顺序统计量
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顺序统计量方差
顺序统计量方差
**顺序统计量的方差**
随着互联网的迅速发展，网络数据的收集和处理也变得越来越重要。
而顺序统
计量的方差就是其中一项准确处理网络数据的重要工具。
顺序统计量的方差就是用来测量和解释该类数据的分布程度的方法，旨在让使用者有效地实现对这类数据的准确评估。
顺序统计量的方差可以从两个层面来理解，即数据间的单位差异以及值在某一
范围内的残差。
可以这样理解，每一组数据在单位差异上表现的拉动程度，即方差的可估量度，这就是顺序统计量的方差的一个基本特征。
而值在某一范围内的残差，反映的是数据间的统计特点，即对对比组所包含的差异进行统计衡量，这也是顺序统计量的另一个重要特征。
由此可见，顺序统计量的方差就是通过测量和解释数据间的分布程度，以便更
好地利用这些数据来实现对它们的分析。
顺序统计量的方差还可以有助于更好地研究和理解深层次数据。
比如，对比的组可以被测量和统计，以便了解其中哪一组表现得更优秀。
总之，顺序统计量的方差是一种用来分析网络数据的重要工具，它可以有助于
使用者更准确地测量和解释数据间的分布，从而更好地利用这些数据对它们进行分析。
1.3 顺序统计量
求 F ( u, v ) ．对于任意 u, v ，有
PX (1) u, X ( n ) v Pu X 1 v,, u X n v Pu X 1 v Pu X n v [ F ( v ) F ( u)]n , 若u v， 0 , 若u v ； F ( u, v ) PX (1 ) u, X ( n ) v PX ( n ) v PX (1 ) u, X ( n ) v [ F (v )]n [ F (v ) F ( u )]n , 若u v， n ， 若 u v． [ F (v )]
1.3 顺序统计量
§1.3
顺序统计量、经验分布函数和直方图
一、顺序统计量 另一类常见的统计量是顺序统计量. 定义 1 设 X 1 , X 2 ,, X n 是取自总体 X 的样本, X ( i ) 称为 该样本的第 i 个顺序统计量，它的取值是将样本观测值由小 到大排列后得到的第 i 个观测值。x(1) x( 2 ) x( n ) ，X ( i ) 的值是 x ( i ) 。其中 X (1) minX 1 , X 2 ,, X n 称为该样本的最小顺 序统计量，称 X ( n ) maxX 1 , X 2 ,, X n 为该样本的最大顺序统 计量。 我们知道， 在一个样本中， X 1 , X 2 ,, X n 是独立同分布的， 而次序统计量 X (1) , X ( 2) ,, X ( n) 则既不独立，分布也不相同， 看下例。
假设总体 X 在区间[0,2]上服从均匀分布； Fn ( x )
是总体 X 的经验分布函数， 基于来自 X 的容量为 n 的简单随 机样本，求 Fn ( x ) 的概率分布，数学期望和方差． 解 总体 X 的分布函数为
PX (1) u, X ( n ) v Pu X 1 v,, u X n v Pu X 1 v Pu X n v [ F ( v ) F ( u)]n , 若u v， 0 , 若u v ； F ( u, v ) PX (1 ) u, X ( n ) v PX ( n ) v PX (1 ) u, X ( n ) v [ F (v )]n [ F (v ) F ( u )]n , 若u v， n ， 若 u v． [ F (v )]
1.3 顺序统计量
§1.3
顺序统计量、经验分布函数和直方图
一、顺序统计量 另一类常见的统计量是顺序统计量. 定义 1 设 X 1 , X 2 ,, X n 是取自总体 X 的样本, X ( i ) 称为 该样本的第 i 个顺序统计量，它的取值是将样本观测值由小 到大排列后得到的第 i 个观测值。x(1) x( 2 ) x( n ) ，X ( i ) 的值是 x ( i ) 。其中 X (1) minX 1 , X 2 ,, X n 称为该样本的最小顺 序统计量，称 X ( n ) maxX 1 , X 2 ,, X n 为该样本的最大顺序统 计量。 我们知道， 在一个样本中， X 1 , X 2 ,, X n 是独立同分布的， 而次序统计量 X (1) , X ( 2) ,, X ( n) 则既不独立，分布也不相同， 看下例。
假设总体 X 在区间[0,2]上服从均匀分布； Fn ( x )
是总体 X 的经验分布函数， 基于来自 X 的容量为 n 的简单随 机样本，求 Fn ( x ) 的概率分布，数学期望和方差． 解 总体 X 的分布函数为
顺序统计量法
顺序统计量法
顺序统计量法是一种计算随机变量中各种统计量的方法。
需要对
原始数据进行排序操作，并以此计算出各种统计量，包括中位数、分
位数、极差等。
下面分步骤阐述一下这种方法的应用。
首先，将原始数据按照大小排序，从小到大或从大到小都可以，
只要保证数据的顺序一致即可。
排序可以手动进行，也可以使用计算
机软件进行。
接下来，计算中位数。
中位数是指原始数据中位于中间位置的数值，即将原始数据按照大小排序后，位于中间位置的数值。
如果数据
总数为奇数，则中位数为中间位置的数值；如果数据总数为偶数，则
中位数为中间两个数值的平均值。
其次，计算分位数。
分位数是将数据分为若干部分的数值，一般
用来表示数据的分布情况。
常用的分位数包括四分位数、十分位数等。
四分位数是将数据分为四部分，每部分包含相等的数据量。
第一个四
分位数（Q1）为数据中位于排序后1/4位置的数值，第二个四分位数（Q2）为数据中位于排序后1/2位置的数值，第三个四分位数（Q3）
为数据中位于排序后3/4位置的数值。
最后，计算极差。
极差是指数据中最大值与最小值之间的差距。
可以使用排序后的数据求得。
极差越大，说明数据分布越分散；极差
越小，说明数据分布越集中。
顺序统计量法是一种简单而常用的统计方法，可以用来计算各种
统计量，包括中位数、分位数、极差等。
在实际应用中，可以根据需
要选择相应的统计量并进行计算。
关于顺序统计量分布的一种证明
文章编号 : 1009 - 3907 (2002) 06 - 0020 - 02关于顺序统计量分布的一种证明王 伟(长春大学 应用理学院 , 吉林 长春 130022)摘 要 : 介绍了顺序统计量的概念 , 并利用多元随机变量的联合分布与边缘分布之间关系 , 求出 顺序统计量的分布 , 并通过实例加以描述 。
关键词 : 顺序统计量 ; 分布 ; 证明中图分类号 : O21211文献标识码 : A = P ( X (1) 由于X (1) ≤X (2) ≤x ( n ) ) ,≤x (1) , X (2) ≤x (2) ,, X ( n ) 1 顺序统计量定义 : 设 X 1 , X 2, X n 是来自总体 X 的容量, x n 为样本值 , 将它≤ ≤X ( n ) ,为 n 的样本 , 记 x 1 , x 2 ,对于每一点 ( x (1) , x (2) , , x ( n ) ) , x (1) < x (2) < < 们按大小递增次序排列 , 得到x ( n ) 可找到 n ! 个不同的样本点 ( x 1 , x 2 , , x n ) 与之x (1) ≤x (2) ≤ ≤x ( n ) ,对应 。
因 此 从 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 到 ( X (1) , X (2) ,,我们定 义 X ( k ) , 当 X 1 , X 2 , , X n 取 值 x 1 , X ( n ) ) 的变换不是 1 对 1 变换 , n ! 个逆象 , 因此x 2 , , x n 时 , X ( k ) 取 值 x ( k ) 由 此 得 到 的 X (1) ,而每个象点都存在, X ( n ) 就 称 为 X 1 , X 2 ,量 。
X n 的 一 组 顺 序 统 计F ( x (1) , x (2) , , x ( n ) )如果记 i 1 , i 2 , , i l 为 1 , 2 , , n 中的某= n ! P ( X 1 ≤x ( i ) , X 2 ≤x ( i ) , X n ≤x ( i ) )1 2n lC l 个数 , 可 得 到 个 不 同 的 数 组 i , i , , i 。
顺序统计量
顺序统计量
在移动互联网的发展中，顺序统计量扮演着重要的角色。
特别是近些年，各种
新的移动应用在竞争之下，顺序统计量可以提供及时准确的数据，帮助移动应用开发者能够以可控的成本快速获得用户成功转换的可行性路径。
首先，顺序统计量可以支持移动应用产品经理及其他产品设计人员更有针对性
地应用产品设计。
它可以帮助他们确定每一步准确的细节，从而使产品设计更精准，更具可行性。
此外，顺序统计量还可以帮助移动应用开发者解决流量来源的瓶颈，它可以通过精准规划圈选和投放广告流量来展现自身的优势所在，以此来提升渠道的效率。
另外，顺序统计量可以帮助移动应用实现用户忠诚度的准确统计和挖掘，从而
更有效地实现业务拓展，粉丝运营等目标。
总之，顺序统计量在移动互联网发展中发挥着不可替代的作用，可以准确定位产品设计细节，帮助开发者解决流量来源瓶颈，提升渠道效率，甚至有助于拓展用户忠诚度，从而提升整体业务绩效。
秩统计量
1 Ri = ∑ I ( X j ≤ X i ) ， I ( X j ≤ X i ) = j ≠i 0 Ri 是不超过 X i 的 X j 的计数，记
n
X j ≤ Xi X j > Xi
R = ( R1 , R2 ,L, Rn )
称为秩统计量。 6 有结数据的秩 设 X 1 , X 2 ,L X n 是来自总体 X 的样本， 样本中相同 的数据称为结，一个结的数据重复的次数称为结长， 结的秩为排列后位置序号按结长的平均。例如 样本观测值为： 2 排序后： 1 1 1 1 2 2 2 4 2 2 4
为线性秩统计量。an (g) 为记分函数。 cn (i) 为回归常数，
i = 1,L, n 。
3
3 顺序统计量分布函数
n为奇数 n为偶数
设总体的分布函数 F ( x ) ， 则第 r 个顺序统计量 X ( r ) 的分布函数为
Fr ( x) = P ( X ( r ) ≤ x) = P (至少r个X i小于或等于x)
= ∑ P( X 1 , X 2 ,L, X n中恰好有j个小于x)
j =r
n i i = ∑ Cn F ( x) [1 − F ( x) ] i =r n −i
时， S n+ 记为 S + ，是符号统计量。 8 线性秩统计量： 设 X 1 , X 2 ,L X n 为样本， Ri 为 X 1 , X 2 ,L X n 中的秩。 定义 an (g) 和 cn (g) 为在1,2,L, n 上的函数，称
n
S n = ∑ cn (i )an ( Ri )
i =1
7 线性符号秩统计量
+ (g) 设 Ri+ 为 | X i | 在 X 1 , X 2 ,L, X n 中的秩，定义 an
顺序统计量
Xk k 1,2,,n ：第 k 个顺序统计量
X1 min X1, X 2 ,, X n ：最小顺序统计量， X(n) max X1, X2 ,, Xn ：最大顺序统计量
**********************************************************
而计算 X k 的密度函数）
设 X k 的分布函数为 Fk x ，计算 X k 落于 x, x的概率
P Xk x, x x Fk x x Fk x
2
k
n!
1 ! n
k
!
F
x k 1
F
1000 0 0 0 1100 0 0 1 1200 0 0 2
64
32
64
1001 0 0 1 1101 0 1 1 1201 0 1 2
32
16
32
1002 0 0 2 1102 0 1 2 1202 0 2 2
64
32
64
1010 0 0 1 1110 0 1 1 1 210 0 1 2
32
16
第十周 独立随机变量和的分布与顺序统计量
10.4 顺序统计量
顺（次）序统计量
X1, X2,, Xn 独 立 同 分 布 ， 分 布 函 数 F x ， 将 这 n 个 随 机 变 量 做 升 序 排 列
X1 X2 Xn ， X1 , X2 ,, Xn 称为顺（次）序统计量(ordered statistics)。
序排列 X 1 X 2 X n ，求 X k 的分布。
1
（分析：考虑 X k 在 x 点附近的分布规律，x 非
X1 min X1, X 2 ,, X n ：最小顺序统计量， X(n) max X1, X2 ,, Xn ：最大顺序统计量
**********************************************************
而计算 X k 的密度函数）
设 X k 的分布函数为 Fk x ，计算 X k 落于 x, x的概率
P Xk x, x x Fk x x Fk x
2
k
n!
1 ! n
k
!
F
x k 1
F
1000 0 0 0 1100 0 0 1 1200 0 0 2
64
32
64
1001 0 0 1 1101 0 1 1 1201 0 1 2
32
16
32
1002 0 0 2 1102 0 1 2 1202 0 2 2
64
32
64
1010 0 0 1 1110 0 1 1 1 210 0 1 2
32
16
第十周 独立随机变量和的分布与顺序统计量
10.4 顺序统计量
顺（次）序统计量
X1, X2,, Xn 独 立 同 分 布 ， 分 布 函 数 F x ， 将 这 n 个 随 机 变 量 做 升 序 排 列
X1 X2 Xn ， X1 , X2 ,, Xn 称为顺（次）序统计量(ordered statistics)。
序排列 X 1 X 2 X n ，求 X k 的分布。
1
（分析：考虑 X k 在 x 点附近的分布规律，x 非
顺序统计量公式证明
顺序统计量公式证明顺序统计量是统计学中非常重要的概念之一，它描述了一组数据中第k个最小值或第k个最大值的概念。
在实际应用中，顺序统计量常常被用于数据分析、质量控制、风险管理等领域。
为了证明顺序统计量的公式，我们需要先了解几个基本的数学概念和定理。
首先，我们需要了解什么是数学期望。
数学期望定义为随机变量取值的概率加权和。
在概率论中，数学期望是一个非常重要的概念，它描述了随机变量的平均水平。
其次，我们需要了解方差的概念。
方差是随机变量取值与数学期望的离散程度，即随机变量取值分布的散布程度。
方差越大，随机变量的取值分布越分散；方差越小，随机变量的取值分布越集中。
最后，我们需要了解协方差的概念。
协方差是两个随机变量取值之间的相关程度的度量。
如果两个随机变量取值之间的协方差为正，则它们之间存在正相关关系；如果协方差为负，则它们之间存在负相关关系；如果协方差为零，则它们之间没有相关关系。
在了解了上述数学概念之后，我们可以开始证明顺序统计量的公式了。
首先，我们考虑证明第k个最小值的期望公式。
我们可以将一组n个数据按照从小到大的顺序排列，那么第k个最小值的期望可以表示为：E[X(k)]。
根据数学期望的定义，我们可以得到：E[X(k)] = (x1+x2+…+xn-k+1)p(x1+x2+…+xn-k+1)+(x2+x3+…+xn-k+2)p(x2+x3+…+xn-k+2)+…+(xk)p(xk) （1）根据概率的定义，上述公式（1）可以化简为：E[X(k)] = (x1+x2+…+xn-k+1)P(X≤x1+x2+…+xn-k+1)+(x2+x3+…+xn-k+2)P(X≤x2+x3+…+xn-k+2)+…+(xk)P(X ≤xk) （2）其中，P(X≤xi)表示随机变量X小于等于xi的概率。
根据顺序统计量的定义，我们可以得到：E[X(k)] = (x1+x2+…+xn-k+1)P(X≤x1)+(x2+x3+…+xn-k+2)P(X≤x2)+…+(xk)P(X≤xk) （3）由于随机变量X的概率分布是离散的，因此P(X≤xi)对于所有的i都是相等的，等于1/n。
§1.4 顺序统计量的分布
§1.4 顺序统计量≤≤≤=1212(1)(2)()1212()()(1)(2)()12(,,,) (,,,),(,,,)(,,,),(1,2,,), (,,,)(,,1.4.1 ,n n n n n k k n X X X X x x x x x x X X X x x x X x k n X X X X X 设是从总体中抽取的一个样本,是其一个观测值将观测值按由小到大的次序重新排列为一、顺序统计量的定义当取值为时定义取值为由此得到的称为样本 定义(1)(2)()) (,,,)..n n X x x x 的对应的成为其顺序统计量观察值≤≤≤≤===-称为样本的特别地，称为 称为 称为由于每个都是样本的函数，所以都是随机变量第个顺序统计量最小顺序统计量最大顺序统计量. 一般它们不相互独立.设总体的分布为样本极差.例1注：： ()12(1)1()1()()(1)()12(1)(2)():(,,,)min .max .(,,,),,,.k n i i nn i i nn n k n n X X X X X X X X R X X X X X X X k X X X 仅取的离散均匀分布，其分布列为0, 1, 2----=--<<<=-><=-≤-=-+-=---⎰设总体分布为为样本，则的联合密度函数为 令 由可以推出 则该分布参例数为 12(1)()21,()(1)(1)()122(0,1),,,,(,)(,)(1)(),0 1.,001()(1)[3()](1)(1).(1n n n n n n r n R n X U X X X X X f y z n n z y y z R x x R X X R R f r n n y r y dyn n r r n 的贝塔分布.,2)。
顺序统计量
−1 ! − !
−1
1−
−
()
证明： 对任意的实数 x ，考虑次序统计量 x(k) 取值
落在小区间 (x , x + x ] 内这一事件，它等价于
“样本容量为 n 的样本中有 1 个观测值落在区间
(x , x + x ] 之间，而有 k-1 个观测值小于等于 x ，
100
•T1 X i 是不合格品率p的充分统计量
i 1
1 n
( X i )2
•来自正态总体的样本，若总体期望已知，
n i 1
1 n
是总体方差的充分统计量，若总体方差已知，n X i
i 1
•是总体期望的充分统计量。
3、分位数
设(1) ≤ (1) ≤ ⋯ ≤ () 为取自总体 X 的
次序统计量，称 Mp为p分位数。
+1 ,
= ൞1
+
2
若不是整数
+1
,
若是整数
4、四分位数：
① 排序后处于25%和75%位置上的值
25%
25%
QL
25%
QM
② 不受极端值的影响
③ 计算公式
布，
X
0
1
2
设总体 X 的分布如下:
p
1/3 1/3 1/3
现抽取容量为 3 的样本, 共有 27 种可能取值, 列表如下
x1
x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3)
0
0
0
0
0
0
1
1
0
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三、顺序统计量的分布
1、单个顺序统计量的分布
设总体X的密度函数为 f (x) ，分布函数为 F (x) ， x1, x2, …, xn 为样本，则第 k 个次序统计量 x (k) 的 密度函数为:
证明： 对任意的实数 x ，考虑次序统计量 x(k) 取值 落在小区间 (x , x + x ] 内这一事件，它等价于 “样本容量为 n 的样本中有 1 个观测值落在区间 (x , x + x ] 之间，而有 k-1 个观测值小于等于 x ， 有 n-k 个观测值大于 x + x ”，其直观示意图见下 图
充分统计量
•指统计量加工过程中无信息损失的统计量
100
•T1 X i
是不合格品率p的充分统计量
X0 1 2
p 1/3 1/3 1/3
现抽取容量为 3 的样本, 共有 27 种可能取值, 列表如下
x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) 0 00000110011220022 0 01001012012112112 0 10001021012121112 1 00001102012211112 0 02002201012122122 0 20002120012212122 2 00002210012221122 0 11011022022111111 1 01011202022222222
第2节 顺序统计量
一、定义
定义：设(X1,X2,…,Xn)是从总体X中抽取的一个样本
，(x1,x2,…,xn)是其中一个观测值，将观测值按 从小到大的次序重新排列为：
定义：X(k)取值为x(k)(k=1,2,…,n)，由此得到
X (k) 称为第 k 个顺序统计量(即它的每次取值 总是取每次样本观测值由小到大排序后的第 k 个值).
k-1
1
n-k
x
x+x
x (k) 的取值示意图
F k(x x) F k(x)
n ! [F (x )]k 1 [F x x F (x )][1 F (x x )]n k
(k 1 )!(n k)!
两边同除以 x , 并令 x→0 , 即有
推论1 ：最大次序统计量 x (n) 的概率密度函数为 推论2 ：最小次序统计量 x (1) 的概率密度函数为
按概率密度函数计算次序统计量的密度函数：
设F(x)是总体X的分布函数，X1，X2，…,Xn为X 的样本，X(1),X(2),…,X(n)为顺序统计量， F(1)(x),F(n)(x)分别表示随机变量X(1),X(n)的 分布函数，则对任意实数x有：
按概率密度函数计算次序统计量的密度函数：
当X为连续型随机变量且有密度函数f(x)时，则 X(1),X(n)也是连续型随机变量，且它们的密度 函数分别为：
9/27
3/27
1
0
4/27
3/27
2
0
0
1/27
其分布 各不相同
X (1)与X (2)
并不独立
P( x(1)
0) P( x( 2)
0)
19 27
7 27
,而P( x(1)
0, x(2)
0)
7 27
注: 在一个样本中, X1 , X 2，……, Xn 是独立同分 布的, 而次序统计量 X (1) , X (2) ……, X (n) 则可 能既不独立, 分布也不相同.
例3：设(X1,X2,…,Xn)是来自正态总体N(12,9) 的样本，求：
解：1）因X1,X2,…,Xn独立，且服从相同分布
解： 我们首先应求出 x (2) 的分布。由总体密度函数 不难求出总体分布函数为
0 ,
F
(
x)
x3
,
1 ,
x 0; 0 x 1; x 1
可以得到 x (2) 的密度函数为
p 2 (x ) (2 1 ) 5 ! ( ! 5 2 )![F (x ) ] 2 1 p (x ) [ 1 F (x ) ] 5 2
2 0 x 3 3 x 2 ( 1 x 3 ) 3 6 0 x 5 ( 1 x 3 ) 3 , 0 x 1
于是
P (x(2)1 2)0 1 260x5(1x3)3dx
例1：设总体 X 分布为 U(0,θ), X1 , X2……, Xn 是 取自总体的样本，试写出 X(1) ,Biblioteka X(n) 的密度函数.p(1)
(
x)
n(1
x
)n-1
1
,
0 x ,
0,
others.
p(
n
)
(
x)
n( x
)n-1
1
,
0 x ,
0,
others.
例本2：。设求总：体f(1X)(~x)G，lf(n，)(xX)。1,X2,…,Xn为X的样
y x 31 8 2 0 y ( 1 y ) 3 d y 1 2 0 ( z 3 z 4 ) d z
0
7 8
5 ( 1 ( 7 ) 4 ) 4 ( 1 ( 7 ) 5 ) 0 . 1 2 0 7 88
四、思考
例5：设总体X的分布为仅取 0, 1, 2 的离散均匀分 布，
设总体 X 的分布如下:
③
计算公式
QL位置
n 4
QU位置
3n 4
五数概括与箱线图
次序统计量的应用之一就是五数概括与箱线图。在 得到有序样本后，容易计算如下五个值：
最小观测值 x min = x (1) ; 最大观测值 x max = x (n); 中位数 m 0.5 ; 第一 4 分位数 Q 1 = m 0.25 第三 4 分位数 Q3 = m 0.75 。 所谓五数概括就是指用这五个数来大致描述一批数 据的轮廓。
由此可得 X(1) , X (2) , X (3) 的分布列如下:
X(1) 0
12
p 19/27 7/27 1/27
X(2) 0
12
p 7/27 13/27 7/27
X(3) 0
12
p 1/27 7/27 19/27
进而可得 X(1)与 X (2) 的联合分布如下:
X(1)
X(2) 0
1
2
0
7/27
特别的
说明
二、常用顺序统计量
• 极差 • 中位数 • 分位数 • 四分位数
1、极差 极差反映了随机变量X取值的分散程度。
2、中位数
① 排序后处于中间位置上的值
50%
50%
Me
3、分位数
4、四分位数：
① 排序后处于25%和75%位置上的值
25% 25% 25% 25%
QL
QM
QU
② 不受极端值的影响