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三种方法巧解一类椭圆轨迹变式问题椭圆的轨迹问题是圆锥曲线中一块重要内容，求解的方法较多，但常见的有三类轨迹问题，一般可用定义法、转移法、交轨法进行破解，下面就如何用这三种方法巧解三类相似的椭圆的轨迹问题进行举例分析：一、定义法破椭圆轨迹 所谓定义法，就是根据椭圆的定义设出椭圆的方程，若是标准型的椭圆则求出涉及到椭圆方程的二个参数,a b ；对于非标准型的椭圆则需要利用第一定义求解.例1、一个椭圆的焦点是()0,0和(4,0)F ，长半轴为3，求这个椭圆方程.分析：在所给的条件为非标准情况时，如适合椭圆定义，也可用椭圆的定义求它的方程.解：设(,)M x y 为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义有6MO MF +=6=，移项，平方，整理可得：225920250x y x +--=，即22(2)195x y -+=为所求椭圆方程. 点评：此题中的椭圆为非标准型的，解题时主要是利用了第一定义求方程，但当已知椭圆是标准型时，求椭圆方程一般为以下三步：1、依题意设出方程22221x y a b +=或22221x y b a+=，或利用椭圆的定义；2、根据已知条件，建立关于,a b 的方程；3、解方程求出,a b ，然后代入所设方程.二、转移法破椭圆轨迹所谓转移法，就是指转移代入法，主要是利用动点M 和曲线上的点P 的关系（有相关性），通过求出点M 与点P 的坐标关系，用点M 的坐标表示点P 坐标，然后代入点P 坐标所满足方程的方法.例2、已知圆229x y +=，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，点M 在PP '上，并且2PM MP '=，求点M 的轨迹.分析：此题是一个已知P 点的轨迹求未知点M 的轨迹问题，需要通过建立已知点的坐标和未知点的坐标关系求解，即转移代入法.解：设(,)M x y ，P 的坐标为()00,x y ，则由题意如图，003x x y y=⎧⎨=⎩，因为点P 在圆229x y +=上，即满足22009x y +=，将003x x y y=⎧⎨=⎩代入得2299x y +=，即2219x y +=，所以点M 的轨迹是一个圆. 点评：此题是一个转移代入法求椭圆轨迹问题，解题的步骤是：1、先写出P 点与M 点的关系，2、用点M 的坐标表示点P 的坐标，3、代入点P 的坐标所满足的方程。
轨迹问题一、知识要点1.常见的轨迹:(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线.(2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.(4)平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.2.求动点的轨迹的步骤:(1)建立坐标系,设动点坐标M(x,y);(2)列出动点M(x,y)满足的条件等式;(3)化简方程;(4)验证(可以省略);(5)说明方程的轨迹图形,最后“补漏”和“去掉增多”的点.3.求动点轨迹的常用方法:直接法;定义法;代入法(相关点法);参数法.二、基础训练1．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是（ ） ()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线 ()D 抛物线2． 若0|3|)1()3(22=+---++y x y x ，则点),(y x M 的轨迹是（ ）()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线 ()D 抛物线3．点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1，则点M 的轨迹方程是4．一动圆与圆221x y +=外切，而与圆22680x y x +-+=内切，则动圆圆心的轨迹方程是5．已知椭圆13422=+y x 的两个焦点分别是F 1，F 2，P 是这个椭圆上的一个动点，延长F 1P 到Q ，使得｜PQ ｜＝｜F 2P ｜，求Q 的轨迹方程是 ．三、例题分析（一）、定义法例1. ⊙C ：16)3(22=++y x 内部一点A （3，0）与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程.例2.已知A （0，7）、B （0，－7），C （12，2），以C 为焦点的椭圆经过点A 、B ，求此椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程.（二）、直接法例3.线段AB的两端点分别在两互相垂直的直线上滑动，且||2，求AB的中点P的轨AB a迹方程。
高二数学求曲线的轨迹方程刘明华一. 教学内容：求曲线的轨迹方程二. 学习目标求曲线的方程是解析几何中的重点，也是难点，是解答题取材的源泉。
求曲线的轨迹方程的常用方法很重要。
三. 考点分析1、求曲线方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合P={M︱p（M）}；（3）用坐标表示条件p（M）,列出方程f（x,y）=0；（4）化方程f（x,y）=0为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。
2、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、待定系数法、参数法、交轨法。
（1）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，即直接通过建立x、y之间的关系，构成F（x,y）＝0，此法是求轨迹的最基本的方法。
（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系，从而求出轨迹方程。
注：①用定义法求曲线方程，灵活运用题设重要条件，确定动点满足的等量关系，结合圆锥曲线定义确定方程的类型。
②步骤：列出等量关系式；由等式的几何意义，结合圆锥曲线的定义确定轨迹的形状；写出方程。
③利用“定义法”求轨迹方程的关键：找出动点满足的等量关系。
（3）代入法（相关点法或转移法）：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成的轨迹的动点P（x,y）却随着另一动点Q（x1,y1）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x1,y1表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程。
（4）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程（6）交轨法：求两动曲线交点的轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。
与圆有关的轨迹问题知识点1 5种定义形式的圆1、“定义圆”：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合.数学语言描述为：在平面内，{|}M MA r =，其中M 为动点，A 为定点，0r >为定值.2、“斜率圆”：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合（除去定点所在垂直于x 轴的直线与曲线的交点）.数学语言描述为∶在平面内，{|1}MA MB M k k ⋅=-，其中M 为动点，A ，B 为定点.且点M 的横坐标不等于A ，B 的横坐标.3、“平方圆”：在平面内，到两定点距离的平方和为定值的点的集合.数学语言描述为：在平面内，22{|}M MA MB λ+=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值.注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]2224a cb d x y ac bd λ++-+-=--+-，此时221[()()]2a cb d λ>-+-.4、“向量圆”：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的集合.数学语言描述为∶在平面内，{|}M MA MB λ⋅=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值 注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]224a cb d x y ac bd λ++-+-=+-+-，此时221[()()]4a cb d λ>--+-.特别地,若A ，B 为定点，且0MA MB ⋅=，则点M 的轨迹是以AB 为直径的圆拓展：“角度圆”：在平面内，与两定点所成角为定值的点的集合.（角度可用向量的夹角公式表示） 5、“比值圆”（阿波罗尼斯圆）：在平面内，到两定点距离之比为定值的点的集合. 数学语言描述为：{|}MAM MBλ=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值，λ>0且λ≠1. 注：当1λ=时，M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线. 6、这些圆彼此之间的联系：（1）斜率圆可以看成向量圆的特例，即两向量互相垂直时可以转化为两直线斜率之积等于-1,需要注意斜率不存在的情形.也就是说数量积为零比斜率之积为-1更一般. （2）比值圆与平方圆是一样的，都是用两点间距离公式求解.知识点2 注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别1、“轨迹”是图形，“轨迹方程”是方程.2、求轨迹方程后要检验求轨迹方程后一定要注意检验轨迹的纯粹性和完备性，在所得的方程中删去或补上相应的特殊点，以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应关系.考点一 直接法求轨迹解题方略：直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式，然后化简而求出动点轨迹方程的一种方法．此法的一般步骤∶建系、设点、列式、化简、限制说明.注：（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等） （2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
高二数学用定义法求轨迹方程的教学设计一、设计理念著名教育学家布鲁纳说过:“知识的获得是一个主动过程. 学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者.〞《数学课程标准》又提出数学教育要以有利于学生的全面发展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点. 本节课的设计正是尽力以此为理念，在整个授课过程中努力表达学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的意识和能力.二、学情分析学生已有的认知结构是初步掌握了求轨迹的基本步骤，但求轨迹的基本方法比较模糊，没有形成规律性和系统性，对图形的变化缺乏动态的认识，对数学知识的综合运用心理准备不足。
通过这节课尽量让学生理清楚用定义法求轨迹方程的方法和步骤。
三、教学目标、重难点的预设结合新课程理念和学生的实际情况，将本节课的教学目标定为： 知识目标：掌握在不同条件下用定义求动点的轨迹的基本方法。
能力目标： 通过渗透数形结合、转化等思想方法培养学生的思维能力。
通过引导探究问题，培养学生的创新意识和探究能力。
情感目标： 主动参与教学过程，提出问题，解决问题 ，激发潜能，体验成功。
[重点]：会根据动点轨迹的几何特征用定义求轨迹方程。
[难点]：如何根据条件分析动点轨迹的几何特征。
四、知识结构：求轨迹 的一般步骤时间：07年6月14日上午 第四节 地点：电教楼102 授课人：温展平[教学目标]1、 知识目标：掌握在不同条件下用定义求动点的轨迹的基本方法2、 能力目标：培养学生提出问题和解决问题的能力；培养学生的自主探索精神和创新能力。
3、 情感目标：培养学生学习数学的兴趣，在轻松的学习环境中激发潜能、体验成功。
[重点]：会根据动点轨迹的几何特征用定义求轨迹方程。
[难点]：如何根据条件分析动点轨迹的几何特征。
[教学过程]： 一.创设情境1．复习圆锥曲线的定义〔学生回答〕，重点强调定义的条件和结论以及这些定义的共同特征，列表如下：二、探索研究 思考并回答：〔1〕ABC ∆的一边BC 的长为3，周长为8，那么顶点A 的轨迹是什么？ 〔2〕假设)0,2(-A ，)0,2(B ，且2=-MB MA ，那么点M 的轨迹是什么？ 〔3〕过点)0,1(且与方程1-=x相切的圆的圆心的轨迹是什么？ 归纳“定义法〞求轨迹方程的一般步骤：一定曲线，二定方程，三定范围例：一动圆与圆1O ：4)3(22=++y x 外切，同时与 圆2O ：100)3(22=+-y x 内切，求动圆圆心的轨迹 方程.变式1：一动圆与圆1O ：4)3(22=++y x 外切，同时与圆2O圆圆心的轨迹方程。
卜人入州八九几市潮王学校高二数学求轨迹方程考纲要求：理解轨迹的概念，能根据所给条件选择适当的直角坐标系求轨迹的方程。
主要方法：求轨迹方程的根本步骤——“四步一回头〞。
四步指①建立适当坐标系，设曲线上任意一点M的坐标为(x,y)；②写出适宜条件P的点M的集合P={M|P(m)}；③用坐标表示条件P(m)，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。
一回头指回头看化简方程的同解性及轨迹的完备性和纯粹性等。
其主要方法有：直接法、代入法、参数法、定义法、待定系数法等。
两个注意点：①建立适当的坐标系；②检验轨迹是否符合题意。
求轨迹时的方法：Ⅰ.直接法：求轨迹方程的最根本的方法，直接通过几何条件建立x、y之间的关系，构成F(x，y)＝0常用到的公式：〔1〕两定点间间隔公式〔2〕两定点连线斜率公式〔3〕点到直线的间隔公式〔4〕两直线的到角公式和夹角公式Ⅱ.定义法〔根本轨迹法〕：根据几何条件和圆锥曲线的定义，判断出轨迹的形状，写出轨迹的方程。
常见的曲线定义有：〔1〕平面内与两定点间隔相等的点的轨迹是.〔2〕平面内与一定直线距等于定值的点的轨迹是.〔3〕平面内到一个角的两边间隔相等的点的轨迹是. 〔4〕平面内与一定点的间隔等于定长的点的轨迹是.〔5〕平面内与一定线段的两端点所张的角为直角〔定角〕的点的轨迹是 .〔6〕平面内与两定点间隔之和为定值的点的轨迹是. 〔7〕平面内与两定点间隔之差为定值的点的轨迹是.〔8〕平面内到一定点间隔与到一定直线间隔之比为定值e 的点的轨迹是 【根底训练】：1“曲线C 上的点坐标是方程F(x,y)=0C 〕A ．方程F(x,y)=0的曲线是CB ．曲线C 的方程是F(x,y)=0C ．点集{(x,y)|F(x,y)=0}⊇{P|P ∈C}D ．点集{(x,y)|F(x,y)=0}⊆{P|P ∈C} 2、到两个坐标轴间隔相等的点轨迹方程是〔D 〕 A ．x －y=0B ．x+y=0 C ．|x|－y=0D ．|x|－|y|=03、动点P 与两个定点A 〔1，0〕，B 〔－1，0〕的连线的斜率之积为－1，那么点P 的轨迹方程为〔B 〕 (A)、122=+y x (B)、122=+y x (x ≠±1) (C)、122=+y x(x ≠0)(D)、21x y -=4、长为2a 的线段AB ，两个端点在两坐标轴上挪动，那么AB 的中点的轨迹方程是x 2+y 2=a 25、方程20)6()6(2222=++++-y x y x 化简结果是〔B 〕(A)、13610022=+y x (B)、16410022=+y x (C)、13610022=+x y (D)、16410022=+x y 6、一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点A 〔0，2〕的间隔减去它到x 轴的间隔的差是2，那么这条曲线的方程为x 2=8y(x ≠0)7、一动圆M 与两个定圆⊙C ：(x+4)2+y 2=1；⊙D ：(x －4)2+y 2=9都相外切，那么动圆圆心M 的轨迹方程为：11522=-y x 〔x ≤－1〕8．△ABC 的外接圆为x 2+y 2=1，点A 〔1，0〕，且∠BAC ＝600，当B 、C 在圆周上挪动时，边BC 的中点的轨迹方程为〔D 〕(A)、2122=+y x(B)、4122=+y x (C)、2122=+y x 〔x<21〕(D)、4122=+y x 〔x<41〕【例题选讲】：【例1】如图，⊙1O 与⊙2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作⊙1O 、⊙2O 的切线PM 、PN 〔M.N 分别为切点〕，使得PN PM 2=，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程解：以1O 2O 的中点O 为原点，1O 2O 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，那么1O 〔-2，0〕，2O 〔2，0〕， 由PN 2PM=，得22PN PM =因为两圆的半径均为1，所以 设),(y x P ，那么)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x 即33)6(22=+-y x ，所以所求轨迹方程为33)6(22=+-y x 〔或者22-+y x【例2】．过M (1，3)作两条互相垂直的直线l 1和l 2，l 1与x 轴交于A 点，l 2与y 轴交于B 点，求线段AB 中点的轨迹．分析：求动点的轨迹可以通过求动点的轨迹方程来解；也可利用平面几何的知识来处理． 解法1如图27－8，设P (x ，y )是轨迹上任意一点．∵P 为线段AB 的中点， ∴A 〔2x ，0〕、B (0，2y )．PO 1O 21图27－8①当两直线斜率存在时，k MA ·k MB ＝－1，即x 213－·123y －＝－1(x ≠21)， 化简得x ＋3y －5＝0(x ≠21)．②假设k 1不存在，即A (1，0)，此时B (0，3)，AB 中点为(21，23)， 代入方程x ＋3y －5＝0适宜，即此点在直线x ＋3y －5＝0上． 综合①、②，所求轨迹方程为x ＋3y －5＝0，它表示一条直线． 解法2设P (x ，y )是轨迹上任意一点．∵P 为线段AB 的中点，AB 为Rt △ABC 与Rt △ABM 公一共的斜边， ∴｜OP ｜＝｜MP ｜．∴P (x ，y )的轨迹是线段OM 的垂直平分线．说明解法1是通过斜率的关系来列式的，所以要分k 1存在与不存在两种情况(k 2一定存在)来解题，结果②中所即23-x ·2+x y ＝－1．化简得x 2＝4－3y ．图27－7 【例4】⊙M:x Q y x是,1)2(22=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，〔1〕假设324||=AB ，求直线MQ 的方程；〔2〕求动弦AB 的中点P 的轨迹方程.解:〔1〕由324||=AB ，可得,31)322(1)2||(||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得,3|||,|||||2=⋅=MQ MQ MP MB 得在Rt △MOQ 中，523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，故55-==a a或，所以直线MQ 方程是〔2〕连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由 点M ，P ，Q 在一直线上，得(*),22xy a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ⋅= 即(**),14)2(222=+⋅-+a y x 把〔*〕及〔**〕消去a ，并注意到2<y ，可得【例5】⊙A 方程为4)2(22=++y x ，圆外有一定点B(2,0)，求过点B 且和⊙A 相切的动圆圆心P 轨迹方程。
