g h dA ρ⨯==⋅⋅⋅压力压强面积，第七章 向量代数与空间解析几何两点间距离公式 ：12M M -=，(,,);x y z x y z a a a a a i a j a k ==++(,,)x y z x y z b b b b b i b j b k ==++ (,,);x x y y z z a b a b a b a b ±=±±±(,,)x y z a a a a λλλλ=方向余弦：222cos cos cos x xy xz x y a a a a a a a a a a aa a a αβγ==+==+==++单位向量：(cos ,cos ,cos )a a e aαβγ==数量积：cos(,)x x y y z z a b a b a b a b a b a b ⋅==++22a a a a ⋅==⇒0i j j k k i ⋅=⋅=⋅=，1i i j j k k ⋅=⋅=⋅=夹角余弦：2cos(,)xa b a b a b a b a b a ba ++⋅==+向量积：()()()y z z y z x x z x y y x xy z xy zij k a b a b a b i a b a b j a b a b k a a a b b b ⨯=-+-+-= 0a a ⨯=，sin(,)a b a b a b S ⨯==平行四边形，空间位置关系：//0(,)0y x zx y zb b b a b a b a b a a a αβαβ⇔⨯=⇔∃+=⇔== 00x x y y z z a b a b a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔++=⇔+=-平面的方程：点法式：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=；一般式 ：0Ax By Cz D +++=截距式：1x y z a b c++=两平面的夹角：1212cos n n n n A θ⋅==点到平面的距离：d =两平行平面的距离：22d A B C =++直线与平面的夹角：2sin n s n sA ϕ⋅==空间曲线C ，曲线的投影xoy C ，空间立体Ω，曲面∑，曲面的投影xy D 球面：2222000()()()x x y y z z R -+-+-=椭圆柱面：22221x y a b +=；双曲柱面：22221x y a b-=；抛物柱面：22x py =旋转曲面：圆柱面：222x y a +=；圆锥面：2222()z b x y =+；双叶双曲面：222221x y z a c+-= 单叶双曲面：222221x y z a c +-=；旋转椭球面:222221x y z a c++=；旋转抛物面：222x y pz +=二次曲面：椭球面：222222 1 (0,0,0)x y z a b c a b c++=>>>抛物面：椭圆抛物面：2222x y z a b +=；双曲抛物面：2222x y z a b -=单叶双曲面：2222221x y z a b c +-=；双叶双曲面：2222221x y z a b c +-=-椭圆锥面：222222x y z a b c+=总结求极限方法：1、 极限定义；2、函数的连续性；3、极限存在的充要条件；4、两个准则；5、两个重要极限；6、等价无穷小；7、导数定义；8利用微分中值定理； 9、洛必达法则；10、麦克劳林公式展开；求导法：1、导数的定义（求极限）；2、导数存在的充要条件；3、基本求导公式；4、导数四则运算及反函数求导；5、复合函数求导；6、参数方程确定的函数求导；7、隐函数求导法；8、高阶导数求导法（莱布尼茨公式/常用的高阶导数）；等式与不等式的证明：1、利用微粉中值定理；2、利用泰勒公式展开；3、函数的单调性；4、最大最小值；5、曲线的凸凹性第八章 多元函数微分法及其应用一、定义：00000(,)000(,)0(,)(,)lim(,)(,)(,)x y x x x y x x x f f x x y f x y df x y f x y f x y xx dx ∆→=∂+∆-====∂∆二、 微分：(,)(,)lim0x y z f x y x f x y yρρ→∆-∆-∆=⇔可微，⇒⇒偏导连续可微连续+偏导存在，全微分：(,)(,)x y dz f x y dx f x y dy =+ 三、隐函数求导:o o d 1 ,0().d 2 ,,0(,) ,x yyx z z F yF x y y f x x F F x y z z f x y F F zz x F y F =⇒==-=⇒=∂∂=-=-∂∂（）且（）且四、曲线的切线和法平面1、曲线方程():()()x t L y t z t ϕψω=⎧⎪=⎨⎪=⎩，切线：000000()()()()()()x x y y z z t t t ϕψω---=='''，法平面：000000()()()()()()0t x x t y y t z z ϕψω'''-+-+-=2、曲线方程():()y y x L z z x =⎧⎨=⎩，切线：000001()()x x y y z z y x z x ---==''，法平面：00000()()()()()0x x y x y y z x z z ''-+-+-=3、曲线方程(,,)0:(,,)0F x y z LG x y z =⎧⎨=⎩，切向量}{}{,,,,x y z x y z M M T F F F G G G =±⨯，切线：000z x y z x y z x y zx yM M M x x y y z z F F F F F F G G G G G G ---==四、曲面的切平面和法线1(,,)0F x y z =、曲面方程：，法向量：}{,,x y z M n F F F =±，切平面:000000000000 (,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=,法线：000000000000()()()(,,)(,,)(,,)x x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---==2、(,)z f x y =曲面方程：，切平面000000000(,,)()(,,)()()0x y f x y z x x f x y z y y z z -+---=，法线：0000000(,)(,)1x y x x y y z z f x y f x y ---==-五、方向导数：cos cos cos xyzM M M M f f f f lαβγ∂=++∂梯度：{}0grad ,,x y z M M u f f f =第九章：重积分 一、 二重积分：2211()()()()(,)(,)(,)(,)bx dx ax cx DDf x y d f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx ϕψϕψσ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰二、三重积分：1、直角坐标系：21(,)(,)(,)d d d (,,)d xyz x y z x y ΩD f x y,z V x y f x y z z =⎰⎰⎰⎰⎰⎰21()(,,)(,,).c c D z f x y z dv dz f x y z dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2、柱面坐标系：cos ,sin ,.x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩,dv rdrd dz θ=2211()(,)()(,)(,,)d d (cos ,sin ,)d .θz θθz θf x y z dv r f z z βρραρρθρθρθρΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰3、球面坐标系：2sin cos ,sin sin ,sin ,cos .x r y r dv r drd d z r ϕθϕθϕϕθϕ=⎧⎪==⎨⎪=⎩2211()(,)2()(,)(,,)d d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d .θr θθr θf x y z dxdydz f r r r r r βϕϕαϕϕθϕϕθϕθϕϕΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、重积分的应用：1、体积：21d d d [(,) (,)]d d xyΩD V x y z z x y z x y x y ==-⎰⎰⎰⎰⎰2、曲面(,)z f x y ∑=：面积：d xyD S x y =⎰⎰3、质量：(,)d DM x y ρσ=⎰⎰或,,M x y z dv μΩ=⎰⎰⎰（）4、质心(,)x y ：(,)(,),DDx x y d y x y d x y MMρσρσ==⎰⎰⎰⎰或,,,,,,,,,,,,,,x x y z dv y x y z dv z x y z dv x y z x y z dv x y z dv x y z dv μμμμμμΩΩΩΩΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（）（）（）（）（）（）5、 转动惯量：2222(,),(,),()(,)x y o DDDI y x y d I x x y d I x y x y d ρσρσρσ===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰或222222222(),,,(),,(),,,(),,x y z o I y z x y z dv I z x x y z dv I x y x y z dv I x y z x y z dvμμμμΩΩΩΩ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰（）（）（）（）第十章：曲线积分和曲面积分 一、第一类曲线积分：（对弧长的曲线积分）：(,)((),((,((()cos ,()sin baLf x y ds f t t f x y t f βαβαϕψρθθρθθθ===⎰⎰⎰⎰(,,)((),(),(Lf x y z ds f t t t βαϕψω=⎰⎰二、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： 1、计算公式：(,)(,)[(,)cos (,)cos ][((),())()((),())()]LLbaP x y dx Q x y dy P x y Q x y dsP t t t Q t t t dtαβϕψϕϕψψ+=+''=+⎰⎰⎰2、格林公式：()(cos cos )DD D Q Pdxdy Pdx Qdy P Q ds x x αβ+∂∂∂∂-=+=+∂∂⎰⎰⎰⎰ 3、Stokes 公式：Stokes d d dz d d d d d d cos cos cos (,,)xy ΓD P x Q y R y z z x x y dS f x y z dxdy x y z x y z P Q R P Q Rαβγ+=∂∑∑∑++=∂∂∂∂∂∂==±∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰公式：4、封闭曲线围城的面积：12DA xdy ydx +∂=-⎰ 三、第一类曲面积分：:(,) (,,)(,,(,xyD z z x y f x y z dS f x y z x y ∑∑==⎰⎰⎰⎰：四、第二类曲面积分： 1、计算公式：(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(cos cos cos )n F x y z d S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdyF x y z e dS P Q R dSαβγ∑∑∑∑=++=⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(,,)d d [,,(,)]d d (,,)d d [,,(,)]d d (,,)((,),,)(,,)(,(,),)xyxyD D DyzDzxR x y z x y R x y z x y x y R x y z x y R x y z x y x yP x y z dydz p x y z y z dydz Q x y z dzdx p x y z x z dzdx∑∑∑∑==-=±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰上侧下侧；；2、投影转化法：cos cos :(,),,cos cos :(,,)0,,z z x y dydz dxdy z dxdy dzdx dxdy z dxdyx y F F yx F x y z dydz dxdy dzdx dxdyF F z z αβγγ∑===-==-∑=== 3、高斯公式：+d d d d d d (cos cos cos )d = ()d ;.)P y z Q z x R x y P Q R SP Q RV x y z αβγ∑∑-Ω++=++∂∂∂±++∑∂Ω+∑∂Ω-∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
