高中数学 2.3.1离散型随机变量的数学期望教案 新人教B版选修2-3

第二章概率2. 3 随机变量的数字特征2.3. 1 离散型随机变量的数学期望学习目标：1.理解离散型随机变量的数学期望的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求岀数学期望.（重点）2.掌握二点分布、二项分布的数学期望.（重点）3.会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关问题.（难点）教材整理/离散型随机变量的数学期望阅读教材P59〜卩60,完成下列问题.1.定义一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是加切•“，凡, 这些值对应的概率是卩1，卩2,…，Pn，则E(X)二如1土泌土T土泌叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望).2.意义刻画了离散型随机变量的平均取值水平.------ 0微体验0 -----1. __________________ 下列说法正确的有・(填序号)①随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化;②随机变量的均值反映样本的平均水平；③若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(2X)=4；Xl+%2 ----- 為④随机变量X的均值E(X)二◎【镒】■鑒@-^s s s 虐息謬舉1W雷摄豊舉屢藍苞•皐1聲—益眾-K-X 啊豎證■型羸曾酗嚣2.已知离散型随机变量X的分布列为:则X的数学期望E(X)二___11牛刀出M 如】•HG+XDgmsHgg 掘教材整理2常见的几种分布的数学期望阅读教材P60例1以上部分，完成下列问题.----- 0微体验0 ----(1]1.若随机变量X服从二项分布$4, 则E(X)的值为1 4【解析】E(X)=np=^j=y 【笞案】2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分.己知他命中的概率为0.8,则罚球一次得分X的期望是・【解析】因为P(X=l)=0.8, P(X=0)二0.2,所以E®=1X0.8+0X02=0.8.【答案】0.8\響17 二点分布与布的数劉望【例1】某运动员投篮命中率为p=0.6.⑴求投篮1次时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数丫的数学期望.【精彩点拨】⑴利用二点分布求解.(2)利用二项分布的数学期望公式求解.【解】⑴投篮1次，命中次数X的分布列如下表:则E®=0.6.⑵由题意，重复5次投篮，命中的次数丫服从二项分布，即丫〜5(5,0.6),则E(F)=〃p=5X0.6=3.r规律方沽1.常见的两种分布的均值设卩为-次试验中成功的概率，则⑴二点分布E(X)=p；⑵二顶分布E(X)=np.熟练应用上述公式可大大减少运算豊提高解题速度•2.二点分布与二项分布辨析⑴相同点：一次试验中要么发生要么不发生.(2)不同点：①随机变量的取值不同，二点分布随机变量的取值为0,1,二项分布中随机变量的取值x=0,l, 2,…，n.②试验次数不同，二点分布一般只有一次试验；二项分布则进行〃次试验.越跟腳||漏1.⑴某种种子每粒发芽的概率为0.9,现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X,则X的数学期望为（）A. 100B. 200C. 300D. 4002 -9 11 - 07A学期望E(X)等于()X0 1P_______m加【解析】⑴由题意可知，补种的种子数记为X, X服从二项分布, 即X〜B(1 000,0.1),所以不发芽种子的数学期望为1000X0.1 = 100.所以补种的种子数的数学期望为2X100=200.1 12 2(2)由题意可知m+2m=l,所以m=y所以E(X)=0X亍+1X厂亍【答案】(1)B (2)D求离散型随机变量的数学期望一一丿------------------------------------------------------------------------------ 【例2】在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演岀活动中, 每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演岀顺序（序号为1,2, •“，6）,求：⑴甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（2）甲、乙两单位之间的演岀单位个数（的分布列与均值.【精彩点拨】⑴可先求“甲乙两单位的演岀序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；（2）先求出（的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值.【解】只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.⑴设4表示“甲、乙的演岀序号至少有一个为奇数”，则只表示網乙的演岀序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P⑷=1 -— C2P⑷r(2)(的所有可能取值为0,1,2,3,4,且5 1 4 4 3 1 2P(f=0)=R=y P(f=l)="=K，P(f=2)=声PK=3)=^2= C6 J L Z61JL Z6 J Y2 1 1丐P(f=4)p祁.从而知｛的分布列为14 12 1 4所以E(^)=0X^+1X|^+2X^+3X^+4X J^=J.规律方疥求离散型随机变量f的数学期望的步骤(1)根据f的实际意义,写岀§的全部取值.(2球岀｛的每个值的概率.(3)与出§的分布列.(4)利用定义求出数学期望.其中第⑴、⑵两条是解答此类题目的关键,在求解过程中应注重分析概率的相关知识. 腿刀2-盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在无放回地每次取-节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数x的分布列及数学期望.【解】X可取的值为1,2,3,3 2 3 3则P(X=1)=§, P(X=2)=§X厂亦P(X=3)=討XI二点抽取次数X的分布列为3 3 1 3 E(X)=1X§+2X 込+3X 百二离散型随机变量的均值实际应用［探究问题］1.某篮球明星罚球命中率为0.7,罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？【提示】随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X=0)=03, P(X=l)=0.7.2.在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？【提示】每次平均得分为^=0.8.3.在探究1中，你能求岀在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？【提示】在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0X0.3+1XO.7=O.7（分）.因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平.具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数.【例3】随机抽取某厂的某种产品200件,经质检，其中一等品126 件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元, 设1件产品的利润（单位：元）为X.⑴求X的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即X的数学期望）；⑶经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%, -等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少？【精彩点拨】利用期望回答问题根据利润的意义写岀X的取值f写岀X的分布列求岀数学期望E(X)【解】（1）X 的所有可能取值有6,2,1, -2.P(X=_2)=缶=0.02.故X 的分布列为:P(X=6)= 126=0.63,P(X=2)= 5020=0.25, P(X=1)= 20 20=0.h(2)E(X)=6 X 0.63+2 X 0.25+1X 0.1+(—2) X 0.02=4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(X)=6X0.7+2X(l-0.7-0.01-x)+lXx+(-2)X0.01 =4.76-x(0<x<0.29).依题意，E(X)24.73,即 4.76—诊4.73,解得i<0.03,所以三等品率最多为3%.¥律方------------------ --------------1.实际问题中的期望问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计.2.概率模型的三个解答步骤⑴审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些.(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望.(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论.踪训龜3. 甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X 稳定在7, & 9,10环.将他们的比赛成绩111成频率分布甲 环数乙 环数(1)根据这次比赛的成绩步贝学力冲且力囹屮8环的概率P(X 乙=8),以及甲击中9环以上(包括9环)的概率;直方图如图甲和图乙所示.0.3 0.2 0.15击中频率击中频率0.35 0.27 8 9 10击中(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).【解】⑴由图乙可知P（X乙=7）=0.2, P（X乙=9）=0.2, P（X乙=10） =0.35.所以P（X 乙=8）=1—0.2—0.2—0.35=0.25.同理卩（火甲=T）=0.2, P（X甲=8）=0.15, P（X甲二9）=03,所以P（X 甲=10）=1—0.2—0.15—0.3=0.35.P（X甲29）=0.3+0.35=0.65.（2）因为E（X 甲）=7X0.2+8X0.15+9X0.3+10X0. 35=8.8,E（X 乙）=7X0.2+8X0.25+9X0.2+10X0.35=8.7, 则有E（X 甲）〉E（X乙），所以估计甲的水平更高.漲堂小结二自分布的均值二项分布的均值1 •一名射手每次射击中靶的概率为0.8,则独立射击3次中靶的次数X的数学期望是()D. 3A. 0.83B. 0.8C. 2.4【解析】E(X)=3X0.8=2.4.。

2.3.1 离散型随机变量的数学期望【教学目标】①理解取有限值的离散型随机变量的均值或数学期望的概念，会求离散型随机变量的数学期望；②掌握二项分布、超几何分布的均值的求法.【教学重点】会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望【教学难点】理解离散型随机变量的数学期望的概念一、 课前预习1.离散型随机变量的均值或数学期望：设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，⋅⋅⋅，n p ，则_________________________)(=X E 叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称_______）.2.若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则___________)(=X E3.若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，___________)(=X E 4.若随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，二、 课上学习例1、根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩的分布列如（1）求);(X E （2）设,52+=X Y求).(Y E 例3、若随机变量),6.0,(~n B X 且3)(=X E ，求)1(=X P .例4、一个袋子里装有大小相同的10个白球和6个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望.例5、袋中装有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X 的数学期望.例6、根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：方案一：运走设备，此时需花费3800元.方案二：建一保护围墙，需花费2000元.但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元.方案三：不采取措施，希望不发生洪水.此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元.试比较哪一种方案好.三、 课后练习则x =_____,.________)(____,)31(==<≤X E x P2.班上有45名同学，其中30名男生，15名女生，老师随机地抽查了5名同学的作业，用X 表示抽查到的女生的人数，求).(X E3.某彩票中心发行彩票10万张，每张1元.设一等奖1个，奖金1万元；二等奖2个，奖金各5千元；三等奖10个，奖金各1千元；四等奖100个，奖金各1百元；五等奖1000个，奖金各10元.试求每张彩票的期望获利金额是多少？4.设篮球队A 与B 进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假定A 、B 在每场比赛中获胜的概率都是21，试求需要比赛场数的期望.5.某商场要根据天气预报来决定促销活动节目是在商场内还是在商场外开展.统计资料表明，每年国庆节，商场内的促销活动可获得经济效益2万元；商场外的促销活动如果不遇到有雨天气可获得经济效益10万元，如果促销活动中遇到有雨天气则带来经济损失4万元，9月30日气象台预报国庆节当地有雨的概率是40%，商场应采取哪种促销方式？精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2.3.1离散型随机变量的均值【学习目标】1理解离散型随机变量的均值的概念及推导方法，能对离散型随机变量的均值的公式进行简单应用；2通过对离散型随机变量的均值内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。

【重点难点】离散型随机变量的均值（数学期望）的概念根据离散型随机变量的分布列求出均值【学习过程】一、复习回顾：1、离散型随机变量的分布列2、离散型随机变量分布列的性质：二、课堂互动探究：问题：已知甲乙两个射击运动员射击所得环数X的分布列如下：甲：思考：这两位运动员的水平哪一个更高一些？甲乙各射击10次，甲平均环，乙平均环若甲运动员射击n次，预计大约有PX=7 ×n=次得7环故n次射击的总环数大约为PX=8 ×n=次得8环从而，预计n次射击射击的平均环数为PX=9 ×n=次得9环环PX=10 ×n=次得10环这是一个由甲运动员射击所得的环数的分布列得到的，只与及有关的常数，它反映了运动员射击的。

离散型随机变量均值的定义：则称为随机变量X的 ,数学期望又简称为期望。

它反映了离散型随机变量重要结论：123三．规范应用请注意解答的规范性例题一次英语单元测验由2021择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选对任一题的概率为，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。

求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。

四．自主练习1统计资料表明，每年国庆节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨则损失4万元。

9月30日气象预报国庆节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？2某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款期数的分布列为：商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为2021，分2期或3期付款，其利润为250元，分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润。

离散型随机变量的数学期望一、教材分析教材的地位和作用期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫。

同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响。

教学重点与难点重点：离散型随机变量的期望的概念及运算。

难点：离散型随机变量的期望的实际应用。

[理论依据]本课是一节概念新授课，而概念本身具有一定的抽象性，学生难以理解，因此把对离散性随机变量期望的概念的教学作为本节课的教学重点。

此外，学生初次应用概念解决实际问题也较为困难，故把其作为本节课的教学难点。

二、教学目标[知识与技能目标]了解离散型随机变的量期望的含义和作用，会根据离散型随机变量的分布列求期望，并体会期望的作用。

会[过程与方法目标]掌握离散型随机变的量期望，并解决一些实际问题。

经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、概括等合情推理能力。

通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识。

[情感与态度目标]通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度。

在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值。

三、教法选择引导发现法四、学法指导注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。

2.总结E(X)= x1 p1+ x2p2+…+ xn pn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望又简称为期望。

3.计算方法步骤4.意义例1通过比较期望进行决策练习.某彩票中心发行彩票10万张,每张1元.设一等奖1个,奖金1万元；二等奖2个,奖金各5千元；三等奖10个,奖金各1千元；四等奖100个,奖金各1百元；五等奖1000个,奖金各10元.试求每张彩票的期望获利金额是多少?例3根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建保护围墙，建设费为2021元．但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施．5.某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个2021.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列;(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=2021选其一,应选用哪个?。

2．3．1离散型随机变量的数学期望一、教学目标：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望二、课前预习：1 一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是,,......,,21n x x x 这些值对应的概率是,,........,,21n p p p 则_________________________________，叫做这个___________________或__________________（简称__________）。

2 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的________________________。

3 _______________________________)(=X E4 _______________________________)(=X E三、例题分析例1 根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进例2 一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望。

例3 根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案。

方案1：运走设备，此时需花费3800元。

方案2：建一保护围墙，需花费2000.但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元。

方案3：不采取措施，希望不发生洪水。

此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元。

试比较哪一种方案好。

四、课堂小练求E(X).张设一个奖，奖金为10 000元。

某人购买一张彩票，问这个人能期望得到多少奖金？3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望4. 随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．5. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则Eξ=（）A．4；B．5；C．4.5；D．6.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；⑵他罚球2次的得分η的数学期望；⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np。

2．3．1离散型随机变量的期望教学目标： 知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．过程与方法：理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξB （n,p ），则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望 授课类型：新授课课时安排： 2课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 0 1 …k … nPn n q p C 00 111-n n q p C … kn k k n q p C - 0q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，P(k A )=p ，P(k A )=q(q=1-p)，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====（k ＝0,1,2,…， p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ123…k … Pp pq2q p … 1k q p -…称这样的随机变量ξ服从几何分布记作g (k ，p )= 1k qp -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下ξ4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有n n P 02.0)4(=⨯=ξ 次得4环；n n P 04.0)5(=⨯=ξ 次得5环；…………n n P 22.0)10(=⨯=ξ 次得10环．故在n 次射击的总环数大约为+⨯⨯n 02.04++⨯⨯ n 04.05n ⨯⨯22.010+⨯=02.04(++⨯ 04.05n ⨯⨯)22.010，从而，预计n 次射击的平均环数约为+⨯02.04++⨯ 04.0532.822.010=⨯．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个)(i P =ξ（i =0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:+=⨯)0(0ξP +=⨯)1(1ξP …)10(10=⨯+ξP ．1. 均值则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望．2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值4. 均值或期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …+++n n p b ax )(…＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …) ＝b aE +ξ，由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)( 5.若ξB （n,p ），则E ξ=np证明如下：∵ kn k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)1()(ξ， ∴ =ξE 0×n n q p C 00＋1×111-n n q p C ＋2×222-n n q p C ＋…＋k ×kn k k n q p C -＋…＋n ×0q p C n n n ．又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n kn nC k n k n n k n k n k kC ，∴ =ξE (np 0011n n C p q --＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q pC n n n ---np q p np n =+=-1)(． 故 若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ．三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ， 所以7.03.007.01=⨯+⨯=ξE例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水． 方案3：不采取措施，希望不发生洪水． 试比较哪一种方案好．解：用X 1 、X 2和X 3分别表示三种方案的损失．采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即 X 1 = 3 800 .采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即⎧⎨⎩262000，有大洪水；X =2000,无大洪水.同样，采用第 3 种方案，有⎧⎪⎨⎪⎩360000，有大洪水；X =10000,有小洪水；0,无洪水.于是，EX 1＝3 800 ,EX 2＝62 000×P (X 2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X 2 = 2 000 ) = 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 ,EX 3 = 60000×P (X 3 = 60000) + 10 000×P(X 3 =10 000 ) + 0×P (X 3 =0) = 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 .采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 .值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的．例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数ξ的期望 解：∵6,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ，6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE =3.5例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有效数字）解：抽查次数ξ取1ξ≤≤10的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前1-k 次取出正品而第k 次（k =1，2，…，10）取出次品的概率：15.085.0)(1⨯==-k k P ξ（k =1，2， (10)需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：985.0)10(==ξP 由此可得ξ的概率分布如下：ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P0.150.1275 0.1084 0.092 0.0783 0.0666 0.0566 0.0481 0.0409 0.2316根据以上的概率分布，可得ξ的期望35.52316.0101275.0215.01=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望． 解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ 123456P61 61 61 61 61 61 所以=ξE 1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×61＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×61＝3.5．抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式； (Ⅱ)若随机变量求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10，即 η=2ξ+2；(Ⅱ)=ξE 4.161.0183.0175.0161.015=⨯+⨯+⨯+⨯ ∵ η=2ξ+2∴ =ηE 2E ξ+2=34.8 （元）故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5⨯(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则E ξ=（ ）A ．4；B ．5；C ．4.5；D ．4.75 答案：C2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．解：⑴因为7.0)1(==ξP ，3.0)0(==ξP ，所以=ξE 1×)1(=ξP ＋0×7.0)0(==ξP⑵η的概率分布为η12P23.0 3.07.012⨯⨯C 27.0所以 =ξE 0×09.0＋1×42.0＋2×98.0＝1.4． ⑶ξ所以 =ξE 0×027.0＋1×189.0＋2×98.0＝2.1.3．设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是m1，事件“ξ=k ”发生，即n 个大肠杆菌中恰有k 个在此升水中，由n 次独立重复实验中事件A （在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k 次的概率计算方法可求出P (ξ=k ),进而可求E ξ. 解：记事件A ：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=m1． ∴ P (ξ=k )=P n (k )=C knm 1)k (1－m1)n －k（k =0,1,2,….,n ）． ∴ ξ～B (n ,m 1)，故 E ξ =n ×m 1=mn五、小结 ：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np 六、课后作业：P64-65练习1,2,3,4 P69 A 组1,2,31.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 （用数字作答） 解：令取取黄球个数ξ (=0、1、2)则ξ的要布列为于是 E （ξ）=0×103+1×53+2×101=0.8 故知红球个数的数学期望为1.22.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数 ①求ξ的概率分布列 ②求ξ的数学期望解：①依题意ξ的取值为0、1、2、3、4ξ=0时，取2黑 p(ξ=0)=612924=C Cξ=1时，取1黑1白 p(ξ=1)=31291314=⋅C C C ξ=2时，取2白或1红1黑p(ξ=2)= 2923C C +3611291412=⋅C C C ξ=3时，取1白1红，概率p(ξ=3)= 61291213=⋅C C C ξ=4时，取2红，概率p(ξ=4)= 3612922=C C∴ξ分布列为（2）期望E ξ=0×61+1×31+2×3611+3×61+4×361=914 3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p 1、p 2、p 3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望 解：设ξ表示产生故障的仪器数，A i 表示第i 台仪器出现故障（i=1、2、3）i A 表示第i 台仪器不出现故障，则：p(ξ=1)=p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·3A )+ p(1A ·2A ·A 3) =p 1(1－p 2) (1－p 3)+ p 2(1－p 1) (1－p 3)+ p 3(1－p 1) (1－p 2) = p 1+ p 2+p 3－2p 1p 2－2p 2p 3－2p 3p 1+3p 1p 2p 3p(ξ=2)=p(A 1· A 2·A )+ p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·A 3) = p 1p 2 (1－p 3)+ p 1p 3(1－p 2)+ p 2p 3(1－p 1) = p 1p 2+ p 1p 3+ p 2p 3－3p 1p 2p 3 p(ξ=3)=p(A 1· A 2·A 3)= p 1p 2p 3∴ξE =1×p(ξ=1)+2×p(ξ=2)+3×p(ξ=3)= p 1+p 2+p 3注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.22.13.026.011.00=⨯+⨯+⨯=∴ξE5. A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是321,,A A A ，B 队队员是321,,B B B ，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得分分别为ξ，η（1）求ξ，η的概率分布； （2）求ξE ，ηE 解：（Ⅰ）ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0()()()()2535353310,525253315352315353321,75285253325252315352322,2785252323=⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==ξξξξP P P P 根据题意知3=+ηξ，所以 ()()()()()()()()25303,5212,752821,75830================ξηξηξηξηP P P P P P P P （Ⅱ）15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ； 因为3=+ηξ,所以15233=-=ξηE E七、板书设计（略） 八、教学反思：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np 。

2．3．1离散型随机变量的期望教学目标：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望。

知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．过程与方法：理解公式“若ξB （n,A3.1100=3.12.032.023.013.00100=⨯+⨯+⨯+⨯=3161升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是，事件“ξ=”发生，即n 个大肠杆菌中恰有个在此升水中，由n 次独立重复实验中事件A （在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生次的概率计算方法可求出P ξ=,进而可求E ξ解：记事件A ：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则PA=．∴ P ξ==P n =C 1－n －（=0,1,2,…,n ）．∴ ξ～Bn ,，故 E ξ =n ×=五、小结 ：1离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；2求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ服从二项分布的随机变量的期望Eξ=n六、课后作业：P64-65练习1,2,3,4 P69 A组1,2,31一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是（用数字作答）解：令取取黄球个数 =0、1、2则的要布列为于是 E（）=0×1×2×=故知红球个数的数学期望为2袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数①求的概率分布列②求的数学期望解：①依题意的取值为0、1、2、3、4=0时，取2黑 =0==1时，取1黑1白 =1==2时，取2白或1红1黑=2==3时，取1白1红，概率=3==4时，取2红，概率=4=∴分布列为（2）期望E=0×1×2×3×4×=3学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为1、2、3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望解：设表示产生故障的仪器数，A i表示第i台仪器出现故障（i=1、2、3）表示第i台仪器不出现故障，则：=1=A1···A2···A3=11－2 1－321－1 1－331－1 1－2= 123－212－223－2313123=2=A1· A2· A1···A2·A3= 12 1－3131－2231－1= 121323－3123=3=A1· A2·A3= 123∴=1×=12×=23×=3= 123注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是解：从5个球中同时取出2个球，出现红球的分布列为5 、两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队，队最后所得分分别为，（1）求，的概率分布；（2）求，解：（Ⅰ），的可能取值分别为3，2，1，0根据题意知，所以（Ⅱ）；因为,所以七、板书设计（略）八、教学反思：1离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；2求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ服从二项分布的随机变量的期望Eξ=n 。