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高等传热学导热理论第四讲 非稳态导热描述非稳态导热问题的微分方程：pC t a t ρτΦ+∇=∂∂ 2共有四维，不好解。
最简单的情况，如果系统内部无温度差（即无导热），它的温度变化规律如何？这就是所谓的薄壁问题，此时无需考虑系统的空间坐标，所以又是0维问题。
1．薄壁问题（P 40-45）即集总参数系统适用条件 薄壁理论：如果系统内部无温度差，由热力学第一定律可得：MCdt d A d q =∙Ωτ1－4－1当热流密度与边界相互垂直时，有：VCdt qAd ρτ= 1－4－2如边界上的热流密度为)(t t h q f -=VCdt d t t hA f ρτ=-)( 1－4－300t t ==τ实际情况 t 不可能相同。
什么条件下可用薄壁公式呢？ 工程界用得最多的判据是：1.0≤Bi 1－4－4对平壁，圆柱和球，此时内部温差小于()()(,)(0,)/(0,)5%t r t t t τττ∞--≤，即实际判据为：()()(,)(0,)/(0,)t r t t t τττε∞--≤，即某时刻平壁内最大温差与该时刻平壁和环境间的最大温差之比小于给定小量。
有人对此判据提出异议：在加热初期极短时间内，任何有限薄壁可看作半无限大体，温度只影响边界附近薄层中，与薄壁概念不符。
判据1－4－4的缺点是没有F o 的影响。
R o s e n o w 提出另一个判据，()()(,)(0,)/(,)(,0)t r t t t ττδτδε--≤，物理意义是在某时刻平壁内最大温差与该时间段内平壁最大温度变化之比小于给定小量。
该判据含F o ，但存在B i 越小，薄壁区越小的缺点，与判据1－4－4不相容。
俞佐平提出了含F o 的新判据，()()()()(,)(,0)(,)/1//(,0)t t t t t t Bi h t t δτδδτεδλδ∞∞∞∞---=≤-该判据规律与1－4－4相似。
本人从理论上证明了判据1－4－4的合理性，发现异议者的误区在于但B i 很小时，无论时间如何短，与该薄壁相应的半无限大体中的最大温差也不会超过我们限定的温差。
高等传热学导热理论参考书：高等传热学 贾力 方肇洪 钱兴华•S .K a k a c ,Y .Y e n e r , H e a t C o n d u c t i o n 1985, T K 124/Y K 3•G .E .M y e r s , A n a l y t i c a l M e t h o d s i n C o n d u c t i o n H e a tT r a n s f e r ,1971,T K 124/Y M 1•M .N .O z i s i k ,H e a t C o n d u c t i o n ,1980,(中译本)O 551.3/A 2•俞昌铭，热传导及数值分析，1981，清华大学出版社， O 551.3/Y 2•J .E .P a r r o t t ,A .D .S t u c k e s ,T h e r m a l C o n d u c t i o n o f S o l i d s ,1975, O 551.3/Y P 1 •U .G r i g u l l ,H .S a n d n e r , ,H e a t C o n d u c t i o n ,1984,Y K 124/Y G 3•E c k e r t E .R .G ,A n a l y s i s o f H e a t a n d M a s s T r a n s f e r , O 551.3/Y E 1(英)， O 551.3/A 3，（中）•V .C .A r p a c i ,C o n d u c t i o n H e a t T r a n s f e r ,1966,•钱壬章等，传热分析与计算，高教出版社•林瑞泰，热传导理论与方法，天津大学出版社•屠传经等，热传导，浙江大学出版社第一讲 导热规律及其数学描述导热可发生在物体的各种状态：气态、固态和液态。
高等传热学导热理论第三讲肋片导热分析肋片(伸（延、扩）展面、)：从壁面扩展出的换热面。
肋片的作用：增加传热面积，改变换热条件和增加表面传热系数。
目的：强化传热，调整温度，减小体积及流阻，减轻重量。
肋的种类：直肋，环肋，异形肋等：一维肋片的条件（假定）：（1）稳定导热，无内热源。
（2）连续均质，各向同性。
（3）表面传热系数h为常量。
不变。
（4）环境换热温度tf（5）导热系数λ为常量（6）肋基温度均匀。
（7）δ《H，温度变化与宽度无关。
（8）肋基与壁面间无接触热阻（无温差）3.1一维对称直肋传热的通用微分方程：对沿x方向一维传热，设传热面积A，由F o u r i e r定律和热力学第一定律,应用微元分析法，当λ=常量时，)d x＝0有：-dΦ-h U(t-tfd(λA d t/d x)-h U(t-t f)d x=(λA d2t/d x)+λ(d A/d x)d t-h U(t-tf)d x=0λA d2t/d x2+λ(d A/d x)d t/d x-h U(t-tf)=0导热面A矩形时A=2l y,U=2(l+2y),取l=1,2y<<l；A=2y,U=2,得：y d2t/d x2+(d y/d x)d t/d x-h/λ(t-tf)=0令：y=δ/2(x/H)(1-2n)/(1-n)n=1/2，y=δ/2=c o n s t,等截面肋。
n=0y=δ/2(x/H)，三角形肋。
n=1/3y=δ/2(x/H)1/2,凸抛物线n=∞，y=δ/2(x/H)2,凹抛物线边界条件：x=0,肋端：(1)1stB.C：t=tf。
(2) 2ndB.C中绝热边界条件：d t/d x=0。
(3) 3rdB.C：-λd t/d x=h(t-tf)x=H,肋基：t=t。
3.2等截面直肋的导热分析上式中：n=1/2，y=δ/2=c o n s t,等截面肋。
换一下坐标得：d2t/d x2–h U/(λA)(t-tf)=0令：θ＝t-tf过余温度。
高等传热学导热理论参考书：高等传热学 贾力 方肇洪 钱兴华•S .K a k a c ,Y .Y e n e r , H e a t C o n d u c t i o n 1985, T K 124/Y K 3•G .E .M y e r s , A n a l y t i c a l M e t h o d s i n C o n d u c t i o n H e a tT r a n s f e r ,1971,T K 124/Y M 1•M .N .O z i s i k ,H e a t C o n d u c t i o n ,1980,(中译本)O 551.3/A 2•俞昌铭，热传导及数值分析，1981，清华大学出版社， O 551.3/Y 2•J .E .P a r r o t t ,A .D .S t u c k e s ,T h e r m a l C o n d u c t i o n o f S o l i d s ,1975, O 551.3/Y P 1 •U .G r i g u l l ,H .S a n d n e r , ,H e a t C o n d u c t i o n ,1984,Y K 124/Y G 3•E c k e r t E .R .G ,A n a l y s i s o f H e a t a n d M a s s T r a n s f e r , O 551.3/Y E 1(英)， O 551.3/A 3，（中）•V .C .A r p a c i ,C o n d u c t i o n H e a t T r a n s f e r ,1966,•钱壬章等，传热分析与计算，高教出版社•林瑞泰，热传导理论与方法，天津大学出版社•屠传经等，热传导，浙江大学出版社第一讲 导热规律及其数学描述导热可发生在物体的各种状态：气态、固态和液态。
描述传热规律最基本的规律是傅里叶导热定律：1. F o u r i e r L a w :dxdt q λ-=傅里叶定律适用于稳态、非稳态，变导热系数，各向同性，多维空间，连续光滑介质，气、液、固三相的导热问题，但其表现形式上为已知热流方向的一维问题。
用起来不方便。
在已知温度场的情况，我们把傅里叶定律推广成向量形式：n n t t q ∂∂-=∇-=λλ 其中∇叫n a b l a 算子，作用于温度叫温度梯度。
n 为温度梯度单位方向向量。
在不同的坐标系中，∇有不同的表现形式，在直角坐标系中：k zj y i x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 傅里叶定律向量形式说明，热流密度方向与温度梯度方向相反。
它可适用于稳态、非稳态，变导热系数，各向同性，多维空间，连续光滑介质，气、液、固三相的导热问题。
2．各向异性材料，导热系数张量；许多物体的导热能力与方向有关，如木材。
正确描述物体中一点的导热系数需采用二阶张量形式：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz y yx xz xy x λλλλλλλλλλ在直角坐标系中各向异性物体的傅里叶定律表示为：采用爱因斯坦求和约定，简记为：3,2,1,=∂∂-=j i e x t q i jij λ 由热力学第二定律可以证明：0)(,2≥≠>=ii ij jj ii ji ij j i λλλλλλ,导热系数张量是对称张量。
由张量理论知，必存在一个坐标系),,(ζηξ，使得导热系数张量可以表示成：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ζηξλλλλ000000称坐标系),,(ζηξ的三个方向为导热系数张量主方向，),,(ζηξλλλ为主导热系数。
导热系数张量主方向和主导热系数可以利用线性代数中的相似变换求出。
当我们采用导热系数张量主方向作为坐标系时，傅里叶定律表示成：)(ζζηηξξζληλξλe t e t e t q ∂∂+∂∂+∂∂-=从而简化计算。
当三个主导热系数相等时（叫球张量），傅里叶定律就转化为各向同性的形式。
当导热系数张量确定后，主导热系数是唯一的，但导热系数张量主方向不一定唯一。
如球张量对任一正交坐标系都是导热系数主方向。
傅里叶定律各向异性形式说明，热流密度方向与温度梯度方向不一定相反，可以有一个角度，这个角度受热力学第二定律的限制，热流密度方向必须朝向温度降低方向。
它可适用于稳态、非稳态，变导热系数，各向异或同性，多维空间，连续光滑介质，气、液、固三相的导热问题。
3．有限热传播速度下的傅里叶定律修正： []x xy xz yx y yz zx zy z t i x t q t j y t k z λλλλλλλλλλ⎧⎫∂⎪⎪∂⎡⎤⎪⎪⎢⎥∂⎪⎪=-∇=-⎨⎬⎢⎥∂⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪∂⎪⎪∂⎩⎭傅里叶定律暗含了热传播速度无穷大的假设，这是违反物理规律的。
所以我们认为傅里叶定律仅仅是导热规律的一个近似。
根据统计热力学，物体对热扰动表现出惯性和阻尼作用，使得热只能以有限的速度“C ”传播。
称C 为第二声速。
02/τa C =。
0τ有时间量纲，称为物体的弛豫时间，它反映导热系统趋于新的平衡状态的快慢程度。
其数量级与物体粒子二次碰撞平均时间间隔相同。
考虑了有限热传播速度下的傅里叶定律修正为： t q q C a ∇-=+∂∂λτ2 热传播项 热流 热扩散对稳态导热，热传播项消失，该式转化为原来的傅里叶定律。
)/(p C a ρλ=叫热扩散系数。
非稳态，一般a <<C 2，热传播项相对其它项很小，热流变化也不急剧，可以忽略不计。
原来的傅里叶定律仍旧可用。
在深冷领域，温度接近绝对零度，物体性质发生很大的变化。
有时传播项的影响不可忽略。
如在1.4K 液氦中，C 约为19m /s ,此时需考虑传播项的影响，负责会造成较大误差。
在短时间高热负荷情况下，如强激光照射，热流变化非常剧烈，也此时需考虑热传播速度效应，才能得到正确的预测。
人们还从传热的微观机理出发对傅里叶定律进行种种修正，对理解物体的微观运动和物性预测很有帮助。
这里就不再介绍。
4．导热微分方程：对连续体，各向同性静止物体，在具有内热源Φ（核反应，电加热或化学反应等）时，利用热力学第一定律和傅里叶定律，不考虑系统对外做功，不可压缩物体，无相变的情况下，可以得到如下导热微分方程：()Φ+∇∙∇=∂∂ t t C p λτρ 1－4－1 非稳态项 扩散项 源项当λ为常数，式1－4－1变成：pC t a t ρτΦ+∇=∂∂ 2 1－4－2 更一般地，考虑粘性流体流动状态下发生的传热有：ηφττρ++++∙-∇=D DP q q q D Dh s r 1－4－3 h=e+P/ρ 1－4－4ηφ叫耗散函数。
不同的坐标系，上面的公式有不同的表达。
见贾书P 8－11。
虽然导热微分方程适用情况很广，有时使用并不方便，大家在应用时体会。
5．初值条件与边界条件物理规律用微分方程表达，叫数学物理方程。
数理方程反映的是同类物理现象，它不涉及研究对象特定的环境和历史。
所以叫这类微分方程为泛定方程（或控制方程等）。
要解决实际稳态，还要给出定解条件。
作为整体，我们把求出定解条件称为定解问题。
求解导热微分方程的定解条件是初值条件，边界条件等，在一定的物理条件，几何条件下，再给出以下的初值条件，边界条件，导热微分方程有唯一解，所以我们又称这些条件为唯一性条件。
A /. 初值条件：就是给定系统初始状态。
即给定系统Ω的初始温度： Ω∍==),,(),,(0z y x z y x f t τ最简单情况：Ω∍==),,(0z y x C t τ B /. 边界条件：给定系统与环境之间的作用和关系。
分线性边界条件和非线性边界条件。
边界条件中含函数及其偏导数的乘积项为非线性边界条件，否则就为线性边界条件。
线性边界条件的求解比 非线性边界条件办法多，一般有通用方法。
非线性边界条件变化多，是当前的难题。
线性边界条件有：1s t B C : 给定边界Γ上的温度：Γ∍=≥),,(),,(0z y x z y x f t τ 2n d B C ： 给定边界Γ上外法向的热流密度：Γ∍=∂∂-=≥),,(),,(0z y x z y x f nt q λτ 最简单情况：Γ∍=∂∂-=≥),,(00z y x nt q λτ叫绝热边界条件。
3r d B C ：给定边界Γ上的换热条件：Γ∍-=∂∂-≥),,()(0z y x t t h nt f λτ 还有一种边界条件有人称之为4t h B C ,即给定两个相互接触面间的温度和热流。
当其为理想接触时也是线性的，两相互接触面A ,B 理想接触时的边界条件为: Γ∍∂∂=∂∂≥),,(0z y x n t n t B B B A A A λλτ Γ∍=≥),,(0z y x t t B A τ即接触面上温度相同，热流相等当存在接触热阻和接触面上有内热源时，为非理想接触，有可能变得非线性。
非线性边界条件相应的情况很多，上述几种边界条件当其中系数与温度或温度的偏导数有关时，就转化为非线性边界条件。
另外常见的有：辐射边界条件：黑体辐射服从温度的四次方率，高度非线性。
自然对流边界条件;表面传热系数与温差的1/4或1/3成正比。
移动边界条件：边界上存在相变等，如融化，凝固，烧结等，边界在移动，往往会有待求的边界移动速度项，故为非线性。
非线性问题的求解绝大多数转换为线性问题获得近似解，个别问题发展了自己的解法。
凝结边界条件和沸腾边界条件从本质上看，表面传热系数也与温度有关，也属于非线性。
6．导热问题的分类及求解方法：按照不同的导热现象和类型，有不同的求解方法。
求解导热问题，主要应用于工程之中，一般以方便，实用为原则，能简化尽量简化。
直接求解导热微分方程是很复杂的，按考虑系统的空间维数分，有0维，1维，2维和3维导热问题。
一般维数越低，求解越简单。
常见把高维问题转化为低维问题求解。
有稳态导热和非稳态导热，非稳态导热比稳态导热多一个时间维，求解难度增加。
有时在稳态解的基础上分析非稳态稳态，称之为准静态解，可有效地降低求解难度。
根据研究对象的几何形状，又可建立不同坐标系，分平壁，球，柱，管等问题，以适应不同的对象。
不论如何，求解导热微分方程主要依靠三大方法：甲．理论法乙．试验法丙．综合理论和试验法理论法：借助数学、逻辑等手段，根据物理规律，找出答案。
它又分：分析法；以数学分析为基础，通过符号和数值运算，得到结果。
方法有：分离变量法，积分变换法(L a p l a c e变换，F o u r i e r变换)，热源函数法，G r e e n函数法，变分法，积分方程法等等，数理方程中有介绍。
近似分析法：积分方程法，相似分析法，变分法等。
分析法的优点是理论严谨，结论可靠，省钱省力，结论通用性好，便于分析和应用。
