高中数学必修一1.3.1.2单调性与最大(小)值(第二课时)学案

§3．2．1 单调性与最大（小）值（第二课时）导学目标：1．掌握函数的单调性，会判断一些简单函数的单调性，会利用函数单调性的性质解决一些简单问题．（预习教材P 76~ P 81，回答下列问题） 函数单调性的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：（1）如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数在区间D 上单调递增．相应的，区间D 则称为函数的单调增区间．特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是 ． （2）如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数在区间D 上单调递减．相应的，区间D 则称为函数的单调减区间．特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是 ．【自我检测】下列已知条件，能判断函数()f x 在[],a b 上单调递增的有① 设[]b a x x ,,21∈，且()()12120f x f x x x ->-② 设[]b a x x ,,21∈，且()()12120f x f x x x -<-第三章 函数的概念与性质- 2 -③ 设[]b a x x ,,21∈，且()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦ 【知识点】判断函数单调性的方法()1利用函数单调性的定义；()2利用已知函数的图像；形如一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数1y x x=+、含绝对值函数1y x =-等 ()3利用单调函数的四则运算；在公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

若()y f x =在区间D 上是增（减）函数，则()y f x =-在区间D 上是减（增）函数；则()1y f x =(()0f x ≠)在连续区间上是减（增）函数。

()4复合函数))((x g f y =的单调性判断法“同增异减”)(u f y =增 ↗ 减 ↘)(x g u =增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘))((x g f y =增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗题型一 利用函数单调性的定义判断函数单调性【例1-1】利用定义判断函数4()f x x x=+在区间(2,)+∞上的单调性．题型二 利用函数图像判断函数单调性【例2】下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（ ）A ．()3f x x =-B ．2()3f x x x =-第三章 函数的概念与性质- 4 -C ．1()f x x=- D ．()f x x =-题型三 利用单调函数的四则运算判断函数单调性【例3-2】证明：若()y f x =在区间D 上是增函数，则()y f x =-在区间D 上是减函数．【例3-2】判断下列函数的单调性 （1）()1f x x x=-（2）()[)221,f x x x x =-∈+∞ （3）()21x f x x +=- （4）()12f x x =-题型四 复合函数单调性判断方法（内外侧函数同增异减．．．．） 【例4】求下列函数的单调区间 （1）函数()23f x x =-的单调递增区间（2）函数2()43f x x x =+-的单调递增区间1．函数()|2|f x x =-的单调递增区间是（ ）A ．(,2)-∞B ．(,0)-∞C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞2．已知函数()111f x x =-+-，则()f x （ ） A ．在()1,-+∞上是增函数B ．在()1,+∞上是增函数第三章 函数的概念与性质- 6 -C ．在()1,-+∞上是减函数D ．在()1,+∞上是减函数3．函数()f x =）A ．()2,-+∞B ．()0,2--C ．(),3-∞-D ．()1,-+∞4．设函数()11x f x x +=-． （1）判断函数()f x 在区间(1,)+∞上的单调性； （2）求函数()f x 在区间[2,6]得最大值和最小值．5．用定义法证明函数()3f x x =在定义域内的单调性；§3．2．1 单调性与最大（小）值（第二课时）参考答案导学目标：1．掌握函数的单调性，会判断一些简单函数的单调性，会利用函数单调性的性质解决一些简单问题．（预习教材P 76~ P 81，回答下列问题） 函数单调性的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：（1）如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数在区间D 上单调递增．相应的，区间D 则称为函数的单调增区间．特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是 ． （2）如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数在区间D 上单调递减．相应的，区间D 则称为函数的单调减区间．特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是 ．【自我检测】下列已知条件，能判断函数()f x 在[],a b 上单调递增的有 （1）① 设[]b a x x ,,21∈，且()()12120f x f x x x ->-第三章 函数的概念与性质- 8 -② 设[]b a x x ,,21∈，且()()12120f x f x x x -<-③ 设[]b a x x ,,21∈，且()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：（1）如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就称函数在区间D 上单调递增．相应的，区间D 则称为函数的单调增区间．特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．（2）如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就称函数在区间D 上单调递减． 相应的，区间D 则称为函数的单调减区间．特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 【知识点】判断函数单调性的方法()1利用函数单调性的定义；()2利用已知函数的图像；形如一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数1y x x=+、含绝对值函数1y x =-等 ()3利用单调函数的四则运算；在公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

高一课堂学案课题：函数的单调性与最大（小）值编号:131编写人:_贾秉跃_审核人：_________ 使用人：________ 上课时间：___________ 班级__________ 小组________ 姓名________ 【学习目标】：1.掌握函数的单调性，最值及其几何意义；2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3.能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性并求出最值。

【学习侧重点】：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调、求最值。

学习内容【温馨提示】: 准确记忆函数单调性及最值的概念，通过解题训练，掌握单调性的证明及最值，提高数学语言表达能力.【思】1. 定义 1. 增函数与减函数如果函数f(x)对区间D 内的任意xl, X2,当X1VX2时都有f (xl)< f(x2),贝ljf(x)在D 内是增函数;反之. _____________________________________________________________ 是减函 数.2. 单调区间若函数y= f(x)在区间I 上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函 数y=f(x)在区间I 上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区 间. 3. 最大值与最小值最大值：一般地，设函数y=f(x)的泄义域为I,如果存在实数M 满足: ① ______________________________ :② ________________________________ • 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值.最小值：一般地，设函数y=f(x)的泄义域为I,如果存在实数M 满足: ① ________ : ② ___________ •那么，称M 是函数y=f(x)的最小值.作差/(%1)讹2)或雄2)讹必并通过因式分解、配方、 有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向 变形确定羞血上佻)或@2皿切的符号，当符号不确定 时，可以进行分类讨论3.怎样利用函数单调性求最值?【知识链接】(1) a>0 时，二次函数y =ax2+bx + c的单调递增 区间为一b2a, +8. (2) k>0 时，y=kx+b 在 R上是增函 数.(3) 函数 y = kx(k>0)的单 调递减区间 为(_8, (J) 和(0 , +8).2.证明函数单调性込“2是该区间内的任意两个值，且刘 5 根据定义得出结论取变形1.( 10分)函数y=f(rX)在给定区间内有两值X1,X2,且X1<.X2,使f(xi)<f(x2)成立，尸f(x)是()A-定是增函数 B.—定是减函数C.可能是常函数D.单调性不能确宦2.(10分)在区间(0,+8)上不是增函数是( )2A.y=2x+1B.y=］C.y=3x2+1D.y=2x2+x+lX3.(10分)下列结论中正确的是( )A.y=1在左义内是减函数B.y=(x — I)2在(0,+8)上是增函X数C・y=-g在(一也0)上是增函数 D.尸kx(kMO)在(0?+oo)上是增函X数4.(10 分)函数f(x)在(a.b)和(c.d)都是增函数,若xiG(a,b),x2e(c.d), xi<X2那么( )A, f(xi)vf(x2) B.f(xi)>f(X2) C.f(xi)=f(X2) D.无法确定5.(10分)在区间(一8,0)上为增函数的是()A.y=lB.y= ~+2C.y= x- 2x 1D.y=l+x-6.(10分)函数f(x)=—x2+2x在区间［—2, 2］上的最大、最小值分别为()A.1,0B.0,-8C.1,-8D.2,-87 (10分).函数v=—A/1—x?的定义域「为:•最大值为-o8. (10分)当x= r时，函数v=—x2+2|x|+l的最大值r是o【直击考点】。

四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。

提高学生概括、推理的能力。

通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。

课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

通过练习。

学生班级 姓名 小组号 评价数学必修一 1.3.1单调性与最大(小)值（二）【学习目标】1.掌握函数最值的概念及其几何意义；2.掌握简单函数最值的求法；3.能理性描述生活中最大（小）、最多（少）等现象。

【重点和难点】教学重点：函数最大（小）值的定义和求法。

教学难点：如何求一个具体函数的最值。

【使用说明及学法指导】1.先预习课本P 30-P 32内容，然后开始做导学案。

2.将预习中不能解决的问题标出来，以便课上交流讨论。

预习案一．知识梳理1、函数最大值的定义是:一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x∈I，都有 ；（2）存在x 0∈I，使得 .那么，称M 是函数y=f(x)的最大值.2、函数最小值的定义是:一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x∈I，都有 ；（2）存在x 0∈I，使得 .那么，称M 是函数y=f(x)的最小值.3、单调法求最值（1）若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，则函数y=f(x)最大值为 ，最小值为 。

（2）若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，则函数y=f(x)最大值为 ，最小值为 。

二．问题导学1、你是怎样理解函数图象最高点的?2、是不是每个函数都有最值？3、函数最大值（最小值）的几何意义是什么？4、函数最值定义中的“存在”二字如何理解？5、函数的最值于定义域、单调性之间有什么样的关系？三.预习自测1．如图为气温随时间变化的函数图像，则它的单调减区间为 ；最大值为 ：最小值为 。

2、已知函数1()([0,2])2f x x x =∈+的最大值为 ；最小值为 。

3、函数21y x x =++在区间[-1,1]的最小值和最大值分别为（ ）A ．1,3 3.,34B 1.,32C - 1.,34D - 四.我的疑问：探究案一． 合作探究探究1. 画出函数22||3y x x =-++的图像，指出函数的单调区间和最值.探究2.求函数f(x)=x+x1（[2,3]x ∈）的最大值和最小值. 思考：此函数的值域是什么？探究3. ()21f x x =-求函数.二． 课堂训练与检测 1、()|1||24|f x x x =-+-求函数的最值.2、2()368f x x x =++在区间[-3,2]的最大值为 .3、2y x =的最小值为 .三.课堂小结（1）函数的最值 （2）求最值的方法：（3）求最值时，要注意函数的定义域。

1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值（二）教学目标分析：知识目标：理解函数的最大（小）值及其几何意义，会用函数的单调性求一些函数的最大（小）值。

过程与方法：借助具体函数，体验函数最值概念的形成过程，领会数形结合的数学思想。

情感目标：渗透特殊到一般，具体到抽象、形成辩证的思维观点。

重难点分析：重点：函数最值的意义及求函数的最值。

难点：函数最值的意义及求函数的最值。

互动探究：一、课堂探究：1、情境引入探究一、画出下列函数的草图，并根据图像解答下列问题：（1）()23f x x =-+； （2）2()21f x x x =--+。

探究二、（1）说出)(x f y =的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；（2）指出图像的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？2、函数的最大值的概念：设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0。

那么称M 是函数)(x f y =的最大值。

3、函数的最小值的概念：设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有()f x M ≥；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0。

那么称M 是函数)(x f y =的最小值。

注意：（1）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在I x ∈0，使得M x f =)(0；（2）函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤（()f x M ≥）。

4、一元二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值：（1）配方：ab ac a b x a y 44)2(22-++=； （2）图像：（3）0a >时，ab ac y 442min -=；0a <时，a b ac y 442max -=。

1.3.1 单调性与最大（小）值（第二课时）教学目标：1.使学生理解函数最大（小）值及其几何意义；2.使学生掌握函数最值与函数单调性的关系；3.使学生掌握一些单调函数在给定区间上的最值的求法；4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

教学重点：函数最值的含义教学难点：单调函数最值的求法教学方法：讲授法教学过程：（I ）复习回顾1．函数单调性的概念；2．函数单调性的判定。

（II ）讲授新课通过观察二次函数2y x =和2y x =-的最高点和最低点引出函数最值的概念（板书课题）1．函数最大值与最小值的含义一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =。

那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值（maximum value ）.思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数()y f x =的最小值（minimum value ）吗？2．二次函数在给定区间上的最值对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠来说，若给定区间是(,)-∞+∞，则当0a >时，函数有最小值是244ac b a -，当0a <时，函数有最大值是244ac b a-；若给定区间是[,]a b ，则必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值（见下列例题）。

3．例题分析例1．教材第36页例题3。

例2．求函数21y x =-在区间[2，6]上的最大值和最小值（教材第37页例4）。

分析：先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值。

变式：若区间为[6,2]--呢？例3．求函数21y x =+在下列各区间上的最值：（1）(,)-∞+∞ （2）[1，4] （3）[6,2]-- （4）[2,2]- （5）[2,4]- 练习：教材第38页练习4及第二教材相关题目。

1.3.1 第二课时 函数的最大（小）值一、教学目标（一）核心素养教材以二次函数2()f x x =图象为例,观察出函数图象的最低点(0,0),这给我们提供了一种求函数最值的方法“图象观察法”,这也是一种最直接,最直观的方法.结合上一课时函数的单调性,学生通过函数图象,研究函数性质,寻求最值.在实际生活中,常遇到最值问题,我们是通过建立函数模型来进行研究,体现了数学与社会生活紧密联系.本节课,在探究函数的最值问题中,不断培育学生的数学运算、数学抽象、数学建模等数学核心素养.（二）学习目标1.通过函数图象,理解函数最大（小）值及几何意义．2.结合函数单调性求最大（小）值．3.函数最大（小）值的实际问题中的应用．（三）学习重点1.理解函数最大（小）值的概念及几何意义．2.求函数的最大（小）值．（四）学习难点结合函数单调性求最大（小）值．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务一般地,设函数()f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:（1）对任意的x I ∈,都有______;（2）存在0x I ∈,使得_______,那么我们称M 是函数()y f x =的最____值. 详解:()f x M ≤;0()f x M =;大或 ()f x M ≥;0()f x M =;小．2．预习自测（1）作函数22y x x =-+的图象,指出函数是否有的最值？若有,请求出最值．详解:有最大值,无最小值;最大值为1．(二)课堂设计1.知识回顾（1）常见初等函数的图象．（2）函数的单调性．2.问题探究探究一 通过函数图象,函数最高（低）点的位置特征及几何意义●活动① 学生作函数y x =,1y x=,2y x =图象,观察图象的最高（低）点生:y x =图象上下无限延伸,没有最高点,也没有最低点;1y x=图象上下无限延伸,没有最高点,也没有最低点,且中间断开; 2y x =图象往上无限延伸,没有最高点,最低点在(0,0)处;师:结合图像观察结论,能否阐述函数图象最高（低）点的位置特质及几何意义？ 生:2y x =图象最低点在(0,0)处.仔细观察发现,位置特征:最低点位于函数图象上,不是图像外的其他点;几何意义:函数图象上所有点在坐标系中的位置都高于它或和它一样高（最低点本身）.【设计意图】观察图象易找到最高（低）点,教学时对最高（低）点的位置特征、几何意义进行探究,展现数学概念生成的过程,培养学生严谨的逻辑推理能力. ●活动② 图象的最高（低）点所体现的函数对应关系本质师:点之间位置高度的如何量化,更显数学的严谨性.由第一课时函数单调性推导,我们在描述()f x 随着x 的增大而增大,任取点11(,)A x y 到22(,)B x y ,其中12x x <刻画x 的增大,因此,我们是借助于点的坐标来探究.同学们可以想一想:在坐标系中,图象的点的高度,是由构成图象点的纵坐标决定的.师:下面以2y x =图象最低点在(0,0)O 为例,探究函数对应关系本质图象上其他点的位置不低于点O⇔图象上任意点(,)Q x y 位置不低于点(0,0)O⇔任意点(,)Q Q Q x y 的纵坐标Q y 的值与(0,0)O 纵坐标O y 的值关系:Q O y y ≥;而任意点(,)Q Q Q x y 的横坐标Q x 的值与(0,0)O 横坐标O x 的关系:,Q O x x R ∈（定义域） ⇔定义域R 内,寻求纵坐标的最小值因此,我们可以下结论:函数图象的最高（低）点(,)Q Q Q x y 的实质是:函数在定义域内任取x 所对应的y 值小于或等于（大于或等于）该点的函数值Q y ;也可以这样描述,函数整个定义域I 内的函数值y 在Q x x =处有最大（小）值Q y ,称Q y 为函数的最大（小）值.关系流程如图:【设计意图】从图象的最高（低）点的“形”,如何过渡到最大（小）值这个“数”,是教学设计的重点.我们从最高（低）点的位置特征,几何意义分析,让学生充分认识到点的坐标,是图象的构成元素点的数量体现,对“形”的认识自然过渡到“数”的分析.点的坐标由横、纵坐标组成,在坐标系中图象上的点投影在x 轴所覆盖的范围、y 轴所覆盖的范围,分别对应了函数的定义域和值域.最高（低）点的横、纵坐标,在坐标系中该点投影在x 轴是其横坐标取值、y 轴上是其纵坐标取值,与其他点投影到y 轴上的值相比较,是最大（小）值,同时该点横、纵坐标分别对应了定义域内某个值,值域内的最大（小）值.●活动③函数最大（小）值的概念师:由以上的推导,我们能否生成函数最大（小）值的概念?生:存在某个值使得所有函数值都比它大（小）也可相等．师:由几何特征,这个值在值域中吗？请继续完善．生:这个值在值域中.值域中存在某个值,使得所有函数值都比它大（小）． 师:函数定义域优先,值域中某个值是否有一个x 与之对应？生:至少有一个x 与之对应,即存在性．师:一般地,设函数()f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:（1）对任意的x I ∈,都有()f x M ≤（()f x M ≥）;（2）存在0x I ∈,使得0()f x M =,那么我们称M 是函数()y f x =的最大（小）值.【设计意图】学生要充分认识图象的最高（低）点的位置、该点坐标形式、坐标的对应实质这三者之间的联系,才能从“形”的位置特征及几何意义,到“数”对应方式,呈现了函数最大（小）值概念的生成过程.探究二 结合函数单调性求最大（小）值●活动①由图象观察函数最值．例1已知函数()11f x x x =++-．（1）画出()f x 的图象;（2）根据图象写出()f x 的最小值．【知识点】函数单调性 最值．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）解:()11f x x x =++-2,12,112,1x x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩其图象如图所示:（2）由图象,得函数()f x 的最小值为2.【思路点拨】画出函数()y f x =的图象,依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值．【答案】（1）略;（2）2.同类训练 如图为函数()y f x =,[4,7]x ∈-的图象,指出它的最大值、最小值．【知识点】函数单调性．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】观察函数图象可以知道,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是( 1.5,2)--,所以当3x =时取得最大值,最大值是3;当 1.5x =-时取得最小值,最小值是－2.【思路点拨】从左至右观察图象,在最高（低）点对应的纵坐标值,为函数的最大（小）值.【答案】3,-2．【设计意图】考查学生如何观察函数最值●活动②利用函数单调性求最值例2:求函数21y x =-在区间[2,6]上的最大值和最小值． 【知识点】函数单调性 最值．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:12,[2,6]x x ∀∈,且12x x <211212122()22()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----， 12,[2,6]x x ∈,12(1)(1)0x x ∴-->．12x x <,120x x ∴->,12()()0f x f x ∴->,即12()()f x f x >．21y x ∴=-是区间[2,6]上的减函数． 因此,函数21y x =-在区间[2,6]的两个端点分别取得最大值与最小值,即在2x =时取得最大值,最大值为2,在6x =时取得最小值,最小值为0.4．【思路点拨】由图象可观察函数单减,在2x =处有最大值,在6x =处有最小值.在实际解答题中,能说明函数的单调性应先证明,再求最值．【答案】2，0.4．同类训练 求函数4()f x x x=+在[1,2]x ∈上的最大值与最小值． 【知识点】函数单调性．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:12,[1,2]x x ∀∈,且12x x <，则121212121212444()()()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+-+=-． 12x x <,120x x ∴-<，1212,[1,2](1,4)x x x x ∈∴∈，，1212401x x x x ∴-＜，＞，1212()()0()().f x f x f x f x ∴-＞，即＞4()f x x x∴=+在[1,2]x ∈上是减函数． 从而函数的最大值是(1)145f =+=,最小值是(2)224f =+=．【思路点拨】由函数单调性求最值．【答案】5,4．【设计意图】求函数最值时,首先判定函数在给定区间的单调性,结合函数图象,在区间的端点值处取得最值.●活动③二次函数的最值问题例3求函数2()22f x x ax =-+在[2,4]上的最小值．【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】解:函数2()22f x x ax =-+的对称轴是x a =，当2a <时,()f x 在[2,4]上单增,min ()(2)64f x f a ==-，当4a >时,()f x 在[2,4]上单减,min ()(4)188f x f a ==-，当24a ≤≤时,2min ()()2f x f a a ==-．综上所述2min64,2()2,24188,4a a f x a a a a -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩【思路点拨】二次函数在闭区间上求最值,关键是根据图象的对称轴相对于所给区间的位置来确定,对于含字母系数的二次函数的最值,要注意分类讨论.【答案】2min 64,2()2,24188,4a a f x a a a a -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩同类训练 求函数2()22f x x x =-+在[,1]t t +上的最小值．【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】解:函数2()22f x x x =-+的对称轴是1x =．当110t t +<⇒<时,()f x 在[,1]t t +上单减,2min ()(1)1f x f t t =+=+； 当1t >时,()f x 在[,1]t t +上单增,2min ()()22f x f t t t ==-+；当1101t t t ≤≤+⇒≤≤时,min ()(1)1f x f ==．综上所述2min21,0()1,0122,1t t f x t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩【思路点拨】二次函数在闭区间上求最值,关键是根据图象的对称轴相对于所给区间的位置来确定,对于含字母系数的二次函数的最值,要注意分类讨论.【答案】2min 21,0()1,0122,1t t f x t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩例4 函数2()34f x x x =--的定义域为[0,]m （0m >）,值域为25[,4]4--,求m 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:2()34(4)(1)f x x x x x =--=-+如图min 325()()24f x f ==-,错误！未找到引用源。

第1页/共4页 高一数学《必修1》导学案 1.3.1单调性与最大（小）值（二）【使用说明及学法指导】先预习课本P30-P32内容，然后开始做学案。

【课前导学】画出下列函数的图象，根据图象填表，并指出图象的最高点或最低点能体现函数的什么特征？2. 一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；（2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M. 那么，称M 是函数y =f (x )的最 值．3.试给出最小值的定义.“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。

只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。

《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。

其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。

可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。

看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。

称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。

【预习自测】1. 函数2()2f x x x =-的最大值是（ ）.A. －1B. 0C. 1D. 22. 已知函数()f x 的图象关于y 轴对称，且在区间(,0)-∞上，当1x =-时，()f x 有最小值3，则在区间(0,)+∞上，当x = 时，()f x 有最 值为 . 函数 递增区间递减区间 最高点 最低点 ()23f x x =-+()23f x x =-+,[1,2]x ∈-2()21f x x x =++2()21f x x x =++,[2,2]x ∈-3．函数2()32f x x x =++在区间(5,5)-上的最大值、最小值分别是（ ）（A ）42，12 （B ）42，14- （C ）12，14- （D ）最小值14-，无最大值【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示探究一：作出函数223y x x =-+的图象，研究当自变量x 在下列范围内取值时的最大值与最小值．（1）10x -≤≤； （2）03x ≤≤ ； （3）(,)x ∈-∞+∞.要练说，得练听。

§1.3.1 单调性与最大（小）值（2）1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.一、课前准备（预习教材P30~ P32，找出疑惑之处）复习1：指出函数2=++>的单调区间及单调性，并进行证明.f x ax bx c a()(0)复习2：函数2f x ax bx c a=++<的()(0) ()(0)=++>的最小值为，2f x ax bx c a最大值为 .复习3：增函数、减函数的定义及判别方法.二、新课导学※学习探究探究任务：函数最大（小）值的概念思考：先完成下表，新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）.试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．反思：什么方法可以求最大（小）值？※典型例题例1．一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是2=-，那h t t1305么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？变式：经过多少秒后炮弹落地？试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？小结：数学建模的解题步骤：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值.例2．求32yx=-在区间[3，6]上的最大值和最小值.变式：求3,[3,6]2xy xx+=∈-的最大值和最小值.小结：先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.试试：函数2(1)2,[0,1]y x x=++∈的最小值为，最大值为 . 如果是[2,1]x∈-呢？※动手试试练1. 求函数2y x=+最小值.变式：求y x=.三、总结提升※ 学习小结1. 函数最大（小）值定义；.2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法.※ 知识拓展求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行研究. 例如求2()f x x ax =-+在区间[,]m n 上的值域，则先求得对称轴2a x =，再分2a m <、22a m n m +≤<、22m n a n +≤<、2a n ≥等四种情况,由图象观察得解.1. 函数2()2f x x x =-的最大值是（ ）.A. －1B. 0C. 1D. 22. 函数|1|2y x =++的最小值是（ ）.A. 0B. －1C. 2D. 33. 函数y x = ）.4. 已知函数()f x 的图象关于y 轴对称，且在区间(,0)-∞上，当1x =-时，()f x 有最小值3，则在区间(0,)+∞上，当x = 时，()f x 有最 值为 .5. 函数21,[1,2]y x x =-+∈-的最大值为 ，最小值为 .1. 作出函数223=-+的简图，研究当自变量x在下列范围内取值时的最大值与最小值．y x x（1）10x∈-∞+∞.≤≤；（3）(,)x-≤≤；（2）03x。

§1.3.1 单调性与最大（小）值（2）1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.3032复习1：指出函数2=++>的单调区间及单调性，并进行证明.()(0)f x ax bx c a复习2：函数2=++>的最小值为，f x a x b x c a()(0)2=++<的最大值为 .f x ax bx c a()(0)复习3：增函数、减函数的定义及判别方法.二、新课导学※学习探究探究任务：函数最大（小）值的概念新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）.试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．反思：一些什么方法可以求最大（小）值？※典型例题例1一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是2=-，1305h t t那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？变式：经过多少秒后炮弹落地？试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？小结：数学建模的解题步骤：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值.例2求32y x =-在区间[3，6]上的最大值和最小值.变式：求3,[3,6]2x y x x +=∈-的最大值和最小值.小结：先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.试试：函数2(1)2,[0,1]y x x =++∈的最小值为 ，最大值为 . 如果是[2,1]x ∈-呢？※ 动手试试练1.用多种方法求函数2y x =+.变式：求y x =.练2. 一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右： 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？三、总结提升※ 学习小结1. 函数最大（小）值定义；.2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法.※ 知识拓展求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行研究. 例如求2()f x x ax =-+在区间[,]m n 上的值域，则先求得对称轴2a x =，再分2a m <、a m n m +≤<、2m n a n +≤<、2a n ≥等四种情况,由图象观察得解.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数2()2f x x x =-的最大值是（ ）.A. －1B. 0C. 1D. 22. 函数|1|2y x =++的最小值是（ ）.A. 0B. －1C. 2D. 33.函数y x =+ ）.4. 已知函数()f x 的图象关于y 轴对称，且在区间(,0)-∞上，当1x =-时，()f x 有最小值3，则在区间(0,)+∞上，当x = 时，()f x 有最 值为 .5. 函数21,[1,2]y x x =-+∈-的最大值为 ，最小值为 .1. 作出函数223y x x =-+的简图，研究当自变量x 在下列范围内取值时的最大值与最小值．（1）10x -≤≤； （2）03x ≤≤ ；（3）(,)x ∈-∞+∞.2. 如图，把截面半径为10 cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x ，面积为y ，试将y 表示成x 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？。