人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结

九年级数学下二次函数中考知识点总结

✧ 相关概念及定义

➢ 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，

，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项

系数0a ≠，而b c ，

可以为零．二次函数的定义域是全体实数． ➢ 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2

⑵ a b c ，

，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ✧ 二次函数各种形式之间的变换

➢ 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2

的形式，其

中a

b a

c k a b h 4422

-=-=，.

➢ 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；

②k ax y +=2；③()2

h x a y -=；④()k h x a y +-=2

；⑤c bx ax y ++=2.

✧ 二次函数2ax y =的性质

y ax c =+

y a x h =-的性质：

y a x h k =-+的性质

a 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．

总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 越大开口反而越小。

➢ 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．

．

总结起来 ➢ 常数项c

总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．

总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

✧ 求抛物线的顶点、对称轴的方法

➢ 公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222

2

-+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=++=，∴顶点是

），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a

b x 2-=.

➢ 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2

的形

式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.

➢ 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以

对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ✧ 用待定系数法求二次函数的解析式

➢ 一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择

一般式.

➢ 顶点式：()k h x a y +-=2

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ✧ 直线与抛物线的交点

➢ y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).

➢ 与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点

(h ,c bh ah ++2).

➢ 抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点

的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛

物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；

②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；

③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.

➢ 平行于x 轴的直线与抛物线的交点

可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标

相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.

➢ 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的

图像G 的交点，由方程组 2

y kx n

y ax bx c

=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：(同上)

✧ 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或

顶点式表达

➢ 关于x 轴对称

2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；

()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =---； ➢ 关于y 轴对称

2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；

()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++； ➢ 关于原点对称

2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；

()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =-+-；

➢ 关于顶点对称

2

y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2

2

2b y ax bx c a

=--+-；

()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =--+．

✧ 二次函数图象的平移

➢ 平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；

⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

➢

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．