全国各地中考数学压轴题精选及答案(整理版)

中考各省压轴之圆综合问题（9考点39题）一．圆周角定理（共3小题）1．如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点．已知AE＝2，tan∠CBA＝，则AB的长为（ ）A．B．6C．D．【答案】C【解答】解：连接EO并延长交⊙O于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长OF交⊙O于点G，连接OB，∵EH是⊙O的直径，∴∠EAH＝90°，∴tan∠AHE＝，∵∠AHE＝∠CBA，tan∠CBA＝，∴tan∠AHE＝tan∠CBA＝，∴＝，∵AE＝2，∴AH＝4，∴EH＝＝2，∴⊙O的半径为，∴OG＝OB＝，∵OG⊥AB于F，∴AB＝2BF，根据折叠的性质得，OF＝GF，∴OF＝OG＝，∴BF＝＝，∴AB＝，故选：C．2．如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连接EB，CA交于点F，则＝（ ）A．B．C．1﹣D．【答案】D【解答】解：方法1：连接AE、CE．作AD∥CE，交BE于D．∵点E是弧AC的中点，∴可设AE＝CE＝1，根据平行线的性质得∠ADE＝∠CED＝45°．∴△ADE是等腰直角三角形，则AD＝，BD＝AD＝．所以BE＝+1．再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA，则EF＝＝﹣1，BF＝2．所以＝．方法2：过点C作CO⊥AB于点O，∵AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，∴点O是圆心．连接OE，BC，OE与AC交于点M，∵E为弧AC的中点，易证OE⊥AC，∵∠ACB＝90°，∠AOE＝45°，∴OE∥BC，设OM＝1，则AM＝1，∴AC＝BC＝2，OA＝，∴OE＝，∴EM＝﹣1，∵OE∥BC，∴＝＝．故选：D．3．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则P A+PB的最小值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，连接OB，则P点就是所求作的点．此时P A+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，∵∠AMN＝30°，∴∠AON＝60°，∵＝∴∠AOB＝∠BON＝30°，∵MN⊥BC，∴＝，∴∠CON＝∠NOB＝30°，则∠AOC＝90°，又OA＝OC＝1，则AC＝．二．切线的性质（共1小题）4．为了测量一个圆形铁环的半径，小华采用了如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的直角三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到有关数据，进而求得铁环的半径，若测得AB＝10cm，则铁环的半径是 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示：连接OB，OC，OA，∵AB为圆O的切线，∴OB⊥AB，即∠OBA＝90°，又AC为圆O的切线，∴OC⊥AC，即∠OCA＝90°，在Rt△ADE中，∠E＝30°，∠ADE＝90°，∴∠EAD＝60°，∠BAC＝120°，∵AC及AB为圆O的切线，∴OA为∠BOC的平分线，则∠BAO＝∠OAC，可得∠BOA＝∠COA，又∠OBA＝∠OCA＝90°，∴∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝60°，在Rt△OBA中，∠OBA＝90°，∠OAB＝60°，AB＝10cm，∴tan60°＝，即＝，则圆的半径OB＝10cm．故答案为：10cm三．切线的判定与性质（共2小题）5．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝4，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①∠F＝30°；②CE＝CF；③线段EF的最小值为2；④当AD＝1时，EF与半圆相切；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是8．其中正确的结论的序号为．【答案】②③④．【解答】解：①连接CD，如图1所示．∵点E与点D关于AC对称，∴CE＝CD．∴∠E＝∠CDE．∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°．∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．∴∠F＝∠CDF．只有当CD⊥AB时，∠F＝∠CDF＝∠CBA＝30°，故①错误；②又∵∠F＝∠CDF，∴CD＝CF，∴CE＝CD＝CF．故②正确；③当CD⊥AB时，如图2所示．∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝4，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝2，BC＝2，∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，∴CD＝BC＝，根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点D在线段AB上运动时，CD的最小值为．∵CE＝CD＝CF，∴EF＝2CD．∴线段EF的最小值为2．故③正确；④当AD＝1时，连接OC，如图3所示，∵OA＝OC，∠CAB＝60°，∴△OAC是等边三角形．∴CA＝CO，∠ACO＝60°．∵AO＝2，AD＝1，∴DO＝1．∴AD＝DO，∴∠ACD＝∠OCD＝30°，∵点E与点D关于AC对称，∴∠ECA＝∠DCA，∴∠ECA＝30°，∴∠ECO＝90°，∴OC⊥EF，∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，∴EF与半圆相切．故④正确；⑤∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，∴当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称．∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．∴S阴影＝2S△ABC＝2וAC•BC＝4．故⑤错误．故答案为②③④．6．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD⊥OC于C，ED⊥AB 于F，（1）判断△DCE的形状；（2）设⊙O的半径为1，且OF＝，求证：△DCE≌△OCB．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）△DCE为等腰三角形，理由为：∵∠ABC＝30°，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC都对，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴∠OAC＝∠OCA＝60°，∵OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠DCE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，又∵EF⊥AF，∴∠AFE＝90°，∴∠E＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠DCE＝∠E，∴DC＝DE，则△DCE为等腰三角形；（2）∵OA＝OB＝1，OF＝，∴AF＝AO+OF＝1+＝，OA＝AC＝OC＝1，在Rt△AEF中，∠E＝30°，∴AE＝2AF＝+1，∴CE＝AE﹣AC＝+1﹣1＝，又∵AB为圆O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴cos30°＝，即BC＝AB cos30°＝，∴CB＝CE＝，在△OBC和△DCE中，∵，∴△OBC≌△DCE（ASA）．四．三角形的内切圆与内心（共1小题）7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，I为Rt△ABC的内心，若M、N分别是斜边AB和直角边AC上的动点，连接IM、MN，则IM+MN的最小值为．【答案】5.2．【解答】解：分别作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，垂足分别为点D、E、F，延长IF到I'，使I'F＝IF，作I'N⊥AC于点N，交AB于点M，延长DI，交I'N于点G，连接BI，∵IF⊥AB，I'F＝IF，∴IM＝I'M，∴IM+MN＝I'M+MN，当I'、M、N三点共线，且I'N⊥AC时，I'N最短，即IM+MN的值最小．∵I为Rt△ABC的内心，ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，∴ID＝IE＝IF，设ID＝IE＝IF＝r，又∵ID⊥BC，IE⊥AC，∠C＝90°，∴四边形CEID是正方形，∴CD＝IE＝CE＝ID＝r，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴BD＝6﹣r，AE＝8﹣r，在Rt△BID和Rt△BIF中，，∴Rt△BID≌Rt△BIF（HL），∴BD＝BF，同理AE＝AF，∵AB＝AF+BF，∴6﹣r+（8﹣r）＝10，解得r＝2，∵I'F＝IF，∴II'＝4，∵IF⊥AB，I'N⊥AC，∠FMI'＝∠NMA，∴∠I'＝∠A，又∵∠C＝90°，I'N⊥AC，∴BC∥I'N，∵ID⊥BC，∴IG⊥I'N，∴四边形CDGN为矩形，△II'G∽△BAC，∴GN＝CD＝2，，即，∴I'G＝3.2，∴I'N＝I'G+GN＝3.2+2＝5.2，∴IM+MN的最小值为5.2．故答案为：5.2．五．圆与圆的位置关系（共1小题）8．如图，⊙O1和⊙O2的半径为1和3，连接O1O2，交⊙O2于点P，O1O2＝8，若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，则⊙O1与⊙O2共相切 次．【答案】见试题解答内容【解答】解：两圆相切时，O1O2之间的距离等于4（外切）或者2（内切）时即可，当⊙O1绕P点顺时针旋转时360°时，O1O2的变化范围从8到2再到8，其中有两次外切和一次内切．可以用尺规作图的方法来做，以P为圆心做一个半径为5的圆，再以O2为圆心，做一个半径为4的圆，两者相交即为外切，然后以O2为圆心做一个半径为2的圆，两者相交即为内切．故答案为：3．六．弧长的计算（共1小题）9．一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC ＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为 cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣+＝（cm）．故答案为：（）．七．扇形面积的计算（共1小题）10．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝4cm，∠ABC＝30°，把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的C′′处，那么AC边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是 cm2（结果保留π）．【答案】见试题解答内容【解答】解：×（64﹣16）＝20πcm2．八．圆锥的计算（共3小题）11．现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：20π＝解得：n＝90°，∵扇形彩纸片是30%圆周，因而圆心角是108°∴剪去的扇形纸片的圆心角为108°﹣90°＝18°．剪去的扇形纸片的圆心角为18°．故答案为18°．12．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC．用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的侧面积为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB，∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∵AO＝2，∴DO＝1，∴AD＝，∴AB＝2，∴S阴影＝＝2π．故答案为：2π．13．如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是．【答案】3．【解答】解：∵图扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π＝，∴n＝120°即扇形的圆心角是120°，∴弧所对的弦长AA′＝2×3sin60°＝3，故答案为3．九．圆的综合题（共26小题）14．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O 上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：连接AC，AO，∵AB⊥CD，∴G为AB的中点，即AG＝BG＝AB，∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，∴OG＝2，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG＝＝2，又∵CG＝CO+GO＝4+2＝6，∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：AC＝＝4，∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A 重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在Rt△ACG中，tan∠ACG＝＝，∴∠ACG＝30°，∴所对圆心角的度数为60°，∵直径AC＝4，∴的长为＝π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为π．故选：C．15．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝ 度；（2）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分线，①求证：△BDC是“近直角三角形”；②在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BC于点E，连接AE交BD于点F，若△BCD为“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求tan∠C的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，故答案为20；（2）①如图1，设∠ABD＝∠DBC＝β，∠C＝α，则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；②存在，理由：在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE是“近直角三角形”，AB＝3，AC＝4，则BC＝5，则∠ABE＝∠C，则△ABC∽△AEB，即，即，解得：AE＝，则CE＝4﹣＝；（3）①如图2所示，当∠ABD＝∠DBC＝β时，则AE⊥BF，则AF＝FE＝3，则AE＝6，AB＝BE＝5，过点A作AH⊥BC于点H，设BH＝x，则HE＝5﹣x，则AH2＝AE2﹣HE2＝AB2﹣HB2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得：x＝；cos∠ABE＝＝＝cos2β，则tan2β＝，则tanα＝；②如图3所示，当∠ABD＝∠C＝β时，过点A作AH⊥BE交BE于点H，交BD于点G，则点G是圆的圆心（BE的中垂线与直径的交点），∵∠AEB＝∠DAE+∠C＝α+β＝∠ABC，故AE＝AB＝5，则EF＝AE﹣AF＝5﹣3＝2，∵DE⊥BC，AH⊥BC，∴ED∥AH，则AF：EF＝AG：DE＝3：2，则DE＝2k，则AG＝3k＝R（圆的半径）＝BG，点H是BE的中点，则GH＝DE＝k，在△BGH中，BH＝＝2k，在△ABH中，AB＝5，BH＝2k，AH＝AG+HG＝4k，∵∠C+∠ABC＝90°，∠ABC+∠BAH＝90°，∴∠C＝∠BAH，∴tan C＝tan∠BAH＝＝＝，综上，tan C的值为或．16．四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，连结BD交AC于点G，AF⊥BD，垂足为E．（1）如图1，若AF交BC于点F．①求证：∠BAF＝∠CAD；②若⊙O的直径为10，，BF：CG＝3：5，求AF的长．（2）如图2，若AF交CD于点F，连结OD，若OD∥AB，，DF＝2CF，求⊙O 的直径．【答案】（1）①见解析；②AF＝．（2）⊙O的直径为．【解答】（1）①证明：∵AC是⊙O的直径，AF⊥BD，∴∠ABC＝90°＝∠AEB，∴∠ABE+∠CBD＝90°，∠ABE+∠BAF＝90°，∴∠CBD＝∠BAF，又∵，∴∠CBD＝∠CAD，∴∠BAF＝∠CAD．②解：如图，过点G作GK⊥BC于点K，在Rt△ABC中，AC＝10，cos∠BCA＝，∴BC＝8，由勾股定理得AB＝＝＝6，∴sin∠BCA＝＝，tan∠BCA＝＝，在Rt△GKC中，sin∠KCG＝sin∠BCA＝＝，tan∠KCG＝tan∠BCA＝＝，又∵BF：CG＝3：5，∴BF＝GK，在△ABF和△BKG中，，∴△ABF≌△BKG（AAS），∴AB＝BK＝6，∴CK＝BC﹣BK＝8﹣6＝2，∴KG＝CK•tan∠KCG＝2×＝，即BF＝KG＝，∴AF＝＝＝．（3）解：如图，设AF交OD于点Q，过点O作OH⊥AF于点H，链接BO并延长交AF 于点P，延长AF交⊙O于点G，连接CG，∵AF⊥BD，OH⊥AF，∴∠OHO＝∠BEG＝90°，∴OH∥BD，∴∠QOH＝∠ODB，∠POH＝∠OBD，又∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠QOH＝∠POH，∴QH＝PH，∵AC为⊙O的直径，∴∠AGC＝90°＝∠OHQ＝∠AEB，∴CG∥OH∥BD，∴△AOH∽△ACG⇒⇒CG＝2OH，△DEF∽△CGF⇒＝⇒DE＝2CG⇒DE＝4OH，△DEQ∽△OHQ⇒＝＝4⇒QE＝4PH，DQ＝4OQ⇒EP＝6PH，DQ＝，△OPH∽△BPE⇒＝⇒BE＝6OH，∴，∵OD∥AB，∴△ABE∽△QDE，∴⇒QE＝⇒AQ＝＝，∵，OD＝OC，∴∠OCD＝∠ABD＝∠ODC，∴∠BAE＝90°﹣∠ABD＝90°﹣∠ODC＝∠ODA，∵OD∥AB，OA＝OD，∴∠AQD＝∠BAQ＝∠ODA＝∠OAD，∴AD＝AQ＝，△DAQ∽△DOA，∴，即AD2＝OD•DQ，设⊙O的半径为r，则OD＝r，DQ＝，∴＝，∴r＝，∴⊙O的直径为．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点S（﹣1，0），T（1，0）．对于一个角α（0°＜α≤180°），将一个图形先绕点S顺时针旋转α，再绕点T逆时针旋转α，称为一次“α对称旋转”．（1）点R在线段ST上，则在点A（1，﹣1），B（3，﹣2），C（2，﹣2），D（0，﹣2）中，有可能是由点R经过一次“90°对称旋转”后得到的点是；（2）x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q．①当α＝60°时，PQ＝ ；②当α＝30°时，若QT⊥x轴，求点P的坐标；（3）以点O为圆心作半径为1的圆．若在⊙O上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出α的取值范围．【答案】（1）B，C；（2）①2；②P（﹣1+，0）．（3）0°＜α≤30°或150°≤α≤180°．【解答】解：（1）如图，当点R与点O重合时，点R绕点S顺时针旋转90°得到点R′，点R′绕点T逆时针旋转90°得到点C；当点R与点T重合时，点R绕点S顺时针旋转90°得到点R″，点R″绕点T逆时针旋转90°得到点B；故答案为：B，C；（2）①当α＝60°时，如图，∵x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q，∴△SPP′和△TQP′均为等边三角形，∴SP′＝PP′，TP′＝QP′，∠SP′P＝∠TP′Q＝60°，∴∠SP′T+∠TP′P＝∠TP′P+∠PP′Q，∴∠SP′T＝∠PP′Q，∴△P′ST≌△P′PQ（SAS），∴PQ＝ST＝2，故答案为：2；②当α＝30°时，设点P绕点S顺时针旋转30°得到点P′，则SP′＝SP，如图，将x轴作一次“α对称旋转”后得到直线y＝﹣1，∵QT⊥x轴，点P经过一次“α对称旋转”得到点Q，∴点Q的坐标为Q（1，﹣1），∵点P′绕点T逆时针旋转30°得到点Q，∴P′T＝QT＝1，∠P′TQ＝30°，∴∠STP′＝90°﹣∠P′TQ＝60°，∵∠TSP′＝30°，∴∠SP′T＝180°﹣∠STP′﹣∠TSP′＝90°，∵ST＝2，∴SP′＝＝，∴SP＝SP′＝，∴点P的坐标为P（﹣1+，0）．（3）点M在⊙O上，则M绕S顺时针旋转α度以后的M′的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的⊙O′上，M′关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在O′关于T逆时针旋转α度以后的⊙O″上，若满足题意，只需⊙O′与x轴有交点O″在粉弧上，且O′T＝O″T，如图，⊙O″与x轴相切，则O″H＝1，在x轴上取点R，连接O″R，使O″R＝2，″∴HR＝，∴∠O″RH＝30°，TR＝O′S＝1，O″R＝ST＝2，O″T＝O′T，∴△O″TR≌△TO′S（SSS），∴∠TSO′＝∠O″RT＝30°，故0°＜α≤30°；如图，⊙O″与x轴相切，则O″H＝1，在x轴上取点R，连接O″R，使O″R＝2，∴∠HRO″＝30°，ST＝O″R，∴∠TRO″＝150°，∵∠SO′T+∠STO′＝∠STO′+∠RTO″，∴∠SO′T＝∠RTO″，∵O′T＝TO″，∴△O′ST≌△TRO″（SAS），∴∠O′ST＝∠TRO″＝150°，∴α＝150°，∴150°≤α≤180°；综上所述，0°＜α≤30°或150°≤α≤180°．18．问题提出（1）如图①，已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则S△ACD S（填“＞”“＜”或“＝”）；△BCD问题探究（2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，AB＝12，求△ABC面积的最大值；问题解决（3）如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝10，根据设计要求，点D为∠ABC内部一点，且∠ADB＝60°，过点C作CE∥AD交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积．【答案】（1）＝；（2）△ABC面积的最大值为108；（3）四边形ADCE的最大面积是75．【解答】解：（1）如图①所示，分别过A、B两点向直线b作垂线，垂足为M、N.∵a∥b，∴∠MAB＝∠AMN＝90°，∴四边形AMNB是矩形，∴AM＝BN，∴CD•AM＝CD•BN又S△ACD＝CD•AM，S△BCD＝CD•BN，∴S△ACD＝S△BCD；故答案为：＝；（2）取优弧的中点记为C1，过C1作AB的垂线，垂足为D，由垂径定理知C1D过O 且AD＝BD，如图②所示.过点C作AB的平行线a，∵当直线a向上平移时，a距AB的距离增大，即△ABC的AB边上的高增大，∴当a运动到最高点C时，△ABC的AB边上的高最大，又∵AB为常数，∴当C运动到C1时，△ABC的面积最大，下面计算△ABC1的面积：连接OB，在Rt△OBD中，∵AB＝12，⊙O的直径为20，∴BD＝6，BO＝10，OC1＝10，由勾股定理得：OD＝＝＝8，∴C1D＝OD+OC1＝8+10＝18，∴△ABC1的面积为：AB•C1D＝×12×18＝108，∴△ABC面积的最大值为108；（3）过点C作CF∥BD交AD的延长线于F，如图③﹣1所示，∵CF∥BD，∴∠F＝∠ADB＝60°，∵AD∥CE，∴四边形DECF是平行四边形，∴DF＝CE，FC＝DE，∵DC＝CD∴△DFC≌△CED（SSS），∴S△DFC＝S△CED，又由（1）的结论知S△DAC＝S△DAE，∴S四边形ADCE＝S△DAE+S△CED＝S△DAC+S△DFC＝S△AFC，所以只需求得S△AFC最大值即得S四边形ADCE的最大值.以AC为边向△ABC外作等边△AGC，再作等边△AGC的外接圆，过G作GJ⊥AC于J，如图③﹣2所示，∵∠F＝60°，∴点F在△AGC的外接圆上，由第（2）问的解决知，当F运动到点G时，S△AFC最大＝S△ACG；在Rt△ABC中：由勾股定理得AC＝＝＝10，∴AJ＝AC＝5，∴GJ＝×10＝15，∴S△ACG＝AC×GJ＝×10×15＝75；∴四边形ADCE的最大面积是75．19．课本再现（1）在圆周角和圆心角的学习中，因为圆内接四边形的每一个角都是圆周角，所以我们可以利用圆周角定理，来研究圆内接四边形的角之间的关系．如图1，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为直径，则∠B＝∠D＝ 度，∠BAD+∠BCD＝ 度．（2）如果⊙O的内接四边形ABCD的对角线AC不是⊙O的直径，如图2、图3，请选择一个图形证明：圆内接四边形的对角互补．知识运用（3）如图4，等腰三角形ABC的腰AB是⊙O的直径，底边和另一条腰分别与⊙O交于点D，E．点F是线段CE的中点，连接DF，求证：DF是⊙O的切线．【答案】（1）90，180；（2）证明见解答；（3）证明见解答．【解答】（1）解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为直径，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝360°﹣（∠B+∠D）＝360°﹣180°＝180°，故答案为：90，180；（2）证明：如图2，连接OB，OD，∵＝，∴∠BOD＝2∠C，∠1＝2∠A，∵∠BOD+∠1＝360°，∴2∠C+2∠A＝360°，∴∠C+∠A＝180°，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°，即圆内接四边形的对角互补；如图3，连接OA，OC，∵＝，∴∠AOC＝2∠B，∠1＝2∠D，∵∠AOC+∠1＝360°，∴2∠B+2∠D＝360°，∴∠B+∠D＝180°，在四边形ABCD中，∠BAD+∠DCB＝360°﹣（∠B+∠D）＝180°，即圆内接四边形的对角互补；（3）证明：连接OD，DE，如图4，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠B+∠AED＝180°，∵∠DEC+∠AED＝180°，∴∠B＝∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DC＝DE，∵点F是线段CE的中点，∴DF⊥AC，∴OD∥AC，∴DF⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线．20．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若sin C＝，DE＝5，求AD的长；（3）求证：2DE2＝CD•OE．【答案】（1）证明见解答；（2）AD的长为；（3）证明见解答．【解答】（1）证明：连接OD，BD，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，∵点E是BC的中点，∴DE＝BE＝EC，∵OB、OD是⊙O的半径，∴OB＝OD，又∵OE＝OE，∴△ODE≌△OBE（SSS），∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∴半径OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，如图，由（1）知：DE＝BE＝EC，∠ADB＝∠BDC＝∠ABC＝90°，∵DE＝5，∴BC＝10，∵sin C＝，∴＝，∴BD＝8，∵∠C+∠CBD＝∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴sin∠ABD＝sin∠C＝，∴＝，设AD＝4x，则AB＝5x，∵AD2+BD2＝AB2，∴（4x）2+82＝（5x）2，解得：x＝（负值舍去），∴AD＝4x＝4×＝；（3）证明：连接BD，由（1）（2）得：∠BDC＝∠OBE＝90°，BE＝DE，∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，∴OE∥AC，BC＝2BE，∴∠C＝∠OEB，∴△BCD∽△OEB，∴＝，即＝，∴2DE2＝CD•OE．21．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB 边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM．（1）求证：DM是⊙O的切线；（2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ．①当tan∠BAP＝时，求BP的长；②求的最大值．【答案】（1）证明见解答；（2）①BP的长为或；②的最大值为．【解答】（1）证明：如图，连接OD，CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°，∵点M为边BC的中点，∴MC＝MD，∴∠MDC＝∠MCD，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠ACB＝90°，即∠MCD+∠OCD＝90°，∴∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°，即∠ODM＝90°，∴DM⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DM是⊙O的切线；（2）①当点P在线段BC上时，如图，过点P作PT⊥AB于点T，在Rt△ABC中，AB＝＝＝10，设PT＝x，∵tan∠BAP＝，∴＝，∴AT＝3PT＝3x，∴BT＝AB﹣AT＝10﹣3x，∵tan∠ABC＝＝，∴＝，解得：x＝，∴PT＝，∵sin∠ABC＝＝，即＝，∴BP＝；当点P在CB的延长线上时，如图，过点B作BK⊥AP于点K，∵tan∠BAP＝，∴＝，设BK＝a，则AK＝3a，在Rt△ABK中，AK2+BK2＝AB2，即（3a）2+a2＝102，解得：a1＝，a2＝﹣（舍去），∴AK＝3，BK＝，∵S△ABP＝AP•BK＝BP•AC，∴＝＝，设BP＝m，则AP＝m，在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，即82+（m+6）2＝（m）2，解得：m1＝，m2＝﹣（舍去），∴BP＝；综上所述，BP的长为或；②设CP＝n，则AP＝＝，如图，∵AC是⊙O的直径，∴CQ⊥AP，∵CQ•AP＝AC•CP，∴CQ＝＝，∴＝，∵n＞0，∴（n﹣8）2≥0，∴64+n2≥16n，∴＝≤＝，∴的最大值为．22．如图（1），已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的圆O交斜边AC于点E，点D为BC中点，连接DE．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）如图（2），EH⊥AC，垂足为H，若AC＝6，BC＝8，求EH的长；（3）如图（3），在⊙O上取一点P，使PE＝CE，连接PE，AP，试探究AP、AH、HC 之间的数量关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）连结OE，∵AC是直径，∴∠AEC＝90°∴∠CEB＝90°，∵D是BC的中点，∴CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∵∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠OCE＝90°，∵OE＝OC，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OEC+∠DEC＝90°，∴OE⊥DE，∵OE是圆O的半径，∴DE是圆O的切线；（2）连结CE，∵AC＝6，BC＝8，∴，∵∠B＝∠B，∠CEB＝∠ACB＝90°，∴△CEB∽△ACB，∴，∴，∵HE⊥AC，∴∠EHC＝90°，∴，∴，∴；（3）在AC上取点M，使CM＝AP，∵PE＝CE，∠P＝∠MCE∴△APE≌△MCE（SAS）∴AE＝ME∵EH⊥AC∴AH＝MH∴CM＝CH﹣MH＝CH﹣AH，∴AP＝CH﹣AH．23．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B为⊙O上任意一点．给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p＝0），最大值为q，那么把的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（A，⊙O）．（1）如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数．①d（D，⊙O）＝ ；②若点M在线段EF上，求d（M，⊙O）的取值范围；（2）若点N在直线y＝上，直接写出d（N，⊙O）的取值范围；（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为，直接写出m的最小值和最大值．【答案】（1）①2；②2≤d（M，⊙O）≤3；（2）d（N，⊙O）≥；（3）m的最小值为﹣，最大值为．【解答】解：（1）①∵D（0，2）到⊙O的距离的最小值p＝1，最大值q＝3，∴d（D，⊙O）＝＝2，故答案为：2；②当M在点E处，d（E，⊙O）＝2，当M在点F处，d（F，⊙O）＝＝3，∴2≤d（M，⊙O）≤3；（2）设ON＝d，∴p＝d﹣r＝d﹣1，q＝d+r＝d+1，∴d（N，⊙O）＝＝＝d，∵点N在直线y＝上，设直线交x轴于点B，交y轴于点A，如图1，则x＝0时，y＝2，y＝0时，x＝﹣2，∴A（0，2），B（﹣2，0），∴OA＝2，OB＝2，∴AB＝＝4，当ON⊥AB时，d（N，⊙O）最小，∴S△AOB＝OA•OB＝AB•ON，即×2×2＝×4ON，∴ON＝，∵ON无最大值，∴d（N，⊙O）≥；（3）如图2，∵d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为，∴两个同心圆中，小圆的半径为1，大圆的半径为，∵KL＝﹣1，∴m的最小值是＝﹣，在Rt△OMH中，OM＝，OH＝m﹣1，MH＝m，∴（m﹣1）2+（m）2＝（）2，解得：m＝﹣2（舍去）或m＝；∴m的最小值为﹣，最大值为．24．在⊙O中＝，顺次连接A、B、C．（1）如图1，若点M是的中点，且MN∥AC交BC延长线于点N，求证：MN为⊙O 的切线；（2）如图2，在（1）的条件下，连接MC，过点A作AP⊥BM于点P，若BP＝a，MP ＝b，CM＝c，则a、b、c有何数量关系？（3）如图3，当∠BAC＝60°时，E是BC延长线上一点，D是线段AB上一点，且BD ＝CE，若BE＝5，△AEF的周长为9，请求出S△AEF的值？【答案】（1）证明见解答；（2）a＝b+c；（3）．【解答】解：（1）如图1，连接OM，∵M是的中点，∴OM⊥AC，∵MN∥AC，∴OM⊥MN，∵OM为⊙O的半径，∴MN为⊙O的切线；（2）如图2，连接OM交AC于K，连结AM，∵M是的中点，∴＝，∴AM＝CM＝c，∵AP⊥BM，∴∠APM＝∠APB＝90°，∴AP2＝AM2﹣PM2＝c2﹣b2，∴AB2＝AP2+BP2＝c2﹣b2+a2，∴AC＝AB＝，∵M是的中点，∴OM⊥AC，∴AK＝CK＝AC＝，∵∠APB＝∠CKM＝90°，∠ABP＝∠MCK，∴△ABP∽△MCK，∴＝，∴BP•CM＝CK•AB，∴ac＝•，∴2ac＝c2﹣b2+a2，∴（a﹣c）2﹣b2＝0，∴（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）＝0，∵a+b﹣c＞0，∴a﹣b﹣c＝0，∴a＝b+c；（3）过点B作BH∥AC，过点D作DH∥BC，BH与DH交于点H，连接CH，则∠BDH＝∠ABC＝60°，∠DBH＝∠ACB＝60°，∴△BDH是等边三角形，∴BH＝BD，∠DBH＝60°，∴BH＝CE，∠CBH＝∠ABC+∠DBH＝60°+60°＝120°，∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝120°＝∠CBH，AC＝BC，∴△ACE≌△CBH（SAS），∴∠CAE＝∠BCH，AE＝CH，∵DH∥BC，DH＝CE，∴四边形CEDH是平行四边形，∴CE∥ED，CH＝ED，∴∠BCH＝∠BED，CH＝AE，∴∠BED＝∠CAE，AE＝ED，过点E作ET⊥AB于点T，交AC于点L，连接DL，则AT＝TD＝AD，AL＝DL，∵∠BAC＝60°，∴△ADL是等边三角形，∴∠ALD＝60°＝∠ACB，∴DL∥BC，即HD与DL在同一直线上，∴四边形BCLH是平行四边形，∴CL＝BH＝BD＝CE，LH＝BC，设CE＝x，则CL＝x，BC＝AC＝5﹣x，AD＝DL＝AL＝AC﹣CL＝5﹣2x，AT＝，∵DF∥CH，∴＝，即＝，∴LF＝，∴AF＝AL+LF＝5﹣2x+＝，在Rt△BET中，ET＝BE•sin60°＝，∵AE2＝AT2+ET2，∴AE2＝（）2+（）2＝x2﹣5x+25，延长BH，ED交于点R，则∠RHD＝∠FCE，∠R＝∠CFE，DH＝CE，∴△HDR≌△CEF（AAS），∴DR＝EF，∴ER＝ED+DR＝AE+EF＝9﹣AF＝9﹣＝，∵CH∥ED，∴＝，∴CH＝•ER＝×＝，∴AE＝，∴x2﹣5x+25＝（）2，解得：x1＝5（舍去），x2＝，∴AD＝5﹣2×＝，AF＝＝10﹣＝2，作DM⊥AL于点M，则DM＝AD•sin60°＝×＝，∴S△AEF＝S△ADE﹣S△ADF＝AD•ET﹣AF•DM＝××﹣×2×＝．25．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，AB＝1，且A，B两点中至少有一点在⊙O 外．给出如下定义：平移线段AB，得到线段A′B′（A′，B′分别为点A，B的对应点），若线段A′B′上所有的点都在⊙O的内部或⊙O上，则线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图1，点A1，B1的坐标分别为（﹣3，0），（﹣2，0），线段A1B1到⊙O的“平移距离”为，点A2，B2的坐标分别为（﹣，），（，），线段A2B2到⊙O的“平移距离”为；（2）若点A，B都在直线y＝x+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值；（3）如图2，若点A坐标为（1，），线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）．【答案】（1）2，；（2）．（3）所有满足条件的点B形成的图形是以A为圆心圆心角为120°的．【解答】解：（1）根据“平移距离”的定义可得：线段A1B1到⊙O的“平移距离”为2，如图1，设A2B2与y轴交于E，线段A2B2向下平移得到⊙O的弦A′2B′2，线段A′2B′2与y轴交于点F，则A′2F＝，OA′2＝1，OE＝，∴OF＝，∴A2A′2＝EF＝OE﹣OF＝﹣＝，∴线段A2B2到⊙O的“平移距离”为，故答案为：2，；（2）如图2中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，设直线y＝x+2交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，2），过点E作EH⊥MN于H，∵OM＝2，ON＝2，∴tan∠NMO＝，∴∠NMO＝60°，∴EH＝EM•sin60°＝，观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为．（3）如图3，连接OA，交⊙O于点A′，则OA＝＝2，∴OA到⊙O任意一点距离的最小值为OA′＝OA﹣1＝1，∴点A′（，），设平移后圆上另一点为B′，由题意得：A′B′＝1，有三种情况：①点B′与点O重合，则点B的坐标为（，）；②点B′与点（1，0）重合，则点B的坐标为（，）；③点B′与点（﹣，）重合，则点B的坐标为（0，）；如图可知所有满足条件的点B形成的图形是以A为圆心圆心角为120°的．26．【了解概念】定义：在平面直角坐标系xOy中，组成图形的各点中，与点P连线段最短的点叫做点P 于这个图形的短距点，这条最短线段的长度叫做点P这个图形的短距．【理解运用】（1）已知点P（﹣3，0），以原点为圆心，1半径作⊙O，则点P于⊙O的短距点的坐标是；（2）如图，点P（3，），等边三角形OAB的顶点A的坐标为（6，0），顶点B在第一象限，判断点P于△OAB的短距点的个数，并说明理由；【拓展提升】（3）已知P（p，﹣p+6），A（6，0），B（0，6），点C在第一象限内，且∠CBO＝75°，∠ACB＝90°，若点P到四边形OACB的短距大于2，请直接写出p的取值范围．【答案】（1）（﹣1，0）；（2）3个，理由见解答过程；（3）p＜﹣或2＜p＜4或p＞6+．【解答】解：（1）如图：根据短距点定义，点P于⊙O的短距点为A，坐标是（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）；（2）点P关于△OAB的短距点有3个，理由如下：过P作PC⊥OA于C，PE⊥AB于E，PD⊥OB于D，如图：∵P（3，），∴OC＝3，PC＝，∴tan∠POC＝，∴∠POC＝30°，∵△OAB是等边三角形，∴∠BOC＝60°，OA＝6，∴∠BOP＝∠POC＝30°，又PC⊥OA，PD⊥OB，∴PD＝PC＝，∵AC＝OA﹣OC＝3，PC＝，∴tan∠P AC＝，∴∠P AC＝30°，同理∠P AE＝∠P AC＝30°，PE＝PC，∴PC＝PD＝PE，即点P关于△OAB的短距点有C、D、E，∴点P关于△OAB的短距点有3个；（3）∵P（p，﹣p+6），∴P在直线y＝﹣x+6上，直线经过A（6，0）、B（0，6），且∠ABO＝∠BAO＝45°，①当p＜0时，过P作PD⊥x轴于D，过B作PE⊥PD于E，如图：△PBE是等腰直角三角形，若PB＝2，则BE＝PE＝，而DE＝OB＝6，∴PD＝6+，∴P（﹣，6+），由图可知：此时p＜﹣，点P到四边形OACB的短距大于2，②当0≤p≤6时，过P作PD⊥BC于D，设PD＝2，作PE⊥OB，PF⊥OA，过P'作P'G ⊥OA，设P'G＝2，如图：∵∠PBD＝∠OBC﹣∠ABC＝30°，PD＝2，∴BP＝4，∵△PBE是等腰直角三角形，∴BE＝PE＝2，PF＝OE＝OB﹣BE＝6﹣2，。

一、中考数学压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y =-x + m 交 y 轴的正半轴于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，过点A 的直线AF 交x 轴的负半轴于点F ，∠AFO=45°． （1）求∠FAB 的度数；（2）点 P 是线段OB 上一点，过点P 作 PQ ⊥OB 交直线 FA 于点Q ，连接 BQ ，取 BQ 的中点C ，连接AP 、AC 、CP ，过点C 作 CR ⊥AP 于点R ，设 BQ 的长为d ，CR 的长为h ，求d 与 h 的函数关系式（不要求写出自变量h 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点 C 作 CE ⊥OB 于点E ，CE 交 AB 于点D ，连接 AE ，∠AEC=2∠DAP ，EP=2，作线段 CD 关于直线AB 的对称线段DS ，求直线PS 与直线 AF 的交点K 的坐标．2．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，()2,0C ．直线26y x =+与x 轴交于点A ，交y 轴于点B ．过C 点作直线AB 的垂线，垂足为E ，交y 轴于点D ． （1）求直线CD 的解析式；（2）点G 为y 轴负半轴上一点，连接EG ，过点E 作EH EG ⊥交x 轴于点H ．设点G 的坐标为()0,t ，线段AH 的长为d ．求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（3）过点C 作x 轴的垂线，过点G 作y 轴的垂线，两线交于点M ，过点H 作HN GM ⊥于点N ，交直线CD 于点K ，连接MK ，若MK 平分NMB ∠，求t 的值．3．如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标．（3）如图3，点M 的坐标为（32，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标．4．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=5，cos 45B =，点O 是边BC 上的动点，以OB 为半径的O 与射线BA 和边BC 分别交于点E 和点M ，联结AM ，作∠CMN=∠BAM ，射线MN 与边AD 、射线CD 分别交于点F 、N ．（1）当点E 为边AB 的中点时，求DF 的长；（2）分别联结AN 、MD ，当AN//MD 时，求MN 的长；（3）将O 绕着点M 旋转180°得到'O ，如果以点N 为圆心的N 与'O 都内切，求O 的半径长．5．如图，在平面直角坐标系中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在x 轴正半轴上，2ABC ACB ∠=∠．（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 是射线BC 上一点，连接AD ，设点D 的横坐标为t ，ACD ∆的面积为S ()0S ≠，求S 与t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，AD 与y 轴交于点E ，连接CE ，过点B 作AD 的垂线，垂足为点H ，直线BH 交x 轴于点F ，交线段CE 于点M ，直线DM 交x 轴于点N ，当:7:12NF FC =时，求直线DM 的解析式．6．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．7．如图，已知正方形ABCD 中，4,BC AC BD =、相交于点O ，过点A 作射线AM AC ⊥，点E 是射线AM 上一动点，连接OE 交AB 于点F ，以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，连接DH ．（1）求证：EDO EAO ∆≅∆；（2）设BF x =，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AG ，当AEG ∆是等腰三角形时，求BF 的长．8．问题提出（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．问题探究（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．问题解决（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．9．如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3A =，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．（2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．10．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a ≤3时，①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________；②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数()10Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．11．如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A ，(5,0)B ，抛物线22(0)y ax ax a =->交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ．（1）求点C 的坐标；（2）求直线AB 的表达式； （3）设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E ．①若2AE AO =，求抛物线表达式；②若CDB △与BOA △相似，则a 的值为 ．（直接写出答案）12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线239334y x x =--x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）过点C 的直线5334y x =-x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值：（2）如图2， 将ABC ∆绕点B 顺时针旋转至A BC ''∆的位置， 点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连接AE C E '、， 将AC E ∆'沿直线C E '翻折为A C E ∆''， 是否存在点E ， 使得BAA ∆'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．13．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．14．（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在ABC 中，108BAC ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，7224BAD BD CD AD ∠=︒==，，，求AC 的长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，进而求解，请回答下列问题：（1）ACE ∠=___________度；（2）求AC 的长．（拓展应用）如图③，在四边形ABCD 中，12075BAD ADC ∠=︒∠=︒，，对角线AC BD 、相交于点E ，且AC AB ⊥，22EB ED AE ==，，则BC 的长为_____________．15． 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝﹣x+4与x 轴交于点A ，过点A 的抛物线y ＝ax 2+bx 与直线y ＝﹣x+4交于另一点B ，且点B 的横坐标为1．（1）该抛物线的解析式为；（2）如图1，Q 为抛物线上位于直线AB 上方的一动点（不与B 、A 重合），过Q 作QP ⊥x 轴，交x 轴于P ，连接AQ ，M 为AQ 中点，连接PM ，过M 作MN ⊥PM 交直线AB 于N ，若点P 的横坐标为t ，点N 的横坐标为n ，求n 与t 的函数关系式；在此条件下，如图2，连接QN 并延长，交y 轴于E ，连接AE ，求t 为何值时，MN ∥AE ．（3）如图3，将直线AB 绕点A 顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C ，点T 为线段OA 上的一动点（不与O 、A 重合），以点O 为圆心、以OT 为半径的圆弧与线段OC 交于点D ，以点A 为圆心、以AT 为半径的圆弧与线段AC 交于点F ，连接DF ．在点T 运动的过程中，四边形ODFA 的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．16．如图，抛物线25y ax bx =+-交x 轴于点A 、B （A 在B 的左侧），交y 轴于点C ，且OB OC =，()2,0A -．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为第四象限抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ，设P 点横坐标为t ，线段PD 的长度为d ，求d 与t 的函数关系式．（不要求写出t 的取值范围） （3）在（2）的条件下，F 为BP 延长线上一点，且45PFC ∠=︒，连接OF 、CP 、PB ，FOB ∆的面积为3600169，求PBC ∆的面积．17．如图①，△ABC是等腰直角三角形，在两腰AB、AC外侧作两个等边三角形ABD和ACE，AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线，连接CM、BN，CM与AB交于点P．（1）求证：CM＝BN；（2）如图②，点F为角平分线AN上一点，且∠CPF＝30°，求证：△APF∽△AMC；（3）在（2）的条件下，求PFBN的值．18．如图，在⊙O中，直径AB＝10，tanA＝3．（1）求弦AC的长；（2）D是AB延长线上一点，且AB＝kBD，连接CD，若CD与⊙O相切，求k的值；（3）若动点P以3cm/s的速度从A点出发，沿AB方向运动，同时动点Q以32cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t （0＜t＜103），连结PQ．当t为何值时，△BPQ为Rt△？19．如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，连接AE，过点D作DF AE⊥于点F，过点C作CN DF⊥于点N，延长CN交AD于点M．（1）求证：AM MD=（2）连接CF，并延长CF交AB于G①若2AB=，求CF的长度；②探究当ABAD为何值时，点G恰好为AB的中点．20．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图 1，如果 AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝（）A．180° B．270° C．360° D．540°（1）请写出这道题的正确选项；（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB∥EF，请直接写出∠BAD，∠ADE，∠DEF之间的数量关系．（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD，ED分别平分∠BAC，∠CEF时，∠ACE与∠ADE之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB∥EF，当∠ACD=90°时，∠BAC、∠CDE 和∠DEF之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．21．如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E．（1）如图1，连结AD，求证：∠ADC＝∠DEC．（2）若⊙O的半径为5，求CA•CE的最大值．（3）如图2，连结AE，设tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y，①求y关于x的函数解析式；②若CBBE＝45，求y的值．22．发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形AEFG（a>b），开始时，点E在AB上，如图1．将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转．（1）如图2，小亮将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转，连接BE 、DG ，当点G 恰好落在线段BE 上时，小亮发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG 的长．（2）如图3，小亮旋转正方形AEFG ，点E 在DA 的延长线上，连接BF 、DF ．当FG 平分∠BFD 时，请你帮他求a ：b 及∠FBG 的度数．（3）如图4，BE 的延长线与直线DG 相交于点P ，a=2b ．当正方形AEFG 绕点A 从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P 运动的路线长（用含b 的代数式表示）．23．问题探究（1）如图1．在ABC 中，8BC =，D 为BC 上一点，6AD =．则ABC 面积的最大值是_______．（2）如图2，在ABC 中，60BAC ∠=︒，AG 为BC 边上的高，O 为ABC 的外接圆，若3AG =，试判断BC 是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地ABCD ，6212AB =，626BC =+，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ，且满足点E 在CD 上，AD DE =，点F 在BC 上，且6CF =，点M 在AE 上，点N 在AB 上，90MFN ∠=︒，这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．24．问题一：如图①，已知AC ＝160km ，甲，乙两人分别从相距30km 的A ，B 两地同时出发到C 地．若甲的速度为80km /h ，乙的速度为60km /h ，设乙行驶时间为x （h ），两车之间距离为y （km ）．（1）当甲追上乙时，x ＝ ．（2）请用x 的代数式表示y ．问题二：如图②，若将上述线段AC 弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB 正好对应钟表上的弧AB （1小时的间隔），易知∠AOB ＝30°．（3）分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 km ，时针OE 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 °；（4）若从2：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？25．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点A C 、（点A 在点C 的左侧），与y 轴正半轴交于点B ，24OC OB ==．（1）如图1，求a m 、的值；（2）如图2，抛物线的顶点坐标是M ，点D 是第一象限抛物线上的一点，连接AD 交抛物线的对称轴于点N ，设点D 的横坐标是t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，当154d =时，过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，连接PE 交x 轴于点F ，直线211y x b =+经过点D 交EF 于点G ，连接CG ，过点E 作EH CG 交DG 于点H ，若3CFG EGH S S =△△，求点P 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．F解析：（1）∠FAB=90°；（2）22d h =；（3）直线PS 与直线AF 的交点K(-2，6)．【解析】【分析】（1）通过直线AB 的解析式可求出点A 、B 的坐标，可知AOB 是等腰直角三角形，再结合已知条件即可确定90FAB ∠=︒；（2）根据已知条件证明CP=AC=QC=BC 从而得出△ACP 是等腰直角三角形，在Rt △CRP 中，利用sin ∠CPR 22CR CP ==，推出2CP CR =，继而得出22BQ CR =，得出答案； （3）过点 A 作AH ⊥CE 交 EC 的延长线于点 H ，延长 CH 到点 G ，使 HG=CH ，连接AG ，证明△AHC ≌△CEP ，设AH CE n ==，得出EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4，再通过角的等量代换，得出∠EAG=∠G ，从而有EG=EA=n+4，在Rt △AHE 中，通过勾股定理AE²=HE²+AH²可求出n 的值为6，从而得出直线AF 的解析式y = x + 8 ，再求出直线PS 的解析式为 y=-x+4，求交点即可．【详解】解：（1）如下图，y = -x + m ，当x=0时，y=m∴A （0，m ），OA=m当y=0时，0=-x+m ，x=m ，∴B （m ，0），OB=m∴OA=OB∴∠OAB=∠OBA=45°∵∠AFO=45°，∠FAB+∠FBA+∠AFB=180°∴∠FAB=90°（2）如下图 ，∵CP 、AC 分别是 Rt △QPB 和 Rt △QAB 的斜边上的中线∴CP= 12QB ，12AC QB =， ∴CP=AC=QC=BC∴∠CAB=∠CBA设∠CAB=∠CBA=α，∴∠CBP=45°+α∴∠CPB=∠CBP=45°+α∴∠PCB=180°-（∠CPB+∠CBP ）=90°-2α∵∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-2α∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=180°-2α-（90°-2α）=90°∵AC=CP∴△ACP 是等腰直角三角形∴∠CPA=∠CAP=45°∵CR ⊥AP ，∴∠CRP=90°，在Rt △CRP 中sin ∠CPR 22CR CP == ∴2CP CR =∵12CP BQ =， ∴22BQ CR =即22d h =（3）过点 A 作AH ⊥CE 交 EC 的延长线于点 H ，延长 CH 到点 G ，使 HG=CH ，连接AG ∴∠AHC=∠CEP=90°∴∠HAC+∠HCA=∠PCE+∠HCA∴∠HAC=∠PCE ，∵AC=CP∴△AHC ≌△CEP∴CH=PE=2，AH=CE ，∴GH=CH=2，AH CE n ==∴EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4设∠DAP=β，则∠AEG=2β∴α+β=45°∵∠EBD=∠EDB=∠HDA=∠HAD=45°∴∠CAH=∠HAD-α=45°-α=β∵AH 垂直平分 GC∴AG=AC∴∠GAH=∠CAH=β∴∠G=90°-β 在△EAG 中∠EAG=180°-∠G-∠AEG=180°-（90°-β）-2β =90°-β∴∠EAG=∠G∴EG=EA=n+4在 Rt △AHE 中，AE²=HE²+AH²222(4)(2)n n n +=++126,2n n ==-（舍）∴AH=OE=6，EP=EB=2∴OB=OE+BE=8∴m=8，∴A （0，8）∴OA=OF=8 ， ∴F （-8，0）∴直线 AF 的解析式为 y = x + 8∵CD=CE-DE=CE-BE=6-2=4∵线段 CD 关于直线 AB 的对称线段 DS∴SD=CD=4，∠CDA=∠SDA=45°∴∠CDS=90°，∴SD ∥x 轴过点 S 分别作 SM ⊥x 轴于点 M ，SN ⊥y 轴于点 N∴四边形 OMSN 、SMED 都是矩形∴OM=SN=OE-ME=2，ON=SM=DE=BE=2∴S(2，2)∵OP=OE-EP=6-2=4，∴P(4，0)设直线 PS 的解析式为 y=ax+b∴4022a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩∴直线 PS 的解析式为 y=-x+4设直线PS 与直线AF 的交点K(x ，y)∴48y x y x =-+⎧⎨=+⎩解得26x y =-⎧⎨=⎩∴直线PS 与直线AF 的交点K(-2，6)．【点睛】本题考查的知识点是一次函数与几何图形，将一次函数的图象与几何图形综合在一起的问题，是考查学生综合素质和能力的热点题型，它充分体现了数学解题中的数形结合思想和整体转化思想．本题考查的知识点有一次函数图象与坐标轴的交点问题、等腰直角三角形的判定及性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定及性质、矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、线段垂直平分线等．2．C解析：（1）112y x =-+；（2）1d t =-+；（3）6215t -= 【解析】【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率积为-1，设出直线CE 的解析式，再将点C 坐标代入即可求解；（2）过点E 作EM ⊥y 轴于点M ，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，通过解直角三角形可证EDM ≌EAN ，ENH ≌EMG ，得到AN =DM ，HN =GM ，进而得到AH DG =，再根据CE 解析式求出D 点坐标，即可找出d 与t 之间的函数关系式；（3）过点B 作BT CM ⊥于点T ，在直线BT 上截取TL NK =，证四边形BGMT 与四边形HNMC 均为矩形，得MN MT =，再进一步证明ENH ≌EMG ，利用全等三角形的性质通过角度计算，得出△BML 为等腰三角形且BM BL =，再用含有t 的代数式表示BM ，最后在Rt △BMG 中利用勾股定理建立等式，求出t 的值．【详解】解：（1）∵CE ⊥AB ，∴设直线CE 的解析式为：12y x c =-+， 把点C （2，0）代入上述解析式，得1c =，∴直线CD 的解析式为：112y x =-+； （2）过点E 作EM ⊥y 轴于点M ，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，令26 112y xy x=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得22xy=-⎧⎨=⎩，∴()2,2E-，易证EDM≌EAN，ENH≌EMG，∴AN=DM ，HN=GM，∴AH DG=，由直线CE的解析式112y x=-+，可求点D（0，1）∴DG=1—t，∴1d t=-+；（3）过点B作BT CM⊥于点T，在直线BT上截取TL NK=，易证四边形BGMT与四边形HNMC均为矩形，由（2）问可知1tAH GD==-，则6tHC=-∴6tBG MT==-，∴MN MT=，∵90KNM LTM∠=∠=︒，∴ENH≌EMG，∴LNKM∠=∠，设KMNα∠=，则KMB KMNα∠=∠=，∴90NKM α∠=︒-，∴90NKM L α∠=∠=︒-，∵//BL MN ，∴2MBL BMN α∠=∠=，∴18090BML MBL L α∠=︒-∠-∠=︒-，∴BM BL =， ∵1tan 2KCH ∠=， ∴11322KH CH t ==-， ∴133322KN KH HN t t t TL =+=--=-=， ∴352BL BT TL t BM =+=-=， 在Rt BMG △中， 222BM BG GM =+，解得t =（不合题意舍去）或t =故，65t -=． 【点睛】本题一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等，利用已知条件求相等交，相等线段是解决本题的关键．3．E解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）E （2，3）或（1，4）；（3）P 点横坐标为118【解析】【分析】(1) 抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+，由抛物线过点B,（3，0），即可求出a 的值，即可求得解析式； （2）过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为()2,23x xx -++，求出A 、D 点的坐标，得到OM=x ，则AM=x+1，由AF=2EF 得到22(1)33x AN AM +==，从而推出点F 的坐标21210(,)3333x x --+，由23FN EM =，列出关于x 的方程求解即可；（3）先根据待定系数法求出直线DM 的解析式为y=-2x+3，过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ，过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ，交直线CE 于点H.证明△FGP ≌△FHQ ，得到FG=FH ，PT=45GH.设点P （m ，-m²+2m+3），则T （m ，-2m+3），则PT=m²-4m ，GH=1-m ， 可得m²-4m=45（1-m ），解方程即可. 【详解】（1）∵抛物线的顶点为C （1，4），∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+，∵抛物线过点B,（3，0），∴20(31)4a =-+，解得a=-1，∴设抛物线的解析式为2(1)4y x =--+，即2y x 2x 3=-++；（2）如图，过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为()2,23x x x -++，∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++，当y=0时，2023x x =-++，解得x=-1或x=3，∴A （-1.0），∴点D （0,3），∴过点BD 的直线解析式为3y x =-+，点F 在直线BD 上，则OM=x ，AM=x+1，∴22(1)33x AN AM +==， ∴2(1)2111333x x ON AN +=-=-=-， ∴21210(,)3333x x F --+，∴2210332233FN EM x x x +--++==， 解得x=1或x=2， ∴点E 的坐标为（2，3）或（1，4）；（3）设直线DM 的解析式为y=kx+b ，过点D （0,3），M （32，0）， 可得，3023k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得k=-2，b=3，∴直线DM 的解析式为y=-2x+3，∴32OM =，3OD =， ∴tan ∠DMO=2， 如图，过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ，过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ，交直线CE 于点H.∵PQ ⊥MT ，∴∠TFG=∠TPF ，∴TG=2GF ，GF=2PG ，∴PT=25GF ， ∵PF=QF ，∴△FGP ≌△FHQ ，∴FG=FH ，∴PT=45GH. 设点P （m ，-m²+2m+3），则T （m ，-2m+3），∴PT=m²-4m ，GH=1-m ，∴m²-4m=45（1-m ）， 解得：1112018m -=，或2112018m +=（不合题意，舍去）， ∴点P 的横坐标为11201-. 【点睛】 本题考查二次函数综合题、平行线分线段成比例定理、轴对称性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会用数形结合的思想解决问题，有一定难度.4．D解析：（1）DF 的长为158；（2）MN 的长为5；（3）O 的半径长为258． 【解析】【分析】（1）作EH BM ⊥于H ，根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形，从而利用cos 45B =解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求FD 即可； （2）先证AMB CNM ∠=∠，再证MAD CNM ∠=∠，从而证明AFM NFD ∆~∆，得到AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=，再通过平行证明AFN DFM ∆~∆，从而得到AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=，通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =， 从而得出答案．（3）通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=︒，再利用cos 45B =解三角函数即可得出答案． 【详解】（1）如图，作EH BM ⊥于H ：∵E 为AB 中点，45,cos 5AB AD DC B ====∴52AE BE ==∴cos 45BH B BE == ∴2BH = ∴2253222EH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设半径为r ，在Rt OEH ∆中：()222322r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 解得：2516r =∵,E O 分别为,BA BM 中点 ∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠又∵CMN BAM ∠=∠∴CMN OBE ∠=∠∴//MF AB∴四边形BMFA 是平行四边形∴2528AF BM r ===∴2515588FD AD AF =-=-= （2）如图：连接MD AN ，∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠∴AMB CNM ∠=∠又∵AMB MAD ∠=∠∴MAD CNM ∠=∠又∵AFM NFD ∠=∠∴AFM NFD ∆~∆∴AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=① 又∵//MD AN ∴AFN DFM ∆~∆∴AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=② 由①⨯②得; 22AF NF AF NF =⇒=∴NF DF =∴5MN AD ==故MN 的长为5；（3）作如图：∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切设圆N 半径为R ，圆O 半径为r∴'=NO R r NO -=∴N 在'OO 的中垂线上 ∴MN 垂直平分'OO∴90NMC ∠=︒∵90BAM CMN ∠=∠=︒∴A 点在圆上∴54cos 5AB B BM BM === 解得：254BM = O 的半径长为258【点睛】 本题是一道圆的综合题目，难度较大，掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键．5．A解析：（1）6y x =-+；（2）636S t =-，()6t >；（3）5599y x =+ 【解析】【分析】（1）求出点A 、B 的坐标，从而得出△ABO 是等腰直角三角形，再根据2ABC ACB ∠=∠可得△OCB 也是等腰直角三角形，从而可求得点C 的坐标，将点B 、C 代入可求得解析式；（2）存在2种情况，一种是点D 在线段BC 上，另一种是点D 在线段BC 的延长线上，分别利用三角形的面积公式可求得；（3）如下图，先证ACR CAD ∆≅∆，从而推导出//RD AC ，进而得到CF RG =，同理还可得NF DG =，RD CN =，然后利用:7:12NF FC =可得到N 、D 的坐标，代入即可求得．【详解】解：（1）直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，(6,0)A ∴-，(0,6)B ．6OA OB ∴==．45BAO ∴∠=︒，180BAO ABC BCO ∠+∠+∠=︒，2ABC ACB ∠=∠，45BCO ∴∠=︒6OC OB ∴==，()6,0C ∴．设直线BC 的解析式为y kx b =+，将B 、C 两点坐标代得606k b b +=⎧⎨=⎩ 解得16k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为6y x =-+．（2）点D 是射线BC 上一点，点D 的横坐标为t ，(,6)D t t ∴-+，6(6)12AC =--=．如下图，过点D 作DK AC ⊥于点K ，当点D 在线段BC 上时，6DK t =-+，16362S AC DK t ∴=⋅=-+()06t ≤<； 如下图，当点D 在线段BC 的延长线上时，6DK t =-，636S t ∴=-()6t >．（3）如图，延长CE 交AB 于点R ，连接DR 交BF 于点G ，交y 轴于点P ．45BAO BCO ∠=∠=︒，BA BC ∴=．AO CO =，BO AC ⊥EA EC ∴=，EAC ECA ∴∠=∠．ACR CAD ∴∆≅∆．BAD BCR ∴∠=∠．AR CD ∴=．BR BD ∴=．//RD AC ∴．BH AD ⊥，HBD BAD BCR ∴∠=∠=∠．MB MC ∴=，∠MRB MRB MBR ∠=∠MR MB ∴=．CM MR ∴=．//RD AC ，::1:1CF RG CM RM ∴==．CF RG ∴=．同理NF DG =．RD CN =．∵:7:12NF FC =．:7:12DG RG ∴=．RP PD BP ==，5tan 19PG OF OBF BP OB∴==∠= 6OB ∴=，3019OF ∴=，6OC =，8419CF ∴=． 7RD GN ∴==．1ON ∴=，72PD =．52OP OB BP ∴=-=． (1,0)N ∴-，75,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设直线 DN 的解析式为y ax c =+，将N 、D 两点代入，07522a c a c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得5959 ac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线DM的解析式为5599y x=+．【点睛】本题考查了一次函数与图形的综合，需要用到全等、三角函数和平面直角坐标系的知识，解题关键是想办法确定函数图像上点的坐标．6．D解析：（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x＜103)；（2）1769或32【解析】【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC可得到HC的长度，从而得出HB的长，进而得出AD的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ、PR的长，然后利用EB=PQ+PR得去x、y的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P在梯形内，一种是在梯形外，分别根y的值求出x的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点H∵∠C=45°，DH⊥BC∴△DHC是等腰直角三角形∵四边形ABCD是梯形，∠B=90°∴四边形ABHD是矩形，∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC－HC=6∴AD=6（2）如下图，过点P作EF的垂线，交EF于点Q，反向延长交BC于点R，DH与EF交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC∴∠EFP=∠C=45°∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF∴PQ=()162x + 同理，PR=12y ∵AB=8，∴EB=8－x∵EB=QR∴8－x=()11622x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103 当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1∴1≤x ＜103（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83=AE ∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：与（2）相同，可得y=3x －10则当y=2时，x=4，即AE=4 ∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力． 7．A解析：（1）详见解析；（2）2448x x y -+=（04x <<）；（3）当AEG ∆是等腰三角形时，2BF =或43【解析】【分析】 （1）根据正方形的性质得到∠AOD=90°，AO=OD ，∠EOH=90°，OE=OH ，由全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图1，过O 作ON ⊥AB 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到122AN BN ON AB ====， 根据勾股定理得到()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+线段成比例定理即可得到结论；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP ⊥EG 于P ③当GE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图3，过G 作GQ ⊥AE 于Q ，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，,OA OD AC BD ∴=⊥，90AOD ∴∠=︒，∵四边形OEGH 是正方形，,90OE OH EOH ∴=∠=︒，AOD EOH ∴∠=∠，AOD AOH EOH AOH ∴∠-∠=∠-∠，即HOD EOA ∠=∠，HDO EAO ∴∆≅∆．（2）如图1，过O 作ON⊥AB 于N ，则122AN BN ON AB ====， ∵BF=x，∴AF=4-x ，∴FN=2-x ， ∴()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+∴248EF y x x =-+ ∵AM⊥AC，∴AE∥OB，∴BF OF AF EF＝， ∴2248448x x x x y x x -+=---+， ∴)24804x x y x x-+≤＝＜； （3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，则AE=OE ，∵∠EAO=90°，∴这种情况不存在；②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP⊥EG 于P ，则AP∥OE，∴∠PAE=∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴PE AE OA OE=，∵AE=AG，∴2421482x xxPE y-+==，()22248xAE yx-=-=，∴()22222224448448xx xxx xx---+=+，解得：x=2，②当GE=AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE=∠EAO=90°，∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°，∴∠EGQ=∠AEO，∵GE=OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS），∴22EQ AO==∴224242()xAE E Q-===∴43x =， ∴BF=2或43． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．8．B解析：（1）12；（2）3）【解析】【分析】（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长.【详解】（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，135BAC ∠=，180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，BD AD ∴=，在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，4AB =222232BD AB ∴===，解得：4BD =，6AC =，11641222ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=．（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ， D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，PD PQ ∴=，PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，点P 为AB 上的动点，PC PD CQ ∴+≥，∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度， 点C 为半圆AB 的中点，90COB ∴∠=，90BOD COD COB ∠+∠=∠=，11903033BOD COB ∴∠=∠=⨯=， 10AB =，1110522OD AB ∴==⨯=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=， 155,222DH OD QH DH ∴==∴==， 222255352OH OD DH ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭， 由作图知，四边形OMQH 为矩形，553,2OM QH MQ OH ∴==== 515522CM OM OC ∴=+=+=， 222215535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，PC PD ∴+的最小值为53．（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠，E 为OA 上的点，F 为OB 上的点PE EF FP SN ∴++≥，∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，45POA POB AOB ∠+∠=∠=，45SOA NOB ∴∠+∠=，454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．扇形AOB 的半径为20，20OS ON OP ∴===，在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=PE EF FP ∴++的长度的最小值为202【点睛】本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.9．A解析：（1）145；（2）2274,0314971421,2235t tSt t t⎧⎛⎫<≤⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<<⎪⎪⎝⎭⎩；（3）t的值为477或727．【解析】【分析】（1）如下图，根据4tan3A=，可得出PN与AP的关系，从而求出t的值；（2）如下图，存在2种情况，一种是点M在△ABC内，另一种是点M在△ABC外部，分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解；（3）如下图，存在2种情况，一种是PM所在的直线将△ABC的面积平分，另一种是QN 所在的直线将△ABC的面积平分．【详解】（1）如图1，点N在AC上图1由题意可知：PD=DQ=t ，AP=7－t∴PN=PQ=2t ∵4tan 3A = ∴43NP AP =，即2473t t =- 解得：t=145 （2）①如图2，图2四边形PQMN 是正方形，90BQM ∴∠=︒，45B ∠=︒，BQ MQ ∴=，即72t t -=解得73t =， 故当0t <≤73时，22(2)4S t t ==； ②如图3， 图390BQF ∠=︒，45B ∠=︒，7BQ FQ t ∴==-，45BFQ MFE ∠=∠=︒，则37MF MQ QF t =-=-，90M ∠=︒，37ME MF t ∴==-， 则2221149(2)(37)21222S t t t t =--=-+-71435t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭； 综上，2274,0314971421,2235t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩． （3）如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 于点G图4∵4tan 3A = ∴设CG=4x ，则AG=3x∵∠B=45°∴△CBG 是等腰直角三角形∴GB=GC=4x∵AB=14∴3x+4x=14，解得：x=2∴1148562ABC S== ∴1282ABCS = 情况一：PM 所在的直线平分△ABC 的面积，如下图，PM 与BC 交于点E图5则28PBES=∵四边形PQMN是正方形，∴∠EPB=45°∵∠B=45°∴△PBE是等腰直角三角形∵1282PBES PE PB==∴PE=PB=214∴PB=47∵PB=AB－PA=14－(7－t)=7+t∴7+t=47t=477-情况二：如下图，QN所在线段平分△ABC的面积，QF交AC于点F，过点F作AB的垂线，交AB于点H图6同理，28AFQS=∵四边形PQMN是正方形，∴∠EQH=45°∴△FHQ是等腰直角三角形∵4 tan3A=∴设FH=4y，则AH=3y，HQ=FH=4y，∴AQ=7y∴174282AFQS y y==，解得：2∵AQ=AB－QB=14－(7－t)=7+t∴2解得：27∴综上得：t的值为477或727．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据动点的变化情况，适当划分为几种不同的形式分别分析求解．10．A。

中考数学选填压轴题练习一．根的判别式（共1小题）1．（2023•广州）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，则的化简结果是（）A．﹣1B．1C．﹣1﹣2k D．2k﹣3【分析】首先根据关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，得判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，由此可得k≤1，据此可对进行化简．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，∴判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，整理得：﹣8k+8≥0，∴k≤1，∴k﹣1≤0，2﹣k＞0，∴＝﹣（k﹣1）﹣（2﹣k）＝﹣1．故选：A．二．函数的图象（共1小题）2．（2023•温州）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（）A．4200米B．4800米C．5200米D．5400米【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解．【解答】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为75+10﹣40＝45（分钟），小温游玩行走的时间为205﹣100＝105（分钟），设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米由图象可得：，解得：x+y+z＝2700，∴游玩行走的速度为：（2700﹣2100）÷10＝60 （米/分），由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为：3x+3y＝105×60＝6300，∴x+y＝2100，∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为：2x+2y+z＝x+y+z+x+y＝2700+2100＝4800（米）．故选：B．三．动点问题的函数图象（共1小题）3．（2023•河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A．6B．3C．D．【分析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB＝PC，AO＝，易知∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，可知AO＝OB＝，过点O作OD⊥AB，解直角三角形可得AD＝AO•cos30°，进而得出等边三角形ABC的边长．【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，\结合图象可知，当点P在AO上运动时，，∴PB＝PC，，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，∴OB＝，即AO＝OB＝，∴∠BAO＝∠ABO＝30°，过点O作OD⊥AB，垂足为D，∴AD＝BD，则AD＝AO•cos30°＝3，∴AB＝AD+BD＝6，即等边三角形ABC的边长为6．故选：A．四．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）4．（2023•宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x 轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC ＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为12，a的值为9．【分析】依据题意，设A（m，），再由AE∥x轴，BD∥y轴，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D （﹣2m，﹣），E（，），再结合△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，即可得解．【解答】解：设A（m，），∵AE∥x轴，且点E在函数y＝上，∴E（，）．∵AC＝2BC，且点B在函数y＝上，∴B（﹣2m，﹣）．∵BD∥y轴，点D在函数y＝上，∴D（﹣2m，﹣）．∵△ABE的面积为9，∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m••＝＝9．∴a﹣b＝12．∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，∴S△BDE＝DB•（+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b）••（）•m＝3（）＝5．∴a＝﹣3b．又a﹣b＝12．∴a＝9．故答案为：12，9．五．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）5．（2023•德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（6，3），D是OA的中点，AC，BD交于点E，函数的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式（）A．y＝﹣B．C．D．【分析】先根据函数图象经过点B和点E，求出a和b，再由所得函数解析式即可解决问题．【解答】解：由题知，A（6，0），B（6，3），C（0，3），令直线AC的函数表达式为y1＝k1x+b1，则，解得，所以．又因为点D为OA的中点，所以D（3，0），同理可得，直线BD的函数解析式为y2＝x﹣3，由得，x＝4，则y＝4﹣3＝1，所以点E坐标为（4，1）．将B，E两点坐标代入函数解析式得，，解得．所以，则，将此函数图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图象的函数解析式为：．故选：D．6．如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．（1）k＝；（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为4．【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出A、B两点坐标，作出辅助线，证得△OPC≌△APC（HL），利用勾股定理及待定系数法求函数解析式即可解答．（2）求出AC、BD的解析式，再联立方程组，求得点D的坐标，分两种情况讨论即可求解．【解答】解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，∴，∴，∵C是OB的中点，∴OC＝BC＝AC＝2，如图，过点C作CP⊥OA于P，∴△OPC≌△APC（HL），∴，在Rt△OPC中，PC＝，∴C（，1）．∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C，∴，解得k＝．故答案为：．（2）设直线AC的解析式为y＝k1x+b（k≠0），则，解得，∴AC的解析式为y＝﹣x+2，∵AC∥BD，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4，∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，∴联立得，解得，，当D的坐标为（2+3，）时，BD2＝＝9+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；当D的坐标为（2﹣3，）时，BD2＝+＝9+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；综上，OB2﹣BD2＝4．故答案为：4．六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）7．（2023•湖州）已知在平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点A（t，p）和点B（t+2，q）在函数y＝k1x的图象上（t≠0且t≠﹣2），点C（t，m）和点D（t+2，n）在函数的图象上．当p﹣m与q﹣n的积为负数时，t的取值范围是（）A．或B．或C．﹣3＜t＜﹣2或﹣1＜t＜0D．﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得k1＝k2．令k1＝k2＝k，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出p﹣m与q﹣n的表达式，代入解不等式（p﹣m）（q﹣n）＜0并求出t的取值范围即可．【解答】解：∵y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，∴k1＝k2．令k1＝k2＝k（k＞0），则y＝k1x＝kx，＝．将点A（t，p）和点B（t+2，q）代入y＝kx，得；将点C（t，m）和点D（t+2，n）代入y＝，得．∴p﹣m＝kt﹣＝k（t﹣），q﹣n＝k（t+2）﹣＝k（t+2﹣），∴（p﹣m）（q﹣n）＝k2（t﹣）（t+2﹣）＜0，∴（t﹣）（t+2﹣）＜0．∵（t﹣）（t+2﹣）＝•＝＜0，∴＜0，∴t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0．①当t＜﹣3时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，∴t＜﹣3不符合要求，应舍去．②当﹣3＜t＜﹣2时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，∴﹣3＜t＜﹣2符合要求．③当﹣2＜t＜0时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，∴﹣2＜t＜0不符合要求，应舍去．④当0＜t＜1时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，∴0＜t＜1符合要求．⑤当t＞1时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，∴t＞1不符合要求，应舍去．综上，t的取值范围是﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1．故选：D．七．二次函数图象与系数的关系（共3小题）8．（2023•乐至县）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．现有以下结论：①abc＜0；②5a+c＝0；③对于任意实数m，都有2b+bm≤4a﹣am2；④若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，则y1＜y2，其中正确的结论是（）A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①正确，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．∴﹣＝﹣2，a+b+c＝0，∴b＝4a，∴a+b+c＝a+4a+c＝0，故5a+c＝0，故②正确，∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c取得最小值，∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c，即2b+bm≥4a﹣am2（m为任意实数），故③错误，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，∴y1＜y2，故④正确；故选：C．9．（2023•丹东）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①abc＞0；②E（x1，y1），F（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx（a≠0）上的两个点，若x1＜x2，且x1+x2＜﹣2，则y1＜y2；③在x轴上有一动点P，当PC+PD的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程ax2+b（x﹣2）+c ＝﹣4（a≠0）无实数根，则b的取值范围是b＜1．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题．【解答】解：根据所给函数图象可知，a＞0，b＞0，c＜0，所以abc＜0，故①错误．因为抛物线y＝ax2+bx的图象可由抛物线y＝ax2+bx+c的图象沿y轴向上平移|c|个单位长度得到，所以抛物线y＝ax2+bx的增减性与抛物线y＝ax2+bx+c的增减性一致．则当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，又x1＜x2，且x1+x2＜﹣2，若x2＜﹣1，则E，F两点都在对称轴的左侧，此时y1＞y2．故②错误．作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC，此时PC+PD的值最小．将A（﹣3，0）代入二次函数解析式得，9a﹣3b+c＝0，又，即b＝2a，所以9a﹣6a+c＝0，则c＝﹣3a．又抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c），则点C坐标为（0，﹣3a），所以点C′坐标为（0，3a）．又当x＝﹣1时，y＝﹣4a，即D（﹣1，﹣4a）．设直线C′D的函数表达式为y＝kx+3a，将点D坐标代入得，﹣k+3a＝﹣4a，则k＝7a，所以直线C′D的函数表达式为y＝7ax+3a．将y＝0代入得，x＝．所以点P的坐标为（，0）．故③正确．将方程ax2+b（x﹣2）+c＝﹣4整理得，ax2+bx+c＝2b﹣4，因为方程没有实数根，所以抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝2b﹣4没有公共点，所以2b﹣4＜﹣4a，则2b﹣4＜﹣2b，解得b＜1，又b＞0，所以0＜b＜1．故④错误．所以正确的有③．故选：A．10．（2023•河北）已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（）A．2B．m2C．4D．2m2【分析】求出三个交点的坐标，再构建方程求解．【解答】解：令y＝0，则﹣x2+m2x＝0和x2﹣m2＝0，∴x＝0或x＝m2或x＝﹣m或x＝m，∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，若m＞0，则m2＝2m，∴m＝2，若m＜0时，则m2＝﹣2m，∴m＝﹣2．∵抛物线y＝x2﹣m2的对称轴为直线x＝0，抛物线y＝﹣x2+m2x的对称轴为直线x＝，∴这两个函数图象对称轴之间的距离＝＝2．故选：A．八．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）11．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac 的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4【分析】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．【解答】解：过A作AH⊥x轴于H，∵四边形ABCO是正方形，∴∠AOB＝45°，∴∠AOH＝45°，∴AH＝OH，设A（m，m），则B（0，2m），∴，解得am＝﹣1，m＝，∴ac的值为﹣2，故选：B．九．二次函数与不等式（组）（共1小题）12．（2023•西宁）直线y1＝ax+b和抛物线（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②抛物线与x轴一定有两个交点；③关于x的方程ax2+bx＝ax+b有两个根x1＝﹣4，x2＝1；④若a ＞0，当x＜﹣4或x＞1时，y1＞y2.其中正确的结论是（）A．①②③④B．①②③C．②③D．①④【分析】根据直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．得到b＝4a，于是得到＝ax2+4ax，求得抛物线的对称轴是直线x＝﹣﹣＝2；故①正确；根据Δ＝16a2＞0，得到抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；把b＝4a，代入ax2+bx＝ax+b得到x2+3x﹣4＝0，求得x1＝﹣4，x2＝1；故③正确；根据a＞0，得到抛物线的开口向上，直线y1＝ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4，1，于是得到结论．【解答】解：∵直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．∴﹣4a+b＝0，∴b＝4a，∴＝ax2+4ax，∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣﹣＝2；故①正确；∵＝ax2+4ax，∴Δ＝16a2＞0，∴抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；∵b＝4a，∴方程ax2+bx＝ax+b为ax2+4ax＝ax+4a得，整理得x2+3x﹣4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1；故③正确；∵a＞0，抛物线的开口向上，直线y1＝ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4，1，∴当x＜﹣4或x＞1时，y1＜y2.故④错误，故选：B．一十．三角形中位线定理（共1小题）13．（2023•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 1.2.若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是3≤S≤4．【分析】依据题意，根据三角形中位线定理可得DE＝AM＝1.2；设AM＝x，从而DE＝x，由DE∥AM，且DE＝AM，又FG∥AM，FG＝AM，进而DE∥FG，DE＝FG，从而四边形DEFG是平行四边形，结合题意可得DE边上的高为（4﹣x），故四边形DEFG面积S＝4x﹣x2，进而利用二次函数的性质可得S的取值范围．【解答】解：由题意，点D，E分别是AB，MB的中点，∴DE是三角形ABM的中位线．∴DE＝AM＝1.2．如图，设AM＝x，∴DE＝AM＝x．由题意得，DE∥AM，且DE＝AM，又FG∥AM，FG＝AM，∴DE∥FG，DE＝FG．∴四边形DEFG是平行四边形．由题意，GF到AC的距离是x，BC＝＝8，∴DE边上的高为（4﹣x）．∴四边形DEFG面积S＝2x﹣x2，＝﹣（x﹣4）2+4．∵2.4＜x≤6，∴3≤S≤4．故答案为：1.2；3≤S≤4．一十一．矩形的性质（共2小题）14．（2023•宁波）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（）A．△ABE的面积B．△ACD的面积C．△ABC的面积D．矩形BCDE的面积【分析】作AG⊥ED于点G，交BC于点F，可证明四边形BFGE是矩形，AF⊥BC，可推导出S﹣S1﹣S2＝ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG＝ED•AG﹣FG•ED＝BC•AF＝S△ABC，所以只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，于是得到问题的答案．【解答】解：作AG⊥ED于点G，交BC于点F，∵四边形BCDE是矩形，∴∠FBE＝∠BEG＝∠FGE＝90°，BC∥ED，BC＝ED，BE＝CD，∴四边形BFGE是矩形，∠AFB＝∠FGE＝90°，∴FG＝BE＝CD，AF⊥BC，∴S﹣S1﹣S2＝ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG＝ED•AG﹣FG•ED＝BC•AF＝S△ABC，∴只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，故选：C．15．（2023•河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为2或1+．【分析】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND＝90°时，如图2，当∠NMD＝90°时，根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：①如图1，当∠MND＝90°时，则MN⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴MN∥AB，∵M为对角线BD的中点，∴AN＝DN，∵AN＝AB＝1，∴AD＝2AN＝2；如图2，当∠NMD＝90°时，则MN⊥BD，∵M为对角线BD的中点，∴BM＝DM，∴MN垂直平分BD，∴BN＝DN，∵∠A＝90°，AB＝AN＝1，∴BN＝AB＝，∴AD＝AN+DN＝1+，综上所述，AD的长为2或1+．故答案为：2或1+．一十二．正方形的性质（共2小题）16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且BG＝3GC，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为（）A．B．C．D．【分析】由正方形ABCD的边长为4及BG＝3CG，可求出BG的长，进而求出AG的长，证△ADE∽△GAB，利用相似三角形对应边成比例可求得AE、DE的长，证△ABF≌△DAE，得AF＝DE，根据线段的和差求得EF的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴BC＝CD＝DA＝AB＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AGB，∵BG＝3CG，∴BG＝3，∴在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，∴AG＝，∵DE⊥AG，∴∠DEA＝∠DEF＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△GAB，∴AD：GA＝AE：GB＝DE：AB，∴4：5＝AE：3＝DE：4，∴AE＝，DE＝，又∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEF＝90°，又∵AB＝AD，∠DAE＝∠ABF（同角的余角相等），∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE＝，∴EF＝AF﹣AE＝，∴tan∠EDF＝，故选：A．17．（2023•湖州）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上．（1）若EF＝3cm，AE+FC＝11cm，则BE的长是4cm．（2）若，则tan∠DAH的值是3．【分析】（1）将AE和FC用BE表示出来，再代入AE+FC＝11cm，即可求出BE的长；（2）由已知条件可以证明∠DAH＝∠CDG，从而得到tan∠DAH＝tan∠CDG，设AH＝x，DG＝5k，GH ＝4k，用x和k的式子表示出CG，再利用tan∠DAH＝tan∠CDG列方程，解出x，从而求出tan∠DAH 的值．【解答】解：（1）∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，∴AE＝BE，BF＝CF，∵AE+FC＝11cm，∴BE+BF＝11cm，即BE+BE+EF＝11cm，即2BE+EF＝11cm，∵EF＝3cm，∴2BE+3cm＝11cm，∴BE＝4cm，故答案为：4；（2）设AH＝x，∵，∴可设DG＝5k，GH＝4k，∵四边形EFGH是正方形，∴HE＝EF＝FG＝GH＝4k，∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，∴AE＝BE，BF＝CF，∠ABE＝∠CBF＝45°，∴CG＝CF+GF＝BF+4k＝BE+8k＝AH+12k＝x+12k，∠ABC＝∠ABE+∠CBF＝45°+45°＝90°，∵四边形ABCD对角互补，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠CDG＝90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠AHD＝∠CGD＝90°，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠DAH＝∠CDG，∴tan∠DAH＝tan∠CDG，∴，即，整理得：x2+12kx﹣45k2＝0，解得x1＝3k，x2＝﹣15k（舍去），∴tan∠DAH＝＝＝3．故答案为：3．一十三．正多边形和圆（共1小题）18．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中：（1）∠α＝30度；（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为2（结果保留根号）．【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可得到结论；（2）把问题转化为图形问题，首先作出图形，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求ON＝OM+BE，再根据正六边形的性质以及三角函数的定义，分别求出OM，BE即可．【解答】解：（1）作图如图所示，∵多边形是正六边形，∴∠ACB＝60°，∵BC∥直线l，∴∠ABC＝90°，∴α＝30°；故答案为：30°；（2）取中间正六边形的中心为O，作图如图所示，由题意得，AG∥BF，AB∥GF，BF⊥AB，∴四边形ABFG为矩形，∴AB＝GF，∵∠BAC＝∠FGH，∠ABC＝∠GFH＝90°，∴△ABC≌△GFH（SAS），∴BC＝FH，在Rt△PDE中，DE＝1，PE＝，由图1知AG＝BF＝2PE＝2，OM＝PE＝，∵，∴，∴，∵，∴，∴．∴中间正六边形的中心到直线l的距离为2，故答案为：2．一十四．扇形面积的计算（共1小题）19．（2023•温州）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为5．若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE＝EF，则题字区域的面积为．【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得r，连接OE，取ED的中点T，连接OT，在Rt△OET中，根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图所示，依题意，GH＝2＝GQ，∵过左侧的三个端点Q，K，L作圆，QH＝HL＝4，又NK⊥QL，∴O在KN上，连接OQ，则OQ为半径，∵OH＝r﹣KH＝r﹣2，在Rt△OHQ中，OH2+QH2＝QO2，∴（r﹣2）2+42＝r2，解得：r＝5；连接OE，取ED的中点T，连接OT，交AB于点S，连接PB，AM，过点O作OU⊥AM于点U.连接OA．由△OUN∽△NPM，可得＝＝，∴OU＝．MN＝2，∴NU＝，∴AU＝＝，∴AN＝AU﹣NU＝2，∴AN＝MN，∵AB∥PN，∴AB⊥OT，∴AS＝SB，∴NS∥BM，∴NS∥MP，∴M，P，B共线，又NB＝NA，∴∠ABM＝90°，∵MN＝NB，NP⊥MP，∴MP＝PB＝2，∴NS＝MB＝2，∵KH+HN＝2+4＝6，∴ON＝6﹣5＝1，∴OS＝3，∵，设EF＝ST＝a，则，在Rt△OET中，OE2＝OT2+TE2，即，整理得5a2+12a﹣32＝0，即（a+4）（5a﹣8）＝0，解得：或a＝﹣4，∴题字区域的面积为．故答案为：．一十五．轴对称-最短路线问题（共1小题）20．（2023•安徽）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（）A．P A+PB的最小值为3B．PE+PF的最小值为2C．△CDE周长的最小值为6D．四边形ABCD面积的最小值为3【分析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，由△ADE和△BCE是等边三角形，可得四边形DECM 是平行四边形，而P为CD中点，知P为EM中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，P A+PB＝P A'+PB最小，即可得P A+PB 最小值A'B＝＝2，判断选项A错误；由PM＝PE，即可得当M，P，F共线时，PE+PF 最小，最小值为MF的长度，此时PE+PF的最小值为2，判断选项B正确；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等边三角形，得KT＝KE+TE＝AB＝2，有CD≥2，故△CDE周长的最小值为6，判断选项C正确；设AE＝2m，可得S四边形ABCD＝（m﹣1）2+3，即知四边形ABCD面积的最小值为3，判断选项D正确．【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，如图：∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°，∴DE∥BM，CE∥AM，∴四边形DECM是平行四边形，∵P为CD中点，∴P为EM中点，∵E在线段AB上运动，∴P在直线l上运动，由AB＝4知等边三角形ABM的高为2，∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，P A+PB ＝P A'+PB最小，此时P A+PB最小值A'B＝＝＝2，故选项A错误，符合题意；∵PM＝PE，∴PE+PF＝PM+PF，∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，∵F为AB的中点，∴MF⊥AB，∴MF为等边三角形ABM的高，∴PE+PF的最小值为2，故选项B正确，不符合题意；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图，∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴KE＝AE，TE＝BE，∴KT＝KE+TE＝AB＝2，∴CD≥2，∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，∴DE+CE+CD≥6，∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；设AE＝2m，则BE＝4﹣2m，∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DK＝AK＝m，CT＝BT＝2﹣m，∴S△ADK＝m•m＝m2，S△BCT＝（2﹣m）（2﹣m）＝m2﹣2m+2，S梯形DKTC ＝（m+2﹣m）•2＝2，∴S四边形ABCD＝m2+m2﹣2m+2+2＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3，∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为3，故选项D正确，不符合题意；故选：A．一十六．翻折变换（折叠问题）（共2小题）21．（2023•乐至县）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边△ABC的顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上移动，将△ABC沿BC所在直线翻折得到△DBC，则OD的最大值为+1．【分析】过点D作DF⊥AB，交AB延长线于点F，取AB的中点E，连接DE，OE，OD，在Rt△ABO 中利用斜边中线性质求出OE，根据OE+DE≥OD确定当D、O、E三点共线时OD最大，最大值为OD ＝OE+DE．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB，交AB延长线于点F，取AB的中点E，连接DE，OE，OD，∵等边三角形ABC的边长为2，∴AB＝2，∠ABC＝60°，由翻折可知：∠DBC＝∠ABC＝60°，DB＝AB＝2，∴∠DBF＝60°，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠BDF＝30°，∴BF＝BD＝1，∴DF＝BF＝，∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝OE＝AB＝1，∴EF＝BE+BF＝2，∴DE＝＝＝，∴OD≤DE+OE＝+1，∴当D、E、O三点共线时OD最大，最大值为+1．故答案为：+1．22．（2023•南京）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝cm．【分析】作EH⊥BC于点H，由CF＝4cm，FB′＝1cm，求得B′C＝5cm，由折叠得BC＝B′C＝5cm，由菱形的性质得BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，因为CB′⊥AD于点F，所以∠BCB′＝∠CFD ＝90°，则∠BCE＝∠B′CE＝45°，DF＝＝3cm，所以∠HEC＝∠BCE＝45°，则CH＝EH，由＝sin B＝sin D＝，＝cos B＝cos D＝，得CH＝EH＝BE，BH＝BE，于是得BE+BE ＝5，则BE＝cm．【解答】解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，∵CF＝4cm，FB′＝1cm，∴B′C＝CF+FB′＝4+1＝5（cm），由折叠得BC＝B′C＝5cm，∠BCE＝∠B′CE，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，∵CB′⊥AD于点F，∴∠BCB′＝∠CFD＝90°，∴∠BCE＝∠B′CE＝∠BCB′＝×90°＝45°，DF＝＝＝3（cm），∴∠HEC＝∠BCE＝45°，∴CH＝EH，∵＝sin B＝sin D＝＝，＝cos B＝cos D＝＝，∴CH＝EH＝BE，BH＝BE，∴BE+BE＝5，∴BE＝cm，故答案为：．一十七．旋转的性质（共1小题）23．（2023•西宁）如图，在矩形ABCD中，点P在BC边上，连接P A，将P A绕点P顺时针旋转90°得到P A′，连接CA′，若AD＝9，AB＝5，CA′＝2，则BP＝2．【分析】过A′点作A′H⊥BC于H点，如图，根据旋转的性质得到P A＝P A′，再证明△ABP≌△PHA′得到PB＝A′H，PH＝AB＝5，设PB＝x，则A′H＝x，CH＝4﹣x，然后在Rt△A′CH中利用勾股定理得到x2+（4﹣x）2＝（2）2，于是解方程求出x即可．【解答】解：过A′点作A′H⊥BC于H点，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝9，∠B＝90°，∵将P A绕点P顺时针旋转90°得到P A′，∴P A＝P A′，∵∠P AB+∠APB＝90°，∠APB+∠A′PH＝90°，∴∠P AB＝∠A′PH，在△ABP和△PHA′中，，∴△ABP≌△PHA′（AAS），∴PB＝A′H，PH＝AB＝5，设PB＝x，则A′H＝x，CH＝9﹣x﹣5＝4﹣x，在Rt△A′CH中，x2+（4﹣x）2＝（2）2，解得x1＝x2＝2，即BP的长为2．故答案为：2．一十八．相似三角形的判定与性质（共2小题）24．（2023•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝（结果用含k的代数式表示）．【分析】方法一：先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC＝k•AB，通过证明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2•AB，即可求出的值．方法二：证明AD＝DF＝BD，可得BF⊥AC，设AB＝AC＝1，BC＝k，CF＝x，则AF＝1﹣x，利用勾股定理列方程求出x的值，进而可以解决问题．【解答】解：方法一：∵点B和点F关于直线DE对称，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB，∵AD＝DF，∴∠A＝∠DF A，∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠BDE＝∠FDE，∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DF A，∴∠FDE＝∠DF A，∴DE∥AC，∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠DEB＝∠DEF，∴∠C＝∠EFC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠ACB＝∠EFC，∴△ABC∽△ECF，∴＝，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝＝，∴EC＝BC，∵＝k，∴BC＝k•AB，∴EC＝k•AB，∴＝，∴CF＝k2•AB，∴＝＝＝＝．方法二：如图，连接BF，∵点B和点F关于直线DE对称，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB＝DF，∴BF⊥AC，设AB＝AC＝1，则BC＝k，设CF＝x，则AF＝1﹣x，由勾股定理得，AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2，∴12﹣（1﹣x）2＝k2﹣x2，∴x＝，∴AF＝1﹣x＝，∴＝．故答案为：．25．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为15．【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．【解答】解：如图，∵BF∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，∴＝，∴BF＝2，∴GF＝6﹣2＝4，∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE，∴＝，∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，∴＝，∴CK＝5，∴HK＝6﹣5＝1，∴阴影梯形的面积＝（HK+GF）•GH＝（1+4）×6＝15．故答案为：15．一十九．相似三角形的应用（共1小题）26．（2023•南京）如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB 的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（）A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm【分析】过点B作BC⊥AH，垂足为C，再证明A字模型相似△AOH∽△ABC，从而可得＝，过点A作AD⊥BH，垂足为D，然后证明A字模型相似△ABD∽△OBH，从而可得＝，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：过点B作BC⊥AH，垂足为C，∵OH⊥AC，BC⊥AC，∴∠AHO＝∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠OAH，∴△AOH∽△ABC，∴＝，∴＝，如图：过点A作AD⊥BH，垂足为D，∵OH⊥BD，AD⊥BD，∴∠OHB＝∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠OBH，∴△ABD∽△OBH，∴＝，∴＝，∴+＝+，∴+＝，∴+＝1，解得：OH＝36，∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm，故选：A．二十．解直角三角形（共1小题）27．（2023•丹东）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A（3，0），B（0，4），点C在x 轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为（﹣2，0）；点D的坐标为（﹣1﹣2，2+）或（﹣1+2，2﹣）．【分析】过点C作CE⊥AB于E，先求处AB＝5，再设BE＝t，由tan∠ABC＝2得CE＝2t，进而得BC ＝，由三角形的面积公式得S△ABC＝AC•OB＝AB•CE，即5×2t＝4×（3+OC），则OC＝﹣3，然后在Rt△BOC中由勾股定理得，由此解出t1＝2，t2＝10（不合题意，舍去），此时OC＝﹣3＝2，故此可得点C的坐标；设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，由△BCD为等边三角形得，整理：，②﹣①整理得m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n代入①整理得n2﹣4n+1＝0，解得n＝，进而再求出m即可得点D的坐标．【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，如图：∵点A（3，0），B（0，4），由两点间的距离公式得：AB＝＝5，设BE＝t，∵tan∠ABC＝2，在Rt△BCE中，tan∠ABC＝，∴＝2，∴CE＝2t，由勾股定理得：BC＝＝t，∵CE⊥AB，OB⊥AC，AC＝OC+OA＝3+OC，∴S△ABC＝AC•OB＝AB•CE，即：5×2t＝4×（3+OC），∴OC＝﹣3，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC2﹣OB2＝OC2，即，整理得：t2﹣12t+20＝0，解得：t1＝2，t2＝10（不合题意，舍去），∴t＝2，此时OC＝﹣3＝2，∴点C的坐标为（﹣2，0），设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣4）2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，∵△BCD为等边三角形，∵BD＝CD＝BC，∴，整理得：，②﹣①得：4m+8n＝12，∴m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n代入①得：（3﹣2n）2+n2﹣8n＝4，整理得：n2﹣4n+1＝0，解得：n＝，当n＝时，m＝3﹣2n＝，当n＝时，m＝3﹣2n＝，∴点D的坐标为或．故答案为：（﹣2，0）；或．二十一．解直角三角形的应用（共1小题）28．（2023•杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（）A．5B．4C．3D．2【分析】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化简可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：3，进而可求解n的值．【解答】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，∴，∴（b﹣a）2＝ab，∴a2+b2＝3ab，∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，∴n＝3．故选：C．。

一、解答题1．（1）回归教材：北师大七年级下册P 44，如图1所示，点P 是直线m 外一点，，点O 是垂足，点A 、B 、C 在直线m 上，比较线段PO ，PA ，PB ，PC 的长短，你发现了什么？最短线段是______，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，______．（2）小试牛刀：如图2所示，Rt ABC △中，AB c =，，．则点P 为AB 边上一动点，则CP 的最小值为______． （3）尝试应用：如图3所示ABC 是边长为4的等边三角形，其中点P 为高AD 上的一个动点，连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BE ，连接PE 、DE 、CE ．①请直接写出DE 的最小值．②在①的条件下求的面积．（4）拓展提高：如图4，顶点F 在矩形ABCD 的对角线AC 上运动，连接AE ．．3AB =，4BC =，请求出AE 的最小值．2．如图1，在平面直角坐标系中，直线55y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线2y x bx c =++经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为B ．（1）求抛物线解析式；（2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，MN ⊥x 轴交BC 于点N ，当点M 运动到某一位置时，线段MN 的长度最大，求此时点M 的坐标及线段MN 的长度；（3）如图2，以B 为圆心，2为半径的⊙B 与x 轴交于E 、F 两点（F 在E 右侧），若P 点是⊙B 上一动点，连接PA ，以PA 为腰作等腰Rt PAD △，使90PAD ∠=︒（P 、A 、D 三点为逆时针顺序），连接FD ．①将线段AB 绕A 点顺时针旋转90°，请直接写出B 点的对应点的坐标；②求FD 长度的取值范围．3．在ABC 中，AB BC =，45B ∠=︒，AD 为BC 边上的高．（1）如图1，若1AD =，求线段CD 的长度；（2）如图2，点E ，点F 在AB 边上，且满足AE BF =，连接CE ，CF 分别交线段AD 于点M ，点N ，若点M 为线段CE 的中点，求证：2AN CD AB +=；（3）在（2）问条件下，若2AC =，点K 为AC 边上一动点，点Р为ACF 内一点且满足ACP CAD ∠=∠，当PK PA +取最小值时，请直接写出CPK S △的值．4．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到⊙O 的弦B ′C ′（B ′，C ′分别是B ，C 的对应点），则称线段BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点A ，B 1，C 1，B 2，C 2，B 3，C 3的横、纵坐标都是整数．在线段B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3中，⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”是 ；（2）△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），其中t ≠0．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．5．如图，抛物线26y ax bx =+-交x 轴于(2,0),(6,0)A B -两点，交y 轴于点C (0,6)-，点Q 为线段BC 上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求QA QO +的最小值；（3）过点Q 作QP AC 交抛物线的第四象限部分于点P ，连接,PA PB ，记PAQ △与PBQ △的面积分别为12,S S ，设12S S S =+，当S 最大时，求点P 的坐标，并求S 的最大值．6．如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝2x ＋8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一条直线483y x =-+交x 轴正半轴于点C ．（1）写出C 点坐标 ；（2）若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝ S △AOB ，请求出点M 的坐标；（3）如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴正半轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 右侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求出点G 的坐标．7．已知抛物线y ＝ax 2+32x +4的对称轴是直线x ＝3，与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式和A ，B 两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN ＝3时，求点M 的坐标．8．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点，与y 轴交于点C ，且OC OB =．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE ，CE ，BC ，求BCE 面积的最大值；（3）点P 在抛物线的对称轴上，若线段PA 绕点P 逆时针旋转90︒后，点A 的对应点'A 恰好也落在此抛物线上，求点P 的坐标．9．问题发现如图1，在Rt ABC △和Rt CDE △中，90ACB DCE ∠=∠=︒，45CAB CDE ∠=∠=︒，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ．（1）填空： ①BE AD的值为______； ②DBE ∠的度数为______．（2）类比探究如图2，在Rt ABC △和Rt CDE △中，90ACB DCE ∠=∠=︒，60CAB CDE ∠=∠=︒，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ．请求出BE AD的值及DBE ∠的度数，并说明理由； （3）拓展延伸如图3，在Rt ABC △和Rt CDE △中，90ACB DCE ∠=∠=︒，CAB CDE ∠=∠，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ，M 为DE 中点．若4BC =，3AC =，在点D 从A 点运动到B 点的过程中，请直接写出M 点经过的路径长．10．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ﹣3经过A 、B 、C 三点，点A （﹣3，0）、C （1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．11．如图1，直线y12=-x+b与地物线y＝ax2交于A．B两点，与y轴于点Ｃ，其中点A的坐标为（﹣4，8）．(1)求a，b的值；(2)将点A绕点C逆时针旋转90°得到点D．①试说明点D在抛物线上；②如图2，将直线AB向下平移，交抛物线于E，F两点（点E在点F的左侧），点G在线段OC上．若GEF DBA∽（点G，E，F分别与点D，B，A对应），直接写出点G的坐标．12．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y12=x﹣2的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．(1)求二次函数的表达式．(2)如图2，连接AC，点M为线段BC上的一点，设点M的横坐标为t，过点M作y轴的平行线，过点C作x轴的平行线，两者交于点N，将△MCN沿MC翻折得到△MCN'．①当点N'落在线段AB上，求此时t的值；②求△MCN′与△ACB重叠的面积S与t的函数关系式．(3)如图3，点D在直线BC下方的二次函数图象上，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，直线y＝﹣2x+10分别与x轴，y轴交于点A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且ABD的面积为，求点D的坐标；(3)点P为抛物线上一点，若APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．14．等腰△ABC中，BA＝BC，过点A作AD⊥BC于点D，平面上有一点E，连接ED，EB，ED＝2EB，作∠BED的角平分线交BC于点F．(1)如图1，当∠EBC ＝90°时，若∠BAD ＝45°，BE ＝23，求线段DC 的长；(2)如图2，当∠EBC ＞90°时，过点F 作FG ⊥AC ，分别交AC ，AD 于点G ，H ，若AD ＝2BF ，P 为EF 中点，连接BP ，求证：AB ﹣3BP ＝DH ；(3)如图3，在（1）问的条件下，BE 上取点O ，BO ，点M ，N 为线段BD 上的两个动点（点M 在点N 的左侧），连接AN ，将△AND 绕点D 逆时针旋转得到△A ′N ′D ，若满足A ′D ⊥AN 于点P ，连接OM ，MP ，当OM +MP 的值最小时，直接写出△OMP 的面积．15．已知抛物线24y ax bx =++（a ≠0）与x 轴交于点A （3-，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，直线y mx n =+经过两点A 、C ．(1)求a ，b 的值；(2)如图1，点Р在已知抛物线上，且位于第二象限，当四边形PABC 的面积最大时，求点P的坐标．(3)如图2，将已知抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为2'y，若抛物线'y与原抛物线的对称轴交于点Q．点E是新抛物线'y的对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE是等腰三角形时，请直接写出点E的坐标．16．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，将一张和△ABC一样大的纸片和△ABC重叠放置，点E是边BC上一点（不含点B、C），将△OCE 沿着OE翻折，点C落在点P处．(1)直接写出∠OBC、∠OCB的数量关系是．(2)连接DE，设△OPE的面积为S1，△ODE的面积为S2，在点E取边BC上每一点（除点B、C）的过程中，S1+S2的值是否变化？如果变化，请求出它的取值范围；如果不变，请求出S1+S2的值；(3)分别连接PD、PC，当点P与点B重合时，易知PO•PC＝PE•PD，当点P不与点B重合时，PO•PC＝PE•PD是否成立？请在图3、图4中选一种情况进行证明．17．抛物线2=-++交x轴于点A，B（A在B的左边），交y轴于点C，顶点为y x2x3M，对称轴MD交x轴于点D，E是线段MD上一动点，以OB，BE为邻边作平行四边形OBEF，EF交抛物线于点P，G（P在G的左边），交y轴于点H．(1)求点A，B，C的坐标；(2)如图1，当EG FP=时，求DE的长；(3)如图2，当1DE=时，①求直线FC 的解析式，并判断点M 是否落在该直线上．②连接CG ，MG ，CP ，MP ，记CGM △的面积为1S ，CPM △的面积为2S ，则12S S =__________． 18．在平面直角坐标系中，抛物线y 12=-x 22x +3与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，过点B 作BC 的垂线，交对称轴于E ．(1)如图1，点P 为第一象限内的抛物线上一动点，当△PAE 面积最大时，在对称轴上找一点M ，在y 轴上找一点N ，使得OM +MN +NP 最小，求此时点M 的坐标及OM +MN +NP 的最小值；(2)如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D 在射线AD 上移动，点D 平移后的对应点为D '，点A 的对应点A '，设原抛物线的对称轴与x 轴交于点F ，将△FBC 沿BC 翻折，使点F 落在点F ′处，在平面上找一点G ，使得以A '、D '、F '、G 为顶点的四边形为菱形．直接写出D ′的坐标．19．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线:4l y x =+交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，AB CD ，()2,3A ，点P 是直线l 上一动点，连接AP ，BP ．(1)求直线AB 的表达式；(2)求22AP CP+的最小值；(3)如图2，将三角形ABP沿BP翻折得到A BP'，当点A'落在坐标轴上时，请直接写出直线BP的表达式．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于两点与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点D，与x轴交于点E．(1)求抛物线的对称轴及B点的坐标(2)如果，求抛物线的表达式；(3)在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段BC的下方，，求点F的坐标【参考答案】参考答案**科目模拟测试一、解答题1．（1）PO，垂线段最短；（2）；（3）①DE的最小值是1；②△BPE的面积为；（4）AE的最小值为．【解析】【分析】（1）根据垂线段的性质即可解答；（2）由（1）知当PC⊥AB时，PC取得最小值，利用面积法即可求解；（3）①根据旋转的性质，旋转前后的图形对应线段、对应角相等，可证得△ABP≌△CBE，得到∠BCE=30°．得到点E在射线CE上，根据“垂线段最短”这一定理，当∠DEC=90°时，DE最短，据此求解即可；②利用勾股定理求得ECAP AD、PD、BP的长，即可求解；（4）作出如图的辅助线，先判断出点E在直线GH上运动，根据“垂线段最短”这一定理，当当AE⊥GH时，AE最短，利用相似三角形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积公式即可求解．【详解】解：（1）∵PO⊥直线m，∴从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．故答案为：PO，垂线段最短；（2）由（1）知当PC⊥AB时，PC取得最小值，S△ABC=12AC BC=12AB PC，∴PC=，即CP的最小值为，故答案为：；（3）①由旋转知∠PBE=60°，BP=BE，∴△PBE是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，边长为4，∴AB=BC，∠ABC=60°，∠ABD=∠CBD=30°，BD=CD=2，∴∠ABP=∠CBE，∴△ABP≌△CBE（SAS），∴∠BCE=∠BAD=30°；∵点P为高AD上的一个动点，∴点E在射线CE上，根据“垂线段最短”可知，当DE⊥CE时，DE最短．∵∠BCE=30°，CD=2，∴DE=12CD=1，即DE的最小值是1；②由①得CD=2，DE=1，∴CE=，∵△ABP≌△CBE，∴AP=CE3，在Rt△BDA中，AB=4，BD=2，∴AD=，∴PD=AD-AP=3，∴PB=，∴等边三角形△PBE的高为，∴△BPE的面积为=；（4）过点B作BH⊥AC于点H，则∠BHC=90°，∴∠HBC+∠HCB=90°，∠ACD+∠HCB=90°，∴∠HBC=∠ACD，∵∠EBF=∠ACD，∴∠HBC=∠EBF，此时点F与点C重合，点E与点H重合，∵AB=3，BC=4，∴AC=，∵S△ABC=12AB BC=12AC BH，∴BH=125，∴AH=，取AB中点G，过点G作GI⊥AB交AC于点I，则∠BGI=90°，∴∠GBI=∠BAC，∵∠EBF=∠ACD=∠BAC，∴∠GBI=∠EBF，此时点F与点I重合，点E与点G重合，顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，且，四点共圆，∴点E在直线GH上运动，根据“垂线段最短”这一定理，当AE⊥GH时，AE最短，过点H作HP⊥AB于点P，∴△APH~△ABC，∴，即，∴PH=，AP=，∴PG=AG-AP=，∴GH=，∵S△AGH=12AG PH=12GH AE，∴AE =，∴AE 的最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理，等边三角形的判定和性质，四点共圆的判定等知识，解决本题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．2．（1）265y x x =-+；（2）当M 运动到515(,)24- 时，线段MN 的长度最大为254；（3）①(1,4)-；②22FD ≤≤．【解析】【分析】（1）先求得直线与坐标轴的交点坐标，然后代入到抛物线解析式即可求解；（2）设设2(,65)M m m m -+，则(,5)N m m -+，则2(5)(65)MN m m m =-+--+，整理可得225255()24MN m m m =-+=--+，可求得当52m =时，MN 的最大值为254，进而求得M 坐标；（3）①由（1），（2）可求得514AB AB OB OA '==-=-=，从而求得点B '坐标；②根据点P 的运动情况，来确定点D 的运动轨迹，是与点P 半径相等的圆，圆心为B '，作射线FB '，与⊙B '交于1D ，2D ，从而确定FD 的范围．【详解】解：（1）∵直线55y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，C 两点，∴当0x =时，5y =，所以(0,5)C ，当0y =时，1x =，所以(1,0)A ，∵抛物线2y x bx c =++经过A ，C 两点，∴5c =，150b ++=，解得6b =-，∴抛物线解析式为265y x x =-+．（2）令0y =，∴265=0-+x x ，解得：11x =，25x =，∴(5,0)B ，∴直线BC 的解析式为：5y x =-+，设2(,65)M m m m -+，则(,5)N m m -+，∴2(5)(65)MN m m m =-+--+， ∴225255()24MN m m m =-+=--+，∴当52m =时，MN 的最大值为254， ∴当M 运动到515(,)24- 时，线段MN 的长度最大为254．（3）①将线段AB 绕A 点顺时针旋转90°，∴B A BA '⊥，∵(1,0)A ，(5,0)B ，∴514AB AB OB OA '==-=-=，∴(1,4)B '-；②连接PB ，B D '，由①可得4AB AB '==，又已知PAD △是等腰直角三角形，90BAB PAD '∠=∠=︒，AD AP =，∴(SAS)DAB PAB '≌△△，∴2B D BP '==，∴当P 点在⊙B 上运动时，点D 在以B '为圆心，半径为2的圆上，∴作射线FB '，与⊙B '交于1D ，2D 两点，情况一：当交点为1D 时，1FD 为最小值，即11FD FB B D ''=-，已知(1,0)A ，(5,0)B ，2BF =，∴426AF AB BF =+=+=,4AB AB '==,∴在Rt AFB '△中，222246FB AB AF ''=+=+ ,即213FB '=，∴12132FD =-；情况二：当交点为2D 时，2FD 为最大值，即22FD FB B D ''=+，已知(1,0)A ，(5,0)B ，2BF =，∴426AF AB BF =+=+=,4AB AB '==,∴在Rt AFB '△中，222246FB AB AF ''++即213FB '=∴22132FD =；综上21322132FD ≤≤．【点睛】本题考查二次函数的综合问题，待定系数法确定函数解析式，抛物线与线段最值问题，以及瓜豆原理在二次函数中的应用问题，其中利用点P ，确定点D 的运动轨迹是本题的解题关键．3．（121；（2）证明见解析；（321- 【解析】【分析】（1）证明,AD BD = 再利用勾股定理求解,,AB BC 从而可得答案；（2）如图，过E 作EH AD ⊥于,H 过F 作FQ BC ⊥于,Q 而,AD CD ⊥ 证明,EHM CDM ≌ 可得22,AE EH CD == 同理：22,BF FQ BQ == 而,AE BF = 再证明,FQC DCA ≌ 可得,FCQ CAD ∠=∠ 再证明,AF AN = 从而可得结论；（3）如图，记CP 与AB 的交点为,L 由（2）得：45,ACF BAD ∠=∠=︒ 证明,22.5,CF CA CAD =∠=︒ 可得CP 平分,ACF ∠ 则,A F 关于直线CP 对称，,PF PA = 过F 作FK AC ⊥于,K 则此时,PA PK PF PK FK +=+= 所以PA PK +最短，设,PK n = 则1,21,PF PA n AK ==-= 再利用勾股定理求解,n 即可得到答案.【详解】解：（1）45B ∠=︒，AD 为BC 边上的高，90,45,ADB B BAD ∴∠=︒∠=∠=︒221,112,AD BD AB ∴==+=AB BC =，2,2 1.BC CD BC BD ∴==-=-（2）如图，过E 作EH AD ⊥于,H 过F 作FQ BC ⊥于,Q 而,AD CD ⊥则90,EHM CDM ∠=∠=︒M 为CE 的中点，,HME DMC ∠=∠ ,EM CM ∴=,EHM CDM ∴≌,EH CD ∴=45,90,BAD AHE EHM ∠=︒∠=∠=︒22,AE EH CD ∴==同理：22,BF FQ BQ == 而,AE BF =,FQ BQ CD EH ∴===,BD CQ AD ∴==90,ADC CQF ∠=∠=︒,FQC DCA ∴≌,FCQ CAD ∴∠=∠,AB BC =,BAC BCA ∴∠=∠,BAD ACF ∴∠=∠ 而,B BAD ∠=∠,,B FCQ AFN ANF ACF CAD ∠+∠=∠∠=∠+∠,AFN ANF ∴∠=∠,AF AN ∴=2.AN CD AF AE AF BF AB ∴=+=+=（3）如图，记CP 与AB 的交点为,L 由（2）得：45,ACF BAD ∠=∠=︒,45,BA BC B =∠=︒67.5,BAC BCA ∴∠=∠=︒67.5,CFA BAC ∴∠=︒=∠,22.5,CF CA CAD ∴=∠=︒22.5,ACP CAD ∠=∠=︒CP ∴平分,ACF ∠,,CP AF AL FL ∴⊥=则,A F 关于直线CP 对称，,PF PA =过F 作FK AC ⊥于,K 则此时,PA PK PF PK FK +=+=所以PA PK +最短，2,AC ∴= 则2,CF = 而45,ACF ∠=︒1,CK FK ∴==设,PK n = 则1,21,PF PA n AK ==-=())222121,n n ∴-=+ 解得：21,n = )121121.22CPK S ∴=⨯⨯= 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，本题综合性较强，是压轴题，知识的系统化是解题的关键.4．（1）B 2C 2；（233-3）OA 最小值为1，相应的3BC =OA 最大值为2，相应的6BC =【解析】【分析】（1）结合题意，根据旋转和圆的性质分析，即可得到答案；（2）根据题意，分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况；根据等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质，得3AD OD == （3）结合题意，得当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值；当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值；根据勾股定理、等腰三角形的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）线段B 1C 1绕点A 旋转得到的11B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 1C 1不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 2C 2绕点A 旋转得到的22B C ''，如下图：∴线段B 2C 2是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 3C 3绕点A 旋转得到的33B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 3C 3不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；故答案为：B 2C 2；（2）∵△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），⊙O 的半径为1∴//B C x ''轴分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况：当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：∵1OB OC ''== ∴1122B D BC '''==∴2232OD OB B D ''=-= ∵△ABC 是边长为1的等边三角形，即△AB C ''是边长为1的等边三角形，∴AC D OC D ''∠=∠，AD B C ''⊥∴AC D OC D ''△≌△∴32AD OD == ∴3AO AD OD =+=∴3t =；当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：同理，3AO AD OD =+=∴()0,3A -；∴t 3=-；∴3t =或3-；（3）当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值，如下图：∴OA 最小值为1，90AB C ''∠=︒∴223BC B C AC AB ''''==-=当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值，2OA AC '== ，如下图：作AE OC '⊥交OC '于点E ，作C F AO '⊥交AO 于点F ，如下图∵2OA AC '== ∴1122OE OC '== ∴2215AE AO OE - ∵11222AE OC OB C F '''⨯=⨯⨯ ∴1152C F AE '== ∴2214OF OC C F ''=-= ∴34B F OB OF ''=-= ∴26BC B C C F B F ''''==+=∴OA 最小值为1，相应的BC =OA 最大值为2，相应的BC =． 【点睛】 本题考查了旋转、圆、等边三角形、勾股定理、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、圆周角、等腰三角形三线合一、勾股定理的性质，从而完成求解．5．（1）y =12x 2−2x −6；（2）QO ＋QA 有最小值10；（3）P （3，−152）时，S 有最大值152【解析】【分析】（1）运用待定系数法设y ＝a （x ＋2）（x −6），将C （0，−6）代入，即可求得答案；（2）如图1，作点O 关于直线BC 的对称点O ′，连接AO ′，QO ′，CO ′，BO ′，由O 、O ′关于直线BC 对称，得出四边形BOCO ′是正方形，根据QA ＋QO ′≥AO ′，QO ′＝QO ，得出答案；（3）运用待定系数法求出直线BC 、AC 、PQ 的解析式，设P （m ，12m 2−2m −6），联立方程组，得：261362y x y x m m ⎪--⎧⎪-⎨⎩＝＝＋＋，求得Q （22128m m +-，22608m m +-），再运用三角形面积公式求得答案．【详解】解：（1）∵抛物线交x 轴于A （−2，0），B （6，0）两点，∴设y ＝a （x ＋2）（x −6），将C （0，−6）代入，得：−12a ＝−6，解得：a ＝12， ∴y ＝12（x ＋2）（x −6）＝12x 2−2x −6， ∴抛物线的解析式为y =12x 2−2x −6；（2）如图1，作点O 关于直线BC 的对称点O ′，连接AO ′，QO ′，CO ′，BO ′，∵OB＝OC＝6，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝45°，∵O、O′关于直线BC对称，∴BC垂直平分OO′，∴OO′垂直平分BC，∴四边形BOCO′是正方形，∴O′（6，−6），在Rt△ABO′中，AO′＝2222+=+=，AB O B'8610∵QA＋QO′≥AO′，QO′＝QO，∴QO＋QA＝QA＋QO′≥AO′＝5，即点Q位于直线AO′与直线BC交点时，QO＋QA有最小值10；（3）设直线BC的解析式为y＝kx＋d，∵B（6，0），C（0，−6），∴606k d d ⎨⎩-⎧＋＝＝，解得：16k d =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝x −6，设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n ，∵A （−2，0），C （0，−6），∴206m n n ⎧⎨⎩--＋＝＝，解得：36m n =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的解析式为y ＝−3x −6，∵PQ ∥AC ，∴直线PQ 的解析式可设为y ＝−3x ＋b ，由（1）可设P （m ，12m 2−2m −6），代入直线PQ 的解析式， 得：12m 2−2m −6＝−3m ＋b ，解得：b ＝12m 2＋m −6，∴直线PQ 的解析式为y ＝−3x ＋12m 2＋m −6， 联立方程组，得：261362y x y x m m ⎪--⎧⎪-⎨⎩＝＝＋＋， 解得：2221282608m m x m m y ⎧+-=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， ∴Q （22128m m +-，22608m m +-）， 由题意：S ＝S △PAQ ＋S △PBQ ＝S △PAB −S △QAB ，∵P ，Q 都在第四象限，∴P ，Q 的纵坐标均为负数，∴S ＝12|AB |•（−12m 2＋2m ＋6）−12|AB |•（22608m m +--） ＝23962m m -+-2315(3)22m =--+， 由题意，得0＜m ＜6，∴m ＝3时，S 最大，即P （3，−152）时，S 有最大值152． 【点睛】 本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，将军饮马的最值问题，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识，运用数形结合思想是解题关键．6．（1）点C （6，0）；（2）点1224(,)55M ；（3）满足条件的点G 坐标为34(0,)7或(0,-2)．【解析】【分析】（1）直接利用直线483y x =-+，令y=0，解方程即可； （2）结合图形，由S △AMB ＝S △AOB 分析出直线OM 平行于直线AB ，再利用两直线相交建立方程组2483y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解方程组求得交点M 的坐标； （3）分两种情形：①当n ＞4时，如图2-1中，点Q 落在BC 上时，点Q 落在BC 上时，过G 作MN 平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，分别交于M ，N ．求出Q （n-4，n-2）．②当n ＜4时，如图2-2中，同法可得Q （4-n ，n +2），代入直线BC 的解析式解方程即可解决问题．【详解】解：（1）∵直线483y x =-+交x 轴正半轴于点C ． ∴当y =0时，48=03x -+， 解得x =6∴点C （6，0）故答案为（6，0）；（2）连接OM 并双向延长，∵S △AMB ＝S △AOB ，∴点O 到AB 与点M 到AB 的距离相等，∴直线OM 平行于直线AB ，∵AB 解析式为y ＝2x ＋8，故设直线OM 解析式为：2y x =，将直线OM 的解析式与直线BC 的解析式联立得方程组得：2483y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩， 解得：125245x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点1224(,)55M ； （3）∵直线y ＝2x ＋8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴令y=0，2x ＋8=0，解得x =-4，∴A （-4，0），令x =0，则y ＝8∴B （0，8），∵点F 为AB 中点，点F 横坐标为()1-4+0=-22，纵坐标为()10+8=42∴F （-2，4），设G （0，n ），①当n ＞4时，如图2-1中，点Q 落在BC 上时，过G 作MN 平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，分别交于M ，N ．∵四边形FGQP 是正方形，∴FG =QG ，∠FGQ =90°，∴∠MGF +∠NGQ =180°-∠FGQ=180°-90°=90°，∵FM ⊥MN ，QN ⊥MN ，∴∠M =∠N =90°，∴∠MFG +∠MGF =90°，∴∠MFG =∠NGQ ，在△FMG 和△GNQ 中，M N MFG NGQ FG GQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△FMG ≌△GNQ ，∴MG =NQ =2，FM =GN =n -4，∴Q （n -4，n -2），∵点Q 在直线483y x =-+上， ∴42(4)43n n -=--+， ∴34=7n , ∴34(0,)7G ． ②当n ＜4时，如图2-2中，点Q 落在BC 上时，过G 作MN 平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，分别交于M ，N ．∵四边形FGQP 是正方形，∴FG =QG ，∠FGQ =90°，∴∠MGF +∠NGQ =180°-∠FGQ=180°-90°=90°，∵FM ⊥MN ，QN ⊥MN ，∴∠M =∠N =90°，∴∠MFG +∠MGF =90°，∴∠MFG =∠NGQ ，在△FMG 和△GNQ 中，M N MFG NGQ FG GQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△FMG ≌△GNQ ，∴MG =NQ =2，FM =GN = 4-n ，∴Q （4- n ， n +2），∵点Q 在直线483y x =-+上， ∴42(4)83n n +=--+，∴n =-2，∴(0,-2)G ．综上所述，满足条件的点G 坐标为34(0,)7或(0,-2)． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，平行线性质，两直线联立解方程组，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．（1）213442y x x =-++，点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）；（2）存在，点P （4，6）；（3）点M 的坐标为（4﹣771）或（77﹣1）．【解析】【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线x ＝3，解出a 的值，即可求得抛物线解析式，在令其y 值为零，解一元二次方程即可求出A 和B 的坐标；（2）易求点C 的坐标为（0，4），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将B （8，0），C （0，4）代入y ＝kx +b ，解出k 和b 的值，即得直线BC 的解析式；设点P 的坐标为（x ，213442x -++），过点P 作PD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x ，142x -+），利用关系式S 四边形PBOC ＝S △BOC +S △PBC 得出关于x 的二次函数，从而求得其最值；（3）设点M 的坐标为（m ，213442m m -++）则点N 的坐标为（m ，142m -+），MN ＝2213114(4)24224m m m m m -++--+=-+，分当0＜m ＜8时，或当m ＜0或m ＞8时来化简绝对值，从而求解．【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x ＝3，3232a∴-= 14a ∴=- ∴抛物线的解析式为：213442y x x =-++． 当y ＝0时，2130442x x =-++，解得x 1＝﹣2，x 2＝8， ∴点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）．答：抛物线的解析式为：213442y x x =-++；点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）．（2）当x ＝0时，2134442y x x =-++=， ∴点C 的坐标为（0，4）．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将B （8，0），C （0，4）代入y ＝kx +b 得804k b b +=⎧⎨=⎩，解得124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为142y x =-+． 假设存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大，设点P 的坐标为（x ，213442x x -++），如图1所示，过点P 作PD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x ，142x -+），则PD ＝2211314222()444-++-++-=-x x x x x ， ∴S 四边形PBOC ＝S △BOC +S △PBC118422PD OB =⨯⨯+⋅ 211168(2)24x x =+⨯-+ 2816x x =-++2(4)32x =--+∴当x ＝4时，四边形PBOC 的面积最大，最大值是32∵0＜x ＜8，∴存在点P （4，6），使得四边形PBOC 的面积最大．答：存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大；点P 的坐标为（4，6），四边形PBOC 面积的最大值为32．（3）设点M 的坐标为（m ，213442m m -++）则点N 的坐标为（m ，142m -+）， ∴MN ＝2213114(4)24224m m m m m -++--+=-+ 又∵MN ＝3，21234m m ∴-+= 当0＜m ＜8时，212304m m -+-=，解得m 1＝2，m 2＝6， ∴点M 的坐标为（2，6）或（6，4）；当m ＜0或m ＞8时，212304m m -+-=，解得m 3＝4-m 4＝4+，∴点M 的坐标为（4-1）或（4+，1）．答：点M 的坐标为（2，6）、（6，4）、（4-1）或（4+，1）．【点睛】本题属于二次函数压轴题，综合考查了待定系数法求解析式，解析法求面积及点的坐标的存在性，最大值等问题，难度较大．8．（1）223y x x =--+；（2）278；（3）P （-1，1）或（-1，-2）． 【解析】【分析】（1）由题意已知抛物线过A 、B 两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）根据题意连接BC ，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，设E （a ，-a 2-2a +3）（-3＜a ＜0），可得EF =-a 2-2a +3，BF =a +3，OF =-a ，根据S △BEC =S 四边形BOCE -S △BOC ，构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可．（3）根据题意由P 在抛物线的对称轴上，设出P 坐标为（-1，m ），如图所示，过A ′作A ′N ⊥对称轴于N ，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS 得到△A ′NP ≌△PMA ，由全等三角形的对应边相等得到A ′N =PM =|m |，PN =AM =2，表示出A ′坐标，将A ′坐标代入抛物线解析式中求出相应m 的值，即可确定出P 的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0）， ∴OB =3，∵OC =OB ，∴OC =3，∴c =3，∴， 解得：， ∴所求抛物线解析式为：223y x x =--+；（2）如图2，连接BC ，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，设E （a ，-a 2-2a +3）（-3＜a ＜0），∴EF =-a 2-2a +3，BF =a +3，OF =-a ，∴S △BEC =S 四边形BOCE -S △BOC =12BF •EF +12（OC +EF ）•OF -12•OB •OC =12（a +3）•（-a 2-2a +3）+12（-a 2-2a +6）•（-a ）-92 =-32a 2-92a=-32（a+32）2+278，∴当a=-32时，S△BEC最大，且最大值为278．（3）∵抛物线y=-x2-2x+3的对称轴为x=-1，点P在抛物线的对称轴上，∴设P（-1，m），∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，①当m≥0时，∴PA=PA′，∠APA′=90°，如图3，过A′作A′N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，∴∠NPA′+∠MPA=∠NA′P+∠NPA′=90°，∴∠NA′P=∠NPA，在△A′NP与△PMA中，，∴△A′NP≌△PMA（AAS），∴A′N=PM=m，PN=AM=2，∴A′（m-1，m+2），代入y=-x2-2x+3得：m+2=-（m-1）2-2（m-1）+3，解得：m=1，m=-2（舍去），②当m＜0时，要使P2A=P2A2，由图可知A2点与B点重合，∵∠AP2A2=90°，∴MP2=MA=2，∴P2（-1，-2）．∴满足条件的点P 的坐标为P （-1，1）或（-1，-2）．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，四边形的面积．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．9．（1）①1；②90°；（2）BE AD =90DBE ∠=︒，理由见解析；（3）256 【解析】【分析】（1）①证明ACD △≌BCE 即可求得BE AD的值；②由①的结论，可得DBE ABC CBE ∠=∠+∠，进而可得DBE ∠的度数； （2）由已知条件证明Rt ACB △∽Rt DCE ，可得AC CD BC CE =，又ACD BCE ∠=∠，可得ACD △∽BCE，进而根据AC BC =BE BC AD AC ==1）可得DBE ABC CBE ∠=∠+∠，进而可得DBE ∠的度数；（3）设AB 的中点为P ，BE 的中点为Q ，由题意M 的路径长为PQ 的长，根据（2）的结论可得ACD △∽BCE ，进而求得CE 的长，根据中位线定理即可求得PQ ，即M 点经过的路径长．【详解】（1）∵90ACB DCE ∠=∠=︒，45CAB CDE ∠=∠=︒，∴45ABC CAB CDE CED ∠=∠=︒=∠=∠，∴AC BC =，CD CE =，∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD BCE ∠=∠，在ACD △和BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ACD △≌BCE （S A S ），∴BE AD =，45CAB CBE ∠=∠=︒，∴90DBE ABC CBE ∠=∠+∠=︒，1BE AD=． 故答案为：1，90°．（2）BE AD =90DBE ∠=︒． 理由如下：∵90ACB DCE ∠=∠=︒，60CAB CDE ∠=∠=︒，∴30CED ABC ∠=∠=︒，ACB DCB DCE DCB ∴∠-∠=∠-∠，即ACD BCE ∠=∠， ∴3tan tan 303AC ABC BC ∠=︒==． ∵90ACB DCE ∠=∠=︒，60CAB CDE ∠=∠=︒，∴Rt ACB △∽Rt DCE ，∴AC CD BC CE =， ∴AC BC CD CE=，且ACD BCE ∠=∠， ∴ACD △∽BCE ， ∴3BE BC AD AC ==，60CBE CAD ∠=∠=︒， ∴90DBE ABC CBE ∠=∠+∠=︒．（3）如图，设AB 的中点为P ，BE 的中点为Q ，点D 是线段AB 上一动点， M 为DE 中点,在点D 从A 点运动到B 点的过程中，M 点从AB 的中点P 运动到BE 的中点Q ，当D 点与B 点重合时，M 点与Q 点重合，此时如图，则M 点的运动路径长为PQ 的长，由（2）可得ACD △∽BCE ，4BC =，3AC =，90ACB ∠=︒,∴43BE BC EC AD AC CD ===，5AB =， 4CD BC ==，163EC ∴=， 1625333AE AC EC ∴=+=+=， ,P Q 分别为,AD BE 的中点，则256PQ =， ∴M 点的运动路径长为256． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．10．(1)y ＝x 2+2x ﹣3；(2)（﹣32，154-） (3)（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，）【解析】【分析】（1）把点A ，B 代入y ＝ax 2+bx ﹣3即可； （2）设P （x ，x 2+2x ﹣3），求出直线AB 的解析，用含x 的代数式表示出点E 坐标，即可用含x 的代数式表示出PE 的长度，由函数的思想可求出点P 的横坐标，进一步求出其纵坐标；（3）设点Q （-1，a ），然后分类讨论利用勾股定理列出关于a 的方程求解．(1)解：把A （﹣3，0）和C （1，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣3，得，， 解得，，∴抛物线解析式为y ＝x 2+2x ﹣3；(2)解：设P （x ，x 2+2x ﹣3），直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，由抛物线解析式y ＝x 2+2x ﹣3，令x ＝0，则y ＝﹣3，∴B （0，﹣3），把A（﹣3，0）和B（0，﹣3）代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3，∵PE⊥x轴，∴E（x，﹣x﹣3），∵P在直线AB下方，∴PE＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+32）2+94，当x＝﹣32时，y＝x2+2x﹣3＝154-，∴当PE最大时，P点坐标为（﹣32，154-）；(3)存在，理由如下，∵x＝﹣＝-1，∴抛物线的对称轴为直线x＝-1，设Q（-1，a），∵B（0，-3），A（-3，0），①当∠QAB＝90°时，AQ2+AB2＝BQ2，∴22+a2+32+32＝12+（3+a）2，解得：a＝2，∴Q1（-1，2），②当∠QBA＝90°时，BQ2+AB2＝AQ2，∴12+（3+a）2+32+32＝22+a2，解得：a＝﹣4，∴Q2（-1，﹣4），③当∠AQB＝90°时，BQ2+AQ2＝AB2，∴12+（3+a）2+22+a2＝32+32，解得：a1＝或a1＝，∴Q3（-1，），Q4（-1，），综上所述：点Q的坐标是（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，）．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，解题的关键是用含有未知数的代数式表达点的坐标和线段的长度．11．(1)126a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (2)①见解析；②20(0,)9G 【解析】【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可．（2）①如图1中，分别过点A ，D 作AM ⊥y 轴于点M ，DN ⊥y 轴于点N ．利用全等三角形的性质求出点D 的坐标，可得结论． ②设21(,)2E t t ，求出直线EG ，FG 的解析式，构建方程组求出点G 的坐标，再根据点G 的横坐标为0，构建方程组求出t ，即可解决问题．(1) 解：由题意，得21(4)82(4)8b a ⎧-⨯-+=⎪⎨⎪-⨯=⎩， 解得126a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩． (2)解：①如图1中，分别过点A ，D 作AM ⊥y 轴于点M ，DN ⊥y 轴于点N ．由（1）可知，直线AB 的解析式为162y x =-+， ∴C （0，6），∵A （-4，8），∴AM =4，OM =8，OC =6，∴CM =2，90AMC DNC ACD ∠=∠=∠=︒，∴90ACM DCN ∠+∠=︒，90DCN CDN ∠+∠=︒，∴=ACM CDN ∠∠，∵CA ＝CD ，∴AMC CND AAS ≌（），。

中考数学综合题压轴题100题精选（附答案解析）一、中考压轴题1．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．【分析】（1）AB1∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．【解答】解：（1）AB1∥BC．证明：由已知得△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（5分）（2）如图1，∠C＝60°时，AB1∥BC．（7分）（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．证明：显然△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∴∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（13分）【点评】考查图形的旋转，等腰三角形的性质，平行线的判定．本题实质是考查对图形旋转特征的理解，旋转前后的图形是全等的．2．如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，AE＝DE，AC，BD的交点为O．（1）求证：△AEC≌△DEB；（2）若∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝2 cm，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）在△AEC和△DEB中，已知AE＝DE，BE＝CE，且夹角相等，根据边角边可证全等．（2）由图可知，在连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD之后，整个图形是一个以EF所在直线对称的图形．即△AEO和△DEO面积相等，只要求出其中一个即可，而三角形AEO面积＝•OE•FB，所以解题中心即为求出OE和FB，有（1）中结论和已知条件即可求解．【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠BEC＝∠DEC+∠BEC，即∠AEC＝∠DEB，∵△BEC是等边三角形，∴CE＝BE，又AE＝DE，∴△AEC≌△DEB．（2）解：连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD．由（1）知AC＝BD．∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴AB∥DC，AB＝＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，又∵BE＝CE，∴OE所在直线垂直平分线段BC，∴BF＝FC，∠EFB＝90°．∴OF＝AB＝×2＝1，∵△BEC是等边三角形，∴∠EBC＝60°．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝AB•cos30°＝，在Rt△BFE中，∠BFE＝90°，∠EBF＝60°，∴BF＝BE•cos60°＝，EF＝BE•sin60°＝，∴OE＝EF﹣OF＝＝，∵AE＝ED，OE＝OE，AO＝DO，∴△AOE≌△DOE．∴S△AOE＝S△DOE∴S阴影＝2S△AOE＝2וEO•BF＝2×××＝（cm2）．【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．3．如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，M是线段PQ的中点．如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0）．点列P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称…对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2，P7，P100的坐标．【分析】通过作图可知6个点一个循环，那么P7的坐标和P1的坐标相同，P100的坐标与P4的坐标一样，通过图中的点可很快求出．【解答】解：P2的坐标是（1，﹣1），P7的坐标是（1，1），P100的坐标是（1，﹣3）．理由：作P1关于A点的对称点，即可得到P2（1，﹣1），分析题意，知6个点一个循环，故P7的坐标与P1的坐标一样，P100的坐标与P4的坐标一样，所以P7的坐标等同于P1的坐标为（1，1），P100的坐标等同于P4的坐标为（1，﹣3）．【点评】解决本题的关键是读懂题意，画出图形，仔细观察，分析，得到相应的规律．4．（1）已知一元二次方程x2+px+q＝0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q．（2）已知抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．【分析】（1）先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可；（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d＝|x1﹣x2|可知d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4 x1•x2＝p2，再由（1）中x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q即可得出结论．【解答】证明：（1）∵a＝1，b＝p，c＝q∴△＝p2﹣4q∴x＝即x1＝，x2＝∴x1+x2＝+＝﹣p，x1•x2＝•＝q；（2）把（﹣1，﹣1）代入y＝x2+px+q得1﹣p+q＝﹣1，所以，q＝p﹣2，设抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）∵d＝|x1﹣x2|，∴d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝p2﹣4q＝p2﹣4p+8＝（p﹣2）2+4当p＝2时，d2的最小值是4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系，熟知x1，x2是方程x2+px+q ＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q是解答此题的关键．5．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当0≤x≤20时y＝80x，∴k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝20时，y最大＝1600；当20≤x≤220时y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840．∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ 求x即可；（2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．【解答】解：（1）当PQ∥AD时，则∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，又∵AB∥CD，∴四边形APQD是矩形，∴AP＝QD，∵AP＝CQ，AP＝CD＝，∴x＝4．（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．∴（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2，∴y＝．∵0≤y≤6，∴0≤≤6，∴≤x≤．（3）S△BPE＝•BE•BP＝••（8﹣x）＝，S△ECQ＝＝•（6﹣）•x＝，∵AP＝CQ，∴S BPQC＝，∴S＝S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ＝24﹣﹣，整理得：S＝＝（x﹣4）2+12（），∴当x＝4时，S有最小值12，当x＝或x＝时，S有最大值．∴12≤S≤．【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．7．已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k 的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0．△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，∴k＜2，且k≠1．由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①，将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得：2k（x1+x2）＝4x1x2．又∵x1+x2＝，x1x2＝，∴2k•＝4•．解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝．∴y的最大值为，最小值为﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．8．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论；（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC＝m，AF＝n，用含n的代数式表示m．【分析】（1）由等边三角形的性质知，OBA＝∠CBD＝60°，易得∠OBC＝∠ABD，又有OB＝AB，BC＝BD故有△OBC≌△ABD；（2）由1知，△OBC≌△ABD⇒∠BAD＝∠BOC＝60°，可得∠OAE＝60°，在Rt△EOA 中，有EO＝OA•tan60°＝，即可求得点E的坐标；（3）由相交弦定理知1•m＝n•AG，即AG＝，由切割线定理知，OE2＝EG•EF，在Rt△EOA中，由勾股定理知，AE＝＝2，故建立方程：（）2＝（2﹣）（2+n），就可求得m与n关系．【解答】解：（1）两个三角形全等．∵△AOB、△CBD都是等边三角形，∴OBA＝∠CBD＝60°，∴∠OBA+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，即∠OBC＝∠ABD；∵OB＝AB，BC＝BD，△OBC≌△ABD；（2）点E位置不变．∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°；在Rt△EOA中，EO＝OA•tan60°＝，或∠AEO＝30°，得AE＝2，∴OE＝∴点E的坐标为（0，）；（3）∵AC＝m，AF＝n，由相交弦定理知1•m＝n•AG，即AG＝；又∵OC是直径，∴OE是圆的切线，OE2＝EG•EF，在Rt△EOA中，AE＝＝2，（）2＝（2﹣）（2+n）即2n2+n﹣2m﹣mn＝0解得m＝．【点评】命题立意：考查圆的相交弦定理、切线定理、三角形全等等知识，并且将这些知识与坐标系联系在一起，考查综合分析、解决问题的能力．9．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1﹣x）2＝4860，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），故平均每次下调的百分率为10%；（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；方案②可优惠：80×100＝8000（元）．故选择方案①更优惠．【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．10．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即：∴∴AH＝11.9∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．11．如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ＝．（1）求k的值；（2）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．【分析】（1）由一次函数解析式确定A点坐标，进而确定C，Q的坐标，将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值．（2）由（1）可分别确定QC＝CP，AC＝OC，且QP垂直平分AO，故可证明四边形APOQ是菱形．【解答】（1）解：∵y＝﹣x﹣2令y＝0，得x＝﹣4，即A（﹣4，0）由P为AB的中点，PC⊥x轴可知C点坐标为（﹣2，0）又∵tan∠AOQ＝可知QC＝1∴Q点坐标为（﹣2，1）将Q点坐标代入反比例函数得：1＝，∴可得k＝﹣2；（2）证明：由（1）可知QC＝PC＝1，AC＝CO＝2，且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，又结合了几何图形进行考查，属于综合性比较强的题目，有一定难度．12．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【解答】解：（1）连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．∵CE是直径，∴∠CDE＝90°．∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，∴∠ABP′＝∠C′．∵P′E是直径，∴∠EAP′＝90°，∴∠AP′E+∠E＝90°．又∠ABP′＝∠E，∴∠AP′E+∠C′＝90°，即CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．13．我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如：把方程2x﹣1＝3﹣x的解看成函数y ＝2x﹣1的图象与函数y＝3﹣x的图象交点的横坐标．如图，已画出反比例函数y＝在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象求方程x2﹣x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象；求出的解精确到0.1）【分析】根据题意可知，方程x2﹣x﹣1＝0的解可看做是函数y＝和y＝x﹣1的交点坐标，所以根据图象可知方程x2﹣x﹣1＝0的正数解约为1.1．【解答】解：∵x≠0，∴将x2﹣x﹣1＝0两边同时除以x，得x﹣1﹣＝0，即＝x﹣1，把x2﹣x﹣1＝0的正根视为由函数y＝与函数y＝x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标．如图：∴正数解约为1.1．【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系．一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解．14．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．【解答】（1）证明：连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C＝90°即CO1⊥AD，∵AO1＝DO1∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，∴∠E+∠ABD＝180°，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠E，又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，∴∠E＝∠AO1C，∴CO1∥ED，又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，∴O1C⊥AD，（3）（2）中的结论仍然成立．证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，∴∠B＝∠EO1C，又∵∠E＝∠B，∴∠EO1C＝∠E，∴CO1∥ED，又ED⊥AD，∴CO1⊥AD．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．15．如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC 并延长PC交y轴于点D（0，3）．（1）求证：△POD≌△ABO；（2）若直线l：y＝kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式．【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，可求得∠APB＝∠DPO＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，即可得△P AB是等边三角形，可得AB＝OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO；（2）易求得∠PDO＝30°，由OP＝OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式．【解答】（1）证明：连接PB，∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，∴∠APB＝∠DPO＝×180°＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，∵P A＝PB，∴△P AB是等边三角形，∴AB＝P A，∠BAO＝60°，∴AB＝OP，∠BAO＝∠OPD，在△POD和△ABO中，∴△POD≌△ABO（ASA）；（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO＝∠AOB，∵∠AOB＝∠APB＝×60°＝30°，∴∠PDO＝30°，∴OP＝OD•tan30°＝3×＝，∴点P的坐标为：（﹣，0）∴，解得：，∴直线l的解析式为：y＝x+3．【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．此题综合性较强，难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．16．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于40；②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）不合理，举例进行说明．【解答】解：（1）①∵内角为70°，∴与它相邻内角的度数为110°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，越接近1，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．17．图（1）是一个10×10格点正方形组成的网格．△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面的两个问题：（1）在图（1）中画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和△A2B2C2，且△A1B1C1与△ABC的相似比是2，△A2B2C2与△ABC的相似比是；（2）在图（2）中用与△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2全等的格点三角形（每个三角形至少使用一次），拼出一个你熟悉的图案，并为你设计的图案配一句贴切的解说词．【分析】（1）△A1B1C1与△ABC的相似比是2，则让△ABC的各边都扩大2倍就可．△A2B2C2与△ABC的相似比是；△ABC的直角边是2，所以△A2B2C2与的直角边是即一个对角线的长度．斜边为2．依此画图即可；（2）拼图有审美意义即可，答案不唯一．【解答】解：【点评】本题主要考查了相似图形的画法，做这类题时根据的是相似图形的性质，即相似比相等．对应角相等．18．如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，（1）求的长；（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN＝60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．【分析】（1）连接OE、OF，利用相切证明四边形AFOE是正方形，再根据弧长公式求弧长；（2）先求出直线M1N1与圆相切时d的值，结合1≤d≤4，划分d的范围，分类讨论．【解答】解：（1）连接OE、OF，∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，∴∠A＝90°，∠OEA＝∠OF A＝90°∴四边形AFOE是正方形∴∠EOF＝90°，OE＝AE＝∴的长＝＝π．（2）如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M1N1，切点为R，交AD于M1，交BC于N1，连接OM1、OR，∵M1N1∥MN∴∠DM1N1＝∠DMN＝60°∴∠EM1N1＝120°∵MA、M1N1切⊙O于点E、R∴∠EM1O＝∠EM1N1＝60°在Rt△EM1O中，EM1＝＝＝1∴DM1＝AD﹣AE﹣EM1＝+5﹣﹣1＝4．过点D作DK⊥M1N1于K在Rt△DM1K中DK＝DM1×sin∠DM1K＝4×sin∠60°＝2即d＝2，∴当d＝2时，直线MN与⊙O相切，当1≤d＜2时，直线MN与⊙O相离，当直线MN平移到过圆心O时，记为M2N2，点D到M2N2的距离d＝DK+OR＝2+＝3＞4，∴当2＜d≤4时，MN直线与⊙O相交．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．19．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是22.5°，∠B2的度数是67.5°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数，根据圆周角等于所对弧的度数的一半，就可以求出圆周角的度数．【解答】解：（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；（2）∵圆周被6等分∴＝＝＝360°÷6＝60°∵直径AD⊥B1C1∴＝＝30°，∴∠B1＝＝15°∠B2＝＝×（30°+60°）＝45°∠B3＝＝×（30°+60°+60°）＝75°；（3）B n∁n把圆周2n等分，则弧BnD的度数是：，则∠B n AD＝，在直角△AB n D中，．【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题，依据是圆周角等于所对弧的度数的一半．20．二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分如图所示，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而推出所得结论．【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，图象过点（0，1），c＝1，图象过点（1，0），a+b+c＝0，∴b＝﹣（a+c）＝﹣（a+1）．由题意知，当x＝﹣1时，应有y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a+（a+1）+1＞0，∴a＞﹣1，∴实数a的取值范围是﹣1＜a＜0．【点评】根据开口判断a的符号，根据与x轴，y轴的交点判断c的值以及b用a表示出的代数式．难点是推断出当x＝﹣1时，应有y＞0．21．今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．（1）求降低的百分率；（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？【分析】（1）设降低的百分率为x，则降低一次后的数额是25（1﹣x），再在这个数的基础上降低x，则变成25（1﹣x）（1﹣x）即25（1﹣x）2，据此即可列方程求解；（2）每人减少的税额是25x，则4个人的就是4×25x，代入（1）中求得的x的值，即可求解；（3）每个人减少的税额是25x，乘以总人数16000即可求解．【解答】解：（1）设降低的百分率为x，依题意有，25（1﹣x）2＝16，解得，x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）；（2）小红全家少上缴税25×20%×4＝20（元）；（3）全乡少上缴税16000×25×20%＝80 000（元）．答：降低的增长率是20%，明年小红家减少的农业税是20元，该乡农民明年减少的农业税是80 000元．【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？【分析】（1）利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；（2）把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；（3）∵∠DEF＝90°，只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可．【解答】解：（1）∵EF⊥DE，∴∠BEF＝90°﹣∠CED＝∠CDE，又∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDE，∴＝，即＝，解得y＝；（2）由（1）得y＝，将m＝8代入，得y＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣8x）＝﹣（x﹣4）2+2，所以当x＝4时，y取得最大值为2；（3）∵∠DEF＝90°，∴只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，∴△BEF≌△CDE，∴BE＝CD＝m，此时m＝8﹣x，解方程＝，得x＝6，或x＝2，当x＝2时，m＝6，当x＝6时，m＝2．【点评】本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来，在解题过程中，充分运用相似三角形对应边的比相等，建立函数关系式．23．在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，由D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．设DE＝a，DF＝b，且实数a，b满足9a2﹣24ab+16b2＝0，并有＝2566，∠A使得方程x2﹣x•sin A+sin A﹣＝0有两个相等的实数根．（1）试求实数a，b的值；（2）试求线段BC的长．【分析】（1）由题意可知：2a2b＝2566，则2a2b＝248，则a2b＝48．化简9a2﹣24ab+16b2＝0得：（3a﹣4b）2＝0，则3a﹣4b＝0，即3a＝4b，则根据，可求得a与b的值；（2）要求BC的长需求出BD和CD的长，知BD、CD分别是直角三角形BDE和直角三角形CDF中的斜边．又知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C，则根据三角函数只要知道∠B或∠C的读数即可，要求∠B或∠C的读数需求的∠A的读数，根据判别式可以求得∠A的读数．【解答】解：（1）由条件有，解得；（2）又由关于x的方程的判别式△＝sin2A﹣sin A+＝（sin A﹣）2＝0，则sin A＝，而∠A为三角形的一个内角，所以∠A1＝60°或∠A2＝120° 2分当∠A＝60°时，△ABC为正三角形，∠B＝∠C＝60°于是分别在Rt△BDE和Rt△CDF中有BD＝，CD＝所以BC＝BD+DC＝．当∠A＝120°时，△ABC为等腰三角形，∠B＝∠C＝30°同上方法可得BC＝14． 3分所以线段BC的长应为或14．【点评】考查了解直角三角形以及判别式的应用．24．某市城建部门经过长期市场调查发现，该市年新建商品房面积P（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）存在函数关系P＝25x；年新房销售面积Q（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）的函数关系为Q＝﹣10；（1）如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等，求市场新房均价和年新房销售总额；（2）在（1）的基础上，如果市场新房均价上涨1千元，那么该市年新房销售总额是增加还是减少？变化了多少？结合年新房销售总额和积压面积的变化情况，请你提出一条合理化的建议．（字数不超过50）【分析】（1）根据“新建商品房的面积与年新房销售面积相等”作为相等关系求x的值即可；（2）分别求算出市场新房均价上涨1千元后的新建商品房面积P，年新房销售面积Q再来求算其变化的量和积压的情况．【解答】解：（1）根据题意得：25x＝﹣10，解得x1＝2，x2＝﹣（舍去），则Q＝﹣10＝50万平方米，所以市场新房均价为2千元．则年新房销售总额为2000×500000＝10亿元．（2）因为Q＝﹣10＝30万平方米，。

一、解答题1．平面直角坐标系中，点在y轴正半轴，点在x轴正半轴，以线段AB为边在第一象限内作等边ABC，点C关于y轴的对称点为点D，连接AD，BD，且BD交y 轴于点E．(1)补全图形，并填空；①若点，则点D的坐标是__________；②若，则________．(2)若，求证：AD垂直平分BC；(3)若时，探究的数量关系，并证明．2．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝kx+b(k>0，b>0)的图象与x轴交于A，与y轴交于C．双曲线y＝ax（x＞0）的图象交一次函数的图像于第一象限内的点B，BD⊥x轴于D．E是AB中点，直线DE交y轴于F，连接AF．（1）若k=1，点B(2，6)时．①求一次函数和反比例函数的解析式；②求AFD的面积．（2）当k=2，a=12时，求AFD的面积．（3）求证：当k，b，a为任意常数时，AFD的面积恒等于1 2 a3．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．（1）如图1，当∠MBN 绕B 点旋转到AE =CF 时，求证：AE +CF =EF ．（2）如图2，当∠MBN 绕B 点旋转到AE ≠CF 时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE ，CF ，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明． （3）当∠MBN 绕B 点继续旋转到图3位置时，AE =10，CF =2．求EF 的长度．4．抛物线212y x mx n =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知(1,0)A -，(0,2)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，求出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当四边形CDBF 的面积最大时，求点E 的坐标．5．如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时，抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么我们称抛物线1C 与2C 关联．（1）已知抛物线①221y x x =+-，判断下列抛物线②221y x x =-++；③221y x x =++与已知抛物线①是否关联，并说明理由．（2）抛物线211:(1)28C y x =+-，动点P 的坐标为(,2)t ，将抛物线绕点(,2)P t 旋转180︒得到抛物线2C ，若抛物线1C 与2C 关联，求抛物线2C 的解析式．（3）点A 为抛物线211:(1)28C y x =+-的顶点，点B 为与抛物线1C 关联的抛物线顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC ，使其直角顶点C 在y 轴上，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知二次函数2y x bx c =+-图象通过两点(1,),(2,10)P a Q a ． （1）如果a ，b ，c 是整数，且8c b a <<，求a ，b ，c 值．（2）设二次函数2y x bx c =+-图象和x 轴交点为A 、B ，和y 轴交点为C ．如果有关x 方程20x bx c +-=两个根都是整数，求ABC 面积．7．如图1，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 轴负半轴上，这三个点的坐标分别为A (4，0)，B (0，4)，C (−1，0) ． （1）请求出直线AB 的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF//BC交AB于点F，当△BEF的面积是52时，求点E的坐标；（3）如图2，将点B向右平移1个单位长度得到点D，在x轴上存在动点P，若∠DCO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，请直接写出点P的坐标．8．如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（4，0）、B（0，3），连结AB．抛物线经过点B，且对称轴是直线．（1）求抛物线的函数关系式．（2）将图①中的△ABO沿x轴向左平移得到△DCE（如图②），当四边形ABCD是菱形时，说明点C和点D都在该抛物线上．（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），过点M作MN∥y轴交直线CD于点N．设点M的横坐标为m，线段MN的长为l．求l与m之间的函数关系式．（4）在（3）的条件下，直接写出m为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．9．如图1，ABC内接于O，弦AE交BC于点D，连接BO，且ABO DAC∠∠．（1）求证：AE BC⊥；（2）如图2，点F在弧AC上，连接CF、BF，BF交AE于点M，若ACF OBC∠=∠，求证：MD ED=；（3）如图3，在（2）的条件下，3AM=时，求弦CF∠=∠，若10BFC EACBM=，3的长．10．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，CD⊥AB于点D，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线AC—CB向终点B运动，当点P不与A，B，C重合时，过点P作PQ⊥AB交AB于点Q，过点P作PM⊥PQ，使得PM＝2PQ，点M、点D在PQ的同侧，连结MQ，设点P的运动时间为t（s）（1）线段CD＝．（2）当点P在线段BC上时，PC＝．（用含t的代数式表示）（3）当点M落在△BCD的内部时，求t的取值范围；（4）连结CM，当△CPM为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．11．在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，过点A作AE⊥BC于点E．（1）如图1，求证：AE＝CE；（2）如图2，点F是线段CE．上一点，CF＝BE，FG⊥BC交BD于点G，连接AG，求证：AG＝BE+FG；（3）如图3，在（2）的条件下，若EF＝10，FG＝7，求AG的长．12．在ABC中，AB AC=，D是边AC上一点，F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且．(1)如图1，若90BAC∠=︒，，，求点B到AE的距离；(2)如图2，若E为BD中点，连接FD，FD平分，G为CF上一点，且，求证：；(3)如图3，若，12△沿着AB翻折得，点H为的BC=，将ABD中点，连接HA、HC，当周长最小时，请直接写出的值．13．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．M是抛物线任意一点，过点M作直线l⊥x轴，交x轴于点E，设M的横坐标为m（0＜m＜3）．(1)求抛物线的解析式及tan∠OBC的值；(2)当m＝1时，P是直线l上的点且在第一象限内，若△ACP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)如图2，连接BC，连接AM交y轴于点N，交BC于点D，连接BM，设△BDM的面积为S1，△CDN的面积为S2，求S1﹣S2的最大值．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；DB的最小值．(3)以C为圆心，1为半径作⊙C，D为⊙O上一动点，求DA+5515．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝经过点A，且与y轴交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；(3)点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD 交于点H（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．16．如图1，点A，点B的坐标分别（a，0），（0，b），且b＝+4，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BC．(1)直接写出a ＝ ，b ＝ ，点C 的坐标为 ；(2)如图2，作CD ⊥x 轴于点D ，点M 是BD 的中点，点N 在△OBD 内部，ON ⊥DN ，求证：2MN +ON ＝DN ．(3)如图3，点P 是第二象限内的一个动点，若∠OPB ＝90°，求线段CP 的最大值． 17．如图，在长方形ABCD 中，10AB =，9BC =，点E 在AB 上，点G 在AD 上，AEFG 为正方形．点M ，N 分别为BC ，CD 上的动点，MO BC ⊥，NO CD ⊥，且点O 始终在正方形AEFG 的内部，MO 交EF 于点P ，NO 交FG 于点Q ．(1)设CM AE a ==，①用含a 的代数式表示四边形EBMP 的周长；②若四边形OPFQ ，GQND 的周长之和恰好为四边形EBMP 周长的两倍，求a 的值． (2)设3CM x =，2CN x =，AE n CN =，是否存在正整数x ，n ，使得EBMP GQND S S =四边形四边形若存在，求出x ，n 的值；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线24y ax bx =++的对称轴是直线x ＝3，与x 轴交于()2,0A -，B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，若3MN =，求点M 的坐标；(3)设点D ，E 是直线3x =上两动点，且1DE =，点D 在点E 上方，求四边形ACDE 周长的最小值．19．已知二次函数()20y x bx c a =++≠的图象与x 轴的交于A 、B （1，0）两点，与y 轴交于点()03C -，．(1)求二次函数的表达式及A 点坐标；(2)D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，若点D 的横坐标为m ，ACD △的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出ACD △的面积取得最大值时点D 的坐标； (3)M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N ．使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．20．如图1，已知二次函数y ＝ax 232+x +c 的图象与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、点B ，点B 坐标为（8，0）．（1）请直接写出二次函数的解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上是否存在点P ，使△PBC 的面积为16？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接AE，点N是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点M，使得以M、N、A、E为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．【参考答案】**科目模拟测试一、解答题1．(1)①D(-2，3) ②∠BEO=60°；(2)答案见解析；(3)DE= AE+2EO，证明见解析．【解析】【分析】（1）①根据关于y轴的对称的性质可得答案，关于y轴的对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标不变；②根据C、D两点关于y轴的对称，可知y轴是线段CD的垂直平分线，得AD=AC、∠CAF=∠DAF，然后由等边△ABC得AC=AB，最后得AD=AB，∠ADB=∠ABD，即可得答案；（2）由|a−3|+b2−6b+9=0，得a=b，得∠BAO=45°，然后根据平角得∠CAF的度数、∠CAG的度数，即可得答案；（3）先证∠EBO=30°，得BE=2EO，然后作HE=AE，证△ADE≌△ABH，得DE=BH，最后证BH= AE+2EO，即可得答案．(1)解：补全图形如下图①∵C、D两点关于y轴的对称的两点，∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，∵C(2，3)，∴D(-2，3)；②∵C、D两点关于y轴的对称，∠CAD=140°，=70°∴∠CAF=∠DAF=140°×12∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB=60°，AC=AB，∴∠BAE=180°-70°-60°=50°，∵C、D两点关于y轴的对称，∴AD=AC，∴AD=AB，∴∠ADB=∠ABD=[180°-（360°-140°-60°）] ×1=10°2∴∠BEO=∠BAE+∠ABD=50°+10°=60°；(2)如下图：延长DA交BC于点G，∵|a−3|+b2−6b+9=0，∴|a−3|+（b−3）2=0，∴a=b=3，∴AO=BO，∴∠BAO=45°，∴∠CAF=180°-45°-60°=75°，∴∠CAG=180°-75°-75°=30°，∴∠BAG=60°-30°=30°，∴∠CAG=∠BAG，∴AD垂直平分BC；(3)如下图：作HE=AE，连接AH，∵C、D两点关于y轴的对称，∴∠CAF=∠DAF，∴∠CAE=∠DAE，∵∠CAE=60°+∠BAO，∴∠DAE=60°+∠BAO，∴∠DAB=60°+2∠BAO，=60°－∠BAO，∴∠DBA=[ 180°－（60°+2∠BAO）] ×12∴∠BEO=∠BAO+∠DBA=∠BAO+60°－∠BAO=60°，∴∠EBO=30°，∵∠AOB=90°，∴BE=2EO，∵HE=AE，∠BEA=∠AEH=60°，∴△AEH是等边三角形，∴AH=AE，∠HAE=60°，∴∠DAH=∠BAO，∵∠DAE=∠DAH+60°，∠BAH=∠BAO+60°，∴∠DAE=∠BAH，在△ADE和△ABH中，，∴△ADE≌△ABH，∴DE =BH ， ∵HE =AE ，BE =2EO ， ∴BH =BE +HE = AE +2EO ， ∴DE = AE +2EO ． 【点睛】本题考查了关于y 轴的对称的性质、等边三角形的性质、三角形的内角与外角的性质，垂直平分线的判定、在直角三角形中，30°的所对的边是斜边的一半、全等三角形的判定和性质，做题的关键是作辅助线，构造△ADE ≌△ABH ．2．（1）①y =x +4，12y x=； ②6；（2）6；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）①把点B （2，6）分别代入y ＝x ＋b 和y ＝kx （x ＞0），根据待定系数法即可求得； ②求出D ，E 的坐标，求出直线DE 的解析式，得到F 点坐标，故可求出△ADF 的面积； （2）联立两函数求出B 点坐标，再得到E 点坐标，求出直线DE 的解析式，从而得到F 点坐标，根据三角形的面积公式即可求出AFD 的面积 （3）与（2）同理即可求解． 【详解】解：（1）①∵一次函数y ＝x ＋b 的图象与反比例函数y ＝ax（x ＞0）的图象交于B ，B （2，6）， ∴6＝2＋b ，6＝2a ， ∴b ＝4，a ＝12，∴一次函数解析式为y ＝x ＋4，反比例函数解析式为12y x=； ②令一次函数y ＝x ＋4=0 解得x =-4 ∴A （-4，0）∵E 是AB 中点，B （2，6） ∴E （-1，3） ∵BD ⊥x 轴于D ∴D （2，0）设直线DE 的解析式为y =mx +n ，代入E （-1，3）、D （2，0）得302m nm n =-+⎧⎨=+⎩解得12m n =-⎧⎨=⎩∴直线DE 的解析式为y =-x +2，令x =0，得y =2 ∴F （0，2） ∴OF =2 ∴AFD 的面积为1162622AD OF ⨯=⨯⨯=； （2）∵一次函数y ＝2x ＋b ，反比例函数12y x= 联立得2x ＋b =12x∴2x 2+bx -12=0解得xx舍去）∴B由A （12b -，0）得到E∵D0）设直线DE 的解析式为y =mx +n ，代入ED）得0m n m n ⎧=⎪=+⎪⎩解得2m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线DE 的解析式为y =-2x令x =0，y∴F （0∴OF∵A （12b -，0），D0） ∴AD =12b∴AFD的面积为11622AD OF ⨯==；（3）∵一次函数y ＝kx ＋b ，反比例函数ay x= 联立得kx 2+bx -a =0解得xx舍去）∴B由A （bk -，0）得到E∵D0）设直线DE 的解析式为y =mx +n ，代入ED）得0m n m n ⎧=+⎪=+⎪⎩解得m kn =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线DE 的解析式为y =-kx令x =0，y∴F （0∴OF∵A （bk -，0），D0）∴AD =b k∴AFD的面积为11212282ak AD OF a k ⨯===．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟知待定系数法求函数的解析式，三角形的面积及一元二次方程的解法．3．（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）EF =8． 【解析】 【分析】（1）根据SAS 证明Rt △ABE ≌Rt △CBF ，求得BF =BE ，易求得△BEF 是等边三角形，可得BF =2CF ，即可解题；（2）将Rt △ABE 顺时针旋转120°，可得FG =CG +CF =AE +CF ，易证∠GBF =∠EBF =60°，即可求证△GBF ≌△EBF ，可得FG =EF ，即可解题；（3）将Rt △ABE 顺时针旋转120°，可得FG =CG -CF =AE -CF ，易证∠GBF =∠EBF =60°，即可求证△GBF ≌△EBF ，可得FG =EF ，即可解题． 【详解】证明：（1）∵Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB =BC ，CF =AE ，∠C =∠A =90°， ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF （SAS ）， ∴∠CBF =∠ABE ，BF =BE ， ∵∠ABC =120°，∠MBN =60°，∴∠CBF =∠ABE =30°，△BEF 是等边三角形， ∴BF =2CF ，BE =2AE ，BF =EF ， ∴EF =BF =2CF =AE +CF ； （2）成立，理由如下：如图2，将Rt △ABE 顺时针旋转120°，∵AB =BC ，∠ABC =120°，∴A 点与C 点重合，AE =CG ，BG =BE ， ∵∠BCG =∠BCF =90°， ∴点G 、C 、F 共线， ∴FG =CG +CF =AE +CF ，∵∠ABC =120°，∠MBN =60°，∠ABE =∠CBG ， ∴∠GBF =60°， 在△GBF 和△EBF 中， 60BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△GBF ≌△EBF （SAS ）， ∴FG =EF ， ∴EF =AE +CF ；（3）如图3，将Rt △ABE 顺时针旋转120°，∵AB =BC ，∠ABC =120°，∴A 点与C 点重合，AE =CG ，BG =BE ， ∵∠BCG =∠BCD =90°， ∴点G 、C 、D 共线， ∴FG =CG +CF =AE +CF ， ∵∠ABC =∠ABE +∠CBE =120°， ∴∠CBG +∠CBE =∠GBE =120°， ∵∠MBN =60°， ∴∠GBF =60°， 在△BFG 和△BFE 中， 60BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△BFG ≌△BFE ，（SAS ） ∴GF =EF ，∴EF =AE -CF =10-2=8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，30°角所对直角边是斜边一半的性质，旋转的性质等知识点，本题中求证△BFG ≌△BFE 是解题的关键．4．（1）213222y x x =-++；（2）存在，13(,4)2P ，235(,)22P ，335(,)22P -；（3）点()2,1E【解析】 【分析】（1）把()1,0A -，()0,2C 代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可；（2）先求解抛物线的对称轴3,2x = 再求解CD 的长，由CDP 是以CD 为腰的等腰三角形，可得123CP DP DP CD ===．再作CH ⊥对称轴于点H ，从而可得答案； （3）先求解()4,0B ．再求解直线BC 的解析式为122y x =-+．过点C 作CM EF ⊥于M ，设1,22E a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，213,222F a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，根据BCDCEFBEFCDBF S SSS=++四边形111222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅列函数关系式，从而可得答案. 【详解】解：（1）∵抛物线212y x mx n =-++经过()1,0A -，()0,2C ，∴10,22,m n n ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩解得3,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++．（2）∵22131325222228y x x x ⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭， ∴抛物线的对称轴是直线32x =． ∴32OD =． ∵()0,2C ，∴2OC =．在Rt OCD △中，由勾股定理，得2235222CD ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ∵CDP 是以CD 为腰的等腰三角形， ∴123CP DP DP CD ===． 作CH ⊥对称轴于点H ， ∴12HP HD ==．∴14DP =．∴13(,4)2P ，235(,)22P ，335(,)22P -． （3）当0y =时，由2132022x x -++=，解得11x =-，24x =，∴()4,0B ．设直线BC 的解析式为y kx b =+，得2,40,b k b =⎧⎨+=⎩解得1,22.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线BC 的解析式为122y x =-+． 过点C 作CM EF ⊥于M ，设1,22E a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，213,222F a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，∴2213112222222EF a a a a a ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭．∵BCDCEFBEFCDBF S SSS=++四边形111222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅ 2215111122(4)2222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225134(2)22a a a =-++=--+． ∴根据题意04a ≤≤，∴当2a =时，CDBF S 四边形的最大值为132，此时点()2,1E ． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数与等腰三角形，图形面积的最值问题，灵活运用二次函数的图象与性质解决问题是解题的关键.5．（1）①、②关联，理由见解析；（2）21(7)68y x =--+或21(9)68y x =-++；（3）存在，（0，1）或（0，3+420，3-42 【解析】 【分析】（1）首先求得抛物线①的顶点坐标，然后检验是否此点在抛物线②与③上，再求得抛物线②的顶点坐标，检验是否在抛物线①上即可求得答案；（2）首先求得抛物线C 1的顶点坐标，则可得：点P 在直线y =2上，则可作辅助线：作M 关于P 的对称点N ，分别过点M 、N 作直线y =2的垂线，垂足为E ，F ，则可求得：点N 的坐标，利用顶点式即可求得结果；（3）分别从当A ，B ，C 逆时针分布时与当A ，B ，C 顺时针分布时分析，根据全等三角形的知识，即可求得点C 的坐标，注意别漏解． 【详解】解：（1）∵①抛物线y =x 2+2x -1=（x +1）2-2的顶点坐标为M （-1，-2）， ∴②当x =-1时，y =-x 2+2x +1=-1-2+1=-2， ∴点M 在抛物线②上；∵③当x =-1时，y =x 2+2x +1=1-2+1=0， ∴点M 不在抛物线③上； ∴抛物线①与抛物线②有关联；∵抛物线②y =-x 2+2x +1=-（x -1）2+2，其顶点坐标为（1，2）， 经验算：（1，2）在抛物线①上， ∴抛物线①、②是关联的；（2）抛物线C 1：211:(1)28C y x =+-的顶点M 的坐标为（-1，-2），∵动点P 的坐标为（t ，2）， ∴点P 在直线y =2上，作M 关于P 的对称点N ，分别过点M 、N 作直线y =2的垂线，垂足为E ，F ，则ME =NF =4，∴点N 的纵坐标为6，当y =6时，21(1)268x +-=，解得：x 1=7，x 2=-9，①设抛物C 2的解析式为：y =a （x -7）2+6， ∵点M （-1，-2）在抛物线C 2上， ∴-2=a （-1-7）2+6，∴a =18-，∴抛物线C 2的解析式为：21(7)68y x =--+，②设抛物C 2的解析式为：y =a （x +9）2+6， ∵点M （-1，-2）在抛物线C 2上， ∴-2=a （-1+9）2+6，∴a =18-，∴抛物线C 2的解析式为：21(9)68y x =-++；（3）点C 在y 轴上的一动点，以AC 为腰作等腰直角△ABC ，令C 的坐标为（0，c ），则点B 的坐标分两类：①当A ，B ，C 逆时针分布时，如图中B 点，过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足分别为H ，F ， 在等腰直角△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，即∠ACH +∠BCH =90°， ∵∠ACH +∠CAH =90°，∴∠CAH =∠BCH ，又∠AHC =∠BFC =90°， 则△BCF ≌△CAH （AAS ），∴CF =AH =1，BF =CH =c +2，点B 的坐标为（c +2，c -1），当点B 在抛物线C 1：y =221(1)8x +-上时，c -1=18（c +2+1）2-2，解得：c =1．②当A ，B ，C 顺时针分布时，如图中B ′点，过点B ′作y 轴的垂线，垂足为D ， 同理可得：点B ′的坐标为（-c -2，c +1），当点B ′在抛物线C 1：y =18（x +1）2-2上时，c +1=18（-c -2+1）2-2，解得：c =3+42c =3-42综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中C 点的坐标分别为：C 1（0，1），C 2（0，3+42C 3（0，3-42【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法，全等三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．6．（1）a=2，b=15，c=14；（2）1【解析】【分析】（1）代入两点坐标，求得b、c（用a表示），再由已知c＜b＜8a，联立不等式组求得a、b、c的值；（2）设出程x2+bx-c=0的两个根，根据根与系数的关系与因式分解求得两根，得出函数解析式，进一步求得图象与x、y轴的交点A、B、C三点解答问题．【详解】解：点P（1，a）、Q（2，10a）在二次函数y=x2+bx-c的图象上，故1+b-c=a，4+2b-c=10a，解得b=9a-3，c=8a-2；（1）由c＜b＜8a知8293 938a aa a-<-⎧⎨-<⎩，解得1＜a＜3，又a为整数，所以a=2，b=9a-3=15，c=8a-2=14；（2）设m，n是方程的两个整数根，且m≤n．由根与系数的关系可得m+n=-b=3-9a，mn=-c=2-8a，消去a，得9mn-8（m+n）=-6，两边同时乘以9，得81mn-72（m+n）=-54，分解因式，得（9m-8）（9n-8）=10．∴9819810mn-=⎧⎨-=⎩或9810981mn-=-⎧⎨-=-⎩或985982mn-=-⎧⎨-=-⎩或982985mn-=⎧⎨-=⎩，解得：12mn=⎧⎨=⎩或2979mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1323mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或109139mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；又∵m，n是整数，所以后面三组解舍去，故m=1，n=2．因此，b=-（m+n）=-3，c=-mn=-2，二次函数的解析式为y=x2-3x+2．令y=0，则x=1或x=2，令x=0，则y=2，∴点A、B的坐标为（1，0）和（2，0），点C的坐标为（0，2），∴△ABC的面积为12×(2−1)×2＝1．【点睛】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特点、根与系数的关系、不等式组、以及三角形的面积计算公式．7．（1）4y x =-+；（2）点E 坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭；（3）点P 的坐标为(19，0)或(-17，0)．【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）同理利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y =4x +4，再求得直线EF 的解析式，联立求得点F 的坐标，利用BEF OAB OBE AEF S S S S ∆∆∆∆=--列式求解即可； （3）计算得到tan 4DGDOG OG∠==，推出∠α=∠DOG ，∠DPO =∠CDO ，设点P 的坐标为(p ，0)，分p <0和p >0两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：（1）∵直线AB 经过点A (4，0)，B (0，4)， ∴设直线AB 的解析式为y =kx +4， 把A (4，0)代入得：4k +4=0， 解得：k =-1，∴直线AB 的解析式为y =-x +4； （2）设点E (m ，0)，同理求得直线BC 的解析式为y =4x +4， ∵EF //BC ，∴设直线EF 的解析式为：4y x n =+，将点E 坐标代入上式并解得：04m n =+， ∴4n m =-，∴直线EF 的解析式为：44y x m =-， ∴444x x m -+=-， 解得：()415x m =+， 把x 的值代入4y x =-+，得1645my -=．∴点F 坐标为4416455m m +-⎛⎫⎪⎝⎭，， ()1111645444422252BEF OAB OBE AEF m S S S S m m -=--=⨯⨯-⨯--⨯=△△△△，解得：32m =， ∴点E 坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭，； （3）将点B (0，4)向右平移1个单位长度得到点D ，则D (1，4)， 过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，则∠OGD =90°，OG =1，GD =4，CG =2， ∴tan 4DGDOG OG∠==，OD =22224117DG OG +=+=， 在Rt △CDG 中，CD =22222425CG DG +=+=， ∵tan ∠α=4， ∴∠α=∠DOG ，∵∠DCO +∠DPO =∠α，∠DCO +∠CDO =∠DOG ， ∴∠DPO =∠CDO ， ∵点P 在x 轴上∴设点P 的坐标为(p ，0)，当p <0时，PO =-p ，∵∠POD =∠DOC ，∠DPO =∠CDO ， ∴△POD ~△DOC ， ∴PO DODO CO=， ∴PO =2171DO CO ==17，此时，点P 的坐标为(-17，0)；当p>0时，PO=p，PC=p+1，∵∠PCD=∠DCO，∠DPC=∠ODC，∴△PCD~△DCO，∴PC DC DC CO=，∴PC=(22201DCCO==，∴p=PC-1=19，此时，点P的坐标为(19，0)；综上，点P的坐标为(19，0)或(-17，0)．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的性质，相似三角形的性质和判定，三角形函数等，分类讨论是解第（3）问的关键．8．(1) y=；（2）见解析；（3）l=或l=；（4）m=或或−3时，以点M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．【解析】【分析】（1）把点B的坐标代入抛物线解析式、联合对称轴x=列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组来求它们的值；（2）由平移的性质易求点C、D的坐标，将它们的坐标分别代入抛物线解析式进行验证即可；（3）根据点C、D的坐标易求直线CD的解析式为y=．根据已知条件知点M、N 的横坐标都是m，则l的值就是点M、N的纵坐标之差．(4)由平行四边形的对边相等的性质推知MN=CE=3，利用所求的l与m间的函数式可以求得相应的m的值．【详解】解：（1）由已知，得，解得，∴二次函数的解析式为y=；（2）在Rt△ABO中，∵OA=4，OB=3，∴AB=5．又∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AD=AB=5．∵△ABO沿x轴向左平移得到△DCE，∴CE=OB=3．∴C(−5，3)、D(−1，0)．当x=−5时，y==3，当x=−1时，y==0，∴C、D在该抛物线上；（3）设直线CD的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=，∵MN//y轴，∴M、N的横坐标均为m，当M在直线CD的上方时，有l=MN=()−()=；当M在直线CD的下方时，有l=MN=()− ()=．∴l与m之间的函数解析式为l=或l=．(4)由于MN//CE，要使以点M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形，只需MN=CE=3，当=3时，解得；当=3时，解得．即当m=或或−3时，以点M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题综合考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，平行四边形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．9．（1）见解析；（2）见解析；（3）53．【解析】【分析】（1）作⊙O的直径AF，连接BF，证明∠ACD+∠CAE=90°即可；（2）连接BE，利用角的转换证明∠BMD=∠BEM，从而可得BM=BE，进而根据等腰三角形三线合一即可得出结论；（3）如图3，证明BEM AEB得2=即可求出DE长，进而由勾股定理求出BE EM AEBD，再由相交线弦定理求出CD，即可得出CE长，EC FC=．=可得EC FC【详解】解：（1）如图1，作⊙O的直径AF，连接BF，∴∠AFB+∠OAB=90°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠OAB，又∵∠DAC=∠ABO，∴∠DAC=∠ABO=∠OAB．∵AB AB=∵∠AFB=∠ACD，∵AF是直径∴∠AFB+∠OAB=90°，∴∠ACD+∠CAE=90°，∴∠ADC=90°，即AE⊥BC；（2）连接BE，∵AF AF=∴∠ACF=∠ABF，又∵∠ACF=∠OBC，∴∠ABF=∠OBC，∴∠ABO+∠OBF=∠FBC+∠OBF，∴∠ABO=∠FBC，∵∠DAC=∠ABO，∴∠DAC=∠MBC，∵∠BMD+∠MBC=∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BMD=∠ACD，∵AB AB=∴∠BEM=∠ACD，∴∠BMD=∠BEM，∴BM=BE，∵AE⊥BC，∴MD=ED；（3）如图2，连接EC，∵BC BC=∴BFC BAC∠=∠，∵3BFC EAC∠=∠，∴3BAC EAC∠=∠，∴2BAE BAC EAC EAC∠=∠-∠=∠，∵EBC FBC DAC∠=∠=∠，∴=2MBE EBC FBC EAC∠=∠+∠∠，∴MBE BAE∠=∠，又∵E E∠=∠，∴BEM AEB，∴BE AE EM BE=，∵10BM BE=3AM= 1010=1010=∴=2EM，由（2）可知MD =ED ，BM =BE ，∴1DM DE ==，314AD AM DM =+=+=在Rt BDM 中，BD =，在Rt BDA 中，AB =， ∵=BE BE ， ∴BAD DCE ∠=∠， 又∵BDA CDE ∠=∠， ∴BDA EDC ，∴=EC DE AB BD，即1=53EC ∴5=3EC ，∵CAE FBC ∠=∠， ∴EC FC =，∴5=3EC FC =【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，涉及了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等、直角三角形的两锐角相等找出图中角之间的关系，从而利用相似或勾股定理解题．10．（1）4；（2）；（3）或；（4）或．【解析】 【分析】（1）首先根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后根据勾股定理即可求出线段CD 的长度；（2）根据点P 运动的速度求出点P 运动的路程，然后减去AC 的长度即可求出PC 的长度；（3）分两种情况，当点P 在线段AC 上时和点P 在线段BC 上时，分别利用相似三角形的性质计算出点M 在线段CD 上时和点M 在线段BC 上时的时间，即可求出t 的取值范围； （4）分两种情况，当点P 在线段AC 上时和点P 在线段BC 上时，分别得出点M 在线段CD 上时和点M 在线段BC 上时是直角三角形，然后利用相似三角形的性质求出t 的值，即可得出△CPM 为锐角三角形时t 的取值范围． 【详解】解：（1）∵在△ABC 中，AC ＝BC ＝5 ∴ABC ∆是等腰三角形 ∵CD ⊥AB 于点D∴（三线合一）∴在中，由勾股定理得，故答案为：4；（2）∵点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线AC—CB向终点B运动∴点P运动的路程为5t∴当点P在线段BC上时，故答案为：；（3）当点P在线段AC上时，由题意得，，AC＝5，如图所示，当点M在线段CD上时，∵PQ⊥AB，CD⊥AB，∴∴∴∴，即，解得：，，∴，∵PM＝2PQ，∴，∵CD⊥AB，PQ⊥AB，PM⊥PQ，∴四边形PQDM是矩形，∴，∴，解得：，如图所示，当点M在线段BC上时，同理可得，，，，，，∵PQ⊥AB，PM⊥PQ，∴∴∴∴，即，解得：，∴当时，点M落在△BCD的内部；如图所示，当点P在线段BC上时，当点M在线段CD上时，设，则，同理可得，四边形MDQP是矩形，，∴，，∴，即，解得：，∴，∴，∴，当点P运动到B点时，，∴当时，点M落在△BCD的内部，综上所述，当点M落在△BCD的内部时，t的取值范围是或；（4）当点M在线段CD上时，，即是直角三角形，由（3）可得，此时，当时，如图所示，∵，，，则，，∵，，又∵，∴∴，即，解得：，∴当时，是锐角三角形；当点M在线段BC上时，当时，即是直角三角形，如图所示，设，则，，，，同理可得，，∴，即，解得：，∴，∴，∵当点M在CD上时，此时，即是直角三角形，由（3）可得，此时，∴当时，是锐角三角形，∴综上所述，当△CPM为锐角三角形时，t的取值范围是或．【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形动点问题等知识，解题的关键是根据题意画出相应的图形，分情况讨论利用相似三角形的性质求解．11．（1）见详解；（2）见详解；（3）29 2【解析】【分析】（1）过点D作DM⊥AE于点M，证明ABE△≌DAM△，即可得到结论；（2）延长GF到点M，使FM=BE，则BE+FG=MG，先证明ABE△≌BMF，再证明ABG≌MBG△，进而即可得到结论；（3）过点G作GN⊥AE，设BE=x，则AG=BE+FG=x+7，AN= 3+x，结合勾股定理，列出方程，进而即可求解．【详解】解：（1）过点D作DM⊥AE于点M，∵∠DME=∠MEC=∠C=90°，∴四边形CDME是矩形，∴DM=CE，又∵∠BAD=∠AMD=90°，∴∠1+∠EAD=∠2+∠EAD=90°，∴∠1=∠2，在ABE△和DAM△中，∵1290AMD AEB AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴ABE △≌DAM △， ∴AE=DM ， ∴AE =CE ；（2）延长GF 到点M ，使FM =BE ，则BE +FG =MG ，∵BE =CF ， ∴BF =CE =AE ， 在ABE △和BMF 中，∵90AE BF AEB BFM BE MF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴ABE △≌BMF ， ∴∠BAE =∠MBF ，AB =BM ， ∵∠BAE +∠ABE =90°， ∴∠MBF +∠ABE =90°， ∴∠ABM =90°， ∵∠BAD =90°，AB =AD ， ∴∠A BD=45°， ∴∠DBM =45°， ∴∠ABD =∠DBM ， ∴ABG ≌MBG △， ∴AG=MG=BE +FG ；（3）过点G 作GN ⊥AE ，设BE =x ，则AG =BE +FG =x +7，∵∠GNE =∠NEF=EFG =90°， ∴四边形EFGN 是矩形， ∴NG =EF =10，EN=FG =7， 又∵AE =BF =10+x ， ∴AN =AE -EN =10+x -7=3+x ，在直角ANG 中，()()2223107x x ++=+，解得：x =152， ∴AG =x +7=152+7=292．【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰自交三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形，掌握“截长补短法”是解题的关键．12．3(2)证明见解析 (3)【解析】 【分析】（1）如图所示，过点B作BG⊥AE交AE延长线于G，先证明∠ACF=∠GAB，即可证明△ABG≌△CAE得到BG=AE，由勾股定理得，再由，得到，则点B到AE的距离为（2）如图所示，延长AE到H使得，AE=HE，连接DH，CH，先证明△AEB≌△HED得到AB=HD=AC，∠ABE=∠HDE，则∠HCD=∠HDC，AB∥DH，从而推出∠BAC=∠HDC=∠HCD，再证明CE是AH的垂直平分线，得到AC=HC，则∠ACE=∠HCE，即∠HCA=2∠ACE，然后推出∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD，GD=GC，即可证明△AFD≌△GFD（AAS），得到AF=GF，则CF=GF+CG=AF+DG；（3）如图所示，连接，延长交BC于F，作直线BE⊥BC，由翻折的性质可知，，，，然后证明，得到，则点D在线段BC的垂直平分线上，即AF⊥BC，求出，由H 是的中点，得到直线A关于点H的对称点A'在直线BE上，则要使△AHC的周长最小，则要最小，即最小，即当A'、C、H、三点共线时有最小值，如图所示，连接交于，交AF于P，连接BP，先证明，得到，由平行线之间的间距相等，得到，然后求出，再证明，求出，由此求解即可．(1)解：如图所示，过点B作BG⊥AE交AE延长线于G，∵AE⊥CF，AG⊥BG，∴∠BAC=∠AGB=∠AEF=∠AEC=90°，∠AFC+∠ACF=90°，∴∠FAE+∠AFE=90°，∴∠ACF=∠GAB，又∵AB=CA，∴△ABG≌△CAE（AAS），∴BG=AE，在直角△AFC中，由勾股定理得，∵，∴，∴点B到AE(2)解：如图所示，延长AE到H使得，AE=HE，连接DH，CH，∵FD平分∠AFC，∴∠AFD=∠CFD，∵E是BD的中点，∴BE=DE，又∵AE=HE，∠AEB=∠HED，∴△AEB≌△HED（SAS），∴AB=HD=AC，∠ABE=∠HDE，∴∠HCD=∠HDC，∴∠BAC=∠HDC=∠HCD，∴∠ACE=∠HCE，即∠HCA=2∠ACE，∵∠GDC=∠GCD，∠FGD=∠GDC+∠GCD，∴∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD，GD=GC，又∵FD=FD，∠AFD=∠GFD，∴△AFD≌△GFD（AAS），∴AF=GF，∴CF=GF+CG=AF+DG；(3)解：如图所示，连接，延长交BC于F，作直线BE⊥BC，由翻折的性质可知，，，，∴，又∵AB=AC，，∴，∴，∴点D在线段BC的垂直平分线上，即AF⊥BC，∴，∵H是的中点，∴直线A关于点H的对称点A'在直线BE上，∴，∴要使△AHC的周长最小，则要最小，即最小，∴当A'、C、H、三点共线时有最小值，如图所示，连接交于，交AF于P，连接BP，∵BE⊥BC，AF⊥BC，∴，∴，，又∵，∴，∴，∵，BC⊥BE，∴,∵平行线之间的间距相等，∴∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∴AB=2AF，∴，∴，∴，∵P在线段BC的垂直平分线上，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．13．(1)y＝﹣x2+2x+3，1(2)（1，1）或（1，2）或（1，83）(3)【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①当为直角时，证明，则，即，即可求解；②当为直角时，同理可解；③当为直角时，同理可解；（3）；，即可求解．(1)解：设抛物线的表达式为，则，则，解得1a=-，故抛物线的表达式为2y x2x3=-++，则；(2)解：当1m=时，则直线l为抛物线的对称轴，如图1，连接AC，设点(1,)P m，①当为直角时，则，，，，过点C作于点N，，，，，即，∴，解得1m=或2，故点P的坐标为(1,1)或(1,2)；②当为直角时，同理可得：点P'的坐标为8 (1,)3；③当为直角时，。

全国各地中考数学压轴题集锦答案1．（北京模拟）已知抛物线y ＝－x2＋2x ＋m －2与y 轴交于点A （0，2m －7），与直线y ＝2x 交于点B 、C （B 在C 的右侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为E ，在抛物线的对称轴上是否存在一点F ，使得∠BFE ＝∠CFE ，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由；（3）动点P 、Q 同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长度的速度沿射线OC 运动，以PQ 为斜边在直线BC 的上方作直角三角形PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t 秒．若△PMQ 与抛物线y ＝－x2＋2x ＋m －2有公共点，求t 的取值范围．解：（1）把点A （0，2m －7）代入y ＝－x2＋2x ＋m －2，得m ＝5∴抛物线的解析式为y ＝－x2＋2x ＋3（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋3y ＝2x 解得⎩⎨⎧x1＝3y 1＝23 ⎩⎨⎧x2＝－3y 2＝－23∴B （3，23），C （－3，－23）∵y ＝－x2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4 ∴抛物线的对称轴为x ＝1 设F （1，y ）∵∠BFE ＝∠CFE ，∴tan ∠BFE ＝tan ∠CFE当点F 在点B 上方时，3－1 y －23 ＝3＋1y ＋23解得y ＝6，∴F （1，6）当点F 在点B 下方时，3－1 23－y ＝3＋1－y －23解得y ＝6（舍去）∴满足条件的点F 的坐标是F （1，6）（3）由题意，OP ＝5t ，OQ ＝25t ，∴PQ ＝5t ∵P 、Q 在直线直线y ＝2x 上 ∴设P （x ，2x ），则Q （2x ，4x ）（x＜0）∴x 2＋4x 2 ＝5t ，∴x ＝－t ∴P （－t ，－2t ），Q （－2t ，－4t ） ∴M （－2t ，－2t ）x Oy AB C P Q M xO yABCFExOyABPM当M （－2t ，－2t ）在抛物线上时，有－2t ＝－4t2－4t ＋3解得t ＝13－14（舍去负值）当P （－t ，－2t ）在抛物线上时，有－2t ＝－t2－2t ＋3 解得t ＝3（舍去负值）∴t 的取值范围是：13－14≤t≤ 32．（北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y 1＝ax2＋3x ＋c 经过原点及点A （1，2），与x 轴相交于另一点B ．（1）求抛物线y 1的解析式及B 点坐标；（2）若将抛物线y 1以x ＝3为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线y 2，已知抛物线y 2与x 轴交于两点，其中右边的交点为C 点．动点P 从O 点出发，沿线段OC 向C 点运动，过P 点作x 轴的垂线，交直线OA 于D 点，以PD 为边在PD 的右侧作正方形PDEF ． ①当点E 落在抛物线y 1上时，求OP 的长；②若点P 的运动速度为每秒1个单位长度，同时线段OC 上另一点Q 从C 点出发向O 点运动，速度为每秒2个单位长度，当Q 点到达O 点时P 、Q 两点停止运动．过Q 点作x 轴的垂线，与直线AC 交于G 点，以QG 为边在QG 的左侧作正方形QGMN ．当这两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上时，求t 的值．（正方形在x 轴上的边除外）解：（1）∵抛物线y 1＝ax2＋3x ＋c 经过原点及点A （1，2）∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ＋3＋c ＝2 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝0 ∴抛物线y 1的解析式为y 1＝－x2＋3x令y 1＝0，得－x2＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3 ∴B （3，0）（2）①由题意，可得C （6，0） 过A 作AH ⊥x 轴于H ，设OP ＝a可得△ODP ∽△OAH ，∴ DP OP＝AHOH＝2∴DP ＝2OP ＝2a∵正方形PDEF ，∴E （3a ，2a ） ∵E （3a ，2a ）在抛物线y 1＝－x2＋3x 上∴2a ＝－9a2＋9a ，解得a 1＝0（舍去），a 2＝79x A yO B C P F E D Q GN M xA yOBCP FEDQGN M H∴OP 的长为7 9②设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b 0＝6k ＋b解得k ＝－2 5 ，b ＝12 5∴直线AC 的解析式为y ＝－2 5 x ＋125由题意，OP ＝t ，PF ＝2t ，QC ＝2t ，GQ ＝45t 当EF 与MN 重合时，则OF ＋CN ＝6 ∴3t ＋2t ＋4 5t ＝6，∴t ＝3029当EF 与GQ 重合时，则OF ＋QC ＝6 ∴3t ＋2t ＝6，∴t ＝65当DP 与MN 重合时，则OP ＋CN ＝6 ∴t ＋2t ＋4 5 t ＝6，∴t ＝3019当DP 与GQ 重合时，则OP ＋CQ ＝6∴t ＋2t ＝6，∴t ＝23．（北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx ＋4经过A （－3，0）、B（4，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 在x 轴的负半轴上，且BD ＝BC ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 移动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度向点A 移动． （1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ ＋MA 的值最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y ＝ax2＋bx ＋4经过A （－3，0）、B （4，0）两点∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋4＝016a ＋4b ＋4＝0 解得a ＝－1 3 ，b ＝1 3xA y OCBD P QOP N QCxyD AE F MGO PN QCxyD AE F MGOP N Q CxyD A EFM GO P NQCx yDA EFM GyC∴所求抛物线的解析式为y＝－13 x2＋13 x＋4（2）连接DQ，依题意知AP＝t∵抛物线y＝－13 x2＋13 x＋4与y轴交于点C∴C（0，4）又A（－3，0，B（4，0）可得AC＝5，BC＝42，AB＝7∵BD＝BC，∴AD＝AB－BD＝7－42∵CD垂直平分PQ，∴QD＝DP，∠CDQ＝∠CDP ∵BD＝BC，∴∠DCB＝∠CDB∴∠CDQ＝∠DCB，∴DQ∥BC∴△ADQ∽△ABC，∴ADAB ＝DQBC∴ADAB ＝DPBC ，∴7－427＝DP42解得DP＝42－327 ，∴AP＝AD＋DP＝177∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为17 7（3）设抛物线y＝－13 x2＋13 x＋4的对称轴x＝12 与x轴交于点E由于点A、B关于对称轴x＝12 对称，连接BQ交对称轴于点M则MQ＋MA＝MQ＋MB，即MQ＋MA＝BQ当BQ⊥AC时，BQ最小，此时∠EBM＝∠ACO∴tan∠EBM＝tan∠ACO＝3 4∴MEBE ＝34 ，即ME4－12＝34 ，解得ME＝218∴M（12 ，218 ）∴在抛物线的对称轴上存在一点M（12 ，218 ），使得MQ＋MA的值最小4．（北京模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．动点P从点A出发，沿AC→CB→BA边运动，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒43 个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持l∥AC，且分别与CB、AB边交于点E、F．点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．（1）当t＝_________秒时，点P与点E重合；当t＝_________秒时，点P与点F重合；（2）当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点P′落在xAyOCBEQ Mx＝12EF上，点F的对应点为F′，当EF′⊥AB时，求t的值；（3）作点P关于直线EF的对称点Q，在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，求t的值；（4）在整个运动过程中，设△PEF的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式及S的最大值．解：（1）3；4.5提示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8∴AB＝ 6 2＋8 2 ＝10，∴sin B＝ACAB ＝35 ，cos B＝BCAB ＝45 ，tan B＝ACBC ＝34当点P与点E重合时，点P在CB边上，CP＝CE∵AC＝6，点P在AC、CB边上运动的速度分别为每秒3、4个单位∴点P在AC边上运动的时间为2秒，CP＝4(t－2)∵CE＝43 t，∴4(t－2)＝43 t，解得t＝3当点P与点F重合时，点P在BA边上，BP＝BF∵AC＝6，BC＝8，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位∴点P在AC、CB边上运动的时间共为4秒，BF＝BP＝5(t－4)∵CE＝43 t，∴BE＝8－43 t在Rt△BEF中，BEBF ＝cos B∴8－43 t5(t－4)＝45 ，解得t＝4.5（2）由题意，∠PEF＝∠MEN∵EF∥AC，∠C＝90°，∴∠BEF＝90°，∠CPE＝∠PEF ∵EN⊥AB，∴∠B＝∠MEN∴∠CPE＝∠B，∴tan∠CPE＝tan B∵tan∠CPE＝CECP ，tan B＝ACBC ＝34∴CECP ＝34 ，∴CP＝43 CE∵AP＝3t（0＜t＜2），CE＝43 t，∴CP＝6－3t∴6－3t＝43 ×43 t，解得t＝5443（3）连接PQ交EF于OB CA PlFEBCA备用图EBMCAPlFNBCAlFE(P)BCAlFE(P)∵P 、Q 关于直线EF 对称，∴EF 垂直平分PQ 若四边形PEQF 为菱形，则OE ＝OF ＝12EF ①当点P 在AC 边上运动时易知四边形POEC 为矩形，∴OE ＝PC ∴PC ＝12EF ∵CE ＝4 3t ，∴BE ＝8－4 3 t ，EF ＝BE ·tan B ＝ 3 4 ( 8－ 43t)＝6－t∴6－3t ＝ 1 2 ( 6－t )，解得t ＝65②当点P 在CB 边上运动时，P 、E 、Q 三点共线，不存在四边形PEQF③当点P 在BA 边上运动时，则点P 在点B 、F 之间 ∵BE ＝8－4 3t ，∴BF ＝ BE cosB＝5 4 (8－4 3 t )＝10－5 3t ∵BP ＝5(t －4)，∴PF ＝BF －BP ＝10－5 3t －5(t －4)＝30－203t ∵∠POF ＝∠BEF ＝90°，∴PO ∥BE ，∴∠OPF ＝∠B 在Rt △POF 中， OFPF＝sin B∴ 1 2 (6－t)30－ 20 3t＝ 3 5 ，解得t ＝30 7∴当t ＝6 5或t ＝30 7时，四边形PEQF 为菱形 （4）S ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－2 3t2＋4t （0≤t≤2）4 3 t2－12t ＋24（2＜t≤3）－43 t2＋12t －24（3＜t≤4）8 3 t2－28t ＋72（4＜t≤4.5）－8 3t2＋28t －72（4.5＜t≤6）S 的最大值为16 35．（北京模拟）在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝10，CD ＝6，AD ＝BC ＝4．点P 从点B 出发，沿线段BA 向点A 匀速运动，速度为每秒2个单位，过点P 作直线BC 的垂线PE ，垂足为E ．设点P 的运动时间为t （秒）． （1）∠A ＝___________°；（2）将△PBE 沿直线PE 翻折，得到△PB ′E ，记△PB ′E 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，EBOC A Pl FQEB CAPlF QO求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）在整个运动过程中，是否存在以点D 、P 、B ′为顶点的三角形为直角三角形或等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）60°（2）∵∠A ＝∠B ＝60°，PB ＝PB ′ ∴△PB ′B 是等边三角形∴PB ＝PB ′＝BB ′＝2t ，BE ＝B ′E ＝t ，PE ＝3t当0＜t≤2时S ＝S △PB ′E ＝1 2B ′E ·PE ＝1 2 t ·3t ＝ 3 2t2当2＜t≤4时S ＝S △PB ′E－S △FB ′C＝3 2t2－ 3 4 ( 2t －4 )2＝－ 3 2t2＋43t －4 3当4＜t≤5时设PB ′、PE 分别交DC 于点G 、H ，作GK ⊥PH 于K ∵△PB ′B 是等边三角形，∴∠B ′PB ＝60°＝∠A ∴PG ∥AD ，又DG ∥AP∴四边形APGD 是平行四边形 ∴PG ＝AD ＝4∵AB ∥CD ，∴∠GHP ＝∠BPH∵∠GPH ＝∠BPH ＝12∠B ′PB ＝30° ∴∠GHP ＝∠GPH ＝30°，∴PG ＝GH ＝4 ∴GK ＝12PG ＝2，PK ＝KH ＝PG ·cos30°＝2 3 ∴PH ＝2PK ＝4 3 ∴S ＝S △PGH＝1 2PH ·GK ＝1 2×43×2＝4 3 综上得，S 与t 之间的函数关系式为： S ＝⎩⎨⎧32t2（0＜t≤2）－3 2t2＋43t －43（2＜t≤4）43（4＜t≤5）（3）①若∠DPB ′＝90° ∵∠B ′PB ＝60°，∴∠DP A ＝30°A CB D P EB ′A C BD 备用图A C BDP EB ′FA C BDP EB ′ A CBD PE B ′GHKC D又∠A＝60°，∴∠ADP＝90°∴AP＝2AD，∴10－2t＝8，∴t＝1若∠PDB′＝90°作DM⊥AB于M，DN⊥B′B于N则AM＝2，DM＝23，NC＝3，DN＝3 3PM＝|10－2－2t|＝|8－2t|NB′＝|3＋4－2t|＝|7－2t|DP2＝DM2＋PM2＝(23)2＋(8－2t)2＝(8－2t)2＋12 DB′2＝DN2＋NB′＝(33)2＋(7－2t)2＝(7－2t)2＋27 ∵DP2＋DB′2＝B′P2∴(8－2t)2＋12＋(7－2t)2＋27＝(2t)2解得t1＝15＋732＞5（舍去），t2＝15－732若∠DB′P＝90°，则DB′2＋B′P2＝DP2∴(7－2t)2＋27＋(2t)2＝(8－2t)2＋12 解得t1＝－1（舍去），t2＝0（舍去）∴存在以点D、P、B′为顶点的三角形为直角三角形，此时t＝1或t＝15－732②若DP＝B′P，则(8－2t)2＋12＝(2t)2解得t＝19 8若B′D＝B′P，则(7－2t)2＋27＝(2t)2解得t＝19 7若DP＝DB′，则(8－2t)2＋12＝(7－2t)2＋27 解得t＝0（舍去）∴存在以点D、P、B′为顶点的三角形为等腰三角形，此时t＝198 或t＝1976．（北京模拟）已知二次函数y＝－33mx2＋3mx－2的图象与x轴交于点A（23，0）、点B，与y轴交于点C．（1）求点B坐标；（2）点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，到达点O后停止运动，过点P作PQ∥AC交OA于点Q，将四边形PQAC沿PQ翻折，得到四边形PQA′C′，设点P的运动时间为t．①当t为何值时，点A′恰好落在二次函数y＝－33mx2＋3mx－2图象的对称轴上；②设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S 的最大值．解：（1）将A（23，0）代入y＝－33mx2＋3mx－2ACBDPEB′MNACBDPEB′ACBDPB′E得0＝－ 3 3 m ×(2 3 )2＋3m ×2 3－2，解得m ＝3 3∴y ＝－1 3x2＋3x －2 令y ＝0，得－1 3x2＋3x －2＝0，解得：x 1＝3，x 2＝2 3 ∴B （3，0） （2）①由y ＝－1 3x2＋3x －2，令x ＝0，得y ＝－2 ∴C （0，－2） ∵y ＝－1 3x2＋3x －2＝－1 3 (x －3 23)2＋14∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝323过A ′作A ′H ⊥OA 于H在Rt △AOC 中，∵OC ＝2，OA ＝2 3 ∴∠OAC ＝30°，∠OCA ＝60° ∴∠PQA ＝150°，∠A ′QH ＝60°，AQ ＝A ′Q ＝2QH ∵点A ′在二次函数图象的对称轴上∴⎩⎪⎨⎪⎧OQ ＋QH ＝ 3 23OQ ＋2QH ＝23解得QH ＝32∴AQ ＝3，CP ＝1 ∴t ＝1②分两种情况：ⅰ）当0＜t≤1时，四边形PQA ′C ′ 落在第一象限内的图形为等腰三角形QA ′DDQ ＝A ′Q ＝3tA ′H ＝AQ ·sin60°＝3t ·32＝32t S ＝S △A ′DQ＝1 2 ·3t ·3 2t ＝33 4t2∵当0＜t≤1时，S 随t 的增大而增大 ∴当t ＝1时，S 有最大值334ⅱ）当1＜t＜2时，四边形PQA ′C ′ 落在第一象限内的图形为四边形EOQA ′ S 四边形EOQA ′＝S 梯形PQA ′C ′－S △OPQ－S △PC ′E＝[23－3 2 (2－t )2]－ 3 2 ( 2－t )2－ 3 4t2 ＝－534t2＋43t －2 3 ∵－53 4 t2＋43t －23＝－53 4 (t －8 5)2＋635且1＜8 5 ＜2，∴当t ＝8 5 时，S 有最大值63 5ABC OA ′xP H C ′y(Q ) AB CO A ′xPQ H DC ′ y A B CO A ′xP Q H EC ′y∵635＞334，∴S的最大值是6357．（北京模拟）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝120°，E是AB的中点，过E点作射线EF∥BC，交CD于点G，AB、AD的长恰好是方程x2－4x＋a2＋2a＋5＝0的两个相等实数根，动点P、Q分别从点A、E出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿AB由A向B运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿EF由E向F运动，设点P、Q运动的时间为t（秒）．（1）求线段AB、AD的长；（2）当t＞1时，求△DPQ的面积S与时间t之间的函数关系式；（3）是否存在△DPQ是直角三角形的情况，如果存在，求出时间t；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题意，△＝42－4(a2＋2a＋5)＝－4(a＋1)2＝0∴a＝－1原方程可化为x2－4＋4＝0，解得∴x1＝x2＝2∴AB＝AD＝2（2）作AH⊥BC于H，交EG于O，DK⊥EF于K，PM⊥DA交DA的延长线于M∵AD∥BC，∠A＝120°，AB＝AD＝2∴∠B＝60°，AH＝ 3∵E是AB中点，且EF∥BC，∴AO＝DK＝3 2∵AP＝t，∴PM＝3 2t∵t＞1，∴点P在点E下方延长FE交PM于S，设DP与EF交于点N则PS＝32t－32∵AD∥BC，EF∥BC，∴EF∥AD∴ENAD ＝PEPA ，∴EN2 ＝t－1t∴EN＝2( t－1 )t ，∴QN＝2t－2( t－1 )t∴S＝12 (2t－2( t－1 )t )(32t－32＋32)＝32t2－32t＋32即S＝32t2－32t＋32（t＞1）（3）由题意，AM＝12 t，∴DM＝2＋12 t∴DP2＝DM2＋PM2＝(2＋12 t)2＋(32t)2＝t2＋2t＋4QABDCPE FGABDQCPE FN GS O KHM又DQ2＝DK2＋KQ2＝(32)2＋(2t－12 －2)2＝4t2－10t＋7PQ2＝PS2＋SQ2＝(32t－32)2＋(2t＋t－12 )2＝7t2－4t＋1①若∠PDQ＝90°，则DP2＋DQ2＝PQ2∴t2＋2t＋4＋4t2－10t＋7＝7t2－4t＋1解得t＝6－1（舍去负值）②若∠DPQ＝90°，则PD2＋PQ2＝DQ2∴t2＋2t＋4＋7t2－4t＋1＝4t2－10t＋7解得t＝62－1（舍去负值）③若∠DQP＝90°，则DQ2＋PQ2＝PD2∴4t2－10t＋7＋7t2－4t＋1＝t2＋2t＋4解得t＝4±6 5综上所述，存在△DPQ是直角三角形的情况，此时t＝6－1，t＝62－1，t＝4±658．（天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，直y＝－x＋42交x轴于点A，交y轴于点B．在线段OA上有一动点P，以每秒2个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，以OP为边作正方形OPQM交y轴于点M，连接QA和QB，并从QA和QB的中点C和D向AB作垂线，垂足分别为点F和点E．设P点运动的时间为t秒，四边形CDEF的面积为S1，正方形OPQM与四边形CDEF重叠部分的面积为S2．（1）直接写出A点和B点坐标及t的取值范围；（2）当t＝1时，求S1的值；（3）试求S2与t的函数关系式（4）直接写出在整个运动过程中，点C和点D所走过的路程之和．解：（1）A（42，0）、B（0，42），0≤t≤4（2）过Q作QH⊥AB于H∵C、D分别是QA和QB的中点∴CD∥AB，CD＝12 AB＝12 ×42×2＝4∵CF⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE∴四边形CDEF是平行四边形又∵CF⊥AB，∴四边形CDEF是矩形∵CF⊥AB，QH⊥AB，∴CF∥QH又∵C是QA中点，∴CF＝12 QHyP AQxODCFBMEyP AQxODCFBMEH1234∵正方形OPQM ，∴∠1＝∠2，OP ＝PQ ＝QM ＝MO ∵OA ＝OB ，∴P A ＝MB∴Rt △QP A ≌Rt △QMB ，∴QA ＝QB ，∠PQA ＝∠MQB ∵QH ⊥AB ，∴∠3＝∠4 ∴∠1＋∠MQB ＋∠3＝180°，∴O 、Q 、H 三点共线 ∴QH ＝OH －OQ∵t ＝1，点P 的运动速度为每秒2个单位长度 ∴OP ＝2，∴OQ ＝2 又∵OA ＝42，∴OH ＝4∴QH ＝OH －OQ ＝4－2＝2，∴CF ＝1 ∴S 1＝CD ·CF ＝4×1＝4（3）当点Q 落在AB 上时，OQ ⊥AB ，△QOA 是等腰直角三角形∴t ＝22÷2＝2 当0≤t≤2时，S 2＝0当点E 落在QM 上，点F 落在PQ 上时， △CFK 和△DEG 都是等腰直角三角形 过C 作CT ⊥PQ 于T则CT ＝1 2AP ＝1 2 (42－2t)＝2 2(4－t) ∴CF ＝2CT ＝4－t连接OQ ，分别交AB 、CD 于N 、R 则ON ＝22OA ＝22×42＝4 ∵OP ＝2t ，∴OQ ＝2t ，∴QN ＝2t －4 ∴CF ＝12QN ＝t －2 ∴4－t ＝t －2，∴t ＝3当2＜t≤3时，重叠部分为等腰梯形GHIK △QGK 和△QHI 都是等腰直角三角形∵QN ＝2t －4，RN ＝CF ＝t －2，∴QR ＝t －2 ∴GK ＝2QR ＝2t －4，HI ＝2QN ＝4t －8∴S 2＝1 2 (GK ＋HI)·RN ＝1 2(2t －4＋4t －8)(t －2)＝3(t －2)2 当3＜t≤4时，重叠部分为六边形GHEFIK易知Rt △CIK ≌Rt △DHG ，∴GH ＝KI ＝2CT ＝2(4－t) ∴S 2＝S 矩形CDEF－2S △CIK＝CD ·CF －KI ·CT＝4(t －2)－2(4－t)·22(4－t)＝－t 2＋12t －24 综上得S 2关于t 的函数关系式为： S 2＝⎩⎪⎨⎪⎧0（0≤t ≤2）3( t －2 )2（2＜t ≤3）－t 2＋12t －24（3＜t ≤4）yPAQ xODC FBMEG H IK N R yP AQxOD C FB ME GH I KNR T yP AQ xOD CFB MEG K N R T提示：点C 和点D 走过的路程分别为以OP 为边的正方形的对角线的一半 9．（上海模拟）如图，正方形ABCD 中，AB ＝5，点E 是BC 延长线上一点，CE ＝BC ，连接BD ．动点M 从B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿BD 向D 运动；动点N 从E 出发，以每秒2个单位长度的速度沿EB 向B 运动，两点同时出发，当其中一点到达终点后另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，过M 作BD 的垂线MP 交BE 于P ． （1）当PN ＝2时，求运动时间t ；（2）是否存在这样的t ，使△MPN 为等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）设△MPN 与△BCD 重叠部分的面积为S ，直接写出S 与t 的函数关系式和函数的定义域．解：（1）∵正方形ABCD ，∴∠DBC ＝45° ∵MP ⊥DB ，∴△BMP 是等腰直角三角形 ∵BM ＝2t ，∴BP ＝2BM ＝2t 又PN ＝2，NE ＝2t当0＜t＜2.5时，BP ＋PN ＋NE ＝BE ∴2t ＋2＋2t ＝10，∴t ＝2当2.5＜t＜5时，BP －PN ＋NE ＝BE ∴2t －2＋2t ＝10，∴t ＝3 （2）过M 作MH ⊥BC 于H则△NQC ∽△NMH ，∴ QC CN＝MHHN∴ QC 5－2t＝t10－t －2t，∴QC ＝5t －2t 2 10－3t令QC ＝y ，则y ＝5t －2t 210－3t整理得2t 2－(3y ＋5)t ＋10y ＝0∵t 为实数，∴[－(3y ＋5)]2－4×2×10y≥0即9y 2－50y ＋25≥0，解得y≥5（舍去）或y≤5 9∴线段QC 长度的最大值为5 9（3）当0＜t＜2.5时∵∠MPN ＝∠DBC ＋∠BMP ＝45°＋90°＝135°A B DN C P M EA B DN C P MEQHAB DPC N EM AB DNC P EM AD∴∠MPN 为钝角，∴MN＞MP ，MN＞PN若PM ＝PN ，则2t ＝10－4t解得t ＝57(4－2) 当2.5＜t＜5时∵∠MNP ＞∠MBP ＝∠MPB ，∴MP＞MN 若MN ＝PN ，则∠PMN ＝∠MPN ＝45° ∴∠MNP ＝90°，即MN ⊥BP ∴BN ＝NP ，BP ＝2BN∴2t ＝2(10－2t)，解得t ＝10 3若PM ＝PN∵PN ＝BP －BN ＝BP －(BE －NE)＝BP ＋NE －BE∴2t ＝2t ＋2t －10，解得t ＝57(4＋2) ∴当t ＝5 7 (4－2)，t ＝10 3，t ＝5 7(4＋2)时，△MPN 为等腰三角形 （4）S ＝⎩⎨⎧ 8t 3－50t 2＋75t20－6t（0＜t＜2.5）5t － 25 2（2.5＜t＜5）10．（重庆模拟）如图，已知△ABC 是等边三角形，点O 是AC 的中点，OB ＝12，动点P 在线段AB 上从点A 向点B 以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t 秒．以点P 为顶点，作等边△PMN ，点M ，N 在直线OB 上，取OB 的中点D ，以OD 为边在△AOB 内部作如图所示的矩形ODEF ，点E 在线段AB 上．（1）求当等边△PMN 的顶点M 运动到与点O 重合时t 的值； （2）求等边△PMN 的边长（用含t 的代数式表示）；（3）设等边△PMN 和矩形ODEF 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；（4）点P 在运动过程中，是否存在点M ，使得△EFM 是等腰三角形？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）当点M 与点O 重合时A O D CB F E 备用图A O D C BP N F M E AO D CBFE 备用图ADB PC N MEADB PC N MRA DB NC P ME Q A P∵△ABC 、△PMN 是等边三角形，O 为AC 中点 ∴∠AOP ＝30°，∠APO ＝90° ∵OB ＝12，∴AO ＝43＝2AP ＝23t 解得t ＝2∴当t ＝2时，点M 与点O 重合（2）由题设知∠ABM ＝30°，AB ＝83，AP ＝3t ∴PB ＝83－3t ，PM ＝PB ·tan30°＝8－t 即等边△PMN 的边长为8－t（3）S ＝⎩⎪⎨⎪⎧23t ＋63（0≤t≤1）－23t2＋63t ＋43（1＜t≤2）－32t2＋103（2＜t≤4）23t2－203t ＋503（4＜t≤5）0（5＜t≤8）提示：①当0≤t≤1时，PM 经过线段AF设PM 交AF 于点J ，PN 交EF 于点G ，则重叠部分为直角梯形FONG∵AP ＝3t ，∴AJ ＝23t ，JO ＝43－23t MO ＝4－2t ，ON ＝8－t －(4－2t)＝4＋t 作GH ⊥ON 于H则GH ＝FO ＝23，HN ＝2，FG ＝OH ＝4＋t －2＝2＋t ∴S ＝S 梯形FONG＝12(FG ＋ON)·FO ＝1 2(2＋t ＋4＋t)·23＝23t ＋6 3 ②当1＜t≤2时，PM 经过线段FO设PM 交EF 于点I ，则重叠部分为五边形IJONGFJ ＝AJ －AF ＝23t －23，FI ＝2t －2 ∴S ＝S 梯形FONG－S △FIJ＝23t ＋63－12(23t －23)(2t －2) ＝－23t 2＋63t ＋4 3③当2＜t≤4时，PN 经过线段ED设PN 交ED 于点K ，则重叠部分为五边形IMDKG∵AP ＝3t ，∴PE ＝43－3t ∴IG ＝GE ＝4－t ，EK ＝43－3t∴KD ＝23－(43－3t)＝3t －23，DN ＝t －2 ∴S ＝S 梯形IMNG －S △KDN＝1 2 (4－t ＋8－t)·23－1 2(3t －23)(t －2) ＝－32t 2＋10 3 ④当4＜t≤5时，PM 经过线段ED设PM 交ED 于点R ，则重叠部分为△RMDA ODCBP N F ME A ODCBP N F M EG J H A ODCBP N I M E G F J A O D C BP NF ME GI K A E∵AP ＝3t ，∴EP ＝3t －4 3 ∴ER ＝2EP ＝23t －8 3∴RD ＝23－(23t －83)＝103－23t MD ＝10－2t∴S ＝S △RMD＝12(10－2t)(103－23t) ＝23t 2－203t ＋50 3 ⑤当5＜t≤8时，S ＝0（4）∵MN ＝BN ＝PN ＝8－t ，∴MB ＝16－2t ①若FM ＝EM ，则M 为OD 中点 ∴OM ＝3∵OM ＋MB ＝OB ，∴3＋16－2t ＝12 ∴t ＝3.5②若FM ＝FE ＝6，则OM ＝6 2－( 23)2＝2 6∵OM ＋MB ＝OB ，∴26＋16－2t ＝12 ∴t ＝2＋ 6③若EF ＝EM ＝6，点M 在OD 或DB 上则DM ＝6 2－( 23)2＝26∴DB ＋DM ＝MB 或者DB －DM ＝MB∴6＋26＝16－2t 或6－26＝16－2t ∴t ＝5－6或t ＝5＋ 6综上所述，当t ＝3.5、2＋6、5－6、5＋6时，△MEF 是等腰三角形11．（浙江某校自主招生）如图，正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，且OA 边和AB 边所在直线的解析式分别为y ＝3 4x 和y ＝－4 3 x ＋ 253． （1）求正方形OABC 的边长；（2）现有动点P 、Q 分别从C 、A 同时出发，点P 沿线段CB 向终点B 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿折线A →O →C 向终点C 运动，速度为每秒k 个单位，设运动时间为2秒．当k 为何值时，将△CPQ 沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？ （3）若正方形以每秒53个单位的速度沿射线AO 下滑，直至顶点B 落在x 轴上时停止下滑．设正方形在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围．ByA OD CBP NF ME AOD C BP NF M E A O D C B PN F M E AO D C BPN F M E解：（1）联立⎩⎨⎧y ＝3 4x y ＝－4 3x ＋25 3解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3∴A （4，3），∴OA ＝4 2＋3 2 ＝5 ∴正方形OABC 的边长为5（2）要使△CPQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的 四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△CPQ 为等腰三角形即可 当t ＝2秒时∵点P 的速度为每秒1个单位，∴CP ＝2 分两种情况：①当点Q 在OA 上时，∵PQ ≥BA ＞PC ，∴只存在一点Q ，使QC ＝QP作QN ⊥CP 于N ，则CN ＝12CP ＝OQ ＝1∴QA ＝5－1＝4，∴k ＝42＝2 ②当点Q 在OC 上时，同理只存在一点Q ，使CP ＝CQ ＝2 ∴OQ ＋OA ＝10－2＝8，∴k ＝82＝4 综上所述，当t ＝2秒时，以所得的等腰三角形CPQ 沿底边翻折， 翻折后得到菱形的k 值为2或4 （3）①当点A 运动到点O 时，t ＝3 当0＜t≤3时，设O ′C ′ 交x 轴于点D则tan ∠DOO ′＝3 4，即DO′ OO′＝DO′ 5 3t＝3 4 ，∴DO ′＝ 5 4t ∴S ＝1 2DO ′·OO ′＝1 2 ·5 4 t ·5 3 t ＝ 25 24t 2 ②当点C 运动到x 轴上时，t ＝(5×4 3)÷53＝4 当3＜t≤4时，设A ′B ′ 交x 轴于点E ∵A ′O ＝5 3 t －5，∴A ′E ＝ 34 A ′O ＝5t －15 4∴S ＝1 2 (A ′E ＋O ′D )·A ′O ′＝1 2 (5t －15 4＋54 t )·5＝50t －75 8CBxOAyQP CBxO AyQPN xOyA ′B ′DC ′O ′xOyA ′B ′DC ′E③当点B 运动到x 轴上时，t ＝(5＋5×4 3)÷53＝7 当4＜t≤7时，设B ′C ′ 交x 轴于点F∵A ′E ＝5t －15 4，∴B ′E ＝5－5t －15 4＝35－5t4∴B ′F ＝43B ′E ＝35－5t 3∴S ＝52－1 2 ·35－5t 4·35－5t 3＝－25 24 t 2＋ 175 12 t －62524综上所述，S 关于滑行时间t 的函数关系式为：S ＝⎩⎪⎨⎪⎧25 24t 2（0＜t≤3）50t －758 （3＜t≤4）－25 24t2＋175 12t －625 24 （4＜t≤7）12．（浙江某校自主招生）如图，正方形ABCD 的边长为8cm ，动点P 从点A 出发沿AB 边以1cm /秒的速度向点B 匀速移动（点P 不与点A 、B 重合），动点Q 从点B 出发沿折线BC －CD 以2cm /秒的速度匀速移动．点P 、Q 同时出发，当点P 停止时，点Q 也随之停止．连接AQ 交BD 于点E ．设点P 运动时间为t （秒）．（1）当点Q 在线段BC 上运动时，点P 出发多少时间后，∠BEP ＝∠BEQ ？ （2）设△APE 的面积为S （cm 2），求S 关于t 的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）当4＜t ＜8时，求△APE 的面积为S 的变化范围．解（1）AP ＝x cm ，BQ ＝2x cm∵∠BEP ＝∠BEQ ，BE ＝BE ，∠PBE ＝∠QBE ＝45° ∴△PBE ≌△QBE ，∴PB ＝BQ 即8－x ＝2x ，∴x ＝8 3∴点P 出发83秒后，∠BEP ＝∠BEQ （2）①当0＜x≤4时，点Q 在BC 上，作EN ⊥AB 于N ，EM ⊥BC 于M ∵AD ∥BC ，∴ AE EQ＝AD BQ＝8 2x＝4x即AE EQ＝4 x，∴ AE AQ ＝4 x ＋4A B DEC P Q xO yA ′B ′F C ′O ′EA DP∴ NE BQ＝AE AQ，∴NE ＝ AE·BQ AQ ＝8x x ＋4∴S ＝1 2AP ·NE ＝1 2 x · 8x x ＋4 ＝4x 2x ＋4即S ＝4x 2x ＋4（0＜x≤4） ②当4＜x＜8时，点Q 在CD 上，作QF ⊥AB 于F ，交BD 于H 则AE EQ＝AD HQ＝8 16－2x＝48－x即AE EQ＝4 8－x，∴ AE AQ ＝ 4 8－x ＋4 ＝412－x作EN ⊥AB 于N ，则NE FQ＝AEAQ∴NE ＝AE·FQ FQ＝32 12－x∴S ＝1 2 AP ·NE ＝ 1 2 x ·32 12－x ＝16x12－x即S ＝16x12－x（4＜x＜8）（3）当4＜x＜8时，由S ＝16x 12－x，得x ＝12S16＋S∵4＜x＜8，∴4＜12S16＋S＜8∵S＞0，∴16＋S＞0，∴4(16＋S)＜12S＜8(16＋S) 解得8＜S＜32 13．（浙江模拟）如图，菱形ABCD 的边长为6且∠DAB ＝60°，以点A 为原点、边AB 所在直线为x 轴且顶点D 在第一象限建立平面直角坐标系．动点P 从点D 出发沿折线D －C －B 向终点B 以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q 从点A 出发沿x 轴负半轴以每秒1个单位的速度运动，当点P 到达终点时停止运动．设运动时间为t ，直线PQ 交边AD 于点E ． （1）求出经过A 、D 、C 三点的抛物线解析式；（2）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 值，若不存在，请说明理由； （3）设AE 长为y ，试求y 与t 之间的函数关系式；（4）若F 、G 为DC 边上两点，且点DF ＝FG ＝1，试在对角线DB 上找一点M 、抛物线对称轴上找一点N ，使得四边形FMNG 周长最小并求出周长最小值．x A y E D CB F G Q P A BDE CP QNF H解：（1）由题意得：D （3，33）、C （9，33）设经过A 、D 、C 三点的抛物线解析式为y ＝ax2＋bx 把D 、C 两点坐标代入上式，得：⎩⎨⎧9a ＋3b ＝3381a ＋9b ＝33解得：a ＝－3 9 ，b ＝433∴抛物线的解析式为：y ＝－39 x2＋433x （2）连接AC ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD 若PQ ⊥BD ，则PQ ∥AC 当点P 在DC 上时∵PC ∥AQ ，PQ ∥AC ，∴四边形PQAC 是平行四边形 ∴PC ＝AQ ，即6－2t ＝t, ∴t ＝2当点P 在CB 上时，PQ 与AC 相交，此时不存在符合要求的t 值 （3）①当点P 在DC 上，即0≤t≤3时 ∵DP ∥AQ ，∴△DEP ∽△AEQ∴ DE y ＝ DP AQ ＝ 2t t ＝2，∴y ＝ 13AD ＝2 ②当点P 在CB 上，即3＜t≤6时 ∵AE ∥BP ，∴△QEA ∽△QPB∴ AE BP＝QA QB，即 y 12－2t＝t 6＋t∴y ＝12－2t6＋t综上所述，y 与t 之间的函数关系式为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 （0≤t ≤3）12－2t 6＋t（3＜t≤6）（4）作点F 关于直线BD 的对称点F ′，由菱形对称性知F ′ 在DA 上，且DF ′＝DF ＝1作点G 关于抛物线对称轴的对称点G ′，易求DG ′＝4连接F ′G ′ 交DB 于点M 、交对称轴于点N ，则点M 、N 即为所求的两点过F ′ 作F ′H ⊥DG ′ 于H ，可得HD ＝1 2 ，F ′H ＝ 3 2，HG ′＝92∴F ′G ′＝F′H 2＋HG′ 2 ＝21∴四边形FMNG 周长最小值为F ′G ′＋FG ＝21＋114．（浙江模拟）如图，直线y ＝－x ＋5和直线y ＝kx －4交于点C （3，m ），两直线分别交y 轴于点A 和点B ，一平行于y 轴的直线l 从点C 出发水平向左平移，速度为每秒1个单位，运动时间为t ，且分别交AC 、BC 于点P 、Q ，以PQ 为一边向左侧作正方形PQDE ． （1）求m 和k 的值；（2）当t 为何值时，正方形的边DE 刚好在y 轴上？xA y F ′ D CB F G MNG ′ H xAyED CBF GQ PxAy ED C BF G QP谢谢观赏（3）当直线l 从点C 出发开始运动的同时，点M 也同时在线段AB 上由点A 向点B 以每秒4个单位的速度运动，问点M 从进入正方形PQDE 到离开正方形持续的时间有多长？解：（1）把C （3，m ）代入y ＝－x ＋5得m ＝2 ∴C （3，2），代入y ＝kx －4得k ＝2（2）由题意，点P 横坐标为3－t当x ＝3－t 时，y ＝－x ＋5＝t ＋2，∴P （3－t ，t ＋2） ∵PQ ∥y 轴，∴点Q 横坐标为3－t当x ＝3－t 时，y ＝2x －4＝2－2t ，∴Q （3－t ，2－2t ） ∴PQ ＝t ＋2－(2－2t)＝3t∵正方形PQDE ，∴PQ ＝PE 当正方形的边DE 刚好在y 轴上时，3t ＝3－t ，∴t ＝34（3）∵直线y ＝－x ＋5交y 轴于点A ，∴A （0，5） ∴点M 坐标为（0，5－4t ）当点M 和点P 的纵坐标相等时，5－4t ＝t ＋2，∴t ＝3 5∵3 5＜3 4，∴点M 进入正方形PQDE 时，t ＝3 4当点M 和点Q 的纵坐标相等时，5－4t ＝2－2t ，∴t ＝32∴点M 从进入正方形PQDE 到离开正方形持续的时间为：t ＝3 2－3 4＝3 415．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，Rt △OAB 的直角边OA 在x 轴的正半轴上，点B 坐标为（3，1），以OB 所在直线为对称轴将△OAB 作轴对称变换得△OCB ．动点P 从点O 出发，沿线段OA 向点A 运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CO 向点O 运动．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P 运动的时间为t （秒）．（1）求∠AOC 的度数；（2）记四边形BCQP 的面积为S （平方单位），求S 与t 之间的函数关系式；（3）设PQ 与OB 交于点M ． AO C B yx l P Q D EBC QyAOC Byxl P Q DE谢谢观赏①当△OMQ为等腰三角形时，求t的值．②探究线段OM长度的最大值，说明理由．解：（1）∵点B坐标为（3，1），∴OA＝3，AB＝1∴在Rt△OAB中，tan∠AOB＝ABOA ＝13＝33∴∠AOB＝30°∵将△OAB作轴对称变换得△OCB∴△OCB≌△OAB，∴∠COB＝∠AOB＝30°∴∠AOC＝60°（2）∵OP＝CQ＝t，AB＝1，OC＝OA＝ 3 ∴AP＝OQ＝3－t∴S＝2S△OAB－S△OPQ－S△P AB＝OA·AB－12 OP·OQ·sin∠AOC－12 P A·AB＝3×1－12 ×t×(3－t)×32－12 ×(3－t)×1＝34t2－14 t＋32（3）①若△OMQ为等腰三角形，则可能有三种情况：（i）若OM＝MQ，则∠MQO＝∠MOQ＝30°∵∠AOC＝60°，∴∠OPQ＝90°∴OP＝12 OQ，即t＝12 (3－t)解得：t＝3 3（ii）若OM＝OQ，则∠OMQ＝∠OQM＝75°∵∠AOC＝60°，∴∠OPQ＝45°过点Q作QD⊥OA于D，则QD＝DP即32(3－t)＝t－12 (3－t)解得：t＝1（iii）若MQ＝OQ，则∠OMQ＝∠MOQ＝∠MOP 得PQ∥OA，显然不符合题意②分别过点P、Q作OB的垂线，垂足分别为E、F ∵OP＝t，OQ＝3－t，∠MOP＝∠MOQ＝30°∴S△OPQ＝S△OPM＋S△OOM＝12 OM·PE＋12 OM·QF＝14 OM·OP＋14 OM·OQ＝14 OM(OP＋OQ)＝14 OM(t＋3－t)＝34OM过点Q作QG⊥OA于G则S△OPQ＝12 OP·QG＝12 OP·OQ·sin60°＝34t(3－t)＝－34(t2－3t)BP ACOQxyMBP ACOQxyMBP ACOQxyMDBP ACOQxyMEFG∴34OM＝－34(t2－3t)∴OM＝－(t2－3t)＝－(t－32)2＋34∴当t＝32时，线段OM的长度取得最大值3416．（浙江模拟）已知直线y＝43 x＋4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点C从O点出发沿射线OA以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点D从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动，当点D到达B点时C、D都停止运动．点E是CD 的中点，直线EF⊥CD交y轴于点F，点E′与E点关于y 轴对称．点C、D的运动时间为t（秒）．（1）当t＝________秒时，点F经过原点O；（2）设四边形BDCO的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当直线EF与△AOB的一边垂直时，求t的值；（4）以CD为一边，在CD的右侧作菱形CDMN，其中DM∥x轴．当点N在直线E′F左侧时，直接写出菱形CDMN与△EFE′重叠部分为轴对称图形时t的取值范围．解：（1）5 2提示：∵直线y＝43 x＋4与x轴、y轴分别相交于点A、B∴A（－3，0），B（0，4），∴AO＝3，BO＝4 ∴AB＝AO 2＋BO 2 ＝ 3 2＋4 2 ＝5当点F经过原点时，连接OD由题意，EF是CD的垂直平分线∴OD＝OC＝t∵AD＝t，∴AD＝OD，∴∠DAO＝∠DOA∵∠DBO＋∠DAO＝90°，∠DOB＋∠DOA＝90°∴∠DBO＝∠DOB，∴OD＝BD∴AD＝BD，∴AD＝12 AB＝52（2）∵AO＝3，BO＝4，AB＝5∴sin∠BAO＝BOAB ＝45 ，cos∠BAO＝AOAB ＝35过D作DH⊥AC于H 当0≤t≤3时∵CO＝t，AD＝t，∴AC＝3－t，DH＝AD·sin∠BAO＝4 5 t∴S＝S△ABO－S△ADC＝12 ×3×4－12 ·(3－t)·45 t＝25 t2－65 t＋6BAC ODxyFE E′BAC ODxyFE E′HByOyBDCA xEE′(F)当3＜t≤5时，AC＝t－3∴S＝S△ABO＋S△ADC＝12 ×3×4＋12 ·(t－3)·45 t＝25 t2－65 t＋6综合得S与t的函数关系式为：S＝25 t2－65 t＋6（0≤t≤5）（3）当EF⊥BO时∵EF⊥CD，∴CD∥BO，∴∠ACD＝90°在Rt△ADC中，ACAD ＝cos∠BAO∴3－tt ＝35 ，∴t＝158当EF⊥AB时∵EF⊥CD，∴直线CD与直线AB重合∴点C与点A重合，∴t＝3（4）t＝54 或t＝154提示：①当0＜t＜158 ，且重叠部分为等腰梯形PEQM时则∠PEQ＝∠MQE∵菱形CDMN，∴CD∥MN∴∠MQE＝∠CEQ，∴∠PEQ＝∠CEQ∵EF⊥CD，即∠CEF＝90°，∴∠CEQ＝45°∴∠ACD＝∠CEQ＝45°过D作DH⊥AC于H，则△DHC 是等腰直角三角形∴DH＝HC，∴45 t＝3－t－35 t，∴t＝54②当158 ＜t＜5，且重叠部分为等腰梯形EHNK时同理可得∠CHE＝45°连接DH∵EF垂直平分CD，∴CH＝DH，∠DHE＝∠CHE＝45°∴∠DHC＝90°，∴DH＝4 5 t而CH＝CO－HO＝CO－(AO－AH)＝t－(3－35 t)∴t－(3－35 t)＝45 t，∴t＝154BA ODyFE E′xCFBAODyE′xF(C)EOyBDCAFxE E′MNPQHOyBDC AFxE E′MNHK17．（浙江模拟）如图1，矩形ABCD中，AB＝21，AD＝12，E是CD边上的一点，DE＝16，M是BC边的中点，动点P从点A出发，沿边AB以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动．设动点P的运动时间是t秒．（1）求线段AE的长；（2）当△ADE与△PBM相似时，求t的值；（3）如图2，连接EP，过点P作PH⊥AE于H．①当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值；②以PE为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′，当线段B′C′与线段AE有公共点时，写出t的取值范围（直接写出答案）．解：（1）∵ABCD是矩形，∴∠D＝90°∴AE＝AD 2＋DE 2 ＝12 2＋16 2 ＝20（2）∵∠D＝∠B＝90°∴△ADE与△PBM相似时，有两种情况：当∠DAE＝∠PMB时，有DEPB ＝ADBM即1621－t＝126 ，解得t＝13当∠DAE＝∠BPM时，有DEBM ＝ADPB即166 ＝1221－t，解得t＝332（3）①由题意得：S△EHP＝S△EMP∵DC∥AB，∴∠DEA＝∠HAP又∵∠D＝∠AHP＝90°，∴△ADE∽△PHA∴AHDE ＝PHAD ＝APAE ，即AH16 ＝PH12 ＝t20∴AH＝45 t，PH＝35 t，EH＝20－45 t∴S△EHP＝12 ×35 t×(20－45 t)∵DC＝21，DE＝16，∴EC＝5∴S△EMP＝S梯形EPBC－S△ECM－S△PBM＝12 (5＋21－t)×12－12 ×5×6－12 ×(21－t)×6DACEBMP图1DACEBMPH图2DACEBM备用图DACEBMPHDACEBMPH。

中考数学压轴题100题精选【含答案】【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值。