电分系统分析

1 设计意义及要求1.1设计意义潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，他的任务是对给定运行条件确定系统运行状态，如各母线上的电压（幅值及相角）、网络中的功率分布及功率损耗等。

潮流计算的结果是电力系统稳定计算和故障分析的基础。

具体表现在以下方面：(1)在电网规划阶段,通过潮流计算,合理规划电源容量及接入点,合理规划网架,选择无功补偿方案,满足规划水平的大、小方式下潮流交换控制、调峰、调相、调压的要求。

(2)在编制年运行方式时,在预计负荷增长及新设备投运基础上,选择典型方式进行潮流计算,发现电网中薄弱环节,供调度员日常调度控制参考,并对规划、基建部门提出改进网架结构,加快基建进度的建议。

(3)正常检修及特殊运行方式下的潮流计算,用于日运行方式的编制,指导发电厂开机方式,有功、无功调整方案及负荷调整方案,满足线路、变压器热稳定要求及电压质量要求。

(4)预想事故、设备退出运行对静态安全的影响分析及作出预想的运行方式调整方案。

1.2任务要求如图所示的简单电力系统，节点导纳矩阵为：3-j9 -2+j6 -1+j3 0-2+j6 3.666-j11 -0.666+j12 -1+j3-1+j3 -0.666+j12 3.666-j11 -2+j60 -1+3j -2+j6 3-j9节点2、3的注入功率已知，节点1为平衡节点，节点4为PV节点，用高斯-塞德尔法求节点2、3、4的电压，取节点2、3的电压初值均为1∠0。

(图中各值均为标么值)。

2 设计原理2.1设计思路此题目为负载电力系统潮流计算模型。

在题目给定的导纳矩阵的基础上，分析各节点的类型，找出待求量。

然后，确定潮流方程。

最后在用高斯-赛德尔算法对系统网络进行潮流计算。

2.2详细设计 2.2.1节点类型电力系统潮流计算中，节点一般分为如下几种类型： PQ 节点：节点注入的有功功率无功功率是已知的PV 节点：节点注入的有功功率已知，节点电压幅值恒定，一般由无功储备比较充足的电厂和电站充当；平衡节点：节点的电压为1*exp(0°)，其注入的有功无功功率可以任意调节，一般由具有调频发电厂充当。

更复杂的潮流计算，还有其他节点，或者是这三种节点的组合，在一定条件下可以相互转换。

对于本题目，节点分析如下：节点1电压相位为0，电压幅值为1.04，平衡节点。

节点2给出功率为0.5-j0.2，PQ 节点。

3241U4=1.05P4=0.3-1+j0.51U=1.04∠0。

0.5-j0.2节点3给出功率为-1+j0.5，PQ 节点。

节点4给出有功功率0.3，电压幅值1.05，PV 节点。

2.2.2待求量 节点1的P,Q ； 节点2的U,δ； 节点3的U,δ； 节点4的Q,δ。

2.2.3潮流方程网络方程是潮流计算的基础，如果给出电压源或电流源，便可解得电流电压分布。

然而，潮流计算中，这些值都是无法准确给定的，这样，就需要列出潮流方程。

对n 个节点的网络，电力系统的潮流方程一般形式是（i=1,2，…，n ） 式1其中P i = P Gi - P Ldi , Q i = Q Gi - Q Ldi ,即PQ 分别为节点的有功功率无功功率。

代入得潮流方程：04.111∠-jq p =()()()4332205.103162004.193δδδ∠*+∠*+-+∠*+-+∠*-V j V j j()()()()433222205.13112666.011666.3004.1622.05.0δδδδ∠*+-+∠*+-+∠*-+∠*+-=∠+j V j V j j U j ()()()()433223305.16211666.312666.0004.1315.01δδδδ∠*++∠*-+∠*+-+∠*+-=∠--j V j V j j U j ()()()433224405.1936231004.1005.13.0δδδδ∠*-+∠*+-+∠*+-+∠*=∠-j V j V j jq2.2.4高斯-赛德尔法潮流计算潮流计算高斯——赛德尔迭代法(Gauss一Seidel method)是求解电力系统潮流的方法。

潮流计算高斯——赛德尔迭代 法又分导纳矩阵迭代法和阻抗矩阵迭代法两种。

前者 是以节点导纳矩阵为基础建立的赛德尔迭代格式;后者是以节点阻∑==-nj jij iii VY V jQ P 1.*扰矩阵为基础建立的赛德尔迭代格式。

高斯——赛德尔迭代法这是数学上求解线性或非 线性方程组的一种常用的迭代方法。

高斯---赛德尔法潮流计算框图N开始输入数据，定义数组给定PQ 节点电压初值 给定PV 节点电压实部（或虚部）置迭代计数b=0计算PQ 节点电压实部和虚部先计算PV 节点无功功率 再用其计算PV 节点电压实部和虚部计算平衡节点的有功和无功判断所有|Δ错误！未找到引用源。

b=b+1求错误！未找到引用源。

=错误！未找到引Y1) 高斯法潮流计算 潮流计算方程得到电压方程：式2假设系统节点数是n ，PQ 节点数为m ，m+1及之后的节点是PV 节点，第n 个节点是平衡节点。

展开式2得潮流计算的基本方程式3考虑到i=1时matlab 中for 语句的使用可写成由于平衡节点的电压和相角给定,不用计算,只要计算i=1—n-1节点的电压,但平衡节点的参数和变量要用于其他节点的电压计算.计算过程中有i=1、2、···n-12) 基于导纳矩阵的高斯-赛德尔法潮流计算 ① 设错误！未找到引用源。

展开式1并将实、虚部分列式4错误！未找到引用源。

式5② 令式6错误！未找到引用源。

注：错误！未找到引用源。

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中不包括j=i 的参数和变量；结果输出结束错误！未找到引用源。

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中分别 有k+1次和k 次的变量；错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

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中没有单独列出。

（错误！未找到引用源。

）③④ 将6代入式4和5得错误！未找到引用源。

式7式8⑤ 将式2展开，实、虚部分列，再将式6代入，得节点电压的实部、虚部式9错误！未找到引用源。

式10⑥ 对P 、V 节点，根据错误！未找到引用源。

常数 错误！未找到引用源。

式11 3) 部分求解方程 对于P 、Q 节点：用式9求，用式10求对于P 、V 节点：用式8求错误！未找到引用源。

用式9求错误！未找到引用源。

，式10求错误！未找到引用源。

4)收敛判据高斯-赛德尔法是用前后两次迭代的最大电压误差作收敛判据，ε取10-5~10-6 5) 迭代收敛的充分条件定理1 在下列任一条件下,雅可比迭代法(5)收敛.①111<∑=≠=∞nij j ii ij ia a max B ;②1111<∑=≠=nij i iiij ja a max B ;③111<∑=-≠=∞-nji i jjij jTa a max AD I定理2 设21B B ,分别为雅可比迭代矩阵与高斯—塞德尔迭代矩阵,则∞∞≤12B B (10)从而，当111<∑=≠=∞nij j iiij ia a max B时，高斯—塞德尔迭代法(8)收敛.证明 由21B B ,的定义,它们可表示成()U L D B +=-11()()U D L D I U L D B 11112-----=-=用e 表示n 维向量()T,...,,e 111=,则有不等式 eB e B ∞≤11UD L D B 111--+=这里,记号｜·｜表示其中矩阵的元素都取绝对值,而不等式是对相应元素来考虑的,于是()()()Ie B L D I eL D B e U D ∞------≤-=111111容易验证()011==--nnL D L D所以,L D I 1--及L D I 1--可逆，且()()()1111111111-----------=++≤+++=-L D I LD ...L D I L D ...L D I LD I n n()I L D I ≥---11从而有()()((){}e I B L D I LD I eU D LD I e B ∞----------≤⋅-≤111111121{()()}eB eLD I I B I ∞--∞≤-⋅--=11111因此必有∞∞≤12B B因为已知11<∞B 所以12<∞B .即高斯—塞德尔迭代法收敛.若矩阵A 为对称，我们有定理3 若矩阵A 正定,则高斯—塞德尔迭代法收敛. 证明 把实正定对称矩阵A 分解为 TL L D A --=()TL U =,则D 为正定的,迭代矩阵()T L L D B 12--=设λ是2B 的任一特征值,x 为相应的特征向量,则()()x x L L D T λ=--1以L D -左乘上式两端,并由TL L D A --=有()Ax x L T λλ=-1用向量x 的共轭转置左乘上式两端,得()Ax x x L xTTT--=-λλ1 (11)求上式左右两端的共轭转置,得Ax x x L x T T ----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλ1以λ--1和λ-1分别乘以上二式然后相加,得()()Axx x L L x T T T -----⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--λλλλλλ211 由TL L D A --=,得()()Axx x A D x T T -----⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--λλλλλλ211即()Ax x x L x TT---=-λλλ2211 (12)因为A 和D 都是正定的,且x 不是零向量,所以由(11)式得1≠λ,而由(12)式得012>-λ, 即1<λ,从而()12<B ρ,因而高斯—塞德尔迭代法收敛.定义1 设()nn ij a A ⨯=为n 阶矩阵.① ①如果n,...,i ,a a nij i j ij ii 21=∑>≠= (13)即A 的每一行对角元素的绝对值都严格大于同行其他元素绝对值之和，则称A 为严格对角优势矩阵.② ②如果n,...,i ,a a nij i j ij ii 21=∑≥≠=且至少有一个不等式严格成立,则称A 为弱对角优势矩阵.例如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-310131012是严格对角优势矩阵，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--310121011是弱对角优势矩阵. 定义2 设()nn ij a A ⨯=是n 阶矩阵，如果经过行的互换及相应列的互换可化为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A , 即存在n 阶排列矩阵P,使⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2212110A A A AP P T其中2211A ,A 为方阵，则称A 是可约的,否则称A 为不可约的.A 是可约矩阵,意味着b Ax =可经过若干次行列重排,化为两个低阶方程组,事实上, b Ax =可化为()b P x P AP P TT T =,记 ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==2121d d d b P ,y y y x P TT于是，求解b Ax =化为求解()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22221212111d y A d y A y A可以证明,如果A 为严格对角优势矩阵或为不可约弱对角优势矩阵,则A 是非奇异的.定理4 如果A 为严格对角优势矩阵或为不可约弱对角优势矩阵,则对任意()0x ,雅可比迭代法(4)与高斯—塞德尔迭代法(8)均为收敛的.证明 下面我们以A 为不可约弱对角优势矩阵为例，证明雅可比迭代法收敛，其他证明留给读者.要证明雅可比迭代法收敛，只要证()11<B ρ,1B 是迭代矩阵. 用反证法,设矩阵1B 有某个特征值μ,使得1≥μ,则()01=-B I det μ,由于A不可约,且具有弱对角优势，所以1-D 存在，且 ()()D A D D A D I I B I -+=--=---μμμ111从而()0=-+D A D det μ另一方面，矩阵()D A D -+μ与矩阵A 的非零元素的位置是完全相同的，所以()D A D -+μ也是不可约的,又由于1≥μ,且A 弱对角优势，所以n,...,i ,a a a nij i j ij ii ii 21=∑≥≥≠=μ并且至少有一个i 使不等号严格成立.因此,矩阵()D A D -+μ弱对角优势，故()D A D -+μ为不可约弱对角优势矩阵.从而()0≠-+D A D det μ矛盾，故1B 的特征值不能大于等于1，定理得证.3 高斯-赛德尔法分析计算过程3.1高斯-赛德尔法普通算法05.1,004.1,0,0141)0(4)0(3)0(2=︒∠=︒=︒∠==U U U U δ )(1)0(424)0(323121)0(22222)1(2U Y U Y U Y U jQ P Y U ----= ]05.1)31(1)12666.0(04.1)62(12.05.0[11666.31⨯+--⨯+--⨯+--+-=j j j j j226.08509.1j -=)(1)0(434)1(232131)0(33333)1(3U Y U Y U Y U jQ P Y U ----= ]05.1)62()226.08509.1()12666.0(04.1)31(15.01[11666.31⨯+---⨯+--⨯+-----=j j j j j j 8265.06593.2j -=)](Im[)0(444)1(343)1(242141)0(4)1(4U Y U Y U Y U Y U Q +++=635.14-=133.00056.1)(1)1(343)1(242141)0(44444)1(4j U Y U Y U Y U jQ P Y U -=----= 3.2高斯-赛德尔法MATLAB 程序算法对节点进行重新编号，由1,2,3,4变成4,1,2,3，则新系统的导纳矩阵为Y=3-j9 -2+j6 -1+j3 0 -2+j6 3.666-j11 -0.666+j12 -1+j3-1+j3 -0.666+j12 3.666-j11 -2+j60 -1+3j -2+j6 3-j9电压矩阵为；]004.1;005.1;00.1;00.1[j j j j U++++= 当j i ≠时, 雅可比矩阵中非对角元素为22()0i iij i ij i j j i i ij i ij i j jj j P Q G e B f e f P Q B e G f f e U U e f ⎫∂∆∂∆=-=-+⎪∂∆∂∆⎪⎪∂∆∂∆⎪==-⎬∂∆∂∆⎪⎪∂∆∂∆⎪==∂∂⎪⎭当j i =时,雅可比矩阵中对角元素为:111122()()()()22ni i j j i j j i i i i i i j i n ii j j i j j i i i i i i j j n ii j j i j j i i i i i i j i nii j j i j j i i i i i i j j i ijii i P G e B f G e B f e P G f B e G f B e f Q G f B e G f B e e Q G e B f G e B f f U e e U f f ====∂∆⎫=----⎪∂⎪⎪∂∆=-+-+⎪∂⎪⎪∂∆⎪=+-+∂⎪⎪⎬∂∆⎪=-∆-++⎪∂⎪∂∆⎪=-⎪∂⎪∂∆=-∂⎭∑∑∑∑⎪⎪⎪ 对于PQ 节点， j i e P ∂∆∂ jif P ∂∆∂ =ij Jj i e Q ∂∆∂ j if Q ∂∆∂ 对于PV 节点，j i e P ∂∆∂ jif P ∂∆∂=ij Jj i e V ∂∆∂2 ji f V ∂∆∂2MATLAB 程序输出结果为：y3.6660 -11.0000i -0.6660 +12.0000i -1.0000 + 3.0000i -2.0000 + 6.0000i-0.6660 +12.0000i 3.6660 -11.0000i -2.0000 + 6.0000i -1.0000 + 3.0000i-1.0000 + 3.0000i -2.0000 + 6.0000i 3.0000 - 9.0000i 0 -2.0000 + 6.0000i -1.0000 + 3.0000i 0 3.0000 - 9.0000iU1.0000 1.0000 1.0500 1.0400 B-11 12 3 6 12 -11 6 3 3 6 -9 0 F0 0 0 0sum1=-0.1300sum2=-10.3900sum3=-0.1400sum4=-10.4200sum5=0.1575sum6=1.1025Jacobian=-3.5360 -21.3900 0.6660 12.0000 1.0000 3.0000 -0.6100 3.7960 12.0000 -0.6660 3.0000 -1.0000 0.6660 12.0000 -3.5260 -21.4200 2.0000 6.0000 12.0000 -0.6660 -0.5800 3.8060 6.0000 -2.0000 1.0500 3.1500 2.1000 6.3000 -3.3000 -9.0000 0 0 0 0 -2.1000 0Delta=-0.98160.4172-0.92910.41730.1448e=1.4172 1.4173 1.1948 1.0400f=-0.9816 -0.9291 0 0sum1=-6.2280sum2=-13.0141sum3=-4.7329sum4=-14.9012sum5=9.3825sum6=1.4276Jacobian=-17.3219 -20.2533 12.7233 16.3527 4.3621 3.2700 -3.7279 14.6647 16.3527 -12.7233 3.2700 -4.3621 12.0936 16.3884 -17.7974 -21.1367 8.4094 6.6453 16.3884 -12.0936 -3.2307 13.0352 6.6453 -8.4094 1.1948 3.5845 2.3897 7.1690 -11.4370 -15.5951 0 0 0 0 -2.3897 0Delta=-0.14424.0393-0.38504.3013-0.13612.3659e=5.4565 5.7185 3.5607 1.0400f=-1.1259 -1.3141 -0.1361 0sum1=53.0572sum2=-138.4169sum3=20.2347sum4=-144.9068sum5=10.6334sum6=12.6972Jacobian=-46.7349 -78.3009 17.1442 64.7277 8.8340 15.2435 -33.4865 18.0406 64.7277 -17.1442 15.2435 -8.8340 19.5777 67.7471 -44.4594 -81.3488 19.3216 31.6830 67.7471 -19.5777 -34.8238 26.3790 31.6830 -19.32163.9689 10.5461 7.9378 21.0921 -15.7329 -53.6182 0 0 0 0 -7.1214 0.2721Delta=-2.20229.1556-2.14959.7895-1.42185.3987e=14.6121 15.5080 8.9594 1.0400f=-3.3280 -3.4636 -1.5579 0sum1=444.3242sum2=-871.9354sum3=425.5665sum4=-977.8711sum5=-114.2905sum6=82.6985Jacobian=-132.0052 -198.6776 49.6680 173.1284 24.5962 40.5082 -98.3869 48.3471 173.1284 -49.6680 40.5082 -24.5962 51.8918 183.7889 -134.2977 -212.1584 51.7977 86.1206 183.7889 -51.8918 -103.6217 55.6065 86.1206 -51.7977 13.6332 25.3204 27.2663 50.6408 -38.8944 -137.7919 0 0 0 0 -17.9189 3.1158Delta=27.4894-3.207429.3071-1.731916.2277e=42.1015 44.8151 25.1871 1.0400f=-6.1765 -6.6711 -3.2898 0sum1=4.1446e+003sum2=-6.6960e+003sum3=3.7084e+003sum4=-7.5472e+003sum5=-1.2718e+003sum6=645.2133Jacobian=-341.4966 -582.0294 102.1574 501.1045 60.6310 120.1280 -298.9177 103.0744 501.1045 -102.1574 120.1280 -60.6310 109.8998 533.3384 -342.9872 -621.2415 129.6567 255.5485 533.3384 -109.8998 -315.7786 132.3608 255.5485 -129.6567 35.0565 72.2715 70.1130 144.5431 -77.9468 -394.9750 0 0 0 0 -50.3742 6.5796Delta=-13.229864.5182-14.003368.856238.1060e=106.6197 113.6713 63.2931 1.0400f=-19.4063 -20.6744 -11.0991 0sum1=2.7255e+004sum2=-4.2532e+004sum3=2.5420e+004sum4=-4.8200e+004sum5=-9.0082e+003sum6=4.1292e+003Jacobian=1.0e+003 *-0.9220 -1.4428 0.3039 1.2665 0.1648 0.3005 -0.7606 0.2866 1.2665 -0.3039 0.3005 -0.16480.3238 1.3503 -0.9343 -1.5459 0.3514 0.64071.3503 -0.3238 -0.8033 0.3540 0.6407 -0.3514 0.0966 0.1788 0.1932 0.3576 -0.2281 -0.9960 0 0 0 0 -0.1266 0.0222Delta=-26.4579164.0184-28.3009174.9581-15.633496.8152e=270.6381 288.6295 160.1083 1.0400f=-45.8641 -48.9752 -26.7325 0相应的MATLAB源程序见附录4 结果分析在方法一中，由高斯-赛德尔原理，题设要求只需要进行一次迭代计算，故得到的值是正确的。